Спектральный аналіз стану та його додатку до обробці сигналів у реальному времени

Постановка проблем, формулювання задач.

Глава 1. Теоретичний аналіз існуючих алгоритмів спектрального анализа.

1.1. Введення ЄІАС у спектральне оценивание.

*?1.1.1. Завдання спектрального оценивания.

*?1.1.2. Проблеми у сфері спектрального оценивания.

* 1.1.3. Спектральні оцінки за кінцевим послідовностям данных.

* 1.1.4. Загальна картина.

1.2. Основні ухвали і теореми класичного спектрального анализа.

* 1.2.2 Операції дискретизації і зважування щоб одержати дискретночасових рядів Фурье.

* 1.2.3. Аналіз эргодичных дискретних процессов.

1.3. Класичні методи спектрального анализа.

* 1.3.1.

Введение

.

* 1.3.2. Вікна даних, і кореляційні вікна в спектральному анализе.

* 1.3.3. Периодограммные оцінки спектральною щільності мощности.

* 1.3.4. Коррелограммные оцінки спектра.

* 1.3.5. Область применения.

1.4. Авторегрессионное спектральне оценивание.

* 1.4.1.

Введение

.

* 1.4.2. Поцінування кореляційної функції - метод Юла-Уалкера.

* 1.4.3. Методи оцінювання коефіцієнтів отражения.

* 1.4.3.1. Геометричний алгоритм.

* 1.4.3.2. Гармонійний алгоритм Берга.

* 1.4.4. Поцінування лінійного передбачення методом найменших квадратов.

* 1.4.5. Градиентный адаптивний авторегрессионный метод.

* 1.4.6. Рекурсивний авторегрессионный метод найменших квадратов.

1.5. Спектральне оцінювання з урахуванням моделей авторегрессии — ковзаючого среднего.

1.6. Спектральне оцінювання методом мінімуму дисперсии.

1.7. Методи оцінювання частоти, засновані на аналізі власних значений.

* 1.7.1.

Введение

.

* 1.7.2. Процедури оцінки частоти у просторі сигнала.

* 1.7.3. Оцінки частоти у просторі шума.

Глава 2. Експериментальний аналіз алгоритмів спектрального анализа.

Особливості реализации.

Заключение

.

Выводы.

Приложениe А. Зміщення периодограммы Уэлча.

Приложениe У. Методи і інтерфейси межзадачного системного і межсистемного обміну серед Windows '95 (Delphi 3.0).

Приложениe З. Достовірність отриманих оцінок спектральною щільності мощности.

Приложениe D. Таблиця експериментальних результатів по роздільної здатності методів спектрального анализа.

Приложениe E. Таблиця та графіки «Слабкі синусоїдальні составляющие».

Приложениe F. Дисперсії оцінок СПМ як функції частоты.

Приложениe G. Таблиця найкращих себто структурної стійкості параметрів адаптивного градиентного метода.

Приложениe М. Графіки оцінок СПМ що за різних значеннях порядку авторегрессионной модели.

Приложениe I. Список використовуваної литературы.

Спектральний аналіз — це з методів обробки сигналів, що дозволяє охарактеризувати частотний склад вимірюваного сигналу. Перетворення Фур'є є математичної основою, яка пов’язує тимчасової чи просторовий сигнал (або ж деяку модель цього сигналу) з його поданням до частотною області. Методи статистики відіграють істотне значення в спектральному аналізі, оскільки сигнали, зазвичай, мають шумовий чи випадковий. Якби основні статистичні характеристики сигналу були відомі точно чи їх можна було б безпомилково визначити на кінцевому інтервалі цього сигналу, то спектральний аналіз представляв б собою галузь точної науки. Проте насправді по одному-єдиному відтинку сигналу можна лише деяку оцінку його спектра. 1].

До обробці сигналів у реальному масштабі часу ставляться завдання аналізу аудіо, мовних, мультимедійних сигналів, у яких крім труднощів, пов’язаних безпосередньо з аналізом спектрального забезпечення і подальшої класифікацією послідовності отсчетов (як і завданню розпізнавання мови) чи зміни форми спектра — фільтрації в частотною області (переважно належить до мультимедійним сигналам), виникають проблеми управління потоком даних у сприйнятті сучасних обчислювальних системах. Реальність накладає відбиток як у самі обчислювальні алгоритми, і на результати експериментів, піднімаючи питання, із якими не зіштовхуються при обробці всієї доступною информации.

Після обробітку сигналів звичайно припадає виконувати завдання двох типів — завдання виявлення й завдання оцінювання. При виявленні потрібно питанням, чи тепер на вході певний сигнал з апріорно відомими параметрами. Поцінування — це завдання виміру значень параметрів, що описують сигнал [1].

Сигнал часто зашумлен, нею можуть накладатися заважають сигнали. Тож спрощення зазначених завдань сигнал зазвичай розкладають по базисним що становить простору сигналів. Багатьом додатків найбільше зацікавлення представляють періодичні сигнали. Цілком природно, що використовуються Sin і Co. Таке розкладання можна виконати з допомогою класичного перетворення Фурье.

Після обробітку сигналів кінцевої тривалості виникають цікаві і взаємозалежні питання, які треба враховувати під час гармонійного аналізу. Кінцівку інтервалу спостереження впливає обнаружимость тонів у присутності сильних шумів, на разрешимость тонів мінливою частоти і точність оцінок параметрів всіх вищезгаданих сигналов.

Постановка проблеми, формулювання задачи.

На час є велика кількість алгоритмів і груп алгоритмів, котрі чи інакше вирішують основне завдання спектрального аналізу: оцінювання спектральною щільності потужності, аби по одержаному результату будувати висновки про характері оброблюваного сигнала. Основной внесок зроблено такими дослідниками як: голд Б. (Gold B.), Рабинер Л. (Rabiner L.R.), Бартлетт M. (Bartlett M.S.) Однак з алгоритмів має власну область докладання. Наприклад, градиентные адаптивні авторегрессионные методи неможливо знайти застосовані до опрацювання даних із швидко мінливим у часі спектром. Класичні методи мають широку сферу застосування, але програють авторегрессионным та методів, заснованих на виключно власних значеннях, за якістю оцінювання. Однак у реальному масштабі часу використання останніх утруднено через обчислювальної сложности.

Понад те, застосування кожного з методів зазвичай вимагає вибору значень параметрів (вибір вікна даних, і кореляційного вікна в класичних методах, порядку моделі у авторегрессионном алгоритмі і алгоритмі лінійного передбачення, гаданого числа власних векторів у просторі галасу зчинив на методі Писаренко) і правильний вибір вимагає експериментальних результатів з кожним класом алгоритмов.

