Алгоритм Дейкстру

Курсова робота З дисципліни" Основи дискретної математики".

На тему: Алгоритм Дейкстра.

Зміст.

1.Вступ…3.

2.Елементи теорії графів:

Основні визначення…3.

Ізоморфізм, гомеоморфізм…4.

Шляхи і цикли…5.

Дерева…5.

Цикломатичне число і фундаментальні цикли…8.

Компланарні графи …8.

Розфарбування графів…10.

Графи з атрибутами …12.

Незалежні безлічі і покриття …12.

3.Задача знаходження мінімального шляху в графах:

Алгоритм Дейкстра…14.

Текст програми написаної на основі алгоритму Дейкстра…15.

Результат виконання програми…17.

Графічне зображення початкового графа та дерево мінімальних шляхів після виконання рограми…18.

4.Висновок…18.

5. HYPERLINK «internet l «Литература «Література …19.

1. Вступ.

Останнім часом дослідження в областях, що традиційно відносяться до дискретної математики, займають усе більш помітне місце. Поряд з такими класичними розділами математики, як математичний аналіз, диференціальні рівняння, у навчальних планах спеціальності «Прикладна математика «і багатьох інших спеціальностей з «явилися розділи по математичній логіці, алгебрі, комбінаториці і теорії графів. Причини цього неважко зрозуміти, просто розглянувши задачу, розв «язувану пошуку найкоротшого шляху в графі .

2. Елементи теорії графів Основні визначення.

Граф (graph) — пари G=(V, E), де V — безліч об «єктів довільної природи, називаних вершинами (vertices, nodes), а E — сімейство пар ei=(vi1, vi2), vijxF0CEV, називаних ребрами (edges). У загальному випадку безліч V і/чи сімейство E можуть містити нескінченне число елементів, але ми будемо розглядати тільки кінцеві графи, тобто графи, у яких як V, так і E кінцеві.

У приведеному визначенні графа E не випадково названо сімейством пар, а не безліччю. Справа в тім, що елементи E можуть бути не унікальні, тобто можливі кратні ребра. Існує інше, більш коректне визначення: граф визначається як трійка G=(V, E, xF06A), де V — безліч вершин, E — безліч ребер, а xF06A=xF06A (v, u, e) — тримісний предикат (булевська функція від трьох перемінних), що повертає True тоді і тільки тоді, коли ребро e інцидентне вершинам v і u. Однак такі «строгості «у нашому викладі є надмірними.

Якщо порядок елементів, що входять у ei, має значення, то граф називається орієнтованим (directed graph), скорочено — орграф (digraph), інакше — неорієнтованим (undirected graph). Ребра орграфа називаються дугами (arcs). Надалі будемо вважати, що термін «граф », застосовуваний без уточнень «орієнтований «чи «неорієнтований », позначає неорієнтований граф.

Приклад: G=(V, E); V={1,2,3,4}; E=<(1,1), (1,2), (1,3), (2,4), (2,4)>

G.

Якщо e=(v, u), те вершини v і u називаються кінцями ребра. При цьому говорять, що ребро e є суміжним (інцидентним) кожної з вершин v і u. Вершини v і u також називаються суміжними (інцидентними). У загальному випадку, допускаються ребра виду e=(v, v); такі ребра називаються петлями.

Ступінь вершини графа — це число ребер, інцидентних даній вершині, причому петлі враховуються двічі. Оскільки кожне ребро інцидентне двом вершинам, сума ступенів усіх вершин графа дорівнює подвоєній кількості ребер: Sum (deg (vi), i=1.|V|)=2xF0D7|E|.

Граф, що не містить петель і кратних ребер, називається звичайним, чи простим графом (simple graph). У багатьох публікаціях використовується інша термінологія: під графом розуміється простий граф, граф із кратними ребрами називають мультиграфом, з петлями — псевдографом.

Деякі класи графів одержали особливі найменування. Граф з будь-якою кількістю вершин, не утримуючих ребер, називається порожнім. Звичайний граф з n вершинами, будь-яка пара вершин якого з «єднана ребром, називається повним і позначається Kn (очевидно, що в повному графі n (n-1)/2 ребер).

Граф, вершини якого можна розбити на непересічні підмножини V1 і V2 так, що ніякі дві вершини, що належать тому самому підмножині, не суміжні, називається двочастковим (чи біхроматичним, чи графом Кенига) і позначається Bmn (m=|V1|, n=|V2|, m+n=|V|). Повний двочастковий граф — такий двочастковий граф, що кожна вершина безлічі V1 зв «язана з усіма вершинами безлічі V2, і навпаки; позначення — Kmn. Зауваження: повний двочастковий граф Bmn не є повним (за винятком B11=K2).

B33.

Підграфом, чи частиною графа G=(V, E) називається такий граф G «=(V », E "), що V «xF0CDV і дві несуміжні вершини в G не суміжні в G ». Повним підграфом називається підграф, будь-яка пара вершин якого суміжна.

Основним підграфом (суграфом) графа G називається будь-який його підграф, що містить ту ж безліч вершин, що і G.

Ізоморфізм, гомеоморфізм.

Графи G1=(V1,E1) і G2=(V2,E2) називаються ізоморфними (позначення: G1~G2), якщо між графами існує взаємо-однозначне відображення xF06A: G1xF0ABG2 (V1xF0ABV2, E1xF0ABE2), що зберігає відповідність між ребрами (дугами) графів, тобто для будь-якого ребра (дуги) e=(v, u) вірно: е «=xF06A (v, u)=(xF06A (v), xF06A (u)) (exF0CEE1, е «xF0CEE2). Відображення xF06A називається ізоморфним відображенням.

Іншими словами, ізоморфні графи розрізняються тільки позначенням вершин.

Ізоморфні графи. Одне з ізоморфних відображень: (0,0), (1,3), (2,5), (3,6), (4,7), (5,2), (6,1), (7,4), (8,9), (9,8).

