Решение диференційних рівнянь 1 порядку методом Эйлера

Запровадження 3.

1. Постановка завдання 5.

2. Огляд існуючих методів виконання завдання 6.

2.1.Метод Рунге-Кутта четвертого порядку рішення рівняння першого порядку 6.

2.2.Задача Коші 6.

2.3.Метод БулиршаШтера з допомогою раціональної екстраполяції системі рівнянь 7.

2.4 Метод Адамса 8.

2.5. Метод Эйлера 9.

3. Опис алгоритмів рішення завдання 13.

3.1. Опис змінних 13.

3.2. Блоксхема головного модуля 14.

3.3. Опис алгоритму головною програми 14.

3.4. Блок-схема функції «func» 15.

3.5. Опис блоксхеми функції «func» 15.

4. Опис програмного забезпечення 16.

4.1. Опис ОС 16.

4.2. Опис мови програмування 18.

4.3. Опис програми 19.

5. Контрольний приклад 21.

6.Анализ отриманих результатів 22.

Список літератури 24.

Додаток 25.

Рівняння [pic][pic] називається звичайним диференційним n-го порядку, якщо F визначена і безупинна у певній області [pic]и, у будь-якому разі, залежить від [pic]. Його рішенням є будь-яка функція u (x), яка цьому рівнянню задовольняє попри всі x в певному кінцевому чи нескінченному інтервалі. Диференціальний рівняння, дозволене щодо старшої похідною має вид.

[pic].

Рішенням цього рівняння на інтервалі I=[a, b] називається функція u (x).

Вирішити диференціальний рівняння у/=f (x, y) численным методом — це отже для заданої послідовності аргументів х0, х1…, хn і кількості у0, не визначаючи функцію у=F (x), знайти такі значення у1, у2,…, уn, що уi=F (xi)(i=1,2,…, n) і F (x0)=y0.

Отже, чисельні методи дозволяють замість перебування функції y=F (x) (3) отримати таблицю значень цієї функції для заданої послідовності аргументів. Розмір h=xk-xk-1 називається кроком интегрирования.

Метод Эйлера ставитися до численным методам, що дає рішення, у вигляді таблиці наближених значень шуканої функції у (х). Він є порівняно грубим вживається переважно для орієнтованих розрахунків. Проте ідеї, призначені основою методу Эйлера, є вихідними для низки інших методов.

Метод Эйлера для звичайних диференційних рівнянь використовується для рішень багатьох завдань природознавства як математичну модель. Наприклад завдання електродинаміки системи взаємодіючих тіл (в моделі матеріальних точок), завдання хімічної кінетики, електричних ланцюгів. Ряд важливих рівнянь у приватних похідних в випадках, припускають поділ змінних, призводить до завданням для звичайних диференційних рівнянь — це, зазвичай, крайові завдання (завдання свої коливаннях пружних балок і пластин, визначення спектра власних значень енергії частки в сферически-симметричных полях і що другое).

1.Постановка завдання 1.1. Вирішити наближено диференціальний рівняння виду [pic]методом Эйлера 1.2. Скласти блок-схему алгоритму на вирішення даного завдання. 1.3. Розробити програму мовою Microsoft Visual З++ 1.4. Протестувати програму з прикладу y'=2x+y (n=5, [0,1], y0=1) 1.5. Виконати аналіз результатів. 1.6. Оформити пояснювальну записку з приложением.

2.Обзор методів рішення задачи.

2.1. Метод Рунге-Кутта четвертого порядку рішення рівняння першого порядку. Ідея Рунге-Кута у тому, щоб використовувати метод невизначених коефіцієнтів. Найбільш вживаним методом Рунге-Кутта рішення рівняння першого порядку y «= F (x, y) (2.1.1) є метод четвертого порядку, у якому обчислення здійснюються за формулі: yk+1 = yk +(k1 +2k2 +2k3 +k4)/6, (2.1.2) де k1 = Fk h = F (xk, yk) h k2 = F (xk +h/2, yk +k1 /2)h k3 = F (xk +h/2, yk +k2 /2)h k4 = F (xk +h, yk +k3)h, k = 0, …, n-1 h = (xfx0)/n.

(2.1.3).

