Функції

:

(51).

< 0, якщо х1 < х10. Знайдемо значення функції в точках х10 і х1:

:

Часто одне із значень аргументу або функції, наприклад х10 або у10, називається початковим значенням аргументу або функції, a xl або у1 — нарощеним значенням аргументу або функції.

рис. 1.

За формулами (5.1) і (5.2) можна виразити нарощене значення аргументу (функції) через початкове значення і приріст:

.

. Тоді.

Нехай задано функцію n змінних и = f (х1, х2, …, хn), визначену у деякій області D. Виберемо в D фіксовану точку М0 (х10, х20, …, хn0) і змінну точку М (х1, х2, …, хn).

Знайдемо значення функції у кожній з цих точок.

Різниці.

.

.

…

(5.3).

називаються приростами незалежних змінних х1, х2, …, хn.

і, або h1 і = 1,2, 3, …, n.

Різниця значень функцій у змінній та фіксованій точках називається повним приростом функції п змінних у фіксованій точці.

тобто.

.

або.

— нарощеними значеннями.

Якщо з рівностей (5.3) знайти нарощені значення аргументів.

.

то повний приріст функції.

виразимо через прирости всіх незалежних змінних.

Для функції двох незалежних змінних.

приростами незалежних змінних є.

.

а повний приріст функції.

Для функції трьох незалежних змінних.

приростами незалежних змінних є.

.

а повний приріст функції.

(5.5).

Якщо початкові значення аргументів або функції позначити через х1, х2, …, хn або и то повний приріст функції n змінних запишемо у вигляді.

Якщо у виразі (5.4) покласти х1 = х, у1 = у, то повний приріст функції двох змінних запишемо у вигляді.

Аналогічно, поклавши в (5.5) х1 = х, у1 = у, z1 = z, знаходимо.

При визначенні повного приросту функції багатьох змінних припускають, що всі незалежні змінні одночасно набувають приросту. Однак приріст кожної незалежної змінної, у свою чергу, є величиною, що не залежить від приросту інших незалежних змінних.

функції.

і, а решта змінних не змінили свої значення. Тоді нарощеним значенням функції є.

а початкове.

.

і:

Частинним приростом функції п змінних по одній змінній називається різниця між нарощеним значенням функції і початковим у припущенні, що лише ця змінна набула відмінного від нуля приросту.

Очевидно, що для функції n змінних можна побудувати n частинних приростів.

Так, для функції двох змінних частинний приріст по х запишемо у вигляді.

.

а частинний приріст по у.

Для функції трьох змінних частинні прирости по х, у і z відповідно мають вигляд.

функції двох змінних z = f (х, у).

.

Розв’язання.

;

;

Всі прирости різні і.

.