Спектральний перетворення сигналу

Оскільки будь-який звук розкладається на синусоїдальні хвилі, ми можемо побудувати частотний спектр звуку. Спектр частот звукової хвилі являє собою графік залежності амплітуди від частоти.

На рис. 4.2 показані деякі основні характеристики синусоїди. Частота — це кількість повних циклів які укладаються в одну секунду; вона пов’язана з періодом часу, необхідним для одного циклу. Вертикальна шкала позначає амплітуду, яка відповідає величині відліку, електричної напруги, струму або тиск повітря.

Рисунок 4.2 — Частота, період і амплітуда хвилі.

Математично синусоїда описується функціями sin () або соs (). Проста функція sin (t) має амплітуду рівну одиниці, період рівний 2 секунд і відповідну частоту, рівну 1 / 2 циклів секунду. Можна перетворити цей запис в більш корисну форму: Asin (2 ft) що відповідає синусоїді з амплітудою, А і частотою f .

Тут передбачається, що t являє собою час (в Секуньдах), f — значеня частоти. При роботі з дискретним сигналом як t зручніше використовувати номер відліку. У цьому випадку запис Asin (2 ft) являє синусоїду з амплітудою, А і частотою fS, де S — частота дискретизації. Далі будемо будемо працювати в кожен момент часу з групами по N відліків і цікавити нас будуть певні частоти, тому я використовую записи виду sin (2 ft / N) і cos (2 ft / N), які представляють хвилі з одиничною амплітудою і частотою рівною fS / N.

Амплітуда і частота не дають повної картини. Тимчасові за — тримки можуть послужити причиною зсуву хвиль один щодо одного, як показано на рис. 4.3. Хоча вимірюються ці зсуви як тимчасові затримки, більш зручно представляти їх як дробові частини періоду, звані фазою.

Оскільки синусоїди тісно пов’язані з колами, фаза вимірюється в градусах. Один повний цикл — це 360°. На рис. 4.4 показана ще одна синусоїда. Її тимчасова, горизонтальна, вісь розмічена в градусах фази. Як поворот на 360 ° повертає в результаті становище, так зміна фази на 360 ° залишає сигнал неізменним.

Рисунок 4.4 — Синусоїда, розмічена в градусах фази.

Фазові зміни часто відбуваються унаслідок тимчасових затримок. Наприклад, кожен цикл сигналу в 1000 Гц займає 1 / 1000 секунди. Якщо затримати сигнал на 1 / 2000 секунди (напівперіод), то вийде 180 -градусний зсув але фазі. Зауважимо, що цей ефект спирається на залежність між частотою і тимчасовою затримкою. Якщо сигнал в 250 Гц затримати на ті ж самі 1 / 2000 секунди, то буде реалізований 45 -градусний зсув по фазі.

Якщо скласти разом дві синусоїдальні хвилі однакової частоти, то вийде нова синусоїдальна хвиля тієї ж частоти. Це буде вірно навіть в тому випадку, якщо два вихідних сигналу мають різні амплітуди і фази. Наприклад, Asin (2 ft) і Bcos (2 ft) — дві синусоїди з різними амплітудами і фазами, але I c однаковою годинутотой .

Для вимірювання амплітуди однієї частоти потрібно помножити наявний сигнал на синусоїду тієї ж частоти і скласти отримані відліки.

Щоб записати це в символьному вигляді, припустимо, що від — рахунки мають значення s0, s1, …, st, … Мінлива t представляє з-бій номер відліку (який заміняє значення часу). Вимірюється амплітуду частоти f в першому наближенні, при обчисленні наступної суми :

A_f =.

Значення t і f не відповідають у точності часу і частоті. Більш того, f — ціле число, а реальна досліджувана частота — це частота дискретизації, помножена на f / N. Подібним чином, t — це цілочисельний номер відліку. Крім того, підсумовування дає не безпосереднє значення амплітуди, а всього лише число, пропорційне амплітуді.

