Дослідження характеристик стійкості в системі популяційної динамікиіз запізненням

Дослідження характеристик стійкості в системі популяційної динаміки.

із запізненням.

1. Вступ У багатьох застосуваннях припускається, що на поведінку піддослідної системи не впливає жодна затримка в часі, тобто майбутній стан системи не залежить від попередніх станів і визначається лише теперішнім. У таких випадках динамічна система переважно моделюється звичайними диференціальними рівняннями. Однак при глибшому вивченні виявляється, що такий погляд — це лише перше наближення до дійсного стану і реальніша модель повинна включати минулі стани системи.

Крім того, деякі задачі повністю втрачають свій зміст без розгляду «попередньої історії». Ці положення були відомі й раніше, але теорія систем з післядією інтенсивно розвивається лише протягом останніх 50 років. Досягнення в галузі обчислювальної техніки є дуже важливими, оскільки теорія інтегрування, тобто аналітичного розв’язування, для систем з післядією не настільки успішна.

Перші системи, з якими зіткнулися дослідники, були біологічними. При дослідженні динаміки популяцій двох антагоністичних видів [7] використовувалися системи із запізненням. Р. Беллман [3] вивчав наслідки введення у кров хімічного розчину. Зауважимо, що рівняння, які описують цей процес, не є звичайними диференціальними рівняннями, оскільки повна циркуляція крові триває близько двох хвилин.

Мета цієї праці - проаналізувати систему імунного захисту організму, враховуючи запізнення в часі. Вперше модель імунного захисту людського організму була розроблена групою математиків і лікарів на чолі з Г.І.Марчуком. Як зазначає Г.І.Марчук [1], модель дала непогані результати при використанні її для лікування пневмