Точність чисельного інтегрування

Исследование точності чисельного интегрирования.

Research of Accuracy of Numerical Integration.

Завдання исследования.

Провести дослідження внутрішньої збіжності чисельного інтегрування методом.

Сімпсона і трапецій різних функцій, поставлених з допомогою мови С.

Докладний опис завдання й засоби її решения.

Потрібно здійснити дослідження так званої внутрішньої збіжності чисельного.

інтегрування методами Симсона і трапецій різних функцій, поставлених з.

допомогою функцій мови З. Передбачається, що відрізок інтегрування [a, b] розбитий.

на n рівних частин системою точок (сеткой).

Контроль внутрішньої збіжності залежить від циклічному обчисленні наближених.

значень інтеграла для удваиваемого порівняно з значенням попередньому.

проходженні циклу числа n. Відносини абсолютної величини різниці цих значень.

до цілковитої величині попереднього наближеного значення приймається як.

критерію досягнення точності интеграла.

Побудувати залежності кількостей ітерацій від різних величин критерію точности.

Побудувати зворотні залежності критерію точності кількості итераций.

Повторити усі вказані вище дослідження для випадку, коли за обчисленні.

критерію точності різницю значень інтеграла належить немає попередньому.

значенням, а до точному значенням аналітично обчисленого интеграла.

Досліджувати вплив збільшення верхньої межі інтегрування на точність (при.

інших незмінних умовах).

Метод трапеций.

где.

Метод Симпсона.

где.

Результати исследований.

Таблиця і графік залежності кількості ітерацій від різних значень критерію.

точности.

Для.

Критерій точностиКоличество итераций.

— 0,167 663 114.

— 0,151 891 616.

— 0,4 693 112.

— 0,2 653 111.

— 0,263 910.

— 0,17 092.

— 0,12 979.

— 0,5 573.

— 0,258.

— 0,1 984.

— 0,965.

— 0,386.

0,527.

0,7 108 913.

Критерій точностиКоличество итераций.

— 0,112 727 116.

— 0,75 028 815.

— 0,54 067 714.

— 0,2 141 512.

— 0,571 111.

— 0,4 589.

— 0,3 812.

— 0,1 913.

— 0,84.

— 0,45.

— 0,197.

— 0,26.

0,58.

0,298 310.

0,16 437 713.

Критерій точностиКоличество итераций.

— 0,6 670 913.

— 0,4 236 714.

— 0,356 110.

— 0,165.

— 0,14.

0,53.

0,66.

0,92.

0,97.

0,2 238.

0,569.

0,278 211.

0,347 412.

0,529 316.

0,5 326 715.

Критерій точностиКритерий точности.

— 61,446 979 512.

— 5,7 140 473.

— 1,21 575 513.

— 0,72 414 332.

— 0,51 211 174.

— 0,322 264 311.

— 0,21 636 147.

— 0,15 366 299.

— 0,93 026 114.

0,35 318 316.

0,5 705 915.

0,16 973 715.

0,202 553 410.

0,25 047 286.

0,62 025 928.

Критерій точностиКоличество итераций.

— 0,11 930 816.

— 0,783 413.

— 0,793.

— 0,414.

— 0,377.

— 0,275.

— 0,276.

— 0,28.

— 0,162.

0,310.

0,629.

0,38 511.

0,80 212.

0,545 215.

0,1 668 914.

Критерій точностиКоличество итераций.

— 0,2 628 616.

— 0,1 241 614.

— 0,1 183.

— 0,1 074.

— 0,465.

— 0,469.

— 0,286.

— 0,217.

— 0,52.

0,1 110.

0,188.

0,2 311.

0,5 812.

0,104 913.

0,2 792 815.

Таблиця і графік залежності значень критерію точності кількості итераций.

Для функції.

Стосовно попередньому значениюПо відношення до аналітичного значению.

Критерій точностиКоличество итерацийКритерий точностиКоличество итераций.

— 0,17 092−0,19 322.

— 0,5 573−0,6 293.

— 0,1 984;0,2 244.

— 0,965−0,1 085.

— 0,386−0,436.

0,5 270,00000587.

— 0,258−0,2 838.

— 0,12 979−0,14 669.

— 0,263 910−0,298 310.

— 0,2 653 111−0,299 811.

— 0,4 693 112−0,5 289 112.

0,71 089 130,079740313.

— 0,167 663 114−0,201 436 514.

— 0,151 891 616−0,151 891 616.

Для функції.

Стосовно попередньому значениюПо відношення до аналітичного значению.

Критерій точностиКоличество итерацийКритерий точностиКоличество итераций.

— 0,3 812−0,6 662.

— 0,1 913;0,3 353.

— 0,84−0,1 414.

— 0,45−0,695.