Характеристики графів, інваріантні відносно ізоморфизмов графів (тобто приймаючі однакові значення на ізоморфних графах), називаються інваріантами графів.

Підрозділом ребра (v1,v2) графи називається операція додавання в граф вершини v «і заміни цього ребра на два суміжних ребра (v1,v ») і (v ", v2): V «=V+{v «}, E «=E-{(v1,v2)}+{(v1,v »)}+{(v », v2).

Граф G «називається підрозділом графа G, якщо він може бути отриманий з G шляхом кінцевого числа підрозділів ребер.

Дві графи називаються гомеоморфними, якщо для них існують ізоморфні підрозділи.

Шляхи і цикли.

Шляхом у графі (чи маршрутом в орграфі) називається послідовність вершин, що чергується, і ребер (чи дуг — в орграфі) виду v0, (v0,v1), v1, …, (vn-1,vn), vn. Число n називається довжиною шляху. Шлях без повторюваних ребер називається ланцюгом, без повторюваних вершин — простим ланцюгом. Шлях може бути замкнутим (v0=vn). Замкнутий шлях без повторюваних ребер називається циклом (чи контуром в орграфі); без повторюваних вершин (крім першої й останньої) — простим циклом.

Твердження 1. Якщо в графі існує шлях, що веде з вершини v0 у vn, то існує і простий ланцюг між цими вершинами.

Доказ: такий простий ланцюг можна побудувати, «викинувши «зі шляху всі цикли.

~.

Граф називається зв «язковим, якщо існує шлях між будь-якими двома його вершинами, і незв «язним — у противному випадку. Незв «язний граф складається з декількох зв «язних компонентів (зв «язкових підграфов).

Для орграфів поняття св «язаність є більш складним: розрізняють сильну св «язаність, однобічну звязність і слабку зв’язність. Орграф називається сильно зв «язковим, якщо для будь-яких двох його вершин v і u існує як маршрут з v у u (v->u), так і з u у v (u->v). Орграф називається односторонньо зв «язковим, якщо для будь-яких двох його вершин u і v існує по крайньої один з маршрутів v->u чи u->v. Нарешті, орграф називається слабко зв «язковим, якщо зв «язний неорієнтований граф, одержуваний з цього орграфа шляхом зняття орієнтації з дуг. Очевидно, що будь-який сильно зв «язний граф є односторонньо зв «язковим, а односторонньо зв «язний — слабко зв «язковим, але не навпаки.

Дерева.

Деревом називається довільний зв «язний граф без циклів.

Лема 1. Нехай G=(V, E) — зв «язний граф, вершини v1 і v2 якого не суміжні. Тоді в графі G «=(V, E+(v1,v2)) існує простий цикл, що проходить через ребро (v1,v2).

Доказ: тому що G — зв «язний, у ньому існує шлях з v2 і v1, а значить (HYPERLINK «internet l «Утв1 «по утвержденю 1),і простий ланцюг v2… v1. Отже, у графі G «існує шлях v2… v1(v1,v2)v2, що є простим циклом (по визначенню).

~.

Лема 2. Нехай G=(V, E) — зв «язний граф, ребро e=(v1,v2) якого входить у деякий цикл. Тоді граф G «=(V, E-e) — також зв «язний, тобто при видаленні кільцевого ребра (ребра, що входить у деякий цикл) зі зв «язного графа цей граф залишається зв «язковим.

Доказ: тому що G — зв «язний, у ньому існує шлях S між будь-якими двома вершинами vi і vj. Якщо e не входить у шлях S=vi…vj, то цей шлях існує й у графі G », а виходить, G «залишається зв «язковим. Інакше (e входить у цей шлях): S=vi…v1(v1,v2)v2…vj. За умовою e — входить у деякий цикл, отже, існує замкнутий шлях C=v2(v2,v1)v1Tv2 (початком замкнутого шляху ми можемо вважати будь-яку його вершину), причому ребро e=(v1,v2) не входить у T (якщо існує шлях між вершинами, то існує і шлях, що є простим ланцюгом — див. HYPERLINK «internet l «Утв1 «утвердження 1). Але тоді існує шлях S «=vi…v1Tv2…vj, у котрій не входить ребро e=(v1,v2) і, отже, цей шлях існує в графі G » .

~.

Лема 3. Нехай G=(V, E), p=|V|, q=|E|.

1) число зв «язних компонентів у G більше або дорівнює |V|-|E| (Nкомп.xF0B3p-q);

2) якщо в G немає циклів, то число зв «язних компонентів у G дорівнює |V|-|E| (Nкомп.=p-q).

Доказ: побудуємо порожній граф з p вершинами (очевидно, у ньому рівно p зв «язкових компонент) і будемо додавати ребра по одному.

При додаванні ребра можливі дві ситуації: (а) нове ребро з «єднує вершини, що знаходилися до цього в різних компонентах (у цьому випадку кількість компонент зменшується на одиницю) і (б) нове ребро з «єднує вершини, що належать одному компоненту (число компонентів не змінюється). Отже, при додаванні q ребер число компонент зменшиться не більше ніж на q, і, отже, кількість компонентів у графі буде більше або дорівнює p-q. Це доводить твердження (1).

Відповідно до леми 1, при додаванні ребра в зв «язний граф у ньому з «являється цикл. Якщо в графі немає циклів, це означає, що при додаванні ребер завжди відбувався варіант (а) — інакше з «явилися б цикли. Отже, число компонентів при кожнім додаванні ребра зменшувалося на одиницю, і після додавання q ребер у графі буде рівно p-q компонент. Це доводить твердження (2).

~.

Наслідок 1 леми 3: якщо |E|xF0A3|V|-2, те граф G=(V, E) незв «язний (випливає безпосередньо з HYPERLINK «internet l «Лемма3 «лемі 3).

Теорема 1. Любою зв «язний граф містить підграф, що є деревом.

