Методи визначання проміжків ізоляції

Для визначання проміжків ізоляції використовується теорема, відома з курсу математики.

Теорема. Якщо функція f (x) є неперервною на проміжку [б, b] і на його кінцях набуває значення протилежних знаків, тобто f (б) Чf (b) <0, то всередині цього проміжку існує хоча б один розв’язок рівняння f (x) =0. Якщо, окрім цього, перша похідна f' (x) на цьому проміжку зберігає знак, то цей розв’язок буде єдиний (див. рис. 1.1 б).

На підставі цієї теореми зрозуміло, що для визначення всіх проміжків ізоляції достатньо побудувати графік функції або обчислити таблицю її значень. На рис. 1.2 наведено приклад обчислення таблиці значень та побудови графіка функції x3−5x+ 1 =0 у математичному пакеті Mathcad.

Рисунок 4.2 — Визначення проміжків ізоляції у вікні Mathcad:

а — таблиця проміжків ізоляції; б — графік значень функції.

За результатами обчислення таблиці значень та графіка видно, що функція f (x) =x3−5x+1 має протилежні знаки на кінцях трьох проміжків:

о1О [-3,-2], о2О [0,1], о3О [2,3].

Перша похідна f' (x) =3x2−5має однакові знаки на цих проміжках, тобто на кожному з них є лише один розв’язок рівняння. В якості початкового значення розв’язку може бути обрана будь-яка точка на проміжку ізоляції.

Для визначення проміжків ізоляції можна також замість рівняння f (x) =0 використовувати рівнозначне йому рівняння j (х) =y (х), де j (х) та y (х) — простіші за f (x) функції. У цьому разі розв’язком рівняння є абсциса точки перетинання графіків функцій y1 =j (х) та y2=y (х). Наприклад, рівняння хln (х) — 1=0 зручно замінити нарівно значне рівнянням ln (х) = 1/x.

Побудувавши графіки двох функцій — y1= ln (х) іy2=1/x,-визначимо проміжок ізоляції [1,e] та наближене значення розв’язку x?1.7 (рис. 1.3).

Рисунок 1.3 — Визначення проміжку ізоляції з використанням графіків функцій рівнозначного рівняння.