Елементи теорії графів

Реферат на тему:

Елементи теорії графів.

1. Основні поняття.

1.1. Вершини і ребра.

Історично перша робота — Ейлер, розв. задачі про Кенігсбергські мости.

Графи там, де є елементи (вершини) та зв «язки між ними (ребра). Приклади — географічні схеми, комбінаційні схеми з функціональних елементів, залежність між дисциплінами навчальних планів, бінарні відношення тощо.

Множина вершин V і множина ребер E. Пари вершин (упорядковані) і неупорядковані пари — V (V і [V (V]. Функція f з E у V (V або [V (V]. Якщо F різнозначна, то маємо граф, якщо нерізнозначна — мультиграф. Петлі - (v, v) чи [v, v].

Інцидентність вершин і ребер (incidence — сфера дії), суміжність (сусідство) вершин. Степінь вершини. Сума степенів вершин і кількість ребер.

Частини графа, підграфи та суграфи. Доповнення графа.

Ізоморфізм графів. Автоморфізми.

Дводольний, повний, регулярний, фактор.

Паросполучення. Досконале, максимальне.

Задачі.

****Про суму степенів вершин і кількість ребер.

ГС1: 1, 3, 4, 25(1, 2).

****Про ізоморфізм — на картинках, матрицях суміжності та ін.

ГС1: 2, 14(1), 15(1), 16, 18 ", 28,.

****Про паросполучення. ГС1: 44.

1.2. Подання графів і мультиграфів Подання графів (не мультиграфів) — матриця суміжності, список ребер (пар вершин), структура суміжності - список вершин із списками їх сусідів («ущільнена «матриця).

Подання мультиграфів — матриця інцидентності.

Задачі.

****Малюнки (матриці, списки, структури тощо.

РНД8.8: 24.

(Липский (Довести, що при будь-якому неорієнтованому графі матриця суміжності B виражається через матрицю інцидентності A таким чином:

B = AAT — diag[d1, d2, …, dn],.

де AT- це транспонована матриця A, di — степінь i-ї вершини, diag[d1, d2, …, dn] - діагональна матриця з елементами d1, d2, …, dn на головній діагоналі.

Трох****.

1.3. Графи та відношення Граф як форма подання відношення на множині V. Об «єднання, перетин та композиція (добуток) графів. Відбиття властивостей відношень на графах. Декартовий добуток графів.

Транзитивне, транзитивно-рефлексивне та транзитивно-рефлексивно-симетричне замикання відношення суміжності. Зв «язок із матрицею суміжності та її степенями.

Задачі.

****.

2. Шляхи в графах Шлях, ланцюг, цикл, прості шляхи. Зв «язність. Компонент зв «язності. Відстані між вершинами. Діаметри, радіуси, центри.

Задачі.

****ГС1: 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14(2), 15(2), 25(4, 5), 26, 27, 39(1, 2).

РНД8.8: 4,.

ГС4: 6(1абв), 8(1, 3),.

Відмітки-відстані на ребрах. Найкоротші шляхи. Алгоритм Дейкстри.

****.

Ейлерові ланцюги та графи. Теорема Ейлера. Гамільтонові цикли та ланцюги. Задача комівояжера.

Задачі.

****(Ейл.ц.)РНД8.8: 52, на малюнках.

****(Гам.ц.)ГС1: 32, 33, 35, 36, 37, 38, 42, 43.

3. Дерева Дерево, ліс. Код дерева. Охоплююче дерево (каркас, кістяк) мінімальної ваги. Алгоритми Прима та Краскала.

ГС4: 1 ", 2, 3, 4, 5 ", 6(2), 7, 8(2), 9, 10, 11, 12, 13(…), 14, 15, 16, 17, 25(1)****про коди: 18(…), 19(…), 20(1, 2), 21(…), 22, 23, 25(2).

РНД8.8: 10, 28,.

****про ОДМВ: ГС4: 27; РНД8.8: 9(аб),.

4. Планарні графи Плоске зображення та планарний граф. Формула Ейлера. Гомеоморфізм. Критерій Понтрягіна-Куратовського. Триангуляція.

Задачі.

****про гомеоморфізм. ГС1: 29(1,2), 30, 31(1, 2).

****про планарність. ГС2: 1, 2, 3, 4, 5*, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 36, РНД8.8: 46а, 47, 48,.

5. Розфарбування вершин графа Розфарбування географічних карт — проблема 4-х фарб. Правильне розфарбування. Хроматичне число. Теореми про 5 і 4 фарби для планарних графів.

Задачі.

****ГС2: 25(…), 26(…), 27(1, 2, 3), 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38(1, 2), 39, 40.

6. Орієнтовані графи Шляхи, ланцюги, цикли (контури), відношення досяжності. Сильна зв «язність. Гамільтонові ланцюги та контури. Орієнтовані кореневі дерева. Топологічне сортування.