Математическое програмування і моделювання економіки і управлении

Министерство освіти РФ.

Санкт-Петербурзька Лісотехнічна академія їм. З. М. Кирова Кафедра: математичних методів і моделювання економіки і управлении.

Курсова робота з математичного програмування і моделювання економіки і управлении.

Виконала: студентка ФЭУ, II курсу, 4 групи д/о, напрям 521 500 менеджмент.

Гузеева Ольга.

Зачётная книжка № 600 033.

Викладачі: П. М. Коробів, А. А. Моисеев.

Санкт-Петербург.

2002 год Методология математичного моделювання асортиментної завдання (завдання оптимізації програми випуску продукції з ассортименту).

Етапи рішення задач:

1. вибір проблеми решения;

2. постановка ж проблеми і розробка экономико-математической модели.

(ЭММ);

3. вибір методу решения;

4. виконання решения;

5. аналіз результату проведення эксперимента;

6. впровадження результату, отриманого внаслідок досвіду. Завдання оптимизации:

1. забезпечення балансовою ув’язування між знаннями з випуску продукції різних видів тварин і наявністю виробничих ресурсів (сировину, матеріали, машинне час, працю, енергія тощо. п.);

2. забезпечення максимального економічного ефекту під час використання виробничих ресурсов;

3. проведення експерименту (повтори рішення за изменённых умовах, щоб створити альтернативні варіанти і вибрати їх найприйнятніший). Під оптимізацією програми випуску продукції з асортименту розуміються такі обсяги випуску різної продукції, що забезпечують отримання максимального економічного ефекту від всієї продукции.

Условия завдання: для підприємства є вільні ресурси: сировину, матеріали, машинне час, трудові тощо. п. У умови завдання відомі фонди виробничих ресурсів на запланований період, норми їх витрат за одиницю (десяток, сотню чи комплект продукції), і навіть відомі показники прибуток від реалізації продукції. Знайти програму випуску продукції з асортименту, що забезпечує максимальну сумарну прибуток за її реализации.

|Виды |Фонди |Норми витрат виробничих | |виробничих |виробничих |ресурсів на одиницю продукції | |ресурсів |ресурсів на | | | |запланований період | | | | |Р1 … Рj … Рn | |1 |bj | | |. |. | | |. |. | | |. |. | | |r |br |A=[arj]Rx n | |. |. | | |. |. | | |. |. | | |R |bR | | |Критерій оптимальності |с1 … сj … cn |.

j — індекс виду продукції; Pj — види продукції; r — індекс виду виробничих ресурсів (від 1 до R); br — фонд r-производственного ресурсу; arj — норма витрат rj-производственного ресурсу; cj — критерій оптимальності; його сутність у тому, що це економічний, техніко-економічний показник, що у умови завдання для судження про оптимальності вирішення; xj -кількість продукції Pj. Х=(х1, х2… хj…xn) — оптимальна програма випуску продукції з асортименту. Критерій оптимальності: [pic] Система обмежень: [pic] Сумарні витрати r-производственного ресурсу виконання всіх n видів продукції ні перевищувати фонди цього ресурсу, яким підприємство володіє на запланований период.

Экономическое утримання і математичне моделювання розподільних нетранспортних задач.

I. Відома програма виконання своєї продукції період. Ця програма може бути виконано різними верстатах, і навіть відомі фонд ефективного робочого дня кожного виконавця, годинна продуктивність кожного з виконавців під час вироблення кожного виду продукції. Відомі витрати з виконання продукції в різних виконавців. і - індекс виконавця (окремої машини, робочого, цеху, ділянки), i=1,2…m; j — індекс виду продукції (роботи), j=1,2…n; m — кількість робочих (верстатів); n — число видів продукції (робіт); bi — фонд ефективного робочого дня i-исполнителя в планованому періоді в годиннику; ?ij — годинна продуктивність j-продукции у i-исполнителя; ?=[ ?ij]mxn — відомо; sij — собівартість виробництва одиниці j-продукции у i-исполнителя; P. S=[ sij] mxn — відомо; Pj — вектор показників, які характеризують обсяги випуску продукції (виконання) з усіх видів — відомо; |Найменування |Фонд ефективного |P1 … Pj … Pn | |виконавця |робочого дня | | | | |продуктивність / собівартість | |1 |b1 | | |. |. | | |. |. | | |. |. | | |і |bi |?=[ ?ij]mxn / P. S=[ sij] mxn | |. |. | | |. |. | | |. |. | | |m |bm | |.