Якщо повторити ці обчислення для різних значень f, то можна виміряти амплітуду всіх частот в сигналі. Для будь-якого цілого f меншої N легко визначається значення АF, що представляє амамплітуди відповідної частоти як частку від загального сигналу. Ці значення можуть бути обчислені за тією ж формулою.

Якщо ми знаємо значення Af ми можемо відновити відліки. Для відновлення сигналу необхідно скласти всі занчения для різних частот.

Щоб здійснювати точне зворотне перетворення Фур'є, крім амплітуди і частоти необхідно вимірювати фазу кожної години.

Для цього потрібні комплексні числа. Можна змінити опи — санний раніше метод обчислень так, що він буде давати двовимірний результат. Просте комі1 Лексне число — це двовимірне значення, тому воно одночасно але представляє і амплітуду, і фазу.

При такому підході фазова частина обчислюється неявно. Замість амплітуди і фази вимірюється дві амплітуди, що відповідають різним фазам. Одна з цих фаз представляється косинусом (соs ()), інша — синусом sin ()) .

Використовуючи комплексні числа, можна проводити вимірювання одночасно, множачи синусну частина на i.

Кожне значення Af тепер представляється комплексним числом; дійсна і уявна частини задають амплітуду двох синусоідальних хвиль з різним фазами. Замінимо на еквівалентну .

Основна ідея швидкого перетворення Фур'є полягає в тому, що кожну другу вибірку можна використовувати для отримання половинного спектра. Формально це означає, що формула дискретного перетворення Фур'є може бути представлена у вигляді двох сум. Перша містить всі парні компоненти оригіналу, друга — всі непарні.

Подання мовної інформації в частотній області проладан деякими перевагами. По-перше, це дає досить чіткий опис звуків мови. По-друге, в початковій стадії восємства у вусі людини проводитися деякий грубий аналіз. Таким чином, характерні особливості, які проявляються в результаті частотного аналізу, відіграють важливу роль у процесах сприйняття і розпізнавання голосової інформації. Тому важливо знайти спектральну щільність апериодической функції.

Безперервний мовний сигнал, як і будь-який інший можна представити у вигляді:

якщо безліч функцій Un є ортогональними, тобто задовольняє умові.

де C — константа.

У цьому випадку значення коефіцієнтів an визначаються виразом:

Залежно від виду використовуваних ортогональних функцій розрізняють кілька видів перетворень. За допомогою пари перетворень Фур'є можна виразити зв’язок між апериодической функцією часу f (t) та її комплексним спектром F (w):

Спектральна форма включає в себе дві основні операції: аналого-цифрове перетворення — перетворення сигналу з хвилі звукового тиску в цифровий сигнал; цифрова фільтрація — виділення головної частоти сигналу. Процес перетворення показаний на рис. 4.5. Я не зупиняюся на виборі частоти оцифровки сигналу, хоча цей вибір відіграє важливу роль в задачі моделювання сигналу.

Рисунок 4.6 — Приклад вхідного сигналу АЦП.

Мікрофон, використовуваний в процесі АЦ — перетворення, зазвичай вносить небажані домішки в сигнал, наприклад мережевий шум (звук з частотою 50 Гц від електричної проводки), втрачає частину низьких і високих частот і нелінійні позову вання. АЦ — перетворювач також вносить свої власні спотворення через нелі лінійної функції передачі і коливання постійного зміщення. Приклад такого сигналу показаний на рис. 4.6. Ослаблення низьких і високих частот часто викликає проблеми з алгоритмами послідовного параметричного спектрального аналізу .

Головна мета процесу оцифровки полягає в отриманні даних мовного сигналу з високим відношенням Сигнал / Шум. В наварте час телекомунікацій і системи забезпечують значення цього коефіцієнта порядку 30 dB для при ложений розпізнавання голосу, що більш ніж достатньо для отримання високої продуктивності таких додатків. Зміни в перетворювачах, каналах і фоновому шумі, проте, викликають певні проблеми.