Доказ: якщо в зв «язному графі немає циклів, то він уже є деревом по визначенню. Інакше знаходимо будь-як кільцеве ребро і видаляємо його; відповідно до HYPERLINK «internet l «Лемма2 «лемми 2 граф залишається зв «язковим. Продовжуємо процес, поки в графі існують цикли. У силу кінцівки графа цей алгоритм побудує дерево за кінцеве число кроків.

Зауваження: фактично доведене більш сильне твердження — що будь-який зв «язний граф містить основній підграф (підграф з тією же кількістю вершин, що і сам граф), що є деревом.

~.

Теорема 2. Для будь-якого дерева G=(V, E) вірно: |V|-|E|=1.

Доказ: по визначенню, у дереві немає циклів, отже, відповідно до леми 3 у ньому рівно |V|-|E| зв «язкових компонент. Але по визначенню дерево зв «язне, тобто складається з одного зв «язного компонента, тому |V|-|E|=1.

~.

Теорема 3. Наступні властивості графів еквівалентні:

G=(V, E) — дерево;

будь-які дві вершини G з «єднані єдиним простим ланцюгом;

G — граф без циклів, у якого |E|=|V|-1;

G — зв «язний граф, у якого |E|=|V|-1;

G — зв «язний граф, але при видаленні будь-якого ребра він стає незв «язним;

G — граф без циклів, але при додаванні будь-якого ребра в ньому з «являється рівно один (з точністю до завдання початкової вершини і напрямку обходу) простий цикл.

Доказ: доведемо теорему в послідовності (1)<=>(2), (2)=>(3)=>(4)=>(5)=>(6)=>(1).

(1)=>(2): допустимо, що деякі дві вершини v1 і v2 графа G з «єднані, принаймні, двома різними простими ланцюгами L1=u1…uk, де u1=v1 і uk=v2, і L2=w1…wm, де w1=v1 і wm=v2. З того, що ланцюги є простими і різними, випливає, що існує число j, 1.

(2)=>(1):

(а) граф G є зв «язковим по визначенню связаність (будь-які дві вершини графа з «єднані ланцюгом);

(б) допустимо, що в графі G існує цикл, що проходить через деяку вершину v: C=v (v, u1) u1…uk (uk, v) v. Але це означає, що між v і кожної з вершин ui існують, принаймні, два різних шляхи L1=v (v, u1) u1…ui-1(ui-1,ui)ui і L2=v (v, uk) uk…ui+1(ui+1,ui)ui (шляхи різні, тому що по визначенню в циклі відсутні повторювані ребра). У силу HYPERLINK «internet l «Утв1 «утвердження 1 з цих шляхів можна «виділити «прості ланцюги, що також будуть різні (у L1і L2 немає співпадаючих ребер), — одержали протиріччя з (2).

З (а), (б) і визначення дерева випливає, що G є деревом. (2)=>(3): по HYPERLINK «internet l «Т2 «теорема 2 ;

(3)=>(4): по HYPERLINK «internet l «Лемма3 «лемма 3 ;

(4)=>(5): т.к. |E|=|V|-1, те після видалення ребра в новому графі буде |V|-2 ребер, і по HYPERLINK «internet l «Сл1лем3 «слідству 1 лемки 3 цей граф буде незв «язним;

(5)=>(6):

(a) доведемо першу частину твердження (G — граф без циклів): допустимо, у G є цикли; але тоді при видаленні будь-якого кільцевого ребра він залишиться зв «язковим, що суперечить (4);

(б) доведемо другу частину твердження (при додаванні будь-якого ребра в G з «являється рівно один простий цикл): зі связаність графа і HYPERLINK «internet l «Лемма1 «лемма 1 випливає, що при додаванні будь-якого ребра в G з «являється, як мінімум, один простий цикл; у силу (2) цей простий цикл єдиний (зворотне означало б, що в G існують вершини, з «єднані більш ніж одним простим ланцюгом);

(6)=>(1): допустимо, G — не дерево, тобто граф чи не зв «язний містить цикли. Циклів не може бути в силу (5а), тому залишається варіант: G — незв «язний і складається мінімум із двох компонентів. Але тоді при додаванні ребра між вершинами, що належать різним компонентам, цикли не утворяться, а це суперечить (5б).

~.

Основним деревом (кістяком) зв «язного графа називається будь-який його основний підграф, що є деревом.

Існування основного підграфа для будь-якого зв «язного графа доводиться HYPERLINK «internet l «Т1 «теоремою 1 .

Загальне число основних дерев зв «язного графа може бути дуже велика. Так, для повного графа з n вершинами воно дорівнює nn-2 (без доказу).

Граф і два його основних дерева (вилучені ребра показані пунктиром).

Для довільного (можливо, незв «язного) графа G основне дерево визначається як будь-який його основний підграф, не утримуючих циклів і маючи стільки ж компонентів связаність, що і G.

Цикломатичне число і фундаментальні цикли.

Цикломатичрим числом графа G=(V, E) називається з k зв «язковими компонентами називається число xF06E (G)=|E|-|V|+k.

Фундаментальним циклом графа G=(V, E) з основним деревом T=(V, E ") називається простий цикл, одержуваний у результаті додавання в T одного з ребер G, не приналежного E " .

Твердження 1. Кількість фундаментальних циклів графа G=(V, E) при будь-якому фіксованому основним дереві T=(V, E ") дорівнює цикломатичному числу G.

Доказ: відповідно до HYPERLINK «internet l «Лемма3 «лемма 3 п. 2, k=|V|-|E «|, отже, <�кількість ребер G, не приналежних E «> = |E|-|E «| = |E|-(|V|-k) = xF06E (G). При додаванні кожного з цих ребер у T з «являється рівно один простий цикл у силу HYPERLINK «internet l «Т3 «теоремі 3 п.6; всі одержувані при цьому прості цикли різні, тому що кожний з них містить принаймні одне унікальне ребро — те саме ребро G, не приналежне E », що було додано в дерево.

~.

Компланарні графи.

