Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші

Пошукова робота на тему:

Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші.

План Ознаки порівняння рядів з додатними членами.

Ознака Даламбера.

Радикальна ознака Коші.

Інтегральна ознака Коші.

13.3. Ознаки порівняння рядів з додатними членами.

Збіжність чи розбіжність знакододатного ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим рядом, наперед відомо збіжним або розбіжним. В основі такого порівняння лежать наступні теореми.

Нехай задані два ряди з додатними членами.

(13.4).

(13.5).

то із збіжності ряду (13.5) випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) випливає розбіжність ряду (13.5).

. Оскільки.

.

то, очевидно,.

його частинної суми.

Отже, ряд (13.4) збігається.

2) Нехай ряд (13.4) — розбігається. Тоді ряд (13.5) не може збігатися, тому що за доведеною теоремою (п.1) ряд (13.4) повинен збігатися, а це протирічить нашому припущенню.

Приклад.1 Дослідити збіжність ряду.

знакододатний. Для дослідження його на збіжність використаємо ознаку порівняння:

членів у рядах (13.4) і (13.5), які не вплинуть на збіжність чи розбіжність даних рядів, одержимо умови даної теореми.

Теорема 2. Якщо існує границя.

(13.6).

за визначенням границі, для.

будемо мати.

Звідси, за попередньою теоремою, випливає збіжність ряду (13.4).

має скінченну границю і тоді ряд (13.4) повинен бути розбіжним, інакше, якщо б він збігався, то по доведеному, збігався би і ряд (13.4), що протирічить припущенню.

Приклад 2. Дослідити збіжнісь ряду.

13.4. Ознака Даламбера.

тобто.

(13.7).

то:

ряд (13.4) збігається;

ряд (13.4) розбігається;

теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.

буде виконуватися нерівність.

(13.8).

тобто.

Звідси і випливає нерівність (13.8).

:

. (13.9).

Розглянемо тепер два ряди:

,.

.

 — збігається, а це і є ряд (13.4).

буде виконуватися нерівність.

.

а тому загальний член ряду не прямує до нуля. Значить, ряд розбігається.

.

то ознака Даламбера не дає можливості встановити, збігається чи розбігається даний ряд. В одному випадку такий ряд може збігатися, а в іншому — розбігатися. Для вирішення питання про збіжність таких рядів необхідно застосувати іншу ознаку.

починаючи з деякого, більше за одиницю, то такий ряд розбігається.

Приклад 1. Дослідити збіжність ряду.

.

.

і

тому ряд розбігається.

.

Р о з в ‘ я з о к. Використовуючи ознаку Даламбера, одержимо.

<1; отже, даний ряд збігається.

13.5. Радикальна ознака Коші.

Теорема. Якщо для ряду з додатними членами (13.4) величина.

(13.10).

то:

ряд (13.4) збігається;

ряд (13.4) розбігається;

теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.

будемо мати.

звідки випливає, що.

або.

Розглянемо тепер два ряди:

,.

.

менші за члени другого ряду, а тому він за ознакою порівняння збігається.

будемо мати.

або.

, більші за одиницю, то ряд розбігається, оскільки його загальний член не прямує до нуля.

вимагає додаткового дослідження. Серед таких рядів можуть зустрітися як збіжні, так і розбіжні.

Приклад. Дослідити збіжність ряду.

.

Р о з в ‘ я з о к. Використаємо радикальну ознаку Коші:

>1 — ряд розбігається.

13.6. Інтегральна ознака Коші.

Розглянемо ще одну ознаку, яка відрізняється по формі від всіх попередніх.

Нехай ряд має форму.

(13.11).

. Припустимо, що ця функція неперервна, додатна і монотонно спадна.

Теорема. Нехай члени ряду (13.11) додатні і не спадають, тобто.

(13.12).

така неперервна неспадна функція, що.

(13.13).

Тоді :

збігається, то збігається і ряд (13.11);

розбігається, то розбігається і ряд (13.11).

(рис. 13.1).

Рис. 13.1 Рис. 13.2.

Отже,

(13.14).

Отже, сума площ всіх побудованих прямокутників дорівнює.

Тому.

звідки.

. (13.15).

Розглянемо тепер обидва випадки.

збігається. Оскільки.

то в силу нерівності (1.15) будемо мати.

тобто ряд збігається.

тобто ряд розбігається.

Таким чином, теорема повністю доведена.

Розглянемо ряд.

Приклад. Дослідити збіжність ряду.

Р о з в ‘ я з о к.

;

використаємо інтегральну ознаку Коші:

; інтеграл збігається, отже, і.

— збігається. Тому за ознакою порівняння.

також збігається.