2.2. Завдання Коші. Розглянемо завдання Коші для рівнянь першого порядку на відрізку [a, b]: [pic], [pic] (2.1.4) Разобьём проміжок [a, b] на N частин [pic]. Означимо, де u (x) -точне вирішення завдання Коші, і крізь [pic] значення наближеного рішення на точках [pic]. Існує 2 типу про чисельні схем :

1. явні: [pic]) (2.2.1).

2. неявні: [pic] (2.2.2) Тут F деяка функція, котра зв’язує наближення. У явних схемах близьке значення [pic] у точці [pic] визначається за якийсь число k вже певних наближених значень. У неявних схемах [pic] визначається не рекурентным способом, як і явних схемах, а його визначення виникає рівняння, оскільки рівність (2.2.2) представляє з себе рівняння на [pic]. Явні схеми простіше, проте найчастіше неявні схеми предпочтительнее.

2.3. Метод Булирша-Штера з допомогою раціональної екстраполяції системі уравнений Метод Булирша-Штера (Bulirsch-Stoer Method) — це метод рішення системи звичайних диференційних рівнянь першого порядку з гладенькими правими частинами. Гладкість правих частин є необхідною до роботи методу. Якщо праві частини вашої системи є гладенькими чи містять розриви, то краще використовувати метод Рунге-Кутта. У разі гладкою системи метод Булирша-Штера дозволяє домогтися значно більшої точності, ніж метод Рунге-Кутта.

Принцип роботи методу Основний ідеєю методу є обчислення стану системи у точці x+h, як результату двох кроків довжини h/2, чотирьох кроків довжини h/4, восьми кроків довжини h/8 тощо із наступною екстраполяцією результатів. Метод будує раціональну интерполирующую функцію, що у точці h/2 проходить через стан системи після дві такі кроків, у точці h/4 проходить через стан системи чотирьох таких кроків, тощо., та був обчислює значення цієї функції у точці h = 0, проводячи экстраполяцию.

Гладкість правих частин призводить до того, що розрахований з допомогою екстраполяції стан системи виявляється дуже близько до дійсному, а використання раціональної екстраполяції замість полиномиальной дозволяє ще більше підвищити точність. Отже проводиться крок методу, після чого приймають рішення — чи варто змінювати крок, і якщо так — то який бік. У цьому використовується оцінка похибки, яку ми одержуємо як додаткового результату при раціональної екстраполяції. Слід відзначити, що алгоритм вирішує автономну систему, тобто. якщо рівняння системи містять час, необхідно запровадити час у ролі перемінної, похідна від якої тотожний дорівнює единице.

4. Метод Адамса.

Явна схема Адамса. Розглянуті вище методи є явними одношаговыми (перебування наступного наближення використовується лише одне попереднє). Приведений нижче метод є многошаговым.

Нехай задана завдання Коши:

[pic] (2.4.1) Для точного рішення (яке ми знаємо) выполнено:

[pic] (2.4.2) Припустимо, ми знаємо наближені значення [pic] функції u (x) в k точках [pic] (стартові k точок, зокрема, можна знайти методом Эйлера чи методом Рунге-Кутта тієї чи іншої порядку), тоді функцію f (x, u (x)) в (2.4.2) для наближеного обчислення інтеграла усунути на интерполяционный поліном [pic] порядку k-1, побудований за k точкам [pic], інтеграл від якої вважається явно і становить лінійну комбінацію значень [pic]c деякими множителями [pic]. Отже, ми маємо таку рекуррентную процедуру обчислення наближених значень [pic] функції u (x) (що є точним рішенням завдання Коші) в точках [pic] :

[pic] (2.4.3) Описана схема є k-шаговой явною формулою Адамса.

Неявна схема Адамса. Нехай [pic]- интерполяционный поліном порядку k, побудований за k+1 значенням [pic]б одна з яких, саме [pic], вважатимемо невідомим. Модифікуємо (2.4.3), замінивши у ньому [pic] на поліном більш високого рівня [pic], інтеграл від якої виявляється у вигляді лінійної комбінації значень [pic] з декотрими новими коефіцієнтами [pic]:

[pic] (2.4.4) Формула (2.4.4) є неявну схему Адамса і є рівнянням на [pic], що можна вирішувати методом послідовних наближень. Природно, що початкова наближення [pic], має бути розумно вибрано. І тому зручно об'єднати явну і неявну схеми Адамса в одну, звану «методом корекції». Саме з допомогою явною схеми визначається початкова наближення [pic](прогноз), та був по неявній схемою воно необхідну кількість раз (зазвичай одну чи дві) коригується методом послідовних наближень до заданої точності (коррекция).