Найти план розподілу виробничого завдання щодо випуску продукції (виконання) між виконавцями, у якому завдання було б виконано з мінімальними суммарными витратами. xij — витрати ефективного робочого дня у i-исполнителя на твір j-продукции; Х=[ xij]mxn — шукані величини. Цільова функція: [pic].

s’ij — собівартість годинникового обсягу випуску продукції певного виду на певному оборудовании.

Система обмежень: [pic] - сумарні витрати ефективного робочого дня виконання всіх видів робіт ні перевищувати фонду, що має i-рабочий в плановому періоді; [pic] - сумарний обсяг випущеної продукції j-вида в усіх m виконавців має дорівнювати виробничому завданням; [pic].

II. На підприємстві відома програма випуску продукції з видам, яка можуть виконати різними виконавцями (різними ділянках). У умови завдання відомі: фонд ефективного робочого дня кожного виконавця в плановому періоді, показники норм витрат ефективного робочого дня на виробництво різних видів своєї продукції різному устаткуванні, і навіть прибуток від одиниці виробленої продукції, виробленої різними исполнителями.

|Наименование |Фонд ефективного |P1 … Pj … Pn | |виконавця |робочого дня | | | | |норми витрат / прибуток | |1 |b1 | | |. |. | | |. |. | | |. |. | | |і |bi |A=[ aij]mxn / З=[ cij] mxn | |. |. | | |. |. | | |. |. | | |m |bm | |.

і - індекс виконавця (окремої машини, робочого, цеху, ділянки), i=1,2…m; j — індекс виду продукції (роботи), j=1,2…n; m — кількість робочих (верстатів); n — число видів продукції (робіт); bi — фонд ефективного робочого дня i-исполнителя в планованому періоді в годиннику; aij — показник норми витрат за виробництво j-продукции у i-исполнителя; A=[ аij]mxn — відомо; сij — показник прибуток від одиниці j-продукции у i-исполнителя; З=[ сij] mxn — відомо; Pj — вектор показників, які характеризують обсяги випуску продукції (виконання) з усіх видів — відомо. Потрібна знайти план розподілу виробничого завдання між виконавцями, у якому це завдання було б виконано з максимальною сумарною прибутком від всієї продукції. xij — обсяг (кількість) j-продукции виробленої i-исполнителем; Х=[ xij]mxn — шукані величины.

Целевая функція: [pic] Система обмежень: [pic].

При розв’язанні цієї системи лінійних рівнянь і нерівностей, потрібно знайти такі неотрицательные значення змінних, щоб цільова функція приймала максимальне значение.

Методология математичного моделювання раскройной завдання (завдання оптимізації програми розкроювання материалов).

Нехай є ДСК стандартних розмірів, у тому числі необхідно нарізати m різних за розміру заготовок і деталей для меблів. ДСК певного розміру то, можливо раскроена n способами (варіантами). По кожному із можливих варіантів розкроювання складається відповідна карта розкроювання, з якої видно, що з j (j=1,2…n) способі розкроювання з однієї плити виходить певна кількість (позначимо через aij) заготовок і (i=1,2…m) виду (розміру). По картам розкроювання встановлюється також величина відходів (площа, вагу, вартість) при раскрое однієї плити j способом (позначимо — сj). У завданні на розплющ має зазначене загальна кількість заготовок кожного і виду (розміру) — bi, що слід нарізати з плит, що надійшли до розплющ (позначимо — R). У задачі потрібно визначити оптимальний план розкроювання ДСК, який би мінімальні відходи (чи мінімальний витрата раскраиваемых матеріалів), за умови виконання завдання щодо виходу заготовок. xj — кількість ДСК, яке слід раскраивать про те, щоб нарізати заданий число заготовок кожного виду, у своїй сумарні відходи (чи сумарний витрата плит) мали бути зацікавленими минимальными.

|Виды заготовок|Задание по розкрию |Способи розкроювання | | | |1 … j … n | | | | | |1 |b1 | | |. |. | | |. |. | | |. |. | | |і |bi |A=[ аij]mxn | |. |. | | |. |. | | |. |. | | |m |bm | | |Відходи |З=[ cj] n |.

Критерий оптимальності: [pic] Система обмежень: [pic].

При розв’язанні цієї системи лінійних рівнянь і нерівностей, потрібно знайти такі неотрицательные значення змінних, щоб цільова функція приймала мінімальне значение.

Рассмотрим приклад виконання завдання оптимізації програми розкроювання матеріалів симплексным методом.