Зіставивши вершинам графа крапки на чи площині в просторі, а ребрам — лінії, що з «єднують крапки, що відповідають кінцям ребра, можна одержати діаграму — візуальне представлення даного графа.

Очевидно, що для будь-якого графа можна побудувати нескінченну кількість таких діаграм. Якщо на деякій діаграмі серед крапок, що відповідають вершинам графа, немає співпадаючих, а лінії, що відповідають ребрам графа, не мають загальних крапок (за винятком кінців), то ця діаграма називається геометричною реалізацією графа.

Теорема 1. Для будь-якого графа існує геометрична реалізація в тривимірному евклідовому просторі.

Доказ:

реалізуємо |V| крапок, що відповідають вершинам графа, на одній прямій;

проведемо через цю пряму |E| різних на півплощин;

реалізуємо кожне ребро у своїй на півплощині.

~.

Виникає питання: чи будь-який граф можна реалізувати на площині? Відповідь — негативний. Геометричну реалізацію на площині допускають лише деякі графи; такі графи називаються компланарними.

Для наступного викладу нам знадобиться поняття грані. Неформально визначимо грань як частина площини, на які площина «розрізається «лініями геометричної реалізації графа. Завжди існує необмежена зовнішня грань.

— 7 вершин, 8 ребер, 3 грані.

Формула Ейлера. Для будь-якої геометричної реалізації графа G=(V, E) на площині вірно: p-q+r=2, де p=|V|, q=|E|, r — число граней (без доказу).

Теорема 2. Якщо в зв «язковому планарним графі немає циклів довжини менше k і kxF0B33, то qxF0A3k (p-2)/(k-2), де p=|V|, q=|E|.

Доказ (не зовсім формальне): нехай граф реалізований на площині і при цьому вийшло r граней. Нехай qi — число сторін у i-й грані (див. малюнок). Кожне ребро є стороною двох граней, тому 2q=Sum (qi, i=1.r). По умови в графі немає циклів довжини менше k, але тоді qixF0B3k (тому що сторони грані утворять цикл) і 2q=Sum (qi, i=1.r)xF0B3kxF0D7r. По формулі Эйлера r=2-p+q, отже, 2qxF0B3kxF0D7(2-p+q), з чого випливає доказувана нерівність.

— 8 ребер, 3 грані, 3+6+7=16 сторін.

~.

Наслідок 1 теореми 2: для будь-якого зв «язкового пленарного графа без петель і кратних ребер виконується нерівність: qxF0A33(p-2), де p=|V|, q=|E|.

Доказ: тому що за умовою в графі немає петель і кратних ребер, у ньому немає і циклів довжини менше 3, тому, підставляючи k=3 у нерівність HYPERLINK «internet l «ПланарТ2 «теоремі 2, одержуємо: qxF0A3k (p-2)/(k-2)=3(p-2).

~.

Теорема 3. Граф K5 не компланарний.

Доказ: K5 зв «язний, у ньому немає петель і кратних ребер, але наслідок 1 теореми 2 не виконується — q=10>3(p-2)=9. Виходить, K5 не компланарний.

~.

Теорема 4. Граф K33 не компланарний.

Зауваження: використання наслідку 1 теореми 2 тут не допоможе, тому що q=9<3(p-2)=12.

Доказ: у K33 немає циклів довжини менше 4, тому застосуємо нерівність HYPERLINK «internet l «ПланарТ2 «теоремі 2 безпосередньо (при k=4): q=9>4(p-2)/2=8. Отже, K33 не компланарний.

~.

Теорема Понтрягіна-Куратовского (критерій компланарності графів). Граф G планарин тоді і тільки тоді, коли він не містить підграфов, гомеоморфних K5 чи K33.

Доказ: необхідність випливає з тверджень 1−4 (див. нижче), а також з того факту, що графи K5 і K33 не компланарні (відповідно до теорем HYPERLINK «internet l «ПланарТ3 «3 і HYPERLINK «internet l «ПланарТ4 «4).

Твердження 1: якщо графи U1 і U2 ізоморфні, то U1 компланарний тоді і тільки тоді, коли U2 компланарний.

Доказ: будь-яка геометрична реалізація U1 є геометричною реалізацією U2, і навпаки.

Твердження 2: будь-який підрозділ U «графа U компланарний тоді і тільки тоді, коли U компланарний.

Доказ:

(=>) граф U «компланарний, отже, існує його геометрична реалізація на площині R ». Побудуємо по R «плоску геометричну реалізацію R графа U. Для цього об „єднаємо всі лінії R “, що відповідають ребрам U », отриманим у результаті виконання операцій підрозділу ребер. У силу існування R граф U є компланарним.

<=) граф U компланарний, отже, існує його геометрична реалізація на площині R. Побудуємо по R плоску геометричну реалізацію R «графа U ». Для цього повторимо в будь-якій послідовності операції підрозділу ребер, що привели до побудови U ". Після виконання кожної з цих операцій будемо розбивати лінію, що відповідає ребру, що підрозділяється, на двох ліній (розбивка можна робити в будь-якій крапці, що не збігається з кінцями лінії). У силу існування R «граф U «є компланарним.

Твердження 3: якщо графи U1 і U2 гомеоморфні, те U1 компланарний тоді і тільки тоді, коли U2 компланарний.

Доказ:

(=>) за умовою U1 і U2 гомеоморфні xF0AE {по визначенню} xF0AE існують їхні ізоморфні підрозділи U1 «і U2 ». За умовою граф U1 компланарний xF0AE {по утв.2} xF0AE граф U1 «компланарний xF0AE {по утв.1} xF0AE ізоморфний йому граф U2 «компланарний xF0AE {по утв.2} xF0AE граф U2 компланарний.

(<=) аналогічно.

Твердження 4: якщо підграф U «графа U не компланарний, те U також не компланарний.

