Математическое моделювання економічних систем

Математическое моделювання економічних систем

Основные понятия.

Целью математичного моделювання економічних систем є використання методів математики для найефективнішого вирішення завдань, що виникають у в економічній галузі, з використання, зазвичай, сучасної обчислювальної техники.

Процесс рішення економічних завдань ввозяться кілька этапов:

1. Змістовна (економічна) завдання. Спочатку слід усвідомити завдання, чітко сформулювати її. У цьому визначаються також об'єкти, які ставляться до розв’язуваної завданню, і навіть ситуація, яку потрібно реалізовувати результаті цієї війни рішення. Це — етап змістовної постановки завдання. А, щоб завдання можна було описати кількісно і використовувати у її рішенні обчислювальну техніку, потрібно було справити якісний і кількісний аналіз об'єктів і ситуацій, мають до неї ставлення. У цьому складні об'єкти, розбиваються на частини (елементи), визначаються зв’язку цих елементів, їх властивості, кількісні і якісні значення властивостей, кількісні і логічні співвідношень між ними, висловлені як рівнянь, нерівностей і т.п. Це — етап системного аналізу завдання, у результаті якого об'єкт виявляється поданих у вигляді системи. Наступним етапом є математична завдання, у процесі якого здійснюється побудова математичну модель об'єкту і визначення методів (алгоритмів) отримання виконання завдання. Це — етап системного синтезу (математичної постановки) завдання. Слід зазначити, що у цьому етапі може бути, як раніше проведений системний аналіз призвів до такому набору елементів, властивостей і співвідношень, котрій немає прийнятного методу виконання завдання, внаслідок доводиться повертатися етапу системного аналізу. Зазвичай, розв’язувані в економічної практиці завдання стандартизовані, системний аналіз виробляється у розрахунку відому математичну модель і алгоритм її вирішення, проблема полягає лише у виборі підходящого метода.

Следующим етапом є розробка програми виконання завдання на ЕОМ. Для складних об'єктів, які з значної частини елементів, товаришів із більшим числом властивостей, може знадобитися складання бази даних, і коштів роботи із нею, методів вилучення даних, потрібних для розрахунків. Для стандартних завдань здійснюється не розробка, а вибір підходящого пакета прикладних програм, тож системи управління базами данных.

На на заключному етапі виробляється експлуатація моделі й одержання результатов.

Таким чином, вирішення завдання входять такі этапы:

1. Змістовна постановка задачи.

2. Системний анализ.

3. Системний синтез (математична постановка задачи).

4. Розробка чи вибір програмного обеспечения.

5. Рішення задачи.

Последовательное використання методів дослідження операцій та їх реалізація на сучасної інформаційно-обчислювальної техніці дозволяє подолати суб'єктивізм, виключити звані вольові рішення, засновані не так на суворому і точному обліку об'єктивних обставин, але в випадкових емоціях й особистої зацікавленості керівників різних рівнів, які до того ж ми можуть узгодити ці свої вольові решения.

Системный аналіз дозволяє і залучити до управлінні всю інформацію про керованому об'єкті, узгодити прийняті рішення з погляду об'єктивного, а чи не суб'єктивного, критерію ефективності. Заощаджувати на обчисленнях при управлінні той самий, що заощаджувати на прицілюванні при пострілах. Проте ЕОМ як дозволяє врахувати усю інформацію, а й рятує керівника небажаної йому інформації, а всю потрібну пускає оминаючи людини, представляючи йому лише саму узагальнену інформацію, квінтесенцію. Системний підхід економіки ефективний і саме собою, без використання ЕОМ, як засіб дослідження, цьому він не змінює раніше відкритих економічних законів, а лише вчить, як його краще использовать.

1.1. Основні системні понятия

Кибернетическая система — це безліч взаємозалежних об'єктів — елементів системи, здатних сприймати, запам’ятовувати і переробляти інформацію, і навіть обмінюватися інформацією. Система входять також зв’язок між елементами. Елементи та зв’язку з-поміж них може бути властивостями (показниками), кожна з яких може приймати деяке безліч значень. Приклади кібернетичних систем: автопілот, регулятор температури не в холодильнику, ЕОМ, людський мозок, живої організм, біологічна популяція, людське общество.

