Дослідження якості на основі рівняння незбурених коливань

Дослідження якості САК може виконуватись на основі розв’язання рівнянь замкнутої системи, а також за допомогою наближених методів оцінки якості.

Як приклад розглянемо рівняння системи стабілізації.

;

— функція збурення.

Після відповідних перетворень це рівняння можна записати у вигляді:

Дане рівняння є лінійним неоднорідним рівнянням n-го порядку. Згідно з принципом суперпозиції, його розв’язок можна подати як алгебраїчну суму загального x_пер і часткового x₀ розв’язків де x_пер - перехідна складова;

x₀ - частковий розв’язок;

Загальний розв’язок можна дістати на основі рівняння незбурених коливань.

звідки ,.

де C₁, С₂, …, С_n — сталі інтегрування, які визначаються з початкових умов; p₁, …, p_n — корені характеристичного рівняння вигляду Дослідження виразу x_пер залежно від коренів p₁, …, p_n було виконано раніше.

Частковий розв’язок x₀ знаходять при умові, коли вихідне рівняння набуває вигляду, звідки.

Побудована, як приклад, характеристика x=f (t) є кривою процесу регулювання в замкнутій системі, яка визначається з рівності.

;

З викладеного вище можна зробити висновок, що тривалість перехідного процесу t_n та інші показники якості визначаються загальним розв’язком вихідного рівняння x_пер і залежить тільки від коренів характеристичного рівняння.

Частковий розв’язок впливає лише на загальне значення регульованої величини і на величину помилок (похибок) системи. Тому при дослідженні якості САК на основі розв’язку рівняння замкнутої системи часто обмежуються тільки аналізом величини Х_пер — вивчають поведінку системи залежно від вигляду коренів характеристичного рівняння.