Дослідження стійкості за допомогою побудови зон стійкості (метод D-розбиття)

При розробці САР важливо встановити вплив окремих параметрів (або параметра) на стійкість системи при фіксованих значеннях інших параметрів. При цьому ставиться завдання встановити зони параметрів, в яких їх зміна не приводить до нестійкої роботи системи.

Дане завдання можна вирішити за допомогою розглянутих вище критеріїв стійкості, але зі зростанням порядку системи рівнянь розрахунки різко ускладнюються.

Соколовим і Неймарком було запропоновано метод, який дозволяє знайти зазначену вище зону в площині одного або двох параметрів. В основі методу лежить дослідження полінома D (р), який відображує характеристичне рівняння замкнутої системи, зведене до вигляду, коли коефіцієнт а₀ в характеристичному рівнянні дорівнює одиниці:

D (р) = рⁿ +a₁ p^n-1 + а₂р^n-2 +. .. +а_n-1р + а_n = 0.

Можна уявити деяке n-мірне середовище, по координатних осях якого розміщуються коефіцієнти характеристичного рівняння (або параметрів ланок системи). У цьому випадку середовище називають середовищем коефіцієнтів (параметрів). Кожній точці такого середовища відповідає певне значення всіх n коефіцієнтів (параметрів), які визначають п коренів характеристичного рівняння.

При деякому значенні коефіцієнтів система може бути на межі стійкості (при нульових або чисто уявних коренях). Тому відповідна точка в просторі параметрів у цьому випадку повинна задовольняти рівняння.

D (jw)=(jw)ⁿ+a₁(jw)^n-1+…+a_n-1(jw) +a_n=0.

При зміні параметрів корені будуть змінюватись і переміщуватись на комплексній площині коренів і при деяких значеннях параметрів (коефіцієнтів характеристичного рівняння) можуть переміститись з лівої частини площини коренів у праву, що приведе до нестійкої роботи системи, або, навпаки, з правої напівплощини коренів у ліву, в результаті чого нестійка система стане стійкою.

Отже, переміщення коренів зумовлено рухом відповідних точок в n-вимірному просторі параметрів (коефіцієнтів).

Для практичних цілей важливо встановити зони значень параметрів, які відповідають положенню коренів на межі стійкості, і зони значень параметрів, що відповідають стійким системам. Поділ простору коефіцієнтів (параметрів) на відповідні зони і є основною метою методу D-розбиття.

Так, нехай параметри, які нас цікавлять, входять до складу деяких коефіцієнтів рівняння. Якщо змінювати один з параметрів Т_х, то змінюватимуться всі коефіцієнти, які є функціями цього параметра. Тоді кожному новому значенню Т_x відповідатиме п нових коренів полінома D (р) = 0, положення яких у комплексній площині коренів залежить від числових значень параметра Т_х і, як результат, — значень відповідних коефіцієнтів.

D-розбиття по одному параметру Розглянемо методику побудови зони стійкості в площині комплексного параметра Т_x

Вихідне характеристичне рівняння D (р) = 0 представимо у вигляді.

Х (р) + Т_xУ (р) = 0.

Знаходимо величину досліджуваного параметра.

T_x =.

3. Знаходимо комплексний вираз параметра Тx, використовуючи підстановку р = jw, і виділимо його дійсну А (w) і уявну В (w) складові:

Т_х = А (w)+jB (w);

Т_x становить деяку криву в комплексній площині, яка відповідає уявним кореням характеристичного рівняння і є сукупністю параметрів Т_х, при яких система знаходиться на межі cтійкості. Така характеристика називається межею стійкості в площині параметра D, або кривою D-розбиття.

4. В комплексній площині параметра D за правилом штриховки Неймарка знаходимо зону стійкості.