2.5.Метод Эйлера.

Вирішити диференціальний рівняння у/=f (x, y) численным методом — це отже для заданої послідовності аргументів х0, х1…, хn і кількості у0, не визначаючи функцію у=F (x), знайти такі значення у1, у2,…, уn, що уi=F (xi)(i=1,2,…, n) і F (x0)=y0. (2.5.1) Отже, чисельні методи дозволяють замість перебування функції У=F (x) отримати таблицю значень цієї функції для заданої послідовності аргументів. Розмір h=xk-xk-1 називається кроком интегрирования.

Метод Эйлера ставитися до численным методам, що дає рішення, у вигляді таблиці наближених значень шуканої функції у (х). Він є порівняно грубим використовується переважно для орієнтованих розрахунків. Проте ідеї, призначені основою методу Эйлера, є вихідними для низки інших методов.

Розглянемо диференціальний рівняння першого порядку (2.5.1) з початковим умовою x=x0, y (x0)=y0 (2.5.2) Потрібна знайти рішення рівняння (2.5.1) на відрізку [а, b]. Розіб'ємо відрізок [a, b] на n рівних частин 17-ї та одержимо послідовність х0, х1, х2,…, хn, де xi=x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

У методі Эйлера наближені значення у (хi)(yi обчислюються послідовно по формулам уi+hf (xi, yi) (i=0,1,2…). У цьому бажана інтегральна крива у=у (х), через точку М0(х0, у0), замінюється ламаної М0М1М2… з вершинами Мi (xi, yi) (i=0,1,2,…); кожне ланка МiMi+1 цієї ламаної, званої ламаної Эйлера, має напрям, збігалася і розсилання їх тієї інтегральної кривою рівняння (2.5.1), що проходить крізь точку Мi. Якщо права частина рівняння (2.5.1) в деякому прямокутнику R{|x-x0|(a, |y-y0|(b}удовлетворяет условиям:

|f (x, y1) — f (x, y2)| (N|y1- y2| (N=const), (2.5.3).

|df/dx|=|df/dx+f (df/dy)| (M (M=const), то має місце наступна оцінка погрешности:

|y (xn)-yn| (hM/2N[(1+hN)n-1],.

(2.5.4) де у (хn)-значение точного рішення рівняння (2.5.1) при х=хn, а уnблизьке значення, отримане на n-ом кроці. Формула (13) має у основному теоретичне застосування. Насправді іноді виявляється зручнішим подвійний прорахунок: спочатку розрахунок ведеться від кроком h, потім крок подрібнюють і повторний розрахунок ведеться від кроком h/2. Похибка точнішого значення уn* оцінюється формулой.

|yn-y (xn)|(|yn*-yn|.

(2.5.5).

Метод Эйлера сприятливо розвивається на системи диференційних рівнянь і диференціальні рівняння вищих порядків. Останні повинні бути попередньо наведено до системи диференційних рівнянь першого порядка.

Модифікований метод Эйлера Розглянемо диференціальний рівняння (2.5.1) y/=f (x, y) з початковим умовою y (x0)=y0. Розіб'ємо нашу ділянку інтегрування на n рівних частин. На малому участ інтегральну криву замінимо прямий линией.

[pic].

Мал.1 Метод Эйлера в графічному видa.

Отримуємо точку Мк (хк, ук). Через Км проводимо дотичну: у=ук=f (xk, yk)(xxk). Ділимо відрізок (хк, хк1) навпіл: xNk/=xk+h/2=xk+½.

(2.5.6).

yNk/=yk+f (xk, yk) h/2=yk+yk+½ Отримуємо точку Nk/. У цьому точці будуємо таку дотичну: y (xk+½)=f (xk+½, yk+½)=?k.

(2.5.7) З точки Км проводимо пряму з кутовим коефіцієнтом ?до і визначаємо точку перетину цієї прямий з прямою Хк1. Отримуємо точку Км/. Як ук+1 приймаємо ординату точки Км/. Тоді: ук+1=ук+?кh xk+1=xk+h.

