Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу

Реферат на тему:

Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу.

Розглянемо в G рівняння.

(1).

з граничними умовами.

(2).

Тут.

що.

існує єдиний узагальнений розв’язок рівняння (1) з граничними умовами (2).

який будемо називати критерієм якості керування u.

будемо називати оптимальним керуванням, а задачу.

задачей оптимального керування для рівняння (1) з граничними умовами (2).

Розглянемо теореми існування оптимального керування для часткових випадків. Припустимо далі, що від керування u залежить лише права частина рівняння (1). Покажемо, що має місце.

. Тоді існує принаймні одне оптимальне керування.

є оптимальним керуванням.

розв’язок задачі (1), (2) з правою частиною f (x, un). З нерівності.

та перейдемо в співвідношенні.

Далі зауважимо, що в силу слабкої полунеперервності знизу функціоналу J (x03C6).

а оскільки un — мінімізуюча послідовність, то.

— оптимальне керування. л Зауваження 1. Візьмемо функціонал J (x03C6) у вигляді.

Якщо далі скористуємося лемой Фату та напівнеперервністю знизу функції F (x, y), то одержимо.

що і потрібно було показати.

причому виконується одна з двух умов:

— розв'язок задачі (1); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (2);

вектор u належить обмеженій слабозамкненій множині U1 простору U.

Тоді, якщо послідовність f (x, un) слабко збігається до функції f (x, u) в L2(G) для будь-якої слабозбіжної до вектора u послідовності un, то справедлива.

Теорема 2. В просторі U існує принаймні одне оптимальне керування.

одержимо, що.

— оптимальне керування. л.

Розглянемо далі той випадок, коли від керування залежить коефіцієнти еліптичного рівняння.

(x, u).

Тоді існує принаймні одне оптимальне керування.

— відповідна послідовність розв’язків задачі (1), (2). Згідно означенню узагальненого розв’язка.

одержимо.

обмежені і тому з послідовності.

(див. []), то.

є розв’язком задачі (3.1), (3.2).

одержимо, що.

— оптимальне керування. л.

або вектор u належить обмеженій слабозамкненій множині простору U. Тоді також можна показати, що існує принаймні одне оптимальне керування.

Насамкінець розглянемо питання про існування оптимального керування в задачах, які описуються варіаційними нерівностями виду:

(3).

Тут.

.

. Тоді існує принаймні одне оптимальне керування варіаційною нерівністю (3.3).

розв’язок варіаційної нерівності (3.3), який відповідає керуванню un. Тоді неважко побачити, що справедливе співвідношення.

і обмеженість множини F одержимо, що існують невід'ємні константи С1 і С2 такі, що.

Враховуючи також, що.

одержимо.

є оптимальним керуванням. л Зауваження 4. Для варіаційних нерівностей можна також довести теореми, подібні теоремам 2, 3.

L (U, L2(G)), U — рефлексивний банаховий простір, а керування u належить замкненій опуклій підмножині U1 простору U, причому критерій якості можна представити у вигляді.

Покажемо тоді, що має місце Теорема 5. Множина оптимальних керувань є непустою замкненою підмножиною простору U, яка співпадає з сукупністю розв’язків варіаційної нерівності.

(4).

де функція z (x) визначається з розв’язку рівняння.

(5).

— непорожня, опукла і замкнена (див.також § 2).

можна представити у вигляді.

— розв'язок задачі.

(6).

З означення узагальнених узагальнених розв’язків рівнянь (5) і (6) випливає, що.

співпадає з множиною розв’язків нерівності.

.

одержимо потрібне співвідношення. л.

то теорема 5 також залишається справедливою, а в тому випадку, коли U1=U варіаційну нерівність (4) слід замінити рівнянням.

(7).

Зауваження 6. Якщо функціонал J2(u) не диференційовний, то співідношення (4) заміняється нерівністю.

(8).

Зауваження 7. Позначимо через u (z) розв’язок варіаційної нерівності (3.4). Тоді оптимальне керування може бути знайдено з розв’язку системи нелінійних рівнянь з частинними похідними.

(9).

Покажемо тоді, що має місце.

Твердження 1. Оптимальне керування u (z) можна представити у вигляді.

де функція z (x) знаходиться з розв’язку системи рівнянь.

(10).

можна перейти до границі і одержати, що функція u (x) також задовольняє цю нерівність. Далі з теореми (3.5) випливає, що оптимальне керування знаходиться з розв’язку варіаційної нерівності.

(11).

Покажемо тепер, що справедлива.

а V (Sn (x0)) об'єми відповідних сфер.

З оцінки.

Тоді.

одержимо.

Оскільки x0 довільна точка G, то лема доведена.

Продовжимо далі доведення теореми. Використовуючи лему, нерівність (3.11) перепишемо увигляді.

Звідки.

при u1(x) < u < u2(x), що і потрібно було довести. л Наслідок. Нехай p=2, x03BC>0. Тоді співвідношення для оптимального керування набудуть вигляду.

має вигляд.

.

Покажемо, що має місце.

Твердження 2. Для оптимального значення критерія якості справедливо представлення.

визначаються зі співвідношень.

є розв’язком рівняння.

— канонічний ізоморфізм простору U на спряжений.

функціонал K (u, v) вигляду.

Зауважимо, що опуклий слабонапівнеперервний знизу по змінній u, лінійний по v функціонал. Згідно з теоремою про існування сідлової точки (див. § 2) має місце рівність.

то користуючись означенням узагальненого розв’язку рівняння неважко показати, що.

PAGE 1.