Исследование точності чисельного интегрирования

Задание исследования.

Провести дослідження внутрішньої збіжності чисельного інтегрування методом Сімпсона і трапецій різних функцій, поставлених з допомогою мови С.

Докладний опис завдання й засоби її решения.

Потрібно здійснити дослідження так званої внутрішньої збіжності чисельного інтегрування методами Симсона і трапецій різних функцій, поставлених з допомогою функцій мови З. Передбачається, що відрізок інтегрування [a, b] розбитий на n рівних частин системою точок (сеткой).

Контроль внутрішньої збіжності залежить від циклічний обчисленні наближених значень інтеграла для удваимого порівняно з значенням попередньому проходженні циклу числа n. Відносини абсолютної величини різниці цих значень до цілковитої величині попереднього наближеного значення приймається критерієм досягнення точності интеграла.

Побудувати залежності кількостей ітерацій від різних величин критерію точности.

Побудувати зворотні залежності критерію точноти кількості итераций.

Повторити усі вказані вище дослідження для випадку, коли за обчисленні критерію точності різницю значень інтеграла належить немає попередньому значенням, а до точному значенням аналітично обчисленого интеграла.

Досліджувати вплив збільшення верхньої межі інтегрування на точність (за інших незмінних умовах).

Метод трапеций.

где.

Метод Симпсона.

где.

Результати исследований.

Таблиця і графік залежності кількості ітерацій від різних значень критерію точности.

Для.

Критерій точності Кількість итераций.

— 0,1 676 631 14.

— 0,1 518 916 16.

— 0,46 931 12.

— 0,26 531 11.

— 0,2 639 10.

— 0,1 709 2.

— 0,1 297 9.

— 0,557 3.

— 0,25 8.

— 0,198 4.

— 0,96 5.

— 0,38 6.

0 15.

0,52 7.

0,71 089 13.

Критерій точності Кількість итераций.

— 0,1 127 271 16.

— 0,750 288 15.

— 0,540 677 14.

— 0,21 415 12.

— 0,5 711 11.

— 0,458 9.

— 0,381 2.

— 0,191 3.

— 0,8 4.

— 0,4 5.

— 0,19 7.

— 0,2 6.

0,5 8.

0,2 983 10.

0,164 377 13.

Критерій точності Кількість итераций.

— 0,66 709 13.

— 0,42 367 14.

— 0,3 561 10.

— 0,16 5.

— 0,1 4.

0,5 3.

0,6 6.

0,9 2.

0,9 7.

0,223 8.

0,56 9.

0,2 782 11.

0,3 474 12.

0,5 293 16.

0,53 267 15.

Критерій точності Критерій точности.

— 61,4 469 795 12.

— 5,714 047 3.

— 1,215 755 13.

— 0,7 241 433 2.

— 0,5 121 117 4.

— 0,3 222 643 11.

— 0,2 163 614 7.

— 0,1 536 629 9.

— 0,930 261 14.

0,353 183 16.

0,57 059 15.

0,1 697 371 5.

0,2 025 534 10.

0,2 504 728 6.

0,6 202 592 8.

Критерій точності Кількість итераций.

— 0,119 308 16.

— 0,7 834 13.

— 0,79 3.

— 0,41 4.

— 0,37 7.

— 0,27 5.

— 0,27 6.

— 0,2 8.

— 0,16 2.

0,3 10.

0,62 9.

0,385 11.

0,802 12.

0,5 452 15.

0,16 689 14.

Критерій точності Кількість итераций.

— 0,26 286 16.

— 0,12 416 14.

— 0,118 3.

— 0,107 4.

— 0,46 5.

— 0,46 9.

— 0,28 6.

— 0,21 7.

— 0,5 2.

0,11 10.

0,18 8.

0,23 11.

0,58 12.

0,1 049 13.

0,27 928 15.

Таблиця і графік залежності значень критерію точності кількості итераций.

Для функції.

Стосовно попередньому значенням Стосовно аналітичного значению.

Критерій точності Кількість ітерацій Критерій точності Кількість итераций.

— 0,1 709 2 -0,1 932 2.

— 0,557 3 -0,629 3.

— 0,198 4 -0,224 4.

— 0,96 5 -0,108 5.

— 0,38 6 -0,43 6.

0,52 7 0,58 7.

— 0,25 8 -0,283 8.

— 0,1 297 9 -0,1 466 9.

— 0,2 639 10 -0,2 983 10.

— 0,26 531 11 -0,2 998 11.

— 0,46 931 12 -0,52 891 12.

0,71 089 13 0,797 403 13.

— 0,1 676 631 14 -0,2 014 365 14.

0 15 0 15.

— 0,1 518 916 16 -0,1 518 916 16.

Для функції.

Стосовно попередньому значенням Стосовно аналітичного значению.

Критерій точності Кількість ітерацій Критерій точності Кількість итераций.

— 0,381 2 -0,666 2.

— 0,191 3 -0,335 3.

— 0,8 4 -0,141 4.

— 0,4 5 -0,69 5.

— 0,2 6 -0,4 6.

— 0,19 7 -0,33 7.