Отже, є такий завдання :

За підсумками існуючих алгоритмів проаналізувати можливість їх застосування як до послідовної обробці сигналів у часі, і до блокової обробці та оцінити якість отриманих результатів. Критеріями «якості» оцінки спектральною щільності потужності загальному випадку є усунення цієї оцінки й її дисперсія. Проте аналітичне визначення цих величин наштовхується визначені математичні труднощі й у кожному даному випадку практично просто візуально поєднують графіки кількох реалізацій спектральною оцінки й візуально визначають усунення і дисперсії до функції частоти. Ті області об'єднаних графіків спектральних оцінок, де експериментально певне значення дисперсії велике, свідчитиме у тому, що спектральні особливості видимі в спектрі однієї реалізації що неспроможні вважатися статистично значимими. З іншого боку, особливості об'єднаних спектрів у тих галузях, де цей дисперсія мала, з великою достовірністю може бути співвіднесені зі справжніми складовими аналізованого сигнала.

Зі сказаного вище сформулюємо такі подзадачи:

I. теоретичне і дослідження алгоритмів блокової обработки.

II. аналіз класичних алгоритмів блокової обробки всієї послідовності у частині застосування вікон даних, і кореляційних окон.

III. аналіз алгоритмів обробки сигналів у реальному масштабі времени.

Крім цих теоретичних проблем, існує низка практичних питань, специфічних в обробці сигналів у часі. У тому числі выбелим :

* Необхідність в «одночасному» виконанні таких засадничих етапів обробки данных:

1.) Безпосереднє отримання послідовності вхідних даних (цифрові отсчеты аудио-сигнала, мовного сигнала).

2.) Обробка одержуваних отсчетов сигнала.

3.) Уявлення обробленою информации.

4.) Можливість контролювати процес обробки информации.

* Обмеження тривалості інтервалу вибірки вступників даних обчислювальними ресурсами.

* Обмеження тривалості інтервалу вибірки характером сигнала.

Якщо Сталін перший це запитання очевидна у межах обробки даних у часі, то другий і третій питання потребують осмислення причин цих ограничений.

До сформульованим вище завданням додамо :

IV. завдання побудови схеми управління обробкою даних у часі, заснованої, з першої проблеми, на паралельних обчисленнях і протоколах взаємодії і синхронизации;

V. експериментальний аналіз за другою проблемі, тобто дослідження впливу обчислювальних ресурсів немає і методів оцифровки даних на максимально допустиму довжину інтервалу выборки;

VI. аналіз тривалості інтервалу вибірки, з характеру сигнала.

Основним підходу до розв’язання труднощів і дослідження застосуємо методологію математичного моделювання і обчислювального експерименту. Експериментальні вхідні дані будемо формувати наступним образом.

* для завдання аналізу алгоритмів блокової обробки всієї послідовності отсчетов формуємо дискретизированные отсчеты даних тест-сигнала від суми комплексних синусоид і аддитивных забарвлених шумових процесів, сформовані у вигляді пропускання білого шуму через фільтр з частотною характеристикою типу піднесеного косинуса чи вікна Хэмминга. Отже, у разі експеримент визначається набором, де — послідовність комплексних синусоид з амплітудами дБ і частотами гц, а — послідовність шумових процесів з параметрами: центральна частота гц., динамічний діапазон перекрываемых частот гц., потужність шуму дБ.

* для аналізу класичних алгоритмів блокової обробки всієї послідовності у частині застосування вікон даних, і кореляційних вікон експеримент і підрахунок основних характеристик вікон продукуватимемо над дискретизированными отсчетами відповідних функций.

* для аналізу алгоритмів обробки сигналів у реальному масштабі часу використовуємо аудіой мовної сигналы.

Вихідними даними експериментів вважатимемо :

* для завдання аналізу алгоритмів блокової обробки всієї послідовності отсчетов :

1.) оцінку спектральною щільності потужності, отриману з допомогою тієї чи іншої методу спектрального аналізу, якими можна будувати висновки про ролі застосовуваного методу, порівнюючи справжню спектральную щільність потужності сформованого сигналу з отриманої оценкой.

2.) обчислювальні і тимчасові витрати метода.

* для аналізу вікон даних, і кореляційних вікон — розрахункові основні характеристики такі як: максимальний рівень бічних пелюсток, еквівалентна ширина смуги, ширина смуги за рівнем половинної потужності, ступінь кореляції і т.д.

* для аналізу сигналів у реальному масштабі часу: спектральна щільність потужності (функція, залежна у цьому експерименті також від часу). Для оцінки складових в спектрі сигналу в момент времени.

Глава 1. Теоретичний аналіз існуючих алгоритмів спектрального анализа.

1.1. Введення у спектральне оценивание.

1.1.1. Завдання спектрального оценивания.

Завдання спектрального оцінювання передбачає оцінювання деякою функції частоти. Про характеристиках спектральною оцінки судять у тій, наскільки добре вона цілком узгоджується з відомим спектром тест-сигнала у певній безупинної області частот. 1].

1.1.2. Проблеми у сфері спектрального оценивания.

Інтерес Вільгельма до альтернативним методам спектрального аналізу підтримується тим поліпшенням характеристик, що вони обіцяють, саме вищим частотним дозволом, підвищену здатність для виявлення слабких сигналів або ж збереженням «достовірності» форми спектра при меншої кількості використовуваних параметрів. Аналітично описати характеристики більшості методів у разі обмеженого часу аналізу (тобто у разі короткій записи даних) дуже затруднительно[1].

Спектральне дозвіл належить до головних проблем сучасного спектрального оцінювання, особливо стосовно аналізу коротких послідовностей даних. У цьому те, що розуміється під терміном «дозвіл», має дуже суб'єктивного характеру. Прийнято характеризувати відносні величини роздільної здатності двох спектральних оцінок з урахуванням візуальних вражень. [1].

1.1.3. Спектральні оцінки за кінцевим послідовностям данных.

Спектральна оцінка, отримувана по кінцевої записи даних, характеризує деяке припущення щодо тієї істинної спектральною функції, що б отримана, щоб у нашому розпорядженні була запис даних безкінечною довжини. Саме тому поведінку і характеристики спектральних оцінок повинні описуватися з допомогою статистичних термінів. Узвичаєними статистичними критеріями якості оцінки є її і дисперсія. Аналітичне визначення цих величин зазвичай наштовхується визначені математичні труднощі, на практиці просто поєднують графіки кількох реалізацій спектральною оцінки й візуально визначають усунення і дисперсию як функції частоти. Ті області об'єднаних графіків спектральних оцінок, де експериментально певне значення дисперсії велике, свідчитимуть у тому, що спектральні особливості, видимі в спектрі окремої реалізації, що неспроможні вважатися статистично значимими. З іншого боку, особливості об'єднаних спектрів у тих галузях, де цей дисперсія мала, з великою достовірністю може бути співвіднесені зі справжніми частотними складовими аналізованого сигналу. Однак якщо коротких записів даних часто вже не вдасться одержати кілька спектральних оцінок, та й сам статистичний аналіз окремих спектральних оцінок, отриманих по коротким записів даних, загалом, разі є дуже важку проблему. 1].