F=0.26×1+0.28×2+0.3×3+0.29×4=min [pic] F=0.26×1+0.28×2+0.3×3+0.29×4+0×5+0×6+0×7+0×8+0×9+M (y1+y2+y3+y4)=min [pic].

| |B1 … Bj … Bn | | |b1 … bj … bn | | |З=[ сij] mxn / Х=[ xij]mxn | |A1 |a1 |c11|… |c1j|… |c1n|… | | | | |x11… | |…x1j… | |… x1n | | | | | | | | | | |. |. |. |.. |. |.. |. |.. | |. |. |. |. |. |. |. |. | |. |. |. |.. |. |.. |. |.. | | | | |. | |. | |. | | | | |.. | |.. | |.. | | | | |. | |. | |. | |Ai |ai |ci1|… |cij|… |cin|… | | | | |xi1… | |…xij… | |… xin | | | | | | | | | | |. |. |. | |. | |. | | |. |. |. | |. | |. | | |. |. |. | |. | |. | | |Am |am |cm1|… |c11|… |c11|… | | | | |xm1… | |…xmj… | |…xmn | | | | | | | | | |.

Целевая функція: [pic] (1) Умова реалізації продукції у постачальників: [pic] (2) Умова забезпечення всіх споживачів продукцією з їхньої потреби: [pic] (3) Умова не заперечності змінних: [pic] У рішенні системи лінійних рівнянь 2 і трьох необхідно знайти такі не негативні значення змінних, щоб цільова функція приймала мінімальне значение.

m+n-1 — лінійно незалежних рівнянь, ранг системи, r= m+n-1. У кожному опорному плані має бути m+n-1 базисних елементів (xij>0), якщо таких змінних одно чи більше, ніж m+n-1, план називається невырожденный; якщо одна чи кілька базисних змінних дорівнює нулю, то такий план вважається вырожденным.

Відкриті транспортні задачи.

a) [pic] [pic] (1) [pic] (2) [pic] (3) [pic] Bn+1: [pic] - потреба якогось споживача, який би поза району (фіктивний споживач). [pic] (1) [pic] (2) [pic] (3) [pic] [pic] сi, n+1=0 (i=1,2…m).

б) [pic] [pic] (1) [pic] (2) [pic] (3) [pic] Аn+1: [pic] - фіктивний постачальник. [pic] (1) [pic] (2) [pic] (3) [pic] [pic].

Обмеження транспортних возможностей.

а) xij=0 => cij=М, де М"0; б) 0? хij? dij dij — характеризує транспортні можливості між i-поставщиком і jспоживачем. Тоді постачальник Аi умовно ділиться на Аi` і Аi``, у своїй ai`=dij і ai``= ai`-dij, cij`=cij і cij``=М, де М"0.

Рассмотрим приклад рішення транспортної завдання методом потенциалов.

| |В1 |В2 |В3 |В4 |В5 |Ui | | |200 |250 |275 |255 |120 | |.

?11=-1 ?12=0 ?13=M-11 ?21=6 ?24=7 ?25=5 ?31=6 ?33=M-6 ?34=7 ?35=5 ?41=0 ?42=-4 ?44=4 ?52=13 ?54=0 ?55=2.

| |В1 |В2 |В3 |В4 |В5 |Ui | | |200 |250 |275 |255 |120 | |.

?11=-1 ?12=4 ?13=M-11 ?21=6 ?22=4 ?24=7 ?25=5 ?31=2 ?33=M-10 ?34=3 ?35=1 ?41=0 ?44=4 ?52=7 ?54=3 ?55=2.

| |В1 |В2 |В3 |В4 |В5 |Ui | | |200 |250 |275 |255 |120 | |.

?12=5 ?13=M-10 ?15=1 ?21=6 ?22=4 ?24=6 ?25=5 ?31=2 ?33=M-10 ?34=2 ?35=1 ?41=0 ?44=3 ?52=7 ?54=2 ?55=2.

F=7×1+10×2+Mx3+6×4+7×1+10×2+Mx3+6×4+9×5+5×6+6×7+8×8+8×9+6×10+11×11+ +10×12+6×13+11×14+9×15+7×16=min при обмеженнях: [pic] F=7*45+6*155+5*125+6*125+6*125+11*25+9*125+6*255=6300.