Правило штриховки формулюють так: якщо рухатись по межі D-розбиття від значень w = - до значень w = +, то зона стійкості буде розташована зліва від межі стійкості (це аналогічно тому, що якщо в комплексній площині коренів характеристичного рівняння рухатись вздовж вертикальної (уявної) осі, яка є межею стійкості в площині коренів віддо +, то зона стійкості знаходитиметься зліва від вертикальної осі).

5. Задаючи запас стійкості в зоні, обмеженій кривою D-розбиття, виділимо на дійсній (горизонтальній) осі (бо параметр Тx є дійсною, фізично реальною величиною) необхідний, робочий діапазон значень параметра Тx, який може бути рекомендовано при проектуванні і настроюванні відповідної системи.

Побудова межі стійкості в площині двох параметрів (D-розбиття по двох параметрах). В цьому випадку розв’язується задача аналізу впливу на стійкість системи деяких двох параметрів Т_х і T_y Вважатимемо, що ці параметри входять в характеристичне рівняння лінійно (відсутній добуток Т_xТ_y). Особливістю методу розбиття по двох параметрах є те, що простір двох параметрів є дійсна площина Т_x — T_y

Вважатимемо, що характеристичне рівняння при необхідності дослідження впливу параметрів Т_х і Т_у у загальному випадку матиме вигляд.

D (р, Т_х, Т_y) = 0.

Підставляючи р = jw і виділяючи дійсну і уявну частини, дістанемо.

D (jw, Т_х, Т_у) = А (w) + В (w) = 0.

У цьому виразі А (w) і В (w) залежать не тільки від w, а й від параметрів Т_x і Т_y. При лінійних залежностях маємо А (w)=T_xP₁(w)+T_yQ₁+R₁(w).

В (w) = Т_x Р₂(w) +T_yQ₂+R₂(w) (*).

Для деякого значення w = wk із рівняння * можна знайти значення Т_xk і Т_yk при яких, А (w) = 0 і В (w) = 0.

При цьому jw буде коренем рівняння D (р) = 0.

У цьому випадку деяка точка N (Т_xk, Т_уk) у площині Т_x — Т_у лежить.

Рис. 4.13.

на межі, яка ділить площину Т_x— Т_y на зони стійкості і нестійкості по параметрах Т_x Т_y Як відомо, зоні стійкості відповідають «ліві» корені в площині коренів характеристичного рівняння D (р) = 0, а зоні нестійкості — «праві» корені.

Розв’яжемо систему рівнянь * відносно Т_x і Т_y. Запишемо головний детермінант системи.

і часткові детермінанти.

звідки,. Величини Р₂(w), Q₂(w), R₂(w) входять до уявної складової В (w) і є непарними функціями w. Детермінанти Д, Д_x, Д_у є також непарні функції w, тоді як величини Т_х і Т_y будуть парними функціями w.

Задаючи значення w в межах — до +, будуємо в площині Т_x — Т_y деяку криву, яка є межею. D-розбиття в площині параметрів T_x — Т_у (рис. 4. 13, а). При побудові кривої D-розбиття і дослідженні стійкості за даним методом можливі три основні випадки.

• 1. При частоті w_k всі три детермінанти Д, Д_x Д_y не дорівнюють нулю. При цьому вирази Т_х і Т_y при частоті wк в площині параметрів Т_х — Т_у є прямими, що перетинаються (рис. 4. 13, б).
• 2. Якщо при w = w_к, Д = 0, Д х0, Д_у0, то вирази Т_х = ѓ(Д_x/ Д) T_y =ѓ (Д_y/ Д) не мають спільних розв’язків і відповідно спільних точок перетину в площині Т_х—Т_у. В цьому разі вони є паралельними прямими (рис. * в).
• 3. При w = w_к всі три детермінанти Д, Д_y, Д_x дорівнюють нулю, що відповідає невизначеності функцій Т_х і Т_y. При цьому одне із рівнянь системи * випливає з другого, відрізняючись від нього на деякий сталий співмножник. Прямі в площині Т_x — Т_у зливаються одна з одною (рис. *, г) і є при w = w_к деякою особливою прямою з рівнянням вигляду

T_xP₁(w_k)+T_yQ₁(w_k)+R₁(w_k)=0.