Каждый елемент системи, своєю чергою, то, можливо системою, котра, за відношення до вихідної системи є підсистемою. Натомість, будь-яку систему то, можливо підсистемою інший системи, котра, за відношення до неї є надсистемой.

Средой даної системи називається система, що складається з елементів, котрі належать до цієї системе.

Объединение двох систем є система, що складалася з елементів объединяемых систем.

Пересечение двох систем є система, що складається з елементів, що належать одночасно обом цим системам.

Объединение системи та її середовища називається система-универсум.

Пересечение системи та її середовища називається порожній системою. Вона зовсім позбавлений жодного элемента.

Для здобуття права елементи системи могли сприймати, запам’ятовувати і переробляти інформацію, вони мають мати мінливістю, тобто. змінювати свої властивості. Кажуть, що елемент може у різних станах. Кожен елемент характеризується набором показників. При зміні значення хоча самого з показників елемент перетворюється на інше стан, тобто. стан елемента визначається сукупністю конкретних значень показників елемента. Система загалом він може розглядатися елемент, вона характеризується своїми показниками і може переходити вже з стану в другое.

Показатели може бути числовими і нечисловыми. Числові показники може бути безперервними і дискретними. Нечисловые показники зазвичай висловлюють як числових, наприклад — інтелект (коефіцієнт інтелекту), рівень знань студента (оцінка в балах), ставлення одну людину до іншого (соціологічні индексы).

Элемент може впливати інші елементи системи, змінюючи їхній стан. Для переходу елемента із одного стану до іншого потрібно певна енергія. Якщо фізичний процес впливу одного елемента в інший дає також енергію для переведення гривень у інше стан, то, на другий елемент здійснюється енергетичний вплив. Якщо ж зазначений процес дає ґранти лише інформацію про стані впливає елемента, а енергія для переведення гривень у інше стан елемента, який спрямоване вплив, береться з іншого джерела, то, на елемент здійснюється інформаційне вплив. Кажуть, перший елемент передає сигнал другому элементу.

Сигнал є повідомлення про стан элемента.

В подальшому ми будемо вживати термін «передача сигналу «замість «інформаційне вплив «і «вплив «замість «енергетичний вплив » .

Состояние елемента не може змінюватися спонтанно, чи внаслідок сигналів і впливів, вступників ззовні системы.

Сообщение — це сукупність сигналов.

Сигналы, вироблювані елементами системи, можуть надходити межі системи, у тому випадку вони називаються вихідними сигналами системи. Натомість, на елементи можуть надходити сигнали ззовні системи, вони називаються вхідними. Аналогічним чином визначаються вхідні і вихідні воздействия.

Структура системи — це сукупність її елементів і перетинів поміж ними, якими можуть проходити сигнали і воздействия.

Входами називаються елементи системи, яких прикладені вхідні впливу чи що надходять вхідні сигналы.

Входными показниками називаються ті показники системи, які змінюються внаслідок вхідного впливу чи сигнала.

Выходами називаються елементи системи, які проводять вплив чи передають сигнал до іншої систему.

Выходными показниками називаються ті показники системи, зміни яких вихідний вплив чи вихідний сигнал, або є таким впливом чи сигналом.

1.2. Класифікація систем.

Классификацию кібернетичних систем ми проведемо за двома критеріями: ступінь складності системи і його детерминированность.

По ступеня складності системи бывают:

1. Простые.

2. Сложные.

3. Сверхсложные.

К простим ставляться системи, мають просту структуру і легко піддаються математичного описання, є підстави реалізовані без використання ЭВМ.

Сложными є системи, що мають внутрішніх зв’язків та складне математичне опис, реалізоване на ЭВМ.

Сверхсложные системи не піддаються математичного описанию.

Границы між зазначеними класами розмиті і може згодом зміщатися, наприклад, вдосконалення математичного апарату та обчислювальної техніки дозволяє дати опис систем, котрим це раніше не міг, чи важке опис зробити простым.

По другому критерію системи діляться на детермінований і вероятностные.