(2.5.8) ?k=f (xk+h/2, yk+f (xk, Yk) h/2) yk=yk-1+f (xk-1,yk-1)h (2.5.8)-рекурентные формули методу Эйлера.

Спочатку обчислюють допоміжні значення шуканої функції ук+½ в точках хк+½, потім знаходять значення правій частині рівняння (11) у неповній середній точці y/k+½=f (xk+½, yk+½) визначають ук+1.

Для оцінки похибки у точці хк проводять обчислення кк з кроком h, потім із кроком 2h і беруть 1/3 різниці цих значений:

| ук*-у (хк)|=1/3(yk*-yk),.

(2.5.9) де у (х)-точное рішення диференціального рівняння. Отже, методом Эйлера можна вирішити рівняння будь-яких порядків. Наприклад, щоб вирішити рівняння другого порядку y//=f (y/, y, x) з початковими умовами y/(x0)=y/0, y (x0)=y0, виконується заміна: y/=z.

(2.5.10) z/=f (x, y, z) Тим самим було перетворюються початкові умови: y (x0)=y0, z (x0)=z0, z0=y/0. (2.5.12).

3.Описание алгоритмів рішення задачи.

3.1.Описание змінних. |Найменування |Тип |Опис | |Вхідні дані | |Xi |double |Початкова значення (x) | | | |інтервалу обчислення | |Xkon |double |Кінцеве значення (x) | | | |інтервалу обчислення | |n |integer |Кількість кроків | |Yi |double |Початкова значення y | |kx |double |Коефіцієнт при зміною| | | |x | |ky |double |Коефіцієнт при | | | |перемінної y | |Вихідних даних | |h |double |Фіксований прирощення | | | |аргументу (x) | |res |double |Расчётное значення | | | |рівняння y'=F (x, y) в | | | |точці (x) | |Проміжні | |і |integer |Лічильник циклу | |Yprom |double |Проміжне значення y | | | |у точці Xprom | |Xprom |double |Проміжне значення x | | | |при h/2 | |a |double |Рішення рівняння в | | | |точках f (Xprom, Yprom) | |f1 |double |Функція f (x, y) |.

3.2. Блоксхема головного модуля.

[pic].

3.3 Опис алгоритму головною програми. |Номер блоку |Опис | |1 |Введення початкового й кінцевого значень інтервалу обчислення | | |рівняння, кількість кроків, початкова значення у, і навіть | | |коефіцієнти при kx і ky. | |2 |Обчислення фіксованого збільшення аргументу x | |3 |Цикл з кроком 1 і кінцевим значенням не перевищують кількість | | |кроків, який вираховує значення y на певному | | |інтервалі | |4 |Функція для розрахунку рівняння виду y'=f (x, y); | | | | |5 |Висновок результатів на інтервалі X |.

3.4 Блок-схема функції «func».

[pic]3.5 Опис блоксхеми функції «func». |Номер |Опис | |блоку | | |1 |Обчислення: функції f1 з підстановкою початкових значень; | | |проміжних значень Yprom і Xprom, значення a для обчислення | | |f (Xprom, Yprom) і розрахунок результатів функції і наступного року | | |крок. | |2 |Прирощення аргументу x на h | |3 |Висновок результатів рівняння і інтервалу |.

*Реализация алгоритму мовою програмування З++ представленій у додатку .

4.Описание програмного обеспечения.

4.1 Опис операційній системы.

Основну вимогу до операційній системі (ОС), пропоноване поставленим завданням, це наявність ANSI чи POSIX сумісної компілятора мови C++.

Задля реалізації завдання було обрано остання клієнтська версія ОС Microsoft, джерело якої в ядрі NT — Microsoft Windows XP Professional.

Зазначена операційна система має низку преимуществ:

. наявність достатнього кількість ANSI чи POSIX сумісних компіляторів мови З++, розроблених для даної ОС, саме — o Microsoft З++ (version 2−6) o gcc o Borland З++ o Intel З++ o прочие;

. достатня керованість, надійність і безопасность;

. стала вельми поширеною заснованих на виключно ядрі NT операційних систем.