1.1.4.Общая картина.

З формального визначення спектра, слід, що спектр є деякою функцією лише статистик другого порядку, яких своєю чергою передбачається, що вони незмінними, чи стаціонарними у часі. Отже, такий спектр не передає повної статистичної інформацію про уже згадуваному випадковому процесі, отже, додаткову інформацію можуть утримувати у статистиках третього кращої порядку. З іншого боку, багато звичайні сигнали, які треба аналізувати практично, є стаціонарними. Проте короткі сегменти даних, отримані з більш довгою записи даних, вважатимуться локально стаціонарними. Аналізуючи зміни спектральних оцінок від однієї такого сегмента до іншого, потім скласти подання, і про змінюються у часі статистиках сигналів, тобто нестационарных.

1.2.Основные ухвали і теореми класичного спектрального анализа.

1.2.1.Непрерывно-временное перетворення Фурье.

Визначення: Непрерывно-временным перетворенням Фур'є називається функция.

У спектральному аналізі змінна в комплексної синусоїді відповідає частоті, вимірюваною в герцах, якщо змінна вимірюється в одиницях часу (в секундах). За суттю, непрерывно-временное перетворення Фур'є ідентифікує частоти і амплітуди тих комплексних синусоид, куди розкладається деяке довільне колебание.

Визначення: Протилежне перетворення Фур'є визначається выражением.

Існування прямого й протилежного перетворень Фур'є з безперервним часом для даної функції визначається поруч умов. Один із належних умов у тому, що сигнал може бути абсолютно интегрируемым в смысле.

1.2.2 Операції дискретизації і зважування щоб одержати дискретно-временных рядів Фурье.

Визначення: Функцією отсчетов з інтервалом називається наступна функція :

Припустимо, що беруться отсчеты безперервного действительнозначного сигналас обмеженим спектром, верхня частота якого дорівнює герц, отже перетворення Фур'є одно нулю при частотах більше. Отсчеты сигналас інтервалом Т можна отримати у вигляді множення цього сигналу на функцію отсчетов:

Тепер знайдемо безупинне перетворення Фур'є, це згортка спектра сигналу і перетворення Фур'є функції отсчетов у часі з інтервалом Т секунд :

Тобто згортка з перетворенням Фур'є функції отсчетов просто періодично продовжує з частотним інтервалом 1/T гц, відповідним частотного інтервалу між імпульсними функціями. У випадку отсчеты лише у області (наприклад, тимчасової) призводять до періодичному продовження у сфері перетворення (наприклад, частотною). Якщо частота отсчетов обрано досить низкою, отже, то періодично продовжені спектри будуть перекриватися з іншими (ефект накладення у частотною області). Частота отсчетов отримав назву частоти отсчетов Найквиста.

Щоб відновити вихідний тимчасової сигнал з його отсчетам, тобто здійснити інтерполяцію деякого континууму значень між тими отсчетами, можна пропустити дискретизованные дані через ідеальний фільтр нижніх частот, у якого прямокутної частотною характеристикою (зважування в частотною області), використовуючи теореми про пакунку в тимчасовій і частотною областях, одержимо :

Одержаний вираз є математичну запис теореми отсчетов в тимчасовій області, яка стверджує, що з допомогою цієї интерполяционной формули дійсний сигнал з обмеженою спектром то, можливо точно відновлено по нескінченному счетному числу відомих тимчасових отсчетов, узятих із частотою. Аналогічний результат можна отримати й у комплексних сигналів з обмеженою спектром.

Дуальної до теоремі отсчетов в тимчасовій області є следующая.

Теорему. Для обмеженого часом за тривалістю сигналу вірно, что.

де.

Отже, перетворення Фур'є деякого сигналу з обмеженою тривалістю то, можливо однозначно відновлено по эквидистантным отсчетам спектра такого сигналу, якщо обраний інтервал отсчетов за частотою задовольняє умові герц.

Нехай дано довільний безперервний сигнал та її перетворення, які у загальному разі, можуть бути необмеженими за широким спектром і з тривалості. Якщо, що N отсчетов у часі взято з рівномірним інтервалом T секунд, то обмежимо спектр цього сигналу частотами герц зважуванням в частотною області:, тут — функція вікна в частотною області. У цьому сигнал трансформується так. Далі беруться отсчеты в тимчасовій області сформованого першої операцією і обмеженого за широким спектром сигналу, відповідні зміни до спектрі можна видати за. Тепер обмежимося тривалістю сигналу NT :. І знову згортка в частотною області для спектра отриманого на етапі 2. Останнє що залишилося зробити — взяття отсчетов за частотою з інтервалом 1/NT герц, усе веде до періодичному продовження вихідних N тимчасових отсчетов. Сигнал на останньому етапі приймає такий вигляд: , яке перетворення: .

Остаточно можна було одержати, що й вихідний сигнал і - його перетворення, то, на четвертому кроці і пов’язані такими співвідношеннями :

де.

Останні співвідношення називають дискретно-временными рядами Фур'є. З поступу дискретно-временных рядів Фур'є, можна встановити необхідну точне співвідношення між поруч Фур'є тимчасової послідовності та відповідній непрерывно-временной функцією чи торгівлі між поруч Фур'є перетворення і вихідної функції перетворення. Якщо ширина спектра обмежена частотою 1/T герц, то ряд Фур'є тимчасової послідовності зберігатиме вихідні значення в отсчетных точках, проте низка Фур'є послідовності перетворень складатиметься з отсчетов деякого «розмитого» варіанта вихідного перетворення. З іншого боку, якщо тривалість фактично обмежена інтервалом NT секунд, то ряд Фур'є послідовності перетворень зберігає вихідні значення в отсчетных точках, проте низка Фур'є тимчасової послідовності складатиметься з деякого «розмитого» варіанта вихідного сигналу. Ефекти размытия можна послабити рахунок зменшення T (отже 1/T відповідатиме ширшим смузі) або збільшення N (отже NT відповідатиме більшої тривалості), у результаті дискретно-временной радий Фур'є буде точніше апроксимувати безупинне перетворення. Ряд буде ідентичним безперервному перетворенню лише тоді періодичних сигналів, які можна як суми з комплексних синусоид з частотами k/NT герц, де k=0,1,…N-1.

1.2.3. Аналіз эргодичных дискретних процессов.

Визначення: Дискретний випадковий процес эргодичен загалом если.

Визначення: Дискретний випадковий процес автокорреляционно эргодичен если.