Все можливі випадки виходять комбінуванням зазначених классов:

1. Прості детермінований системы:

— холодильник з регулятором,.

— система розміщення верстатів в цехе,.

— система автобусних маршрутов,.

— сімейний бюджет,.

— розклад занять факультета,.

2. Складні детермінований системы:

— ЭВМ,.

— кольорової телевизор,.

— складальний автоконвейер,.

3. Надскладні детермінований системы:

— шахматы.

4. Прості імовірнісні системы:

— лотерея,.

— система статистичного контролю своєї продукції предприятии,.

5. Складні імовірнісні системы:

— система матеріально-технічного постачання на предприятии,.

— система диспетчирования руху літаків поблизу великого аэропорта,.

— система диспетчирования енергетичної системи России,.

6. Надскладні імовірнісні системы:

— підприємство у цілому, зокрема всі його технічні, економічні, адміністративні, соціальні характеристики,.

— общество,.

— людський мозг.

В нашому курсі ми цікавитися, переважно, простими й складними системами, ймовірнісними і детерминированными.

1.3. Динаміка системы

Состояние системи — це сукупність значень її показателей.

Все можливі стану системи утворюють її безліч станів. Якщо цього безлічі містять поняття близькості елементів, воно називається простором состояний.

Движение (поведінка) системи — це процес переходу системи вже з стану в інше, з нього у третє і т.д.

Если перехід системи вже з стану до іншого не викликає проходження будь-яких проміжних станів, то система називається дискретной.

Если при переході між будь-якими двома станами система обов’язково проходить через проміжне стан, вона називається динамічної (непрерывной).

Возможны такі режими руху системы:

1) рівноважний, коли система стає дедалі час у тому ж состоянии,.

2) періодичний, коли система через рівні інтервали часу проходить одні й ті ж состояния, Если система перебуває у равновесном чи періодичному режимі, то кажуть, що вона в що встановилася чи стаціонарному режиме.

3) перехідний режим — рух системи між двома періодами часу, у кожному у тому числі система лежить у стаціонарному режиме,.

4) апериодический режим — система проходить деяке безліч станів, проте закономірність проходження цих станів є складної, ніж періодичні, наприклад, перемінний период,.

5) эргодический режим — система проходить все простір станів в такий спосіб, що з часом проходить хоч греблю гати близько до будь-якого заданому состоянию.

Свойства об'єкту і її поведінка залежить від того, як ми його уявляємо в вигляді системи. Наприклад, якщо повітря, що у цієї кімнаті, явити у вигляді системи молекул, кожна з яких характеризується своїми координатами і швидкістю, то поведінка такої системи буде эргодично, Якщо ж визначити її в розумінні системи, що складається вже з елемента, показниками якого є тиск і температура, така система перебуває у равновесном режиме.

Для всіх практичних завдань другий спосіб визначення системи краще. Ми отримуємо просту детерміновану систему, а першому випадку — сверхсложную імовірнісного, що її не зможемо досліджувати, і якби навіть змогли, то ніде би використовували отримані результати. Необхідно правильне визначення системи та для дослідження економічних об'єктів, якими хотілося б управляти. Інструментом дослідження об'єктів з метою вибору оптимальних способів управління кібернетичне моделирование.

1.5. Кібернетичне моделирование

В процесі дослідження об'єкта це часто буває недоцільно і навіть неможливо мати справа безпосередньо з цим об'єктом. Зручніше буває замінити його іншим об'єктом, подібним яке у тих аспектах, важливі у цьому дослідженні. Наприклад, модель літака продувают в аеродинамічній трубі, натомість, щоб відчувати справжній літак — це дешевше. При теоретичному дослідженні атомного ядра фізики представляють його вигляді краплі рідини, має поверхове натяг, в’язкість тощо. Керовані об'єкти є, зазвичай, дуже складними, тому процес управління невіддільне від процесу вивчення цих объектов.

Модель — це подумки представлена чи матеріально реалізована система, яка, відображаючи чи відтворюючи об'єкт дослідження, здатна заміщати його отже її вивчення дає нову інформацію звідси объекте.