Оптимальний план поставок для деревообробних підприємств, який би мінімальні транспортні витрати у сумі 6 300 000 крб., ось у чому: 1-ое лісозаготівельне підприємство поставляє 45 т. м3 1-ому деревообрабатывающему підприємству; 1-ое — 4-ому: 255 т. м3; 2-ое — 2-ому: 125 т. м3; 2-ое — 3-ему: 125 т. м3; 3-тє - 2-ому: 125 т. м3; 3-тє - 3-ему: 25 т. м3; у 3-го підприємства залишається запас в 120 т. м3; 4-те — 1-ому: 155 т. м3; 4-те — 3-ему: 125 т. м3; є альтернативний приведённому план поставок за ті самі транспортних витратах: 1-ое — 4-ому: 255 т. м3; 2-ое — 2-ому: 125 т. м3; 2-ое — 3-ему: 125 т. м3; 3-тє - 1-ому: 25 т. м3; 3-тє - 2-ому: 125 т. м3; у 3-го підприємства залишається запас в 120 т. м3; 4-те — 1-ому: 130 т. м3; 4-те — 3-ему: 150 т. м3.

Оптимізація заміни устаткування. Динамічний програмування в плануванні виробництвом і які управлінні им.

Під динамічним програмуванням розуміється обчислювальний метод, спирається на апарат рекуррентных соотношений.

Динамічний програмування — планування многошагового процесу, у якому кожному кроці рішення, оптимізується тільки це крок. Ідея динамічного програмування у тому, що пошук безлічі змінних, що відбувалося у лінійному програмуванні, замінюється на багаторазове пошук одного чи дуже небагатьох вихідних переменных.

Весь процес динамічного програмування планується на вигляді складання функціональних рівнянь, котрі наважуються кожному шаге.

Під функціональними рівняннями розуміються такі рівняння, у яких виражається функціональна залежність між безліччю функцій — це суть і стала відмінність динамічного програмування від линейного.

Зміст ж проблеми і сутність алгоритму решения.

Процес виконання завдання здійснюється наступним способом. Береться період N років. На той час устаткування відпрацювало певну кількість років настало t0 возраста.

Рішення завдання починається з останнього N-го року, складається пара функціональних рівнянь в припущенні, що прийшов старе устаткування без замены:

1) розраховується прибуток від експлуатації устаткування при замене;

2) розраховується прибуток від експлуатації обладнання протягом року за умови його старіння. Друга гіпотеза: до N-ому року устаткування спадало заміненим що нето року, тоді складається пара рівнянь, у яких визначається дохід за роки від експлуатації одиниці устаткування за умови заміни чи збереження оборудования.

Крок другий: розглядаємо (N-1) рік. Розглядаються дві гипотезы:

. прийшло старе устаткування без замены;

. прийшло устаткування, що було заменено.

Крок третій: розглядається (N-2) рік при двох гіпотезах, складаються рівняння, розраховується доход.

Рішення триває за всі кроків. У першому року одна гіпотеза, що прийшов старе устаткування, що використовується t0 лет.

Упорядкування функціональних уравнений.

Під критерієм оптимальності може бути прийнятий будь-який економічний показник, коли він добре підготовлений, тобто. повинен бути отчищен від чинників, які залежать з посади устаткування. r (t) — вартість продукції, створеної одиницею устаткування віку t років протягом року. U (t) — видатки вміст у протягом року одиниці устаткування віку t років. С (t) — видатки заміну одиниці устаткування віку t років (видатки придбання, налагодження з відрахуванням залишкової вартості старого устаткування). і - рік установки нового устаткування. Доход заміни устаткування розраховується: f'=r (t)-U (t)-C (t) Прибуток від збереження устаткування: f''=r (t)-U (t) Якщо f'>f'', те обладнання необхідно замінити, якщо f'?f'' - оставить.

Шаг 1-ый: N-ий рік. Гіпотеза 1: прийшло старе устаткування віку N+t0 років. Тоді дохід за N-ий рік за умови заміни чи збереження устаткування: [pic] Гіпотеза 2: прийшов новий устаткування. [pic].

Возьмём N-t-й рік: [pic].

Шаг 2-ой: (N-1)-ый рік. Розраховується сумарний умовний дохід, за умови заміни чи збереження. Гіпотеза 1: прийшло старе устаткування. [pic] Гіпотеза 2: прийшов новий устаткування. [pic].

Розглянемо приклад виконання завдання про заміну оборудования.

Вихідна інформація за «старим устаткуванню (t0=7): |Показник |Значення показників на одиницю устаткування віку (років) в | | |тис. крб. | | |8 |9 |10 |11 |12 | |r (t) |100 |87 |74 |67 |60 | |U (t) |27 |32 |39 |42 |40 | |C (t) |135 |148 |150 |165 |172 |.

