Знакозмінні та знакопостійні ряди. 
Абсолютна та умовна збіжність

Знакозмінні та знакопостійні ряди.

Абсолютна та умовна збіжність.

План.

Означення закономірного ряду.

Теорема Коші.

Абсолютна та умовна збіжність.

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми «Ряди». Укладачі: В. О. Борисенко, В. В. Левчук, В. С. Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16−19.

де q — стале число, менше за одиницю, то ряд збігається.

то ряд розбігається.

Отже, збіжність ряду й тут безпосередньо встановлюється порівнянням із спадною геометричною прогресією, знаменник якої q. Варто зауважити, що нерівність.

характеризує при цьому «швидкість» збіжностей даного ряду порівняно з геометричною прогресією.

отже, ряд напевне, розбігається, бо навіть основна необхідна умова збіжності не виконується.

то при r < 1 ряд напевне збігається. Випадок r = 1 і тут взагалі є сумнівний.

Доведення.

), ми з певного моменту матимемо — в першому випадку:

отже, ряд розбігається.

Часто питання про збіжність ряду, що має члени як додатні, так і від'ємні, можна звести до питання про збіжність знакододатного ряду. Розглянемо таку теорему.

буде:

Але тоді й поготів.

Але це й доводить теорему.

Розглянемо, наприклад, ряд.

(1).

Він ні знакододатний, ні знакозмінний. Ряд.

(2).

є знакододатний. Порівнюючи його з рядом.

(3).

маємо.

отже, збіжним є ряд (2). Тоді за доведеною теоремою і за означенням ряд (1) є абсолютно збіжним.

і т.п.

розбіжний, то даний ряд (*) називається умовно збіжним.

умовно збіжний,.

умовно збіжний, бо ряд.

Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца.

План.

Означення знакочергуючого ряду.

Ознака Лейбніца.

Оцінка залишку знакочергуючого ряду, збіжного за ознакою Лейбніца.

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми «Ряди». Укладачі: В. О. Борисенко, В. В. Левчук, В. С. Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16−19.

Означення. Знакозмінними рядами називаються ряди виду:

— додатні числа.

причому запишемо її в двох різних виглядах:

.

монотонно зростає при збільшенні К.

З другого боку.

обмежена зверху.

при чому ця границя, очевидно, більша за а1 — а2 і не перевищує а1:

< а1.

O.

P.

x031Bx636A.

x0321xCD6A.

< а1.

+1, маємо:

+ а2к+1.

Отже,.

Остаточно приходимо до висновку, що існує єдина границя:

(0 < S < a1),.

коли індекс n — будь-яке натуральне число як парне, так і непарне, що доводить теорему.

Наслідок. За умовою теореми Лейбніца остаточна S — Sn = rn менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів:

і має знак цього члена.

Доведення. Маємо:

.

Ряд в останніх дужках сам по собі є знакозмінний і задовольняє теорему Лейбніца, тому.

.

представляє S з надлишком. Похибка має знак мінус. В обох випадках, як бачимо, похибка має знак першого відкинутого члена і менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів.

Диференціювання та інтегрування степеневих рядів.

План.

1. Знаходження сум степеневих рядів використовуючи почленне диференціювання та інтегрування.

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми «Ряди.» Укладачі: В. О. Борисенко, В. В. Левчук, В. С. Мартиненко, В.Д. Подільчук. КДТЕУ.К., 1992 р. ст. 22−23.

Диференціювання степеневих рядів.

Теорема. Якщо степеневий ряд.

(1).

має інтеграл збіжності (-р, р), то ряд.

(2).

.

ряд (2) збігається абсолютно й рівномірно.

Для цього, досить виявити збіжність ряду.

(3).

що відіграватиме роль мажоруючого ряду.

маємо.

.

. Застосуємо до ряду.

(4).

ознаку Даламбера:

.

р'.

Доведемо тепер, що р' не може бути ц більшим за р.

Справді, в усякій точці х, в якій абсолютно збігається ряд (2), збігається також і ряд.

.

то даний степеневий ряд (1) збігається абсолютно в точці х. Отже,.

.

Теорему доведено.

Оскільки ми можемо застосувати доведену теорему і до про диференційованого ряду, а далі знову її застосувати і т.д., то можна зробити висновок про те, що сума степеневого ряду f (x) в інтервалі збіжності має похідні будь-якого порядку. Похідна f (k)(x) дорівнює сумі ряду, утвореного k-кратним поленим диференціюванням даного степеневого ряду.

Інтегрування степеневих рядів.

Теорема. Степеневий ряд.

(5).

з радіусом збіжності р можна почленно інтегрувати на будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі збіжності (-р, р) ряду (5), зокрема в інтервалі (-р, р):

(6).

і радіус збіжності ряду (6) дорівнює р.

Доведення. На будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі (-р, р), ряд (5) збігається рівномірно, звідси й випливає можливість його почленного інтегрування. Доведено далі, що радіус збіжності ряду (6) дорівнює р. Згідно з загальною теоремою про інтегрування рядів функцій ряд (6) збігається рівномірно й абсолютно для всякого /х/ < р. Отже, радіус збіжності утвореного ряду не менший р. але він не може бути й більшим за р. це видно з того, що почленно про диференціювавши його, ми приходимо до даного степеневого ряду, а за теоремою про диференціювання степеневих рядів радіуси їх збіжності повинні бути однакові. Теорему доведено.