Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції.
Приклади первісних, що не є елементарними функціями.
Використання таблиць неозначених інтегралів
Або, можливо, і не володіє цими властивостями. Нехай. Проінтегрувати, застосовуючи формулу Муавра. Маємо: Очевидно, що в цьому випадку її можна подати. Аналогічно обчислюється і другий інтеграл. З її допомогою інтеграл перетвориться в. Тобто до інтеграла, розглянутого в п. 9.8. Інтегрування трансцендентних функцій. Звідси випливає така підстановка: Інтеграл перетворюється в такий: Перетворить… Читати ще >
Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями. Використання таблиць неозначених інтегралів (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Пошукова робота на тему:
Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями. Використання таблиць неозначених інтегралів.
План.
Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції.
— ціле, додатне число).
8.3.9. Інтегрування трансцендентних функцій.
інтеграл перетворюється в такий :
нас цікавить не тільки сам по собі, а й у зв’язку з тим, що й інші інтеграли зводяться до нього.
тобто до інтеграла, розглянутого в п. 9.8.
, або, можливо, і не володіє цими властивостями. Нехай.
Очевидно, що в цьому випадку її можна подати.
то.
Тому.
Звідси випливає така підстановка:
.
.
.
на.
то доцільною є.
.
тому.
одержимо.
.
(8.26).
.
перетворить інтеграл до вигляду.
.
яку називають універсальною.
зведе інтеграл до вигляду.
.
яка зведе інтеграл до вигляду.
.
то.
.
.
.
.
. З її допомогою інтеграл перетвориться в.
.
в) Усі інтеграли вигляду.
— раціональна функція, інтегруються в замкненому вигляді. Цей висновок випливає з п. 9.4.
В результаті матимемо.
Аналогічно обчислюється і другий інтеграл.
— цілі невід'ємні числа, обчислюються, використовуючи формули тригонометрії для пониження степеня:
(8.27).
які легко обчислюються.
).
можна.
проінтегрувати, застосовуючи формулу Муавра. Маємо:
(8.28)
Далі обчислимо:
Аналогічно.
.
е) Усі інтеграли вигляду.
є цілою раціональною функцією відносно синусів і косинусів величин, що стоять під знаком функції, а всі константи є дійсними числами.
Оскільки ціла раціональна функція будується лише на основі дій додавання, віднімання і множення (зокрема піднесення до цілого додатного степеня), то кожний добуток двох множників можна подати у вигляді суми двох доданків на основі формул.
(8.29).
. Кожна така лінійна комбінація інтегрується елементарно.
— довільний поліном, інтегруються у замкненому вигляді.
Цей висновок випливає з п. 8.3.8.
— ціле число.