— 0,26−0,46.

— 0,197−0,337.

0,580,00000888.

— 0,4 589−0,8 029.

0,2 983 100,00052210.

— 0,571 111−0,999 711.

— 0,2 141 512−0,3 746 512.

0,164 377 130,028695513.

— 0,54 067 714−0,95 937 814.

— 0,75 028 815−0,125 933 115.

— 0,112 727 116−0,175 012 416.

Порівняння результатов.

Таблиця порівняльних результатовМетод трапеції n=1 000 000Метод Сімпсона.

n =1 000 000Аналитический результатФункцияПределы.

4,50 514 754,52401834,4 998 0967f (x)=1/x0,1…9.

1,74 914 621,75007611,79 175 6469f (x)=1/x*x0,3…5.

1,99 918 851,99995052f (x)=sin (x)0???

— 0,5 120,0000030f (x)=sin (2*x)0???

0,28 571 570,28569350,28 571 4285f (x)=sin (7*x)0???

0,22 220 530,22221330,22 222 2222f (x)=sin (9*x)0???

Таблиця впливу збільшення верхньої межі на точність интегрирования.

Аналітичне значениеПрактическое значениеВерхний пределПогрешность.

4,499 809 674,52179969−0,2 198 993.

4,6 051 701 864,62496910−0,19 798 814.

4,7 874 917 434,803941212−0,16 449 457.

4,9 416 424 234,955784314−0,14 141 877.

5,751 738 155,087544416−0,12 370 585.

5,1 929 568 515,203927518−0,10 970 649.

5,2 983 173 675,308204220−0,9 886 833.

Отже, збільшення верхньої межі призводить до збільшення точності.

интегрирования.

Текст программы.

/* Курсова робота з информатике.

" Дослідження точності чисельного інтегрування «.

" Research of Accuracy of Numerical Integration «.

Преподаватель:

Студенти: Степанов А.Г.

Черепанов К.А.

Група: Р-207.

*/.

# include.

# include.

# include.

# include.

# include.

# include.

int main ().

{.

FILE *fp; /*покажчик на поток*/.

int n, i, t, j, N;

float a, b, h, Sum[100], x, y, coa;

printf («Research of Accuracy of Numerical Integrationn »);

/*Введення точності вычисления*/.

printf («Enter accuracy of calculation n= «);

scanf («%d » ,&n);

/*Введення початку интегрирования*/.

printf («Enter beginnings of integration= «);

scanf («%f » ,&a);

/*Введення краю интегрирования*/.

printf («Enter limit of integration= «);

scanf («%f » ,&b);

/*Відкриття файла-источника*/.

while ((fp=fopen («data3.xls », «w »))==NULL).

{.

puts («Error!!! Can «t open file nInput name of filen »);

}.

/*Введення кількості итераций*/.

printf («Enter number of Itteration N= «);

scanf («%d » ,&N);

/*Обчислення кроку интегрирования*/.

h=(a+b)/n;

printf («Step=%.3fn », h);

/*******Обчислення інтеграла методом трапеций*******/.

for (j=1;j.

{.

h=(a+b)/(int (pow (2,j-1))*n);

Sum[j]=0;

for (i=0;i.

{.

x=a+i*h;

if (i==0).

t=1;

else.

t=2;

y=t*(h/2)*(sin (2*x));

Sum[j]=Sum[j]+y;

}.

if (j>1).

{.

coa=(Sum[j]-Sum[j-1])/Sum[j-1];

printf («Criterion of accuracy=%.5f Number of iteration=%dn », coa, j);

fprintf (fp, «%.7ft », coa);

fprintf (fp, «%dtn », j);

}.

}.

printf («The sum by a method of trapezes=%.7fn », Sum[1]);

fprintf (fp, «The sum by a method of trapezes=%.7fn », Sum[1]);

/*******Обчислення інтеграла методом Симпсона*******/.

for (j=1;j.

{.

h=(a+b)/(int (pow (2,j-1))*n);

Sum[j]=0;

for (i=0;i.

{.

x=a+i*h;

if (i==0i==n).

t=1;

else.

{.

if (i%2==0).

t=2;

else.

t=4;

}.

y=t*(h/3)*(sin (2*x));

Sum[j]=Sum[j]+y;

}.

if (j>1).

{.

coa=(Sum[j]-Sum[j-1])/Sum[j-1];

printf («Criterion of accuracy=%.5f Number of iteration=%dn », coa, j);

fprintf (fp, «%.7ft », coa);

fprintf (fp, «%dtn », j);

}.

}.

printf («The sum by a Simpson «p.s method= %.7fn », Sum[1]);

fprintf (fp, «The sum by a Simpson «p.s method=%.7fn », Sum[1]);

scanf («%d » ,&b);

}.