Математичне забезпечення САПР

Тема: Математичне забезпечення САПР.

Загальні поняття та вимоги до МЗ.

Способи отримання математичних моделей.

Постановка задач оптимізації.

Класифікація і характеристика методів оптимізації.

1.

МЗ включає в себе мат. методи, мат. моделі та алгоритми.

Мат. моделі описують взаємозв'язки параметрів об'єкту, а також дозволяють оцінити наслідки проектних рішень. Важливою перевагою мат. моделей є можливість одержати інформацію про об'єкт проектування без проведення натуральних експериментів.

Основні вимоги до мат. моделей:

універсальність;

точність;

адекватність;

економічність.

Універсальність — мат. моделі - означає можливість її застосування для аналізу певної групи об'єктів.

Точність м.м. — оцінюється мірою співпадання даних, отриманих по м.м. із реальними даними.

Адекватність м.м. — здатність відображати властивості об'єкту із похибкою не вище заданої.

Економічність м.м. — характеризується затратами обчислюваних ресурсів на її реалізацію.

До обч. ресурсів відносять:

час, який необхідний для реалізації мат. моделей.

об'єм машинної пам’яті.

2. Способи отримання мат.моделей.

Існує три отримання м.м.:

Аналітичний;

Експериментально-аналітичний;

Експериментальний.

Суть аналітичного способу отримання м.м. полягає в застосуванні класичних законів фізики, хімії та ін.наук.

Суть експериментально-аналітичного методу полягає в обчисленні значень коефіцієнтів для насамперед відомої моделі.

Для отримання мат. моделей експериментальний метод — 9.3. док. необхідно реалізувати сукупність експериментальних досліджень, серію дослідів тощо.

Експериментальні дослідження можуть проводитись за класичним способом та за допомогою математичного планування експериментів.

Недолік класичного методу — це велика кількість дослідів.

Перевага — вища точність опису.

Мат. програмування експерименту дозволяє побудувати мат. залежності (м.м.) при значно меншій кількості дослідів.

Найширше для опису процесів та об'єктів д/о застосовуються: повнофакторні плани (ПФП); плани Бокса (В); а також центральні композиційні уніфориронтотабельні плани (УКУРП).

Класичн. 52 = 25.

ПФП N = 2R = 4.

X1 X2 Y.

X1min X2min Y1.

X1max X2min Y2.

X1min X2min Y3.

X1min X2min Y4.

Y = b0+b1x1+b2x2+b12 * x1x2.

Перевага — менша кількість дослідів.

Недолік — точність опису гірша.

TH.

Z.

v.

TH.

Z.

переход. до планів Бокса, та до УКУРП.

Реалізація цих планів дозволяє отримати мат. моделей у вигляді рівняння регресії 2-го порядку.

де:

y — значення вихідного параметра (критерія оптимізації);

b0 — значення вільного члена;

bi — значення лінійних коефіцієнтів;

bii — значення квадратних коефіцієнтів;

bij — значення коефіцієнтів парної взаємодії;

xi — значення вхідних факторів.

3. Загальна постановка задач оптимізації.

2 види м.м.

описового характеру;

оптимізаційні.

Після побудови м.м. проектувальник здійснює її оптимізації:

вибір оптичного типу об'єкта;

вибір оптимальної конструктивної схеми;

оптимізацію параметрів об'єкту;

пошук оптимального управління об'єктом;

оптимізацію допусків та параметрів.

Після побудови м.м. формуємо функцію мети (критерії оптимізації).

Функція мети — кількісний показник, який дозволяє оцінити ефективність прийнятих рішень.

Критерії (показники) оптимізації поділяються на 3 групи:

технічні;

техніко-економічні;

екологічні.

1 — надійність, енергота металомісткість, тривалість служби.

2 — продуктивність, собівартість, рентабельність і ін.

3 — оцінюють вплив проектованого об'єкту на довкілля.

Після побудови функції мети формують обмеження на параметри (продуктивний облад.; габаритні розміри меблевих виробів, к.к.д., швидкодію та ін.).

Після цього приступаємо до вибору методу оптимізації.

Для оптимізації використовуються:

Класичні або аналітичні методи (диференційне числення, варіаційне числення, метод многочленів Лагранжа).

Методи мат. програмування:

а) лінійне;

б) нелінійне;

в) динамічне;

г) стохастичне програмування.

(стохастична — випадковість в часі).

Лінійне програмування — використовується в тих випадках, коли функція мети та обмеження мають лінійний характер (Simplex — метод).

Нелінійне програмування — застосовується в тих випадках, коли функція мети або обмеження є нелінійним (методи сканування, градієнтні).

Стохастичне програмування — …, коли маємо справу із випадковими факторами.

Динамічне програмування — використовується для оптимізації дискретних об'єктів, які можна природно або умовно поділити на окремі стадії в часі або просторі.