Припущення про эргодичности дозволяє як запровадити через усереднення за часом визначення для середнього значення й автокорреляции, але дозволяє дати таке визначення спектральною щільності потужності :

Определение:

Ця еквівалентна форма спектральною щільності потужності виходить у вигляді статистичного усереднення модуля дискретно-временного перетворення Фур'є виваженої сукупності даних, для випадку коли кількість отсчетов даних збільшується нескінченно. Статистичне усереднення необхідно тут оскільки дискретно-временное перетворення саме є випадкової величиною, мінливих кожної використовуваної реалізації. Цю ухвалу еквівалентно визначенню спектральною щільності потужності як дискретно-временное перетворення Фур'є автокорреляционной последовательности.

Якщо останньому визначенні нехтувати операцію математичного очікування, одержимо оцінку спектральною щільності потужності, що називається вибірковим спектром :

Хоча вибірковий спектр перестав бути заможної оцінкою істинної спектральною щільності потужності, ця оцінка можна використовувати якщо виконувати деякого роду усереднення чи згладжування. На використанні цієї оцінки грунтується класичний периодограммый метод визначення спектральною щільності мощности.

1.3. Класичні методи спектрального анализа.

1.3.1 Введение.

Оцінки СПМ, засновані у прямому перетворення даних, і наступному усередненні, дістали назву периодограмм. Оцінки СПМ, щоб одержати яких за вихідним даним спочатку формується кореляційні оцінки, дістали назву коррелограммных методів спектрального оценивания.

З використанням будь-якого методу оцінювання СПМ користувачеві доводиться брати безліч компромісних рішень, про те, щоб за кінцевому кількості отсчетов даних отримувати статистично стійкі спектральні оцінки з максимально можливим дозволом. До цих компромісним рішенням ставляться, зокрема, вибір таких функцій вікна для зважування даних, і кореляційних функцій і такі параметрів усереднення в тимчасовій й у частотною областях, що дозволяють збалансувати вимоги до рівня бічних пелюсток, виконання ефективного усереднення по ансамблю і забезпечувати прийнятного спектрального дозволу. Стійкі результати (малі спектральні флуктуації) й добра точність (мале усунення щодо істинних спектральних значень усім частотах) реальні тільки тоді ми, коли твір TB, де Т — повний інтервал записи даних, а B — ефективне дозвіл за частотою, значно перевищує одиницю. Всі ці компроміси можна кількісно охарактеризувати у разі гауссовских процесів, котрим докладно теоретично вивчені статистичні характеристики класичних спектральних оцінок. Проте вибір конкретного методу спектрального оцінювання у разі негауссовских процесів найчастіше обгрунтовується лише експериментальними даними. Та й вибір функції вікна часто-густо полягає в даних експериментальних, а чи не теоретичних исследований.

1.3.2. Вікна даних, і кореляційні вікна в спектральному анализе.

Вікна є вагові функції, використовувані зменшення розмивання спектральних компонент, обумовленого конечністю інтервалів спостереження. Так вважати, що вплив вікна на масив даних (як мультипликативной ваговій функції) полягає у зменшенні порядку розриву за українсько-словацьким кордоном періодичного продовження. Цього домагаються, согласуя за українсько-словацьким кордоном можливо більше похідних зважених даних. Найпростіше забезпечити таке узгодження, зробивши ці похідні рівними чи, по крайнього заходу, близькими нанівець. Отже, поблизу кордонів інтервалу зважені дані плавно йдуть до нуля, отже періодичне продовження сигналу виявляється безперервним до похідних вищих порядков.

З іншого боку, вважатимуться, що вікно мультиплікативно впливає на базисне безліч те щоб сигнал довільній частоти мав значні проекції тільки на базисні вектори, частоти яких близькі до частоті сигналу. Обидва підходу ведуть, звісно, до однакових результатам.

1.3.3. Периодограммные оцінки Спектральною Щільності Мощности.

Нехтуючи операцією обчислення математичного очікування й вважаючи, що кінцеве безліч даних містить N отсчетов, отримуємо вибірковий спектр

що може бути вирахувано по кінцевої послідовності даних. Та оскільки була опущене операція математичного очікування, ця оцінка буде нестійкою чи непрацездатною. І на згладжування застосовується щось на кшталт псевдоусреднения по ансамблю. Існує три різних типи згладжування швидких флуктуацій спектра.

Перший метод залежить від усередненні по сусіднім спектральним частотах. Якщо розрахована вибірковий спектр на сітці частот, то модифікована оцінка периодограммы на частоті може бути отримана у вигляді усереднення в P точках із боку від цього частоты.

Узагальненням цього підходу обробка вибіркового спектра з допомогою фільтра нижніх частот з частотною характеристикою. І тут модифіковану периодограмму можна записати як пакунки частотною характеристики фільтра нижніх частот і самої вибіркового спектра.

Другим методом згладжування вибіркового спектра є усереднення по псевдоансамблю периодограмм з допомогою розподілу послідовності з N отсчетов даних на P неперекрывающихся сегментів по D отсчетов у кожному, отже DP.

Далі з кожної частоті, що становить інтерес, P окремих немодифікованих периодограмм усредняются, аби отримати остаточну оценку:

Математичне чекання, і дисперсія даються такими выражениями:

З висловлювання для дисперсії видно, що сталість спектральною оцінки Бартлетта поліпшується як величина, зворотна числу сегментів P.

Третім одним із найефективніших методів є метод периодограмм Уелча. Основне на відміну від периодограммы Бартлетта у тому, що саме використовується вікно даних, і здійснено перекрывающееся сегментування послідовності отсчетов. Застосування вікна даних дає незначне погіршення дозволу за частотою, оскільки спектр вікна вносить похибки в результуючий спектр, проте вдається досягти зменшення впливу бічних пелюсток спектра прямокутного вікна, яке побічно застосовується при сегментировании послідовності даних. Метою перекриття сегментів є збільшити кількість усредняемых сегментів і тим самим зменшення дисперсії оцінки спектральною щільності потужності. Сам метод ось у чому. Нехай дана запис комплексних даних, яка розбивається на число сегментів D зі зсувом P. S отсчетов між сусідніми сегментами, тоді зважений p-ый сегмент складатиметься з отсчетов, де n = 0,1.D-1, p = 0,1.P-1, P=[(N-D)/S+1]. А вибірковий спектр зваженого p-ого сегмента буде в діапазоні частот.

где.

Остаточний вид периодограммы Бартлетта набуває вигляду :

Середнє й дисперсія оцінки виглядають так (доказ першого співвідношення при застосуванні А):

З використанням перекриття сусідніх сегментів можна сформувати більше псевдореализаций, ніж у методі Бартлетта, але це зменшує величину дисперсії периодограммы Уелча, хоча порядок має той самий. Експериментальні результати наведені у відповідному разделе.

