Порівняння функцій та їх застосування

Порівняння функцій та їх застосування.

.

.

ЗМІСТ Вступ 3.

1. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ 4.

§ 1. ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ 4.

§ 2. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ 9.

§ 3. ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ 18.

§ 4. МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ. 21.

ВИСНОВОК 26.

Вступ Нехай дано множину Е дійсних чисел. Якщо кожному числу .

В цій роботі передбачається розглянути: О-символіку Ландау для функцій однієї змінної, заданої в проколотому околі довести ряд тверджень про арифметичні дії над О-символами та еквівалентними функціями; деякі важливі границі; способи порівняння функцій та ін.

Розглянути метод виділення головної частини функції в застосуванні до обчислення до границь. Теоретичні дослідження проілюструвати розв «язанням вправ
.

ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ.

ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ.

В цьому пункті обчислюються границі, які неодноразово зустрічатимуться надалі.

Лема 1.

.

Доведення. Розглянемо круг радіусом R з центром в точці О. Нехай радіус 0 В утворює кут .

.

отже,.

.

або, замінюючи величини їм оберними.

.

Зауважимо, що через парність функцій .

Наслідок 1.

.

Дійсно,.

.

.

Наслідок 2.

.

Функція .

.

Наслідок 3.

.

Ця рівність випливає аналогічно попередній з (1.3).

Лема 2.

.

Рівність.

.

де .

.

маємо.

.

Дійсно, нехай задано .

.

а з умови (1.8) випливає, що існує таке .

.

при .

Нехай тепер послідовність .

тобто.

.

Покажемо, що .

Наголошуючи, що в силу (1,9).

.

і переходячи до границю в нерівності (1.12) при .

Оскільки .

Нехай тепер послідовність .

тобто,.

.

.

Але .

Таким чином, функція .

Наслідок 1.

.

.

Наслідок 2.

.

.

Поклавши .

ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ Всі, що розглядаються в цьому пункті, функції визначені в деякому фіксованому проколотому околі .

Як ми вже знаємо, сума, різниця і добуток нескінченно малих функцій є також нескінченно малими функціями; цього не можна, взагалі кажучи, сказати про їх подільність: ділення однієї нескінченно малої на іншу може призвести до різноманітних випадків, як це показують нижче проведені приклади нескінченно малих при .

Якщо ж .

Означення 1. Якщо для двох функцій f і g існують такі проколені околи .

(читається: .

Доведення. З існування скінченої границі.

.

Приклади. .

Це поняття найбільш змістовне у тому випадку, коли функції f і g є або нескінченно малими, або нескінченно великими при .

.

Оскільки .

Наприклад візьмемо функцію .

Означення 3. Функціїи .

.

Відзначимо, що через властивість (1.21) знайдеться проколений окіл .

тобто як говорять, еквівалентність двох функцій має властивість симетричності.

Функції .

.

.

Щоб в цьому переконатися, достатньо покласти .

Якщо.

f~g і g~f при .

Дійсно, з умов (1.23) виходить, що в деякому проколеному околі точки .

де .

де .

.

.

.

Нехай функція .

Покажемо, що.

.

.

Для вказаного .

.

.

Через це означення запис .

можна переписати у вигляді.

.

У випадку, коли .

Так само .

.

якщо .

При використовуванні рівності з символами О і о слідує мати на увазі, що вони не є рівністю в звичайному значенні цього слова. Так, якщо.

.

Річ у тому, що один і той же символ .

де с — стала.

Згідно сказаному, треба показати, що якщо .

Приклади.

1..

.

2..

.

Розв «язування. Використовуючи асимптотическое равенство (3) и асимптотическое равенство (1), а также учитывая, что x2 = o (x) при x® 0 (см. пример 15) и f=o (x2) является функцией o (x) при x® 0, найдем.

.

Якщо функція .

.

володіють тією властивістю, що не тільки абсолютна похибка .

В цьому значенні функції, еквівалентні заданій, наближають її краще, ніж інші функції навіть того ж порядку, що і дана при .

.

.

Сформулюємо сказану характеристичну властивість еквівалентних функцій у вигляді теореми.

Теорема 1. Для того, щоб функції .

.

де .

де .

Доведення достатності. Нехай виконується умова (1.32), тобто.

.

.

.

.

де .

Тепер маємо:

.

Якщо задана функція .

Зокрема, справедлива наступна лема.

Лема 5. Якщо функція .

.

Тоді .

.

Покажемо на прикладах, як метод виділення головної частини нескінченно малих застосовується до обчислення границь функцій. При цьому широко використовуватимемо отримані нами співвідношення еквівалентності (1.26).

Нехай вимагається знайти межу (а значить, і довести, що він існує)).

.

Далі .

Очевидно також, що.

.

.

.

.

.

тому.

.

Таким чином, шукана границя існує і рівний 2.

При обчисленні границя функцій за допомогою методу виділення головної частини слід мати на увазі, що у випадках, не розглянутих в п. 1.3, взагалі кажучи, не можна нескінченно малі замінювати еквівалентними їм. Так, наприклад, при відшуканні границь вираження.

.

Для відшукання границь виразів вигляду .

.

Оскільки .

але .

таким чином,.

.

Спосіб обчислення границь за допомогою виділення головної частини функції є дуже зручним, простим і разом з тим вельми загальним методом. Деяке утруднення в його застосуванні зв’язано поки з тим, що ще немає достатньо загального способу виділення головної частини функції.

Приклади:

1..

3. .

.

.

_.

.