Доказ: допустимо, що граф U компланарний. Отже, існує його плоска геометрична реалізація R. Але тоді можна побудувати плоску геометричну реалізацію R «графа U »: для цього досить видалити з R крапки і лінії, що відповідають тим вершинам і ребрам U, яких немає в U ". З існування R «випливає, що U «компланарний — одержали протиріччя.

Достатність теореми доводиться набагато складніше (див., наприклад, [ HYPERLINK «internet l «З87 «3 ]).

~.

Існують і інші критерії компланарності графів [ HYPERLINK «internet l «З87 «3 ].

Розфарбування графів.

Верховим розфарбуванням (далі - просто розфарбуванням) графа називається відображення безлічі вершин графа на кінцеву безліч (безліч квітів); n-розфарбування графа — розфарбування з використанням n квітів. Розфарбування називається правильної, якщо ніякі дві вершини одного кольору не суміжні. Очевидно, що для графа без петель завжди існує правильне розфарбування в |V| квітів.

Хроматичним числом графа G називається мінімальне число n=xF063(G), таке, що існує правильне n-розфарбування.

Лема 1. У будь-якому компланарному графі без петель і кратних ребер існує вершина ступеня не більш п «яти.

Доказ: допустимо, що ступеня усіх вершин перевершують 5. Тоді 2q=Sum (deg (vi), i=1.|V|)xF0B3xF036p і qxF0B33p. Але по HYPERLINK «internet l «1₂ «слідству 1 теореми 2 повинне виконуватися нерівність qxF0A33(p-2)<3p — одержали протиріччя.

~.

Теорема про п «ять фарб. Кожен компланарний граф без петель і кратних ребер є не більш ніж 5-хроматичним.

Доказ: (індукцією по числу вершин).

При p=1 твердження теореми вірно. Допустимо, що (*) твердження вірне для всіх p.

Розглянемо компланарний граф G без петель і кратних ребер з p0 вершинами; по лемі 1 у ньому є вершина v0 ступеня не більш 5. По припущенню індукції (HYPERLINK «internet l «*1 «*) граф G », одержуваний видаленням з G вершини v0 (очевидно, також компланарний), може бути розфарбований не більш, ніж у 5 квітів. Нехай (**) v1… vk, k=deg (v0) — усі вершини-сусіди вершини v0, розташовані по годинній стрілці відносно v0. Якщо в розфарбуванні вершин v1… vk використовується не більш 4-х квітів, то «пофарбуємо «вершину v0 у що залишився 5-й колір і одержимо правильне розфарбування.

Залишилося розглянути випадок, коли в розфарбуванні вершин v1… vk у графі G «використовується 5 квітів (k=5). Нехай ci — колір вершини vi (i=1.5). Розглянемо безліч A, що складається з вершини v1 і усіх вершин графа G, крім v0, у котрі можна дійти з v1 тільки по вершинах квітів c1 і c3. Можливі два випадки:

v3xF0CFA;

v3xF0CEA.

У першому випадку поміняємо кольору вершин безлічі A (c1xF0ABc3); фарбування при цьому залишиться правильної. Дійсно, безліч A складається по визначенню з усіх вершин квітів c1 і c3, у котрі можна дійти з v1, тому серед вершин, суміжних вершинам, що належать A, немає вершин квітів c1 чи c3. Після заміни квітів вершин безлічі A вершина v1 одержить колір з3, отже, можна використовувати колір c1 для «фарбування «вершини v0 і одержати в такий спосіб правильне розфарбування графа G.

Залишається другий випадок. З приналежності вершини v3 безлічі A випливає, що існує шлях з v1 у v3 (v1Sv3), що проходить тільки по вершинах квітів c1 і c3 (див. малюнок). Розглянемо цикл L=v1Sv3(v3,v0)v0(v0,v1)v1 і замкнуту криву, що відповідає цьому циклу в геометричній реалізації графа. Вершина v2 знаходиться усередині цієї замкнутої кривої, а v4 — зовні. Це випливає, по-перше, з того, що лінії, що відповідають ребрам графа в його геометричній реалізації, не можуть перетинатися (не вважаючи кінців), і, по-друге, з (HYPERLINK «internet l «**1 «**).Визначимо безліч B, що складається з вершини v2 і усіх вершин графа G, крім v0, у котрі можна дійти з v2 тільки по вершинах квітів c2 і c4. Вершина v4 не належить B, оскільки будь-який шлях з v2 у v4 повинний проходити, принаймні, через одну вершину, що належить циклу L — тобто або через вершину v0, або через вершину, пофарбовану в кольори c1 чи c3. Отже, як і в першому випадку, можна поміняти кольору вершин безлічі B (c2xF0ABc4) і «пофарбувати «v0 у c2.

~.

Теорема про чотири фарби. Кожен компланарний граф без петель і кратних ребер є не більш ніж 4-хроматичним.

Проблема чотирьох фарб залишалася невирішеної протягом багатьох літ. Затверджується, що ця теорема була доведена за допомогою хитромудрих міркувань і комп «ютерної програми в 1976 році (Kenneth Appel and Wolfgang Haken. Every Planar Map is Four Colorable. Contemporary Mathematics 98, American Mathematical Society, 1980). Короткий виклад ідеї їхнього доказу мається в [ HYPERLINK «internet l «З87 «3 ].

Графи з атрибутами.

У багатьох випадках елементам (вершинам і ребрам) графа ставляться у відповідність різні дані - атрибути (мітки). Якщо як атрибути використовуються цілі чи речовинні числа, то такі графи називають зваженими. Фактично, зважений граф — це функція, визначена на графі. Як атрибути можуть виступати і нечислові дані, тому я буду називати графів з атрибутами позначеними, чи атрибутованнями (Графами-а-графами). Наприклад, структурні формули хімічних сполук представляються молекулярними графами — А-графами, вершини яких відповідають атомам хімічної структури, а ребра — валентним зв «язкам між атомами. Для вершин молекулярного графа визначений, принаймні, атрибут «номер атома в періодичній таблиці елементів », для ребер — «тип валентного зв «язку (одинарна, подвійна, потрійна й ін.) »; можуть використовуватися додаткові атрибути, наприклад, заряд атома.