Microsoft, сумісних по програмному забезпеченню з Windows XP.

Professional (NT/2000/XP/2003 — client & server);

. висока швидкість роботи додатків, розроблених для даної ОС з допомогою компіляторів C++.

Вихідний код програми то, можливо откомпилирован й під інший операційній системою, для такий є ANSI чи POSIX сумісний компілятор мови C++.

Програма була протестирована на операційній системі Microsoft Windows XP Professional SP1.

Технічні дані :

. HDD: 60 Gb.

. Процесор x86 Family 15 Model 2 Stepping 7 GenuineIntel ~1817.

МГц.

. Версія BIOS Award Software International, Inc. F4,.

06.03.2003.

. Аппаратно-зависимый рівень (HAL) Версія = «5.1.2600.1106.

(xpsp1.20 828−1920) «.

. Повний обсяг фізичної пам’яті 256,00 МБ.

. Доступне фізичної пам’яті 29,97 МБ.

. Усього віртуальної пам’яті 873,69 МБ.

. Доступне віртуальної пам’яті 350,04 МБ.

. Файл підкачування 618,21 МБ.

4.2 Опис мови программирования.

Мова програмування С++.

З++ - це універсальну мистецьку мову програмування, задуманий те щоб зробити програмування приємнішим для серйозного програміста. За винятком другорядних деталей З++ є надбезліччю мови програмування З. Крім можливостей, що дає З, З++ надає гнучкі й ефективні кошти визначення нових типів. Використовуючи визначення нових типів, точно відповідальних концепціям докладання, програміст може розділяти розроблювану програму на ліг до піддаються контролю частини. Такий метод побудови програм часто називають абстракцією даних. Інформації про типах міститься у про деякі об'єкти типів, певних користувачем. Такі об'єкти прості та надійні використання тоді, якщо їх тип не можна на стадії компіляції. Програмування із застосуванням об'єктів часто називають объектноорієнтованим. При правильному використанні його дає понад короткі, простіше понимаемые і легше контрольовані программы.

У З++ немає типів даних високого рівня життя та немає первинних операцій високого рівня. У ньому немає, наприклад, матричного типу з операцією звернення чи типу рядок з операцією конкатенації. Якщо користувачеві знадобляться подібні типи, їх можна накинути у самому мові. За суттю, основне, що робить програмування на З++ - визначення універсальних і специально-прикладных типів. Добре розроблений тип, визначається користувачем, відрізняється від вмонтованого типу лише у спосіб визначення, але з способом использования.

Реалізація З++ дуже просто стерпна. Але є повні підстави використовувати З++ серед, де є значно більше істотна підтримка. Такі кошти, як динамічна завантаження, покрокова трансляція й базу даних визначень типів можуть із користю застосовуватися без на язык.

Типи й кошти приховування даних в З++ спираються на проведений під час компіляції аналіз програм для запобігання випадкового спотворення даних. Не забезпечують таємності чи захисту від навмисного порушення правил. Але ці кошти можна використовувати без обмежень, що ні призводить до додатковим видатках часу виконання чи простору памяти.

Компілятор Microsoft З++ і середовище розробки Microsoft Visual Studio.

Як компілятора і розробити докладання був обраний Microsoft З++ за такими причинам:

. практично повна сумісність зі стандартом ANSI C++;

. наявність зручною середовища розробки Microsoft Visual Studio;

. наявність відмінній документации;

. висока швидкість роботи результирующих приложений;

. сумісність розроблених додатків з велику кількість дуже поширених операційних систем;

. достатня швидкість компиляции.

4.3 Опис программы.

Розроблене додаток приходить у вигляді 2-ух файлов:

1. method Eulera. cpp — вихідний код програми мовою C++;

2. method Eulera. exe — виконуваний файл.

На виконання виконуваного файла необхідна одне з нижче перелічених операційних систем:

. Microsoft Windows 3.11+Win32s;

. Microsoft Windows 95/98/Me;

. Microsoft Windows NT/2000/XP/2003 — клієнтська чи серверна версия.

Програма не потребує попереднього встановлення і то, можливо відразу ж потрапляє запущена на выполнение.

Вихідний код докладання то, можливо откомпилирован у кожному ANSI чи POSIX сумісному компіляторі З++ щоб одержати здійсненним програми. Для успішної компіляції потрібно наявність стандартної бібліотеки «iostream».