1.3.4. Коррелограммные оцінки Спектральною Щільності Мощности.

Альтернативним методом є коррелограммный метод. Непрямий метод грунтується на використанні безкінечною послідовності значень даних до розрахунку автокорреляционной послідовності, перетворення Фур'є якого надає потрібну СПМ. На відміну від прямого методу, який грунтується на обчисленні квадрата модуля перетворення Фур'є для безкінечною послідовності даних із використанням відповідного статистичного усереднення. Показано, що результуюча функція, отримувана без використання такого усереднення і звана вибірковим спектром, виявляється незадовільною через статистичної неспроможності одержуваних з її допомогою оцінок, оскільки среднеквадратичная помилка таких оцінок можна порівняти за величиною із середнім значенням оценки.

Автокорреляционная послідовність практично можна оцінити по кінцевої записи даних так (несмещенная оценка):

де.

чи зміщеною оцінкою автокорреляции, має меншу, проти несмещенной оцінкою, дисперсию:

де.

Коррелограммный метод залежить від підстановці в визначення спектральною щільності потужності оцінку автокорреляционной послідовності (коррелограммы). Отже, маючи дві оцінки автокорреляционной послідовності отримуємо дві оцінки спектральною щільності мощности:

, де.

де — ядро Дирихле.

Ефект неявно присутнього вікна через кінцівки даних призводить до пакунку істинної спектральною щільності з перетворенням Фур'є дискретно-временного прямокутного чи трикутного (як у зі усунутими оцінками) вікна. Для зменшення цього ефекту використовується корреляционное вікно і коррелограммная оцінка спектральною щільності потужності загальному вигляді виглядає наступним образом:

Експериментальні результати наведені у відповідному разделе.

1.3.5. Область применения.

Класичні методи спектрального аналізу застосовні майже всім класам сигналів і шумів в припущенні про стаціонарності. Обчислювальна ефективність периодограммных і коррелограммных методів полягає в використанні алгоритму Бистрого Перетворення Фур'є. Недоліком всіх методів спектрального аналізу є спотворення в спектральних складових по бічним пелюсткам через зважування даних з допомогою вікна. Порівняння експериментальних результатів коїться з іншими методами і характеристики взвешивающих вікон наведені у відповідному разделе.

1.4. Авторегрессионное спектральне оценивание.

1.4.1.

Введение

.

Один із причин застосування параметричних моделей випадкових і процесів і побудови з їхньої основі методів отримання оцінок спектральною щільності потужності обумовлена збільшенням точності оцінок проти класичними методами. Ще один важлива причина — вищу спектральне дозвіл. Далі розглядаються такі методи: метод Юла-Уалкера оцінювання авторегрессионных параметрів по послідовності оцінок автокорреляционной функції, метод Берга оцінювання авторегрессионных параметрів по послідовності оцінок коефіцієнтів відображення, метод роздільної мінімізації квадратичных помилок лінійного передбачення уперед і тому — ковариационный метод, метод спільної мінімізації квадратичных помилок прямого й протилежного лінійного передбачення — модифікований ковариационный.

Модель тимчасового низки (звана моделі авторегрессии-скользящего середнього у разі вхідний послідовності - білого шуму), яка придатна для апроксимації багатьох можна зустріти практично детермінованих і стохастичних процесів з дискретним часом, описується наступним разностным уравнением:

Системна функція, котра зв’язує вхід і вихід цього фільтра має раціональну форму:

Якщо ролі вхідний послідовності використовувати білий шум, то дійшли АРСС-модели. Спектральную щільність для АРСС-модели отримуємо, підставляючи, що дает.

где.

, а — дисперсия.

збудливого білого шума.

У більшості приватних випадках для авторегрессионной моделі і моделі ковзаючого середнього отримуємо відповідно :

1.4.2. Поцінування кореляційної функції - метод Юла-Уалкера.

З співвідношення, який зв’язує параметри АРСС-модели з порядком авторегрессии p і ковзаючого середнього q:

Оскільки потрібно було, що u[k] - білий шум, то.

.

m>q.

m.

У приватному разі для авторегрессионных параметрів, отримуємо :

.

m=0.

m.

У матричному вигляді ці співвідношення виглядають так :

Отже, якщо задана автокорреляционная послідовність для, то АР-параметры можна знайти у результаті рішення останнього матричного співвідношення (званого нормальними рівняннями Юла-Уалкера), де автокорреляционная матриця є і теплицевой, і эрмитовой.

Найочевиднішим підходом до авторегрессионному оцінювання є рішення нормальних рівнянь Юла-Уалкера, у яких замість значень невідомої автокорреляционной функції підставляємо їх оцінки. Результати експериментів із цим, першим методом АР-оценивания і порівняння з іншими методами цього наведені у відповідному разделе.

1.4.3. Методи оцінювання коефіцієнтів отражения.

Рекурсивне рішення рівнянь Юла-Уалкера методом Левинсона пов’язує АР-параметры порядку p з параметрами порядку p-1 вираженням :

де n=1,2,.p-1.

Коефіцієнт відображення визначається по відомим значенням автокорреляционной функції :

де.

З усіх величин лише безпосередньо залежить від автокорреляционной функції. Свого часу пропонувалося кілька різних процедур оцінки коефіцієнта відображення, розглянемо що з них.

1.4.3.1. Геометричний алгоритм.

Помилки лінійного передбачення уперед і тому визначаються відповідно такими выражениями:

Рекурсивні висловлювання, котрі пов’язують помилки лінійного передбачення моделей порядків p і p-1, визначаються простий підстановкою й у рекурсивне співвідношення для авторегрессионных параметров:

Нескладно показати, що коефіцієнт відображення має наступним властивістю (є коефіцієнтом приватної кореляції між помилками лінійного передбачення уперед і тому) :

Використовуючи оцінки взаємної кореляції і автокорреляции помилок передбачення уперед і тому, одержимо :

Отже, геометричний алгоритм використовує алгоритм Левинсона, у якому замість звичайного коефіцієнта відображення, вычисляемого відомою автокорреляционной функції, використовується його оцінка.

Остаточний вид висловів геометричного алгоритму :

де n=1,2,.p-1.

.

де.

1.4.3.2. Гармонійний алгоритм Берга.

Алгоритм Берга ідентичний геометричному, проте оцінка коефіцієнта відображення перебуває з деяких інших міркувань, саме: при кожному значень параметра p у ньому мінімізується арифметичне середнє потужності помилок лінійного передбачення уперед і тому (тобто вибіркова дисперсія помилки предсказания):

Прирівнюючи похідні нанівець, маємо оцінку для :

Деяким узагальненням є зважування середнього квадрата помилки пророцтва щодо зменшення частотного усунення, спостережуваного під час використання базового методу Берга:

що зумовлює наступній оцінці :

1.4.4. Поцінування лінійного передбачення методом найменших квадратов.