0,5 8 0,88 8.

— 0,458 9 -0,802 9.

0,2 983 10 0,522 10.

— 0,5 711 11 -0,9 997 11.

— 0,21 415 12 -0,37 465 12.

0,164 377 13 0,286 955 13.

— 0,540 677 14 -0,959 378 14.

— 0,750 288 15 -0,1 259 331 15.

— 0,1 127 271 16 -0,1 750 124 16.

Порівняння результатов.

Таблиця порівняльних результатов.

Метод трапеції n=1 000 000 Метод Сімпсона n =1 000 000 Аналітичний результат Функція Пределы.

4,5 051 475 4,5 240 183 4,49 980 967 f (x)=1/x 0,1…9.

1,7 491 462 1,7 500 761 1,791 756 469 f (x)=1/x*x 0,3…5.

1,9 991 885 1,9 999 505 2 f (x)=sin (x) 0???

— 0,512 0,3 0 f (x)=sin (2*x) 0???

0,2 857 157 0,2 856 935 0,285 714 285 f (x)=sin (7*x) 0???

0,2 222 053 0,2 222 133 0,222 222 222 f (x)=sin (9*x) 0???

Таблиця впливу збільшення верхньої межі на точність интегрирования.

Аналітичне значення Практичне значення Верхня межа Погрешность.

4,49 980 967 4,5 217 996 9 -0,2 198 993.

4,605 170 186 4,624 969 10 -0,19 798 814.

4,787 491 743 4,8 039 412 12 -0,16 449 457.

4,941 642 423 4,9 557 843 14 -0,14 141 877.

5,75 173 815 5,875 444 16 -0,12 370 585.

5,192 956 851 5,2 039 275 18 -0,10 970 649.

5,298 317 367 5,3 082 042 20 -0,9 886 833.

Отже, збільшення верхньої межі призводить до збільшення точності интегрирования.

Список бібліографічних источников.

1. Довідник по математике/Бронштейн І.Н., Семендяев К.А.-М.:Физико-математическая література, 1998.

Текст программы.

/* Курсова робота з информатике.

" Дослідження точності чисельного інтегрування «.

" Research of Accuracy of Numerical Integration «.

Преподаватель:

Студенти: Степанов А.Г.

Черепанов К.А.

Група: Р-207.

*/.

# include.

# include.

# include.

# include.

# include.

# include.

int main ().

{.

FILE *fp; /*покажчик на поток*/.

int n, i, t, j, N;

float a, b, h, Sum[100], x, y, coa;

printf («Research of Accuracy of Numerical Integrationn »);

/*Введення точності вычисления*/.

printf («Enter accuracy of calculation n= «);

scanf («%d » ,&n);

/*Введення початку интегрирования*/.

printf («Enter beginnings of integration= «);

scanf («%f » ,&a);

/*Введення краю интегрирования*/.

printf («Enter limit of integration= «);

scanf («%f » ,&b);

/*Відкриття файла-источника*/.

while ((fp=fopen («data3.xls », «w »))==NULL).

{.

puts («Error!!! Can «t open file nInput name of filen »);

}.

/*Введення кількості итераций*/.

printf («Enter number of Itteration N= «);

scanf («%d » ,&N);

/*Обчислення кроку интегрирования*/.

h=(a+b)/n;

printf («Step=%.3fn », h);

/*******Обчислення інтеграла методом трапеций*******/.

for (j=1;j.

{.

h=(a+b)/(int (pow (2,j-1))*n);

Sum[j]=0;

for (i=0;i.

{.

x=a+i*h;

if (i==0).

t=1;

else.

t=2;

y=t*(h/2)*(sin (2*x));

Sum[j]=Sum[j]+y;

}.

if (j>1).

{.

coa=(Sum[j]-Sum[j-1])/Sum[j-1];

printf («Criterion of accuracy=%.5f Number of iteration=%dn », coa, j);

fprintf (fp, «%.7ft », coa);

fprintf (fp, «%dtn », j);

}.

}.

printf («The sum by a method of trapezes=%.7fn », Sum[1]);

fprintf (fp, «The sum by a method of trapezes=%.7fn », Sum[1]);

/*******Обчислення інтеграла методом Симпсона*******/.

for (j=1;j.

{.

h=(a+b)/(int (pow (2,j-1))*n);

Sum[j]=0;

for (i=0;i.

{.

x=a+i*h;

if (i==0||i==n).

t=1;

else.

{.

if (i%2==0).

t=2;

else.

t=4;

}.

y=t*(h/3)*(sin (2*x));

Sum[j]=Sum[j]+y;

}.

if (j>1).

{.

coa=(Sum[j]-Sum[j-1])/Sum[j-1];

printf («Criterion of accuracy=%.5f Number of iteration=%dn », coa, j);

fprintf (fp, «%.7ft », coa);

fprintf (fp, «%dtn », j);

}.

}.

printf («The sum by a Simpson «p.s method= %.7fn », Sum[1]);

fprintf (fp, «The sum by a Simpson «p.s method=%.7fn », Sum[1]);

scanf («%d » ,&b);

}.