Для графів з атрибутами можна ввести посилене визначення ізоморфізму: будемо вважати дві А-графи ізоморфними, якщо вони ізоморфні в звичайному змісті, і, крім того, ізоморфне відображення зберігає атрибути (тобто атрибути відповідних вершин і ребер в обох графах збігаються).

Незалежні безлічі і покриття.

Незалежна безліч вершин (НМВ) — безліч вершин графа, ніякі дві вершини якого не інцидентні.

Максимальна незалежна безліч вершин (МНМВ) — НМВ, що не міститься ні в якому іншому НМВ.

Зауваження: у даному визначенні «максимальність «означає «нерозширюваність »; у загальному випадку граф може мати трохи МНМВ різної потужності.

Найбільша незалежна безліч вершин — НМВ максимальної потужності.

Потужність найбільшого НМВ (очевидно, це одне з МНМВ) називається верховим числом незалежності графа (а також нещільністю, числом внутрішньої чи стійкості числом верхового упакування графа); позначення — xF061(G).

Незалежна безліч ребер (НМР), чи паросполучення — безліч ребер графа, ніякі два ребра якого не інцидентні.

Потужність найбільшого паросполучення називається числом паросполучення графа; позначення — xF06E (G).

Домінуюче безліч вершин (ДМВ) — така безліч вершин графа, що кожна вершина графа або належить ДМВ, або інцидентна деякій вершині, що належить ДМВ.

Верхове покриття (ВП) — така безліч вершин графа, що кожне ребро графа інцидентне хоча б одній вершині, що належить ДМВ.

Потужність найменшого верхового покриття називається числом верхового покриття графа; позначення — xF074(G).

Домінуюче безліч ребер (ДМР), чи реберне покриття — така безліч ребер зв «язного графа, що кожна вершина графа інцидентна хоча б одному ребру, що входить у ДМР.

Потужність найменшого ДМР називається числом реберного покриття графа; позначення — xF072(G).

На малюнку позначені реберне покритті графа (пунктиром), МНМВ (білі вершини) і верхове покриття (чорні вершини).

Величини xF061(G), xF06E (G), xF074(G) і xF072(G) є інваріантами графа. Між цими інваріантами існує зв «язок, установлювана наступними лемами.

Лема 1. Безліч S є найменшим верховим покриттям графа G=(V, E) тоді і тільки тоді, коли T=V (G)S є найбільшою незалежною безліччю вершин графа.

Доказ:

(=>).

1. доведемо, що ніякі дві вершини, що входять у T, не інцидентні (тобто T є НМВ). Допустимо зворотне: xF024(vi, vj) xF0CEE (G), vixF0CET, vjxF0CET. Але це означає, що ребро (vi, vj) не покривається безліччю S — протиріччя з визначенням ВП.

2. T є найбільшим НМВ у силу мінімальності |S| і тотожності |S| + |V (G)S| xF0BA |V (G)|.

(<=).

1. доведемо, що кожне ребро G інцидентне хоча б одній вершині S (тобто S є ВП). Допустимо зворотне: xF024(vi, vj) xF0CEE (G), vixF0CFS, vjxF0CFS. Але це значить, що vixF0CET, vjxF0CET — протиріччя з визначенням НМВ.

2. аналогічно доказу (=>).

~.

Наслідок 1 леми 1. Для будь-якого графа G=(V, E) сума числа верхового покриття і верхового числа незалежності постійна і дорівнює кількості вершин G: xF074(G)+xF061(G)=|V (G)|.

Лема 2. Якщо граф G=(V, E) не має ізольованих вершин, то сума його числа паросполучення і числа реберного покриття постійна і дорівнює кількості вершин G: xF06E (G)+xF072(G)=|V (G)|.

Доказ:

1) Нехай C — найменше реберне покриття G, що містить xF072(G) ребер. Розглянемо підграф GC графа G, утворений безліччю ребер C і інцидентними вершинами G; по визначенню покриття в нього входять усі вершини G. Оскільки C є найменшим, GC складається з однієї чи більшої кількості компонентів, кожна з який є деревом (дійсно, у противному випадку можна було б «викинути «з них кільцеві ребра й одержати покриття меншої потужності). По HYPERLINK «internet l «Т2 «теоремі 2 кількість ребер у кожнім компоненті GSi графа GC на одиницю менше кількості вершин: |E (GCi)| = |V (GCi)| - 1. Просуммировав ці рівності для всіх i, одержимо: |E (GC)| = |V (GC)| - p, де p — кількість компонентів у GС, отже, p = |V (G)| - xF072(G). З іншого боку, якщо взяти по одному ребру з кожного компонента GC, одержимо деяке паросполучення, отже, xF06E (G) xF0B3 p = |V (G)| - xF072(G) і xF06E (G) + xF072(G) xF0B3 |V (G)| (*).

2) Нехай M — найбільше паросполучення G, що містить xF06E (G) ребер. Розглянемо безліч U вершин графа G, не покритих М. З визначення паросполучення випливає, що |U| = |V (G)| - 2xF0D7|M| = |V (G)| - 2xF0D7xF06E (G). Безліч U є незалежним (дійсно, якби дві довільні вершини U «зв «язувалися «ребром, то можна було б додати це ребро M і одержати паросполучення більшої потужності). Оскільки G за умовою не має ізольованих вершин, для кожної вершини, що входить у U, існує ребро, що покриває неї. Позначимо безліч таких ребер через S. Безлічі M і S не перетинаються, тому |M xF0C8 S| = |M| + |S| = xF06E (G) + |U| = |V (G)| - xF06E (G). Об «єднання M і S є реберним покриттям графа по визначенню, отже, xF072(G) xF0A3 |M xF0C8 S| = |V (G)| - xF06E (G) і xF072(G) + xF06E (G) xF0A3 |V (G)| (**).