Такі прямі дістають при w = 0 і w =. При цьому, хоча б один з параметрів Т_x і Т_y входив до складу коефіцієнта при найбільшому степені похідної а₀, або до складу вільного члена рівняння а_n. Особливу пряму можна дістати при w = 0, прирівнюючи нулю коефіцієнт а₀, або при w =, прирівнюючи нулю коефіцієнт а_n.

Якщо коефіцієнти а_n і а₀ не залежать від Т_х і Т_y, то особливих прямих не буде. В принципі особливих прямих може бути кілька, і всі їх треба знайти.

Отже, для знаходження особливих прямих потрібно:

• 1)прирівняти нулю коефіцієнти а₀ і а_n характеристичного рівняння, якщо вони залежать від параметрів Т_х і Т_y ;
• 2)визначити значення w, при яких одночасно дорівнюють нулю обидва детермінанти Д і Д_x або Д і Д_y, і знайдені значення підставити в рівняння.

Якщо після даної підстановки дістанемо вираз, що дорівнює нулю, то цей випадок можна не розглядати, тому що особлива пряма проходить у нескінченності.

Для виділення зон стійкості наведемо без доведення такі правила штриховки.

Якщо переміщуватись по кривій D-розбиття від точок w = - до точок w = + при Д > 0, то штриховку слід робити зліва від кривої, а при Д < 0 — справа. (Знак Д змінюється при переході через особливу пряму в нескінченності, а також через нуль).

Крива D-розбиття при зміні w від —до + штрихується двічі:

один раз при зміні w від — до 0, а другий — від 0 до +. Оскільки в обох випадках крива штрихується зліва по ходу зміни w, то вона має подвійну штриховку з одного боку — одну при прямому ході, а другу при оберненому, тому що при переході w через нуль детермінант Д змінює свій знак. стійкість автоматичний керування.

3. Штриховка особливих прямих здійснюється за такими правилами:

якщо особлива пряма і крива D-розбиття зближуються асимптотично, то штриховка особливої прямої одинарна і спрямована до за штрихованого боку кривої D-розбиття (рис. 4. 14, а);

якщо особлива пряма має спільну точку з кривою D-розбиття, але не перетинає її, то штриховка особливої прямої одинарна і біля спільної точки спрямована до заштрихованого боку кривої D-розбиття; в точках перетину з кривою D-розбиття штриховка особливої прямої не змінюється, тому що знак визначника Д у цих точках не змінюється (рис. 4. 14, б);

якщо особлива пряма відповідає випадку Д (wk)=Д_х(wk)= =Д_y(wk) = 0 і в точці перетину її з кривою D-розбиття визначник Д змінює знак, то штриховка особливої прямої подвійна і спрямована до заштрихованого боку кривої D-розбиття (рис 4. 14, в);

якщо особлива пряма перетинає криву D-розбиття, але знак визначника Д в точці перетину не змінюється, то особлива пряма не штрихується і на розподіл коренів не впливає (рис 4. 14, г).

Кожна з особливих прямих штрихується незалежно від наявності точок її перетину з іншими особливими прямими.

За напрямом штриховки кривої D-розбиття і особливих прямих встановлюється область можливої стійкості системи. Для перевірки цього вибирають довільні значення Т_y = Т_y1 і Т_х = Т_x1 і підставляють їх у характеристичне рівняння замкнутої системи. Далі одним із відомих методів аналізують стійкість системи (визначають знаки коренів). Якщо один із коренів буде додатним, то САР є нестійкою і привести її до стану стійкості зміною параметрів Т_x і Т_у неможливо. Якщо всі корені від'ємні, то дана зона дійсно є зоною стійкості.