Векторна функція скалярного аргументу. 
Похідна, її геометричний і механічний зміст. 
Кривизна кривої

Пошукова робота на тему:

Векторна функція скалярного аргументу. Похідна, її геометричний і механічний зміст. Кривизна кривої.

План Диференціал дуги.

Кривизна плоскої кривої.

Векторна функція скалярного аргументу.

Кривизна плоскої кривої.

Кривизна просторової кривої.

Кручення просторової лінії.

Формули Серре-Френе.

1. Диференціал кривої.

Поняття довжини кривої буде розглянуто в розділі інтегрального числення. Криві, для яких можна установити поняття довжини, називають в математичному аналізі спрямними.

.

Для всякої спрямної кривої як просторової, так і плоскої, наслідком її спрямності є така геометрична властивість: границя відношення нескінченно малої дуги кривої до стягуючої її хорди дорівнює одиниці за умови, що хорда стикується в точку.

(рис. 7.4), то.

(7.4).

Виходячи саме з цієї властивості, знайдемо вирази для диференціала дуги як плоскої, так і просторової кривої.

.

що.

(рис. 7.2).

знаходиться за формулою.

(7.5).

:

.

його виразом за формулою (7.5):

.

Отже,.

. (7.6).

Звідси.

. (7.7).

.

Диференціал дуги.

.

рівності.

Маємо.

.

Звідси.

.

тому.

. (7.9).

Рис. 7.4 Рис. 7.5.

Приклади.

1. Знайти диференціал дуги циклоїди.

.

.

.

.

.

.

можна знайти аналогічно.

визначається за формулою.

.

Формула диференціала дуги просторової кривої.

. (7.10).

Приклад. Знайти диференціал дуги гвинтової лінії:

.

.

.

Формулам (7.9) і (7.10) часто надають такого вигляду :

(для просторової кривої); (7.12).

дотичної до кривої (рис. 7.5).

2.Кривизна плоскої кривої.

поблизу початку координат більше викривлена, ніж в точках, які знаходяться далі від початку координат. Коло в усіх своїх точках має однакове викривлення. Різні криві також відрізняються одна від одної своїм ступенем викривлення. Коло малого радіуса більше викривлено, ніж коло великого радіуса.

Виникає запитання: що ж брати за міру кривизни кривої в її окремих точках? Щоб відповісти на нього, припустимо, що до кривої в кожній точці можна провести дотичну і що крива є спрямлюваною.

.

.

Рис. 7.6.

і позначається.

. (7.13).

Виведемо формулу для обчислення кривизни. Нехай крива задана в декартовій системі координат рівнянням.

.

має похідні до другого порядку включно.

. Тому формулу (7.13) можна.

записати ще так:

. (7.14).

то.

.

Звідси.

.

Тоді.

.

дістаємо формулу для кривини кривої:

. (7.15).

З цієї формули легко дістати формулу для кривизни кривої,.

. Справді,.

.

.

у формулу (7.15), маємо.

. (7.16).

, то.

. (7.17).

:

. (7.18).

Коло, яке з даною кривою має в даній точці спільну дотичну, спільну кривизну і однаковий напрямок вгнутості, називається колом кривизни, а його центр — центром кривизни кривої в даній точці. Радіус кола кривизни.

.

Для всіх плоских кривих (за винятком кола) центри кривизни різні в різних точках кривої. Геометричне місце центрів кривизни даної кривої називається її еволютою, а сама крива по відношенню до еволюти називається евольвентою.

7.5. Векторна функція скалярного аргументу.

Простішим способом задання просторової кривої є задання її векторним рівнянням.

(7.19).

; такі функції в математичному аналізі називають векторними функціями скалярного аргументу.

по осях координат. Рівняння просторової кривої (7.19) набуває вигляду.

(7.20).

— орти координатних осей). Звідси від векторного рівняння кривої можна перейти до її параметричного рівняння.

. (7.21).

рівнозначно заданню трьох скалярних функцій від того самого аргументу.

По відношенню до векторної функції (7.19), яка задає дану криву, сама крива називається годографом цієї векторної функції.

(рис. 7.5).

Радіуси — вектори цих точок:

.

відповідним приросту її аргументу, і позначається.

. (7.22).

Рис. 7.7.

:

. (7.23).

.

.

можна записати у вигляді.

.

де.

.

.

знаходимо для похідної вектора такий вираз:

. (7.24).

Із означення похідної від векторної функції (7.23) можна вивести, що правила диференціального числення відносно диференціювання суми і добутку залишаються в силі як для сум векторних функцій, так і для добутків будь-якого вигляду. Мають місце такі формули:

; (7.25).

; (7.26).

; (7.27).

. (7.28).

.

.

Остання рівність дозволяє записати:

.

.

Диференціюванням знаходимо.

.

.

.

3. Кривизна просторової кривої.

) до довжини відповідної дуги, коли остання прямує до нуля:

(7.29).

формулою.

. (7.30).

. (7.31).

 — одиничний вектор головної нормалі.

:

.

лежить в нормальній площині; його напрямок називають напрямком бінормалі просторової кривої в даній точці.

.

Рис. 7.8 Рис. 7.9.

визначають три площини, які проходять через дану точку просторової кривої і складають границі супровідного тригранника (рис. 7.9).

 — її спрямною площиною.

4. Кручення просторової кривої.

Формули Серре-Френе.

 — одиничного вектора бінормалі.

відповідної дуги кривої, коли довжина дуги прямує до нуля:

.

.

:

.

. Отже,.

.

будемо мати.

(7.33).

радіус кручення.

:

.

або.

Формули.

(7.34).

називаються формулами Серре-Френе, це основні формули геометрії просторових кривих.

.

Перша із формул Серре-Френе дає.

(7.35).

:

.

Але.

.

.

тому.

.

(7.36).

(7.37).

), то формули (7.35) і (7.36) набувають вигляду:

(7.38).

. Щоб написати рівняння дотичної, головної нормалі, бінормалі та будь-якої із площин супроводжуючого тригранника, достатньо лише в канонічних рівняннях прямої.

(7.39).

і в рівнянні площини, яка проходить через дану точку.

(7.40).

 — для бінормалі та співдотичної площини.

або, що те саме, рівнянням.

.

.

Отже,.

. (7.41).

.

Оскільки.

.

то.

. (7.42).

:

(7.43).

Звідси.

(7.44).

можна взяти векторний добуток цих двох векторів:

(7.45).

Цим самим ми дістали можливість в будь-якій точці просторової кривої визначити всі елементи його супровідного тригранника.