З нерівностей (*) і (**) випливає результат леми.

~.

Подальші результати справедливі тільки для двочасткових графів.

Теорема 1 (мінімаксная теорема Кеніга). Якщо граф G є двочастковим, то xF074(G) = xF06E (G).

(без доказу).

Визначення: зроблене паросполучення (1-фактор) — паросполучення, що покриває усі вершини графа.

Нехай X — довільна підмножина вершин графа G=(V, E). Позначимо через xF047(X) безліч вершин G, інцидентних вершинам X.

Теорема 2 (теорема про весілля). Якщо G — двочастковий граф з частками P1 і P2, то G має зроблене паросполучення тоді і тільки тоді, коли |P1| = |P2| і, принаймні, одне з Pi (i=1.2) володіє тим властивістю, що для будь-якого X xF0CDxF020Pi виконується нерівність |X| xF0A3 |xF047(X)|.

(без доказу).

Назва теореми зв «язана з наступною «несерйозною «задачею: визначити, чи можливо «переженити «групу юнаків і дівчин так, щоб усі залишилися задоволені. Якщо допустити, що всі «симпатії «взаємні (припущення, прямо скажемо, нереалістичне), то задача зводиться до перебування зробленого паросполучення в двочастковому графі, вершини однієї з часток якого відповідають юнакам, іншої - дівчинам, і дві вершини зв «язані ребром тоді і тільки тоді, коли юнак і дівчина подобаються один одному.

2.Задача знаходження мінмального шляху в графах:

Алгоритм Дейкстра Розглянемо задачу про найкоротший шлях. Нехай G=(V, E) — зважений зв «язний граф з ненегативними вагами ребер (дуг). Вага f (e) ребра e інтерпретуємо як відстань між вершинами, суміжними даному ребру. Для заданої початкової вершини s і кінцевої вершини t шукається простий ланцюг, що з «єднує s і t мінімальної ваги. (s, t) — ланцюг мінімальної ваги називають найкоротшим (s, t) — шляхом. Очевидно, рішення задачі існує. Опишемо один з можливих алгоритмів рішення (Е. Дейкстра, 1959 р.).

Ініціалізація:

усім вершинам vi приписується мітка — речовинне число: d (s)=0, d (vi)=+xF0A5 для всіх vixF0B9s;

мітки усіх вершин, крім s, вважаються тимчасовими, мітка s — постійної;

вершина s з «являється поточної (c:=s);

усі ребра (дуги) вважаються непоміченими.

Основна частина:

для усіх вершин uj, інцидентних поточній вершині c, мітки яких є тимчасовими, перераховуємо ці мітки по формулі: d (uj):=min{d (uj), d (c)+Weight (c, uj)} (*), де (c, uj) — ребро (дуга), що з «єднує вершини c і uj, а Weight (c, uj) — її вага; при наявності кратних ребер вибирається ребро з мінімальною вагою;

якщо мітки усіх вершин є постійними або рівні xF02BxF0A5, те шлях не існує; ВИХІД («немає рішення »);

інакше знаходимо серед вершин з тимчасовими мітками (серед усіх таких вершин, а не тільки тих, чиї мітки змінилися в результаті останнього виконання кроку (1)!) вершину x з мінімальною міткою, повідомляємо її мітку постійної, позначаємо ребро (дугу) (с ", x), таке, що d (x) = d (с ")+Weight (с ", x), де с «=з або с «- вершина, що була поточної на одному з попередніх кроків (с «=з, якщо на кроці (1) при uj=x реалізувалася друга частина формули (HYPERLINK «internet l «f1 «*)), і робимо цю вершину поточної (c:=x);

якщо c=t, то знайдений шлях довжини d (t), якому можна відновити в такий спосіб: це той шлях між s і t, що складається тільки з позначених на кроці (3) ребер (дуг) (можна довести, що він існує й единий); ВИХІД («рішення знайдене »);

інакше переходимо на крок (1).

Алгоритм можна модифікувати так, щоб він закінчував роботу після одержання усіма вершинами графа G постійних міток, тобто знаходяться найкоротші шляхи з s в усі вершини графа. Алгоритм визначить основне дерево D найкоротших шляхів з вершини s. Для будь-якої вершини v єдиний (s, v) — шлях у дереві D буде найкоротшим (s, v) — шляхом у графі G.

Алгоритм Дейкстра не завжди знаходить правильне рішення у випадку довільних ваг ребер (дуг) графа. Наприклад, для орграфа, зображеного на малюнку, алгоритм Дейкстра знайде маршрут s (s, t) t довжини 1 між вершинами s і t, а не мінімальний маршрут довжини 2+(-2)=0, що проходить через третю вершину графа.

Приклад орграфа, для якого не будем застосовувати алгоритм Дейкста.

Текст програми написаної на основі алгоритму Дейкстра.

/* Алгоритм пошуку дерева найкоротших шляхів у зваженому графі */.

/* Е. Дейкстра 1959 р. */.

#include.

#include.

#include.

int load_matrix (int n, double* weigh); /* Уведення матриці ваг */.

int deik (int n, int s, double* weigh, int* Q, double* L); /* Алгоритм пошуку */.

void print (int n, int* Q, double* L); /* Висновок результату */.

void main (void){.

int n=0,s=0,ret=0;

double *weigh;

int* Q; /* Масив міток покажчиків на попередню вершину */.

double* L; /* Масив найдених ваг шляху до вершини */.

printf («Алгоpитм пошуку дерева найкоротших шляхів у зваженому графі. »);

printf («Е.Дейкстpа, 1959 р. »);

printf («Введіть кількість вершин. »);

scanf («%d » ,&n);

if (n <= 1){.

printf («Кількість вершин повинне бути більше одиниці! »);

exit (1);

}.

printf («Введіть початкову вершину. »);

scanf («%d » ,&s);

s—;

if ((s < 0)||(s > (n-1))){.

printf («Початкова вершина зазначена неправильно! »);

exit (1);

}.

