Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної

Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної.

.

.

1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і єдності розв «язку.

Диференціальне рівняння першого порядку, не розв «язані відносно похідної має вигляд.

.

Найбільш часто зусрічаються диференціальні рівняння першого порядку .

Означення 5.1. Функція .

.

неперервнодиференційовна на .

тотожність.

.

Означення 5.2. Будемо говорити, що рівняння .

Означення 5.3. Рівняння .

.

Криві на ел..

Задача Коші - задача знаходження розв «язків, які задовільняють умови .

Означення 5.4. Говорять, що задача Коші для Д.Р.(5.1) з початковими умовами .

Теорема 5.1. (про існування і єдиність розв «язку задачі Коші).

Якщо функція .

а) Являється визначеною і неперервною разом зі своїми ЧП в деякому замкненому околі т..

б).

в).

то Д.Р.(1) має єдиний розв «язок .

► Без доведення ◄.

Припустимо, що розв «язуючи Д.Р.(1) відносно .

.

де .

Нехай кожне Д.Р. (5.3) на .

.

Означення 5.5. Сукупність інтегралів (5.4) будемо називати загальним інтегралом Д.Р. (5.1) в обл. .

Інколи замвсть співвідношення (5.4) записують.

.

Якщо поле на .

В загальному випадку Д.Р. (5.1) не удається розв «язати відносно .

.

яке називається загальним інтегралом Д.Р. (5.1).

Якщо сімейство .

.

то воно називається загальним розв «язком Д.Р. (5.1).

Зауважимо, що в (5.6) можуть входити і розв «язки Д.Р. виду (5.3), коли .

Сімейство .

.

будемо називати загальними розв «язками Д.Р. в параметричній формі.

Означення 5.6. Розв «язок .

Означення 5.7. Розв «язок .

Аналогічно Д.Р., розв «язаним відносно .

Аналіз частинних і особливих розв «язків для цих рівнянь більш складний. Зауважимо, що в випадку (5.3) розв «язок .

Приклад 5.1.

.

З (5.9) маємо: .

Тоді .

або .

.

Розв «язок задачі Коші для Д.Р. (5.9) в кожній точці площіни .

.

і .

Розв «язки (10); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (11) — частинні розв «язки. Особливих розв «язків немає.

2. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв «язок.

Припустимо, що Д.Р. (5.1) представлено в формі (5.3). При досліджені на особливий розв «язок рівнянь виду (5.3) ми прийшли до висновку, що ці розв «язки можливі на тих кривих, на яких .

Дійсно, припустимо, що _____ похідні .

.

Припустимо, що .

.

Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв «язок будуть визначатися з системи.

.

Розв «язок системи (5.14).

.

дискримінантна крива. Якщо вона задовільняє Д.Р. (5.1) і в кожній точці порушується єдність, то це буде особливий розв «язок.

Приклад 5.2.

.

.

Співвідношення (5ю17) — дискримінантна крива рівняння (5.16). А на ній ми маємо не два, а один напрямок поля .

5.3. Загальний метод введення параметра.

Розглянемо Д.Р. (5.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію.

.

Так, що .

Використовуючи (5.18) і співвідношення .

.

Тому.

.

Візьмемо, наприклад, .

.

Якщо.

.

загальний розв’язок Д.Р. (5.19), то загальний розв’язок Д.Р. (5.1) можна отримати в параметричній формі.

.

Розглянемо деякі частинні випадки:

А. Д.Р., розв’язані віднлсносно шуканої функції.

Це рівняння має вигляд.

.

За параметри .

.

Маємо.

.

Звідки.

.

Нехай .

Д.Р. (5.24) може мати особливий розв’язок .

Б. Випадок, коли Д.Р. розв’язане відносно незалежної змінної.

Це рівняння має вигляд.

.

Інтегрується воно аналогічно Д.Р. (5.22). Покладемо .

.

Використовуючи співвідношення .

.

Якщо .

.

загальний інтеграл Д.Р. (5.25).

Якщо .

Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна проінтегрувати.

В. Рівняння Лагранжа.

Це рівняння має вигляд.

.

Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо .

.

З (5.29) маємо.

.

Д.Р. (5.30) лінійне по .

.

Нехай .

.

Особливі розв’язки можуть бути там, де.

.

тобто.

.

де .

Г. Рівняння Клеро.

Це рівняння — частинний випадок рівняння Лагранжа, коли .

.

Покладемо .

.

Використовуючи .

.

Рівняння (5.37) розпадається на два.

.

Перше рівняння дає .

.

Друге — .

.

Розв «язок (5.40) являється особливим, так як він співпадає з _______. Дійсно.

.

звідки.

.

Дискримінантна крива (3.41) співпадає з розв «язком (3.40).

Приклад 5.3.

Розв «язати рівняння Лагранжа.

Покладемо .

.

Отримали лінійне рівняння.

.

Його розв «язок.

.

.

загальний розв «язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи .

.

Знайдемо ті розв «язки, яким відповідають.

.

Перший розв «язок — офівфісобливий, другий — частинний.

Приклад 5.4.

.

Це рівняння Клеро. Його загальний розв «язок -.

.

Запишемо дискримінантну криву.

.

Звідки .

4. Неповні рівняння.

а). Д.Р. які містять тільки похідну.

Це рівняння вигляду.

.

Рівняння (5.45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв «язків.

.

де .

Інтегруємо (5.46).

.

Так як .

.

загальний інтеграл Д.Р. (5.45). Таким чином при таких припущеннях .

Приклад 5.5.

Розв «язати .

Згідно (5.48) .

б) Д.Р., які не містять шуканої функції мають вигляд.

.

Якщо (5.49) можна розв «язати відносно похідної.

.

то.

.

являється загальним інтегралом Д.Р. (5.49).

Якщо ж розв «язати відносно .

.

тобто.

.

Тоді загальний розв «язок знаходять в параметричній формі.

.

Якщо Д.Р. (5.49) має вигляд.

.

тоді це рівняння легко параметризується .

.

Приклад 5.6.

Зайти загальний розв «язок рівняння .

Вводимо параметризацію .

.

Маємо.

.

Загальний розв «язок в параметричній формі.

в) Д.Р., які не містятьнезалежної змінної.

Це рівняння вигляду.

.

Якщо рівняння (5.57) розв «язане відносно .

.

то.

.

Являється загальним інтегралом Д.Р. (5.57). Особливими розв «язками можуть бути криві .

Якщо Д.Р. (5.57) не можна розв «язати відносно .

.

то.

.

Загальний розв «язок Д.Р. (5.57) в параметричній формі.

Приклад 5.7.

Розв «язати .

.

звідки.

.

зашальний розв «язок нашого рівняння.

г) Узагальнено однорідні рівняння.

Д.Р. назвемо узагальнено однорідним, якщо ліва частина являється однорідною функцією аргументів .

.

Зробимо заміну.

.

де .

.

тобто .

.

Підставимо (5.63); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (5.64) в Д.Р. (5.1).

.

отримане рівняння.

.

не містить незалежної змінної .

.

.

_.

.