Доведення теорем Перона

Доведення теорем Перрона.

.

.

Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід «ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.

Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.

Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.

Необхідні відомості з теорії матриць.

Матриця розмірів m x n — це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:

.

Квадратною матрицею n-го порядку зветься матриця розміром n x n. Важливою числовою характеристикою матриці є її визначник, який позначається detA. Для 2×2 матриці .

Додавати матриці однакових розмірів:

Приклад: .

Взагалі, добутком матриці А розмірів m x r та матриці В розмірів r x n називається матриця С розмірів m x n, яка позначається АВ. Елемент cij цієї матриці - це сума попарних добутків елементів i-го рядка матриці А та елементів j-го рядка матриці В, а саме: .

Нехай, А — квадратна матриця, тоді матриця А-1 зветься оберненою до матриці А, якщо .

Беспосередньо можна первірити, що для.

.

Якщо власний вектор Х відповідає власному значенню l, то сХ, де с — const, також власний вектор, що відповідає l. Власне значення є коренем характеристичного рівняння.

Тоді .

Це квадратне рівніння з дискримінантом:

.

Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=l1.

Знайдемо власний вектор .

Тоді.

.

Враховуючи, що.

.

Але .

Щоб довести, що власний вектор можна вибрати додатним, достатньо перевірити, що .

але це випливає з того, що .

Визначення: Матриця, А зветься невід «ємною, якщо всі її елементи невід «ємні.

Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід «ємних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2×2 матриць у випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.

Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо.

1) .

Теорема Маркова: Нехай для стохастичної матриці P існує натуральне число k0 таке, що .

2. Матриця .

.

І тому.

.

Беспосередньою перевіркою з урахуванням стохастичності встановлюємо, що власному значенню .

.

Згадуючи, що .

Очевидно, що рівняння системи пропорційні, тому одне з них можна відкинути. Знайдемо y1 з першого рівняння: .

Доведемо тепер твердження 1 теореми.

Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну формулу для Pn.

Позначимо .

.

Відкіля .

Знайдемо границю Pn:

.

Маємо.

.

Теорема доказана.

Зауваження1 В процесі доведення ми вивели, що для 2×2 матриць .

.

Зівдки .

Звідки .

Умовою .

В роботі дані для матриць другого порядку елементарні доведення таких фундаментальних теорем теорії невід «ємних матриць. як теореми Перрона, Перрона-Фробеніуса, Маркова.

У відомій нам літературі повне доведення цих теорем дається для загального випадку матриць n-го порядку з використанням неелемнтарних теорем і методів. А математичний апарат, який використовується в даній роботі, це: аналіз поведінки розв «язків квадратного рівняння та розв «язків системи двох лінійних рівнянь в залежності від коефіцієнтів.

Робота може бути використана при проведенні додаткових занять, присвячених розгляду вибраних неелементарних питань математики, за допомогою методів, які доступні школярам.

Список літератури:

С.А. Ашманов. Математические модели и метод в экономике.

МГУ. 1980.

С.А. Ашманов.

Введение

в математическую экономику. «Наука».

М., 1984.

Р. Беллман.

Введение

в теорию матриц. «Наука». М. 1969.

Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. «Наука». М., 1967.

Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. «Наука». М., 1988.

С. Карлин. Математические метод в теории игр, программирования и экономике. «Мир». М., 1964.

Дж. Кемени, Дж. Скелл, Дж. Томпсон.

Введение

в конечную математику. Иностранная литература. М. 1963.

П. Ланкастер. Теория матриц. «Наука». М. 1978.

Ю.М. Свирежев, Д. О. Логофет. Устойчивость биологических сообществ. «Наука». М. 1978.

В. Феллер.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложение.

Т1. «Мир».М. 1984.

.

.

_.

.