Накладаючи обмеження на авторегрессионные параметри, аби вони задовольняли рекурсивному вираженню методу Левинсона, в методі Берга відбувається мінімізація по одного параметра — коефіцієнта відображення. Більше загальний підхід полягає у мінімізації одночасно за всі коефіцієнтам лінійного предсказания.

Отже, нехай для оцінювання авторегрессионных параметрів порядку p використовуються послідовність даних .Оцінка лінійного передбачення вперед порядку p для відліку матиме форму:

де — коефіцієнти лінійного передбачення вперед порядку p.

Помилка лінійного передбачення :

У матричному вигляді цей вислів записується як :

і співвідношення для помилки :

Але якщо розглядати, у якому мінімізується наступна, невиважена вибіркова дисперсія :

то матриця приймає теплицевый вид (далі її будемо позначати).

Нормальні рівняння, що мінімізують середній квадрат помилки мають наступний вид:

Елементи эрмитовой матриці мають вигляд кореляційних форм.

де.

Отже, авторегрессионные параметри можна отримати внаслідок рішення нормальних рівнянь. Розглянемо алгоритм, що у рішенні нормальних рівнянь враховує те що, що эрмитова матриця отримана як твір двох теплицевых і цього цього зводить кількість обчислень до. З використанням алгоритму Холецкого потрібно було операций.

Помилки лінійного передбачення уперед і тому p-ого порядка.

Тут вектор даних, вектор коефіцієнтів лінійного передбачення вперед і вектор лінійного передбачення тому такими выражениями:

,.

За підсумками отсчетов вимірюваних комплексних даних ковариационный метод лінійного передбачення дозволяє роздільно мінімізувати суми квадратів помилок лінійного передбачення уперед і назад:

.

що зумовлює наступним нормальним рівнянням :

.

Введемо необхідних подальшого визначення :

.

з виду і можна записати :

,.

де вектор стовпчики і даються висловлюваннями :

.

Важливими також є такі висловлювання :

Кілька векторов-столбцов і визначаються з висловів :

Аналогічно визначаються вектора і, в тому числі через матриці і .

Процедура, використовувана для відновлення порядку вектора лінійного передбачення вперед виглядає так :

де, в котором.

Відповідний вигляд має процедура відновлення порядку вектора передбачення назад:

де ,.

Вектори і дружина мають задовольняти наступним рекурсиям відновлення порядка:

Використовуючи те що, що є эрмитовой матрицею маємо такі висловлювання для і :

Введемо скалярні множители.

Відповідні рекуррентные висловлювання для і мають такий вигляд :

Нарешті, ще одне рекурсія відновлення порядку необхідна для вектора :

Оновлення тимчасового індексу в векторі коефіцієнтів лінійного передбачення вперед ввозяться відповідність до вираженням :

Вислів для відновлення тимчасового індексу у квадрата помилки лінійного передбачення вперед :

Так відновлення тимчасового індексу в векторі коефіцієнтів лінійного передбачення тому ведеться відповідно до вираженням :

Вислів для відновлення тимчасового індексу у квадрата помилки лінійного передбачення тому :

.

де комплексний скаляр задовольняє выражениям :

Відповідні рекурсії по тимчасовому індексу для дійсних скалярів і даються такими выражениями:

.

Початкові умови необхідні здобуття права розпочати рекурсивне рішення із близько рівного нулю:

, ,.

,.

.

Експериментальні результати наведені у відповідному разделе.

1.4.5. Градиентный адаптивний авторегрессионный метод.

1.4.6. Рекурсивний авторегрессионный метод найменших квадратов.

1.4.7.

1.5. Спектральне оцінювання з урахуванням моделей авторегрессии — ковзаючого среднего.

Модель авторегресии-скользящего середнього має більше ступенів свободи, ніж авторегрессионная модель, тож слід очікувати, що одержувані з її допомогою оцінки спектральною щільності потужності матимуть більші можливості передачі форми різних спектрів. Основою спектрального оцінювання з допомогою моделі авторегрессии-скользящего середнього є апроксимація СС-процесса авторегрессионной моделлю високого порядку. Пусть.

— системна функція СС (q)-процесса.

— системна функція АР-процесса,.

еквівалентного цьому СС (q)-процессу, тобто.

Застосуємо зворотне z-преобразование до обох частин останнього рівності, використовуючи теорему про інше перетворення твори функцій, получим:

причем.

Отже, СС-параметры можна визначити за параметрами деякою еквівалентній авторегрессионной моделі у вигляді рішення довільній підсистеми з q рівнянь. Використовуючи АР-оценки високого порядку можна записати таку систему рівнянь :

У ідеальному разі помилка мусить бути дорівнює нулю попри всі значеннях m, крім m=0, проте, попри практиці під час використання кінцевої записи даних цю помилку нічого очікувати дорівнює нулю, тому оцінки для CC-параметров повинні визначаться у вигляді мінімізації дисперсії квадрата ошибки:

З структури рівняння для оцінок параметрів ковзаючого середнього видно, що можна знайти, вирішивши відповідні нормальні рівняння (тут використовується або «Поцінування кореляційної функції - метод Юла-Уалкера», либо.

«Поцінування лінійного передбачення методом найменших квадратов»).

Загальна процедура роздільного оцінювання авторегрессионных параметрів і параметрів ковзаючого середнього ось у чому. Етап перший — визначення авторегрессионных параметрів по вихідним даним, після цього вихідну послідовність даних необхідно піддати фільтрації щоб одержати тимчасового низки наближено відповідного деякому СС-процессу (етап другий). Цей фільтр має системну функцію виду :

де — оценки.

авторегрессионных параметрів, певні з допомогою методу найменших квадратів. Системна функція процесу авторегресии-скользящего середнього дорівнює, поэтому.

Отже, пропускаючи запис вимірюваних даних через фільтр з системної функцією, отримуємо з його виході аппроксимирующий процес ковзаючого середнього. Етап третій: для оцінювання СС-параметров застосовується процедура, описана на початку цього розділу. Оцінка спектральною щільності потужності АРСС-процесса має вигляд :

где.

— оцінка автокорреляции, отримана по фильтрованной послідовності.

Експериментальні результати наведені у відповідному разделе.

.

1.6. Спектральне оцінювання методом мінімуму дисперсии.

Оцінка спектральною щільності потужності з методу мінімуму дисперсії не является.