Исходная інформація у новій устаткуванню: |Показник |Значення показників на одиницю устаткування віку (років) в | | |тис. крб. | | |0 |1 |2 |3 |4 | |r1(t) |135 |105 |85 |80 |75 | |U1(t) |12 |15 |20 |22 |25 | |C1(t) |- |152 |160 |170 |180 | |r2(t) |125 |100 |90 |84 | | |U2(t) |13 |15 |17 |20 | | |C2(t) |- |132 |142 |152 | | |r3(t) |136 |120 |116 | | | |U3(t) |15 |16 |19 | | | |C3(t) |- |156 |162 | | | |r4(t) |145 |135 | | | | |U4(t) |20 |17 | | | | |C4(t) |- |180 | | | | |r5(t) |162 | | | | | |U5(t) |35 | | | | |.

I етап (5 рік): |Оборудова-н|Возраст|Условие максимального доходу за 5 рік | |не | | | | | |Формула |Розрахунки |Полити-к| | | | | |а | |У розділі ст |12 |[pic] |165−35−172= -42| | | | | | |Сохран. | | | | |60−40=20 | | |М |1 |[pic] |165−35−180= -50| | | | | | |Сохран. | | | | |135−17=118 | | |М |2 |[pic] |130−162= -32 | | | | | |116−19=97 |Сохран. | |М |3 |[pic] |130−152= -22 | | | | | |84−20=64 |Сохран. | |М |4 |[pic] |130−180= -50 | | | | | |75−25=50 |Сохран. |.

II етап (4, 5 рік): |Оборудова-н|Возраст|Условие максимального доходу за 5 рік | |не | | | | | |Формула |Розрахунки |Полити-к| | | | | |а | |У розділі ст |11 |[pic] |=145−20−165| | | | | |+ |Заміни | | | | |+118=78 | | | | | | | | | | | |=67−42+ | | | | | |+20=45 | | |М |1 |[pic] |=125−156+ | | | | | |+118=87 | | | | | |=120−16+ |Сохран. | | | | |+97=201 | | |М |2 |[pic] |=243−142= | | | | | |=101 | | | | | |=90−17+64= |Сохран. | | | | |=137 | | |М |3 |[pic] |=243−170= | | | | | |=73 | | | | | |=80−22+50= |Сохран. | | | | |=108 | |.

III етап (3, 4, 5 рік): |Оборудова-н|Возраст|Условие максимального доходу за 5 рік | |не | | | | | |Формула |Розрахунки |Полити-к| | | | | |а | |У розділі ст |10 |[pic] |=136−15−150| | | | | |+ |Заміни | | | | |+201=172 | | | | | | | | | | | |=74−39+ | | | | | |+78=113 | | |М |1 | [pic] |=322−132= | | | | | |=190 | | | | | |=100−15+ |Сохран. | | | | |+137=222 | | |М |2 |[pic] |=322−160= | | | | | |=162 | | | | | |=85−20+108=|Сохран. | | | | | | | | | | |=173 | |.

IV етап (2, 3, 4, 5 рік): |Оборудова-н|Возраст|Условие максимального доходу за 5 рік | |не | | | | | |Формула |Розрахунки |Полити-к| | | | | |а | |У розділі ст |9 |[pic] |=125−13−148| | | | | |+ | | | | | |+222=186 | | | | | | |Сохран. | | | | |=87−32+ | | | | | |+179=227 | | |М |1 | [pic] |=334−152= | | | | | |=182 | | | | | |=105−15+ |Сохран. | | | | |+173=263 | |.

V етап (1, 2, 3, 4, 5 рік): |Оборудова-н|Возраст|Условие максимального доходу за 5 рік | |не | | | | | |Формула |Розрахунки |Полити-к| | | | | |а | |У розділі ст |8 |[pic] |=135−12−135| | | | | |+ | | | | | |+263=251 | | | | | | |Сохран. | | | | |=100−27+ | | | | | |+227=300 | |.

Оптимальная політика ставлення до устаткуванню, забезпечує максимальну прибуток 300 тис. крб., ось у чому: один рік зберегти устаткування, у своїй прибуток становитиме (300−263)=37 тис. крб.; у 2 рік — зберегти, при доході (263−172)=91 тис. крб.; в 3 рік — замінити, при збитку (172−201)=55 тис. крб.; на чотири рік — зберегти, при доході (201−97)=104 тис. крб.; в розмірі 5 рік — зберігаємо, при доході 97 тис. крб. ———————————- 125 0.

0 125.

0 125.

195 70.

75 120.

45 0.

200 155.

0 45.

70 25.

80 125.

0 25.

25 0.

155 130.

125 150.