Q=malloc (n*sizeof (int));

L=malloc (n*sizeof (double));

weigh=malloc (sizeof (double)*n*n);

if ((weigh == NULL)||(Q == NULL)||(L == NULL)){.

printf («Hедостатньо пам «яті для завантаження масиву! »);

exit (2);

}.

ret=load_matrix (n, weigh);

if (ret ≠ 0){.

printf («Помилка введення даних! »);

exit (5);

}.

ret=deik (n, s, weigh, Q, L);

if (ret ≠ 0){.

switch (ret){.

case 1 :

printf («Гpаф не є зв «язаним! »);

exit (3);

case 2 :

printf («Hедостаточно пам «яті для роботи! »);

exit (4);

}.

}.

print (n, Q, L);

free (weigh);

free (Q);

free (L);

}.

int load_matrix (int n, double* weigh){.

int i, j, k;

double tmp;

for (i=0; i < n; i++){.

for (j=0; j < n; j++){.

weigh[n*i+j]=(-1);

}.

}.

printf («Введіть послідовно ваги ребер для зазначених чи вершин -1 для несуміжних. »);

for (i=0; i < n; i++){.

for (j=i+1; j < n; j++){.

printf («Веpшини %d і %d », i+1,j+1);

k=scanf («%lf » ,&tmp);

if (k ≠ 1){return (1);}.

weigh[i*n+j]=tmp;

}.

}.

return (0);

}.

int deik (int n, int s, double* weigh, int* Q, double* L){.

int i, j, k;

int* QI; /* Масив індикаторів сталості міток покажчиків */.

double tmp;

QI=calloc (n, sizeof (int));

if (QI == NULL){return (2);}.

QI[s]=1;

for (i=0; i < n; i++){.

Q[i]=(-1);

L[i]=DBL_MAX;

}.

Q[s]=s;

L[s]=0;

weigh[n*(n-1)+s]=0;

for (k=0; k < n; k++){ /* Основний цикл по вершинах */.

for (i=0; i < n; i++){ /* Цикл по рядках матриці ваг */.

for (j=i+1; j < n; j++){ /* Цикл по стовпцях матриці ваг */.

if ((QI[i]+QI[j] == 1)&&.

(QI[i]*QI[j] == 0)&&.

(weigh[i*n+j] ≠ (-1.0))&&.

(((QI[i] == 1)&&((L[i]+weigh[i*n+j]) < L[j]))||.

((QI[j] == 1)&&((L[j]+weigh[i*n+j]) < L[i])))){.

if (QI[i] == 1){.

L[j]=L[i]+weigh[i*n+j];

Q[j]=i;

}.

else{.

L[i]=L[j]+weigh[i*n+j];

Q[i]=j;

}.

}.

}.

}.

for (tmp=DBL_MAX, i=0; i < n; i++){.

if ((tmp > L[i])&&(QI[i] == 0)){.

tmp=L[i];

j=i;

}.

}.

QI[j]=1;

}.

free (QI);

return (0);

}.

void print (int n, int* Q, double* L){.

int i;

Деpево найкоротших шляхів: ");

for (i=0; i < n; i++){.

printf («Веpшина: %d Предок: %d Вага: %5.2lf », i+1,Q[i]+1,L[i]);

}.

Результат виконання програми Алгоритм пошуку дерева найкоротших шляхів у зваженому графі.

Е.Дейкстра, 1959 р.

Уведіть кількість вершин. 6.

Уведіть початкову вершину. 6.

Уведіть послідовно ваги ребер для зазначених чи вершин -1 для несуміжних.

Вершини 1 і 2 2.

Вершини 1 і 3 -1.

Вершини 1 і 4 2.

Вершини 1 і 5 -1.

Вершини 1 і 6 5.

Вершини 2 і 3 2.

Вершини 2 і 4 -1.

Вершини 2 і 5 2.

Вершини 2 і 6 -1.

Вершини 3 і 4 -1.

Вершини 3 і 5 -1.

Вершини 3 і 6 12.

Вершини 4 і 5 1.

Вершини 4 і 6 2.

Вершини 5 і 6 5.

Дерево найкоротших шляхів:

Вершина: 1 Предок: 4 Вага: 4.00.

Вершина: 2 Предок: 5 Вага: 5.00.

Вершина: 3 Предок: 2 Вага: 7.00.

Вершина: 4 Предок: 6 Вага: 2.00.

Вершина: 5 Предок: 4 Вага: 3.00.

Графічне зображення початкового графа та дерева мінімальних шляхів після виконання програми Тестовий зв «язний зважений для алгоритму пошуку дерева шляхів з вершини 6 (Е. Дейкстра 1959р.).

Рішення: дерево найкоротших шляхів з вершини 6.

4.Висновок Ця курсова робота показує що дискретна математика, поряд з такими класичними розділами математики, як математичний аналіз, диференціальні рівняння, у навчальних планах спеціальності «Прикладна математика «і різні розділи по математичній логіці, алгебрі, комбінаториці і теорії графів тісно пов’язані із сучасним програмуванням. Причини цього неважко зрозуміти, просто розглянувши задачу, у цій курсовій роботі, яка за допомогою алгоритму Е. Дейкстра має змогу пошуку найкоротшого шляху в графі .

5.Література Зыков А. А. Теорія кінцевих графів. — Новосибірськ: Наука, 1969.

Харари Ф. Теорія графів. — М.: Світ, 1973.

Зыков А. А. Основи теорії графів. — М.: Наука, 1987.

Кристофидес Н. Теорія графів. Алгоритмічний підхід. — М.: Світ, 1978.

Майника Э. Алгоритми оптимізації на мережах і графах. — М.: Світ, 1981.

Ловас Л., Пламмер М. Прикладні задачі теорії графів. Теорія паросочетаний у математику, фізику, хімії. — М.: Світ, 1998.

PAGE 18.

PAGE 2.

(s).

(s).