істинної функцією СПМ, оскільки площа під графіком МД-оценки не характеризує повну потужність вимірюваного процесу. Протилежне перетворення Фур'є, відповідне МД-оценке, теж збігаються з автокорреляционной послідовністю. Отже, МД-оценку вважатимуться спектральною оцінкою тому, що вона описує відносні інтенсивності компонент частотного спектра, а не оцінкою істинної СПМ. Мінімальна дисперсія — це характеристика, яка більше інформативна поблизу початку координат оцінки. Вона виходить у вигляді мінімізації дисперсії процесу не вдома вузькосмугового фільтра, частотна характеристика якого адаптується до спектральним компонентами вхідного процесу з кожної що становить інтерес частоте.

Розглянемо фільтр з p+1 коефіцієнтами. Вихід цього фільтра, відповідний входу, визначається сверткой:

Дисперсія не вдома аналізованого фільтра визначається вираженням :

Коефіцієнти фільтра необхідно вибирати в такий спосіб, щоб у частоті частотна характеристика цього фільтра мала одиничний коефіцієнт посилення. Це обмеження можна записати наступним образом:

где.

Звідси випливає, що синусоїда із частотою, подана на вхід такого фільтра, пройде без спотворень. Для режекции компонент спектра, віддалених від частоти, необхідно мінімізувати дисперсию не вдома аналізованого фільтра при останньому обмеження. Тобто розглядається завдання умовної минимизации:

Нескладно показати, що за такого обмеження рішення щодо методу мінімуму дисперсії для коефіцієнтів фільтра задовольнятиме уравнению:

Саме значення дисперсии:

Звідси випливає вираз для спектральною оцінки мінімальної дисперсии:

Експериментальні результати наведені у відповідному разделе.

1.7. Методи оцінювання частоти, засновані на аналізі власних значений.

1.7.1.

Введение

.

Ключовою операцією методів, заснованих на виключно аналізі власних значень, є поділ інформації, котра міститься в автокорреляционной матриці чи матриці даних, на два векторних підпростору — підпростір сигналу і підпростір шуму. У цих підпросторах можна визначати різні функції від векторів сигналу та галасу щоб одержати оцінок частоти. Але ці оцінки не зберігають потужність аналізованого процесу, отже, є оцінками істинної СПМ. Далі розглядатимуть метод класифікації багатьох сигналов.

Основна формула практично всіх методів оцінювання частоти, заснованих на виключно аналізі власних значень має наступний вид:

здесь.

— власні значення автокорреляционной матриці, впорядковані за рівнем їхньої зменшення; головні власні вектора (), відповідні власним значенням .На власні вектори вимушено підпростір шуму матриці і цікава всім їм відповідає один і той ж власне значення. На головні власні вектори вимушено підпростір сигналу матриці .

Розпад автокорреляционной матриці за власні значення можна двома шляхами використовуватиме отримання спектральних оцінок чи, точніше, поліпшених процедур оцінок частоти. Збереження лише інформації, відповідної власним векторах простору сигналу, тобто формування для матриць апроксимації зниженого порядку, ефективно сприяє збільшення відносини сигнал/шум, оскільки усуває внесок потужності компонент підпростору шуму. Це є основою процедур оцінок частоти головних компонент (підпростору сигналу). Властивість інваріантних прямих підпросторів (підпросторів шуму й сигналу) належить основою процедур оцінок частоти в підпросторі шума.

1.7.2.Процедуры оцінки частоти у просторі сигнала.

1.7.3.Оценки частоти у просторі шума.

Глава 2. Експериментальний аналіз алгоритмів спектрального анализа.

У цьому роботі математичне моделювання і обчислювальні експерименти переслідували такі задачи:

1.) Провести з порівняльного аналізу про чисельні методів спектрального аналізу різних типах тестових сигналах.

2.) Виявити особливості кожного з методів і основі дійти невтішного висновку про застосування тієї чи іншої алгоритму у таких умовах обчислювального эксперимента:

2.0.) Тест-сигнал складається з суміші комплексних синусоид і шумових процесів (білих шумів, пропущених через фільтри з частотними характеристиками типу піднесеного косинуса) (використовуємо для перевірки здібності методу для збереження «достовірності» форми спектра).

2.1.) Кілька комплексних синусоид, наявні у уже згадуваному сигналі, мають близькі частоти (цей тип тестових сигналів використовуємо щоб одержати граничною роздільної здатності по частоте).

2.2.) У сигналі присутні слабкі синусоїдальні складові і натомість сильних шумових процесів (аналізуємо здатність спектральних оцінок забезпечувати виявлення слабких компонент сигнала).

2.3.) Проводимо серію випробувань з однією методом і формуємо у своїй різні реалізації процесу (тут аналізуємо якість оцінки СПМ, аналізованих як функція дисперсії оцінки, що залежить від частоти; меншим значенням функції відповідає найкраща оцінка на заданої частоті). Але тут вводять у розгляд рівномірне критерій оцінки якості одержуваних оцінок СПМ на основі його роблять висновок про найкращому методі у рамках класу тут і, взагалі, про найкращому зі всіх досліджених у межах даної работы.

2.4.) Для обчислювальних схем які у реальному масштабі часу проводимо серію експериментів, вкладених у виявлення впливу значень параметрів на структурну стійкість алгоритма.

2.5.) Серія експериментів, вкладених у вирішення питання виборі значень параметрів в параметричних методи оцінювання СПМ (вибір ладу у авторегрессионном методі і методі авторегрессии-скользящего середнього, і навіть порядок моделі лінійного передбачення в ковариационном методі; крок адаптації адаптивном авторегрессионном алгоритмі; дійсний ваговій множник в рекурсивном алгоритмі найменших квадратів; кількість головних власних векторів, відповідальних подпространству сигналу в методі, заснованому у власних значеннях; тип вікна в класичних методах спектрального анализа).

Збереження «достовірності» форми спектра — одна з властивостей, які властиві практично всім дослідженим методам. Проте міру «достовірності» важко визначити аналітично і далі кількісно кожного з методів, тому «достовірність» належить до суб'єктивних критеріїв якості одержуваних оцінок і основним підходом до порівнянню алгоритмів є візуальне порівняння одержуваних оцінок зі справжнім апріорно відомим спектром тест-сигнала. Результати порівняння отриманих кожним із досліджених методів оцінок наведені у додатку C.

Максимально дозволене дозвіл оцінки СПМ всім розглянутих методів наведені у додатку D. Як слід було очікувати найкращими себто спектрального дозволу є альтернативні некласичні методи. Основна хиба класичних методів залежить від искажающем вплив хоч би не пішли взвешивающего вікна. А псевдоусреднение по ансамблю з допомогою сегментації даних призводить до ще більше гіршому вирішенню (додаток D графік N). Від цієї вади вільні й інші взяті в розгляд методи. Однак якщо авторегрессионных методів збільшення порядку моделі поруч із поліпшенням роздільної здатності викликає ефект появи помилкового спектрального піка або до розщеплення спектральною лінії (що продемонстровано на графіці N докладання D). Оцінки методом мінімуму дисперсії з оцінкою, отримані авторегрессионными методам, пов’язані деякими співвідношеннями, тому ті ж ефекти присутні й у МД-оценках. Що стосується алгоритмів, заснованих на виключно сингулярному розкладанні матриці даних, значні хибні піки також мають місце зі збільшенням порядку модели.

