Умовний екстремум. 
Метод множників Лагранжа. 
Метод найменших квадратів

Пошукова робота на тему:

Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів.

План Умовний екстремум.

Необхідні умови.

Метод множників Лагранжа.

Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів.

1. Умовний екстремум.

У попередніх параграфах були розглянуті максимуми і мінімуми функції в припущенні, що ті змінні, від яких функція залежить, є незалежними. В цих випадках максимуми мінімуми називаються безумовними. Але у багатьох задачах потрібно знаходити екстремуми функції, аргументи якої задовольняють деяким додатковим умовам — зв’язку. В цих випадках аргументи функції не є незалежними. Екстремуми такого типу називаються умовними. Як приклад, наведемо задачу про знаходження екстремуму функції.

за умови, що її аргументи задовольняють умові зв’язку.

.

.

Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції.

(6.89).

при.

(6.90).

яку потрібно дослідити на екстремум. Але розв’язання рівняння (6.90) відносно однієї із змінних може бути важким або взагалі неможливим. Тому зупинимося на особливому методі розв’язання задачі на умовний екстремум — методі невизначених множників Лагранжа.

.

Отже, в точках екстремуму.

. (6.91).

Із рівності (6.90) маємо.

(6.92).

і додамо її з рівністю (6.91), одержимо.

.

або.

(6.93).

друга дужка у рівності.

.

Тоді в точках екстремуму виконуються три рівняння:

(6.94).

що відіграє лише допоміжну роль і в подальшому не потрібне.

Ліві частини рівнянь (6.94) є частинними похідними функції.

.

.

Із виводу рівнянь (6.94) випливає, що вони є лише необхідними умовами умовного екстремуму.

Зауваження. Описаний метод поширюється на дослідження умовного екстремуму функції будь-якого числа змінних.

змінних.

рівняннями:

(6.95).

Складемо функцію Лагранжа.

:

(6.96).

. Системи рівнянь (6.95) і (6.96) є необхідними умовами умовного екстремуму.

.

Складаємо функцію Лагранжа.

і прирівнюємо до нуля її частинні похідні:

.

.

. Оскільки поставлена задача має певний розв’язок, а критична точка лише одна, то в цій критичній точці буде екстремум.

.

2. Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів.

У різних областях людської діяльності широке розповсюдження мають формули, одержані на основі обробки спостережень або експериментів. Такі формули називаються емпіричними.

.

значень функції при відповідних значеннях аргументів і результати записані так:

.

так, щоб вони якнайкраще і описували.

Рис. 6.13 Рис. 6.14.

розглядуваний процес. Найпоширенішим методом розв’язання даної задачі є метод розв’язання даної задачі є метод найменших квадратів.

Нехай експериментальні точки групуються навколо прямої (див. рис. 6.13). Тоді.

(6.97).

— параметри, які потрібно знайти.

. Різницю ординат цих точок.

(6.98).

назвемо похибкою.

так, щоб сума квадратів похибок.

(6.99).

була найменшою.

Підставимо в (6.99) вирази помилок (6.98), одержимо.

(6.100).

мала найменше значення, необхідно.

виконати умови:

або.

Перегрупувавши члени, подамо цю систему у вигляді.

або.

(6.101).

.

Нехай тепер експериментальні точки розміщені поблизу деякої параболи (див. рис. 6.14). Тоді.

(6.102).

використаємо метод найменших квадратів. Відхилення за ординатою експериментальних точок від відповідних точок параболи.

(6.103).

(6.104).

була найменшою. Для цього необхідно виконання умов.

Обчисливши частинні похідні, маємо систему рівнянь.

Перегрупувавши доданки в кожному із рівнянь, одержимо нормальну систему рівнянь методу найменших квадратів для параболічної залежності:

(6.105).

.