Використання алгебри матриць

Використання алгебри матриць.

В економічний задачах алгебра матриць використовується як засіб збереження інформації в табличній формі.

Приклад 1.

Сезонний продаж товарів трьох видів (x03B1, x03B2, x03B3) здійснюють три магазини (12 3). Обсяги реалізації цих товарів (в грош. од.) кожним магазином представлено у вигляді матриць.

.

де в рядках вказано суми, отримані кожним магазином за відповідний сезон (зима, весна, літо, осінь), а в стовпчиках — суми, отримані за продаж відповідного товару (x03B1, x03B2, x03B3). Потрібно: 1) перевірити, що суми реалізації товарів першого і третього магазинів разом більші, ніж другого; 2) записати у вигляді матриці сукупні суми реалізації товарів трьома магазинами.

Розв «язування.

Знаходимо обсяг реалізації товарів кожного виду першим і третім магазинами. Він дорівнює сумі А+С:

Порівнюючи елементи матриці А+С з відповідними елементами матриці В, легко пересвідчитися, що у кожному сезоні перший і третій магазини разом продали кожному виду товарів більше, ніж другий магазин. Щоб записати у вигляді матриці дані про сукупний продаж магазинів, знайдемо матрицю А+В+С:

Приклад 2.

Випуск готової продукції п «яти підприємств включає чотири види виробів (x03B1, x03B2, x03B3, x03B4). Для їх виробництва використовуються три різні типи сировини (І, ІІ, ІІІ). Дані щоденної продуктивності підприємств з кожного виробу (число виробів за дань) і витрат сировини на одиницю виробу (кг/шт.), а також число днів роботи кожного підприємства і вартість у гривнях 1 кг сировини кожного типу, наведено в таблиці.

Вироби Продуктивність підприємств шт. /день Витрати сировини, кг/шт.

1 2 3 4 5 І ІІ ІІІ.

x03B1 6 10 0 6 2 5 3 4.

x03B2 4 3 0 4 5 10 4 6.

x03B3 0 15 10 3 4 2 5 5.

x03B4 3 5 8 7 6 4 8 6.

Час роботи підприємств (дн.) Ціна сировини (грн./кг).

100 200 140 150 170 30 20 50.

Потрібно визначити:

а) сумарну продуктивність кожного підприємства по кожному з виробів за весь виробничий період);

б) потреби кожного підприємства у різних типах сировини;

в) розміри кредитування підприємств для закупівлі сировини.

Розв «язування.

Розглянемо матрицю А, що характеризує продуктивність підприємств, матрицю В — витрат сировини і С — матрицю цін, тоді.

Продуктивність підприємств Вид виробу.

1 2 3 4 5 1 2 3 4.

Вид сировини С= (30 20 50).

а) Кожний стовпчик матриці А відповідає денній продуктивності окремого підприємства з кожного виду продукції. Щоб отримати річну продуктивність j-го підприємства (j=1,2,3,4,5), потрібно помножити j-тий стовпець матриці А на кількість робочих днів цього підприємства. Час роботи кожного з підприємств запишемо у вигляді діагональної матриці.

Тоді загальна продуктивність за виробничий період є добуток матриць А. Т:

=.

підприємства.

вироби б) Витрати сировини кожного підприємства є добуток В.(АТ):

=.

в) Вартість річного запасу сировини одержуємо як добуток матриці цін С на матрицю витрат В (АТ):

=.

(692 000 3 038 000 1 223 600 157 500 1 587 800).

Отже, величини кредитування j-го підприємства на закупівлю сировини визначаються компонентами матриці D.

Економічні задачі, що зводяться до систем лінійних рівнянь.

Приклад 3.

Для випуску виробів трьох видів (x03B1, x03B2, x03B3) підприємство використовує сировину 3-х типів (S1, S2, S3). Норми витрат кожного з типів сировини на один виріб і обсяг витрат сировини за один день задано таблицею:

Вид сировини Норми витрат сировини на один виріб, ум. од. Витрати сировини за день, ум. од.

x03B1 x03B2 x03B3.

S1 9 3 4 2700.

S2 7 1 6 2700.

S3 14 5 6 4200.

Знайти щоденний обсяг випуску кожного виду виробів.

Розв «язування.

Припустимо, підприємство щодня виробляє х1 одиниць виробів виду x03B1, х2 одиниць — виду x03B2 і х3 одиниць виробів виду x03B3. Тоді, відповідно з витратами.

Розв «Язавши цю систему, знайдено х1=100, х2=200, х3=300. Це означає, що підприємство щоденно виробляє 100 виробів виду x03B1, 200 виробів виду x03B2 і 300 виробів виду x03B3.

Приклад 4.

Два заводи виготовляють апарати для двох підприємство. Підприємствам необхідно отримати 120 і 80 апаратів відповідно. Перший завод випустив 150 апаратів, а другий — 50. Витрати на перевезення апаратів із заводів кожного підприємства такі:

Завод Витрати на перевезення, грош.од.

1 2.

1 10 20.

2 5 25.

Мінімальні витрати на перевезення становлять 2850 грош.од. Знайти оптимальний план перевезення апаратів.

Розв «язування.

Позначимо хij — кількість апаратів, що надходять з і-го заводу до j-го підприємства. Тоді можемо скласти таку систему:

Розв «язавши систему, наприклад, методом Гаусса, знайдемо х11=100, х12=50, х21=20, х22=30.