При моделюванні використовується аналогія між об'єктом — оригіналом та її моделлю. Аналогії бувають следующими:

1) зовнішня аналогія (модель літака, корабля, мікрорайону, выкройка),.

2) структурна аналогія (водогінна мережа і електромережу моделюються з допомогою графів, що відбивають всі системи зв’язку та пересічення, але з довжини окремих трубопроводов),.

3) динамічна аналогія (із поведінки системи) — маятник моделює електричний коливальний контур,.

4) кібернетичні моделі належать до другому і третьому типу. Їх властиво те, що реалізуються з допомогою ЕОМ. Сенс кібернетичного моделювання у тому, що експерименти проводяться ні з реальної фізичної моделлю об'єкта, і з його описом, яке міститься у пам’ять ЕОМ разом із програмами, реалізують зміни показників об'єкта, передбачені цим описанием.

С описом виробляють машинні експерименти: змінюють ті чи інші показники, тобто. змінюють стан об'єкту і реєструють її поведінка цих умовах. Часто поведінка об'єкта імітується в багато разів швидше, ніж насправді, завдяки швидкодії ЕОМ. Кібернетичну модель часто називають імітаційної моделью.

Формирование описи об'єкта (його системний аналіз) є найважливішим ланкою кібернетичного моделювання. Спочатку досліджуваний об'єкт розбивається на частини і елементи, визначаються їх показники, зв’язок між ними взаємодії (енергетичні і інформаційні). Через війну об'єкт виявляється поданих у вигляді системи. У цьому дуже важливо врахувати усе, що має значення до тієї практичної завдання, у якій виникла потреба у кібернетичному моделюванні, разом із тим не переусложнить систему.

Следующим етапом є складання математичних моделей ефективного функціонування об'єкту і його системної моделі. Потім виконується програмування описи і моделей його функционирования.

Поняття управления

Управление — це таке вхідний вплив чи сигнал, у результаті якого система веде себе заданим чином. Зазвичай управління спрямоване те що, щоб система лежить у стаціонарному режимі (равновесном чи периодическом).

Управление розвитком системи — це впливу чи сигнали, створені задля зміна структури чи безлічі станів системи. Наприклад, план реконструкції підприємства. І тут здійснюється управління поведінкою системи, яка реалізує розвиток даної системы.

Таким чином, управління має певну мета. Зазвичай вона формулюється як обмеження силою-силенною можливих станів системи, чи будь-якою показник системи, що потрібно підтримувати в заданих межах, або максимізувати. Якщо відома залежність цього показника від вхідних впливів на систему, чи його стану, він називається цільової функцией.

Часто мета не можна досягти відразу, а необхідно подолати кілька етапів, кожному з яких є локальна мета, не співпадаюча з головної метою. Ці локальні мети називаються завданнями управління. Приклад: автобус йде з маршруту. Мета — кінцевий пункт. Завдання — проїхати з цієї вулиці. Може бути, що собі напрямок руху вулицею відрізняється від напрями кінцевий пункт.

Для здійснення процесу управління потрібно наявність трьох элементов:

— керований объект,.

— орган управления,.

— виконавчий орган.

Орган управління — це система, на вхід якій надходять сигнали про стан керованого об'єкту і середовища, але в виході - сигнал про необхідному у цій ситуації управлении.

Исполнительный орган — це система, на вхід якій надходить сигнал про необхідному управлінні, але в виході виробляється котра управляє вплив на керований объект.

Система управління об'єднує орган управління і виконавчий орган.

Системы управління бувають следующими:

1) ручні - без використання обчислювальної техники,.

2) автоматизовані - використовується обчислювальної техніки, яка на себе основний потік інформації, проте людина залишається найважливішим ланкою системи управління, функцією якого є прийняття рішень або твердження рішень, вироблених ЭВМ,.

3) автоматичні - людина не бере участь у процесі управління і входить у цю систему управління. Звичайно здійснює за правильністю функціонування об'єкта управління втручається лише за виникненні особливих (наприклад, аварійних) ситуацій. У автоматичних системах управління людина є ланкою інший системи управління, на яку керованим об'єктом є дана автоматична СУ з її керованим нею объектом.

. Схема управления.

z B.