Числові ряди. 
Збіжність і розбіжність. 
Сума ряду. 
Дії над збіжними рядами. 
Необхідна ознака збіжності

Числові ряди. Збіжність і розбіжність. Сума ряду. Дії над збіжними рядами. Необхідна ознака збіжності.

.

.

План Числові ряди. Збіжність і розбіжність.

Сума ряду.

Дії над збіжними рядами.

Необхідна ознака збіжності.

Гармонічний ряд.

ЧИСЛОВІ РЯДИ.

1 Ряд. Сума ряду Означення 1. Нехай задана нескінченна послідовність чисел.

.

Вираз.

.

називається числовим рядом. При цьому числа .

Означення 2. Сума скінченого числа .

.

Означення 3. Якщо існує скінчена границя.

.

то її називають сумою ряду (13.1) і говорять, що ряд збігається.

Якщо .

Приклад 1. Розглянемо ряд.

.

Це — геометрична прогресія із першим членом .

Якщо .

.

Тоді.

.

При .

.

Отже, .

Р о з в ‘ я з о к. Розкладемо дріб .

.

Частинна сума ряду .

.

Теорема 1. На збіжність числового ряду не впливає відкидання або додавання скінченого числа його членів.

Д о в е д е н н я. Нехай .

.

де .

.

.

також збігаються і їх суми будуть .

.

що і доводить дану теорему.

2. Необхідна ознака збіжності ряду При дослідженні рядів одним із головних питань є питання про те, чи збігається даний числовий ряд. Нижче будуть розглянуті достатні ознаки збіжності рядів. Тут ми розглянемо необхідну ознаку збіжності ряду, тобто встановимо умову, при невиконанні якої ряд розбігається.

Теорема. Якщо ряд (13.1) збігається, то його .

де .

Віднімаючи почленно із першої рівності другу, одержимо:

.

.

що й потрібно було довести.

Наслідок. Якщо .

розбігається, оскільки .

називається гармонічним рядом. Цей ряд розбігається, хоча й.

.

.

.

_.

.