5. Контрольний приклад Він протестований на контрольному прикладі і було реалізовано з допомогою мови програмування З++. Через війну обчислень контрольного прикладу виду y'=2x+y з інтервалом [0,1], кількістю кроків рівному 5 і початковим умовою у рівним 1, з допомогою програми, вийшли такі результаты:

[pic] Рис. 2. Екран з результатами виконання програми. Як бачимо, при обчисленні програма першою кроці бере початкові значення для обчислення, але в наступних бере значення отримані з попередніх кроків. Можна дійти невтішного висновку, що точність обчислення даного методу залежить кількості вибраних кроків: що більше кроків, тим менше фіксований прирощення, отже більше точно обчислює значення всього інтервалу. По роботі програми стало видно, що з її використанням набагато спростилася робота користувача. Користувач просто вводить інтервал на якому має обчислюватися приклад, кількість кроків і чи початкова значення й програма видає вже готовий рішення даного примера.

6.Анализ отриманих результатів. За результатами програми можна скласти таблицю порівняння результатів отриманих під час використання програми розвитку й результатів, отриманих ручним способом: |Ручний спосіб обчислення |Програмний спосіб обчислення | |Х |Y |X |Y | |0 |0,82 |0 |0,82 | |0,2 |0,75 |0,2 |0,7516 | |0,4 |0,77 |0,4 |0,770 248 | |0,6 |0,85 |0,6 |0,856 793 | |0,8 |0,99 |0,8 |0,996 299 |.

Из наведеного порівняння можна дійти невтішного висновку, що перший результат відрізняється від іншого тим, що у прикладі, вирішеному програмним способом відповідь обчислюється із найбільшою точністю, аніж за ручному способі. Це може бути з тим, що у ручному способі результат заокруглюється для зручності обчислення прикладу. Рішення диференційних рівнянь методом Эйлера можна також ознайомитися відобразити в графічному виде:

[pic].

Рис. 3.Графическое зображення рішення прикладу y'=2x+y Як очевидно з рис. 3 графіком рішення рівняння є крива, форма якої залежить кількості разбиений интервала.

За результатами виконаної роботи можна дійти невтішного висновку, що ухвалено рішення диференційних рівнянь методом Эйлера є методом обчислення зі середньої влучністю і точність обчислення цього методу залежить від кількості разбиений інтервалу інтегрування. При порівнянні результатів вирішеними у різний спосіб можна сказати, що це метод був вірно реалізований мовою програмування Microsoft Visual З++. Отримані результати сходяться з низькою погрешностью.

1. Чисельні методи (аналіз, алгебра, звичайні диференціальні рівняння), М.С. Хвальків. Головна редакція физикоматематичної літератури изд-ва «Наука», М., 1975 г.

2. Методи, теорії звичайних диференційних рівнянь. Н.І. Гаврилов.

. Державне видавництво «Вищу школу» Москва-1962г.

3. В. В. Пак., Ю. Л. Носенко. Вища математика: Підручник.- Д.: Сталкер,.

1997 г.

4. Б. П. Демидович, І. А. Марон Основи обчислювальної математиці. — М.,.

5. Загускин У. Л. — Довідник по численным методам рішення уравнений.

— М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. — 216 с.

6. Ліберті, Джесс.

Освой самостійно З++ за 21 день, 4-те издание.:Пер з англ.-М.:

Видавничий будинок «Вільямс», 2003.-832с.

7. П. Нортон, П. Иао «Програмування на З++ серед Windows».

(«Діалектика» Київ 2003 г.).

8. Янг М. Microsoft Visual З++ - М.:ЭНТРОП, 2000.

9. Марченко А.І., Марченко Л. А. — Програмування в среде.

Turbo Pascal 7.0 — До.: СТОЛІТТЯ+, М.: Біном Універсал, 1998. — 496 с.

10. Вища математика: Справ. матеріали: Книжка учнів .- М.:

Просвітництво, 1988.-416 з.: ил.

Приложение.

Лістинг программы.

#include using namespace std; void func (double& Xi, double& Yi, double kx, double ky, double h); int main ().

{ double h, Xi, Yi, Xkon, kx, ky; int n; cout.