Практично всі методи дозволяють експериментально знайти слабкі синусоїдальні складові. У таблиці докладання Є наведено максимально дозволене співвідношення сигнал/шум всім методів, у якому ще можливо знайти складові сигналу, і навіть графіки, що ілюструють результати исследования.

Додаток F включає у собі здобуття влади та дослідження дисперсії оцінок СПМ як функції частоты.

Вибір правильних параметрів методів, які у реальному масштабі часу поєднаний із значними труднощами. З одного боку, якщо розглядати градиентный адаптивний авторегрессионный метод, вибір більшого параметра адаптації веде до поліпшення роздільної здатності і до підвищення «достовірності» спектра, з іншого боку усе веде до зростання структурної нестійкості всієї обчислювальної схеми, але в великих порядках моделі, взагалі, до руйнації алгоритму. Під час експерименту з аудіо сигналом кожному за уявлення отсчетов (під поданням розуміється наступний набір установок: частота дискретизації з діапазону 8 Кгц. — 44 Кгц., кількість каналів — 1 (моно)/ 2(стерео), кількість бітов на відлік 8 бит/16 біт) й у кожного набору параметрів схеми, здійснює збір даних у реальному масштабі часу (кількість (значення з діапазону: 3,…, 128) й довжину буферних областей затримок даних на вході і виході (значення з діапазону: 256,…, 16 384 звіту)) вибрали компромісне рішення. Результати наведені у додатку G.

Оскільки найкраще значення порядку фільтра в авторегрессионной моделі, зазвичай, невідомо, практично доводиться відчувати кілька порядків моделей. Базуючись у цьому, вводять той чи інший критерій помилки, яким потім визначаємо необхідний порядок моделі. Якщо порядок моделі обраний занадто малим, виходять сильно згладжені спектральні оцінки, якщо зайве великим — збільшується дозвіл, але у оцінці з’являються хибні спектральні піки. Отже, стосовно авторегрессионному спектральному оцінювання вибір порядку моделей еквівалентний компромісу між дозволом і обсягом дисперсії для класичних методів спектрального оцінювання. Вочевидь, що можна збільшувати порядок АР-модели до того часу, поки вычисляемая помилка передбачення не досягне мінімуму. Однак у досліджених методах оцінка дисперсії монотонно зменшується зі збільшенням порядку моделі. Отже, однієї дисперсії звичайно цілком достатньо, щоб визначити момент закінчення процедури зміни порядка.

Для вибору порядку АР-модели запропоновано багато різних критеріїв — свого роду цільових функцій. Розглянемо окремі. Перший критерій називається остаточна помилка предсказания (ООП). Відповідно до цього критерію, вибір порядку здійснюється в такий спосіб, аби максимально зменшити середню дисперсию помилки щокроку предсказания.

где.

N — число отсчетов даних, pпорядок АР-процесса і - оцінне значення дисперсії білого шуму (яка використовуватися як помилки лінійного предсказания).Выбирается таке значення порядку, у якому величина ОВП мінімальна. Проте використання цього й наступних критеріїв дає чудові результати лише ідеальних авторегрессионных процесів, а разі реальних даних результат виявляється сильно заниженным.

Другим критерієм, заснованим на методиці максимального правдоподібності є інформаційний критерій Акаике (он представляє виключно теоретичний інтерес, але в практиці використовують як нижню межу порядку модели).

Насправді зазвичай порядок моделі вибирають в інтервалі від N/3 до N/2 де N — довжина оброблюваної послідовності отсчетов. У додатку М наведено графіки оцінок СПМ, отриманих що за різних значеннях порядку модели.

Особливості реализации.

Аби вирішити поставлених завдань було розроблено й реалізований мову проектування алгоритмів, до складу якого у собі кошти межзадачного обміну даними, тобто побудова розподілених по процесам обчислювальних алгоритмів, певні частини якого виконуються паралельно кількома процесам. Подальшим розвитком цього підходу побудова мережевих розподілених схем алгоритмів. Існує велика кількість додатків цього подхода.

Заключение

.

У цьому роботі :

1. Tеоретически проаналізовані методи спектрального аналізу, і навіть можливість застосування цих методів у сучасних обчислювальних системах в обробці даних у реальному масштабі времени.

2. Отримано результати поставлених експериментів і основі обраний найпридатніший метод оцінювання спектральною щільності потужності аддитивной суміші комплексних синусоид і пофарбованого стаціонарного шумового процесу задля кожного з типів експериментів, сформульованих розділ експериментальних результатов.

3. Дано письмо речей та виконано реалізація схеми управління процесом обробки даних у часі, яка використовує переваги паралельної архітектури обчислювальних систем.

4. Cформулирован низку вимог до по обчислювальним ресурсів за реальної обробці, зроблено аналіз довжини вибірки даних при різному поданні вхідного сигнала.

5. Отримано результати по експерименту обчислення характеристик вікон та з їхньої основі вибрано найкраще рішення, у сенсі дозволу (недостатнє якість дозволу за частотою в класичних спектральних методах то, можливо поліпшено виключно вибором вагового вікна, а вибір параметрів методу другорядний стосовно вибору вікна) у кожному експерименті по оцінювання спектральною щільності потужності тест-сигнала.

Приложениe А.

Зміщення периодограммы Уэлча.

Тут доводиться факт, що використовується розділ класичних методів. Середнє периодограммы Уелча можна записати наступного виде:

Доведемо, що може бути у вигляді пакунки істинного спектра (спектральною щільності потужності) і нормованого квадрата модуля дискретно-временного перетворення використовуваного вікна даних, тобто как.

де і.

Розглянемо вибірковий спектр зваженого p-ого сегмента буде в діапазоні частот :

Знайдемо безпосередньо квадрат модуля у тому равенстве.

Підставивши в формулу для математичного очікування периодограммы Уелча, одержимо наступне выражение:

Введемо в розгляд таке вікно даних (згортка використовуваного вікна даних із тим самим комплексно сопряженным, але у зворотному часу, окном):

Його дискретно-временное перетворення Фур'є одно, по теоремі про пакунку в тимчасовій області, твору перетворень Фур'є вікна даних, і вікна. Якщо помітити, що перетворення вікна одно комплексно-сопряженному перетворенню вікна, то дані вираз для дорівнюватиме квадрату модуля, где.

Замінюючи кратну суму выражении.

та враховуючи, та обставина, що поза межами інтервалу шириною D отсчетов вікно даних тотожний одно нулю, имеем:

Приложениe I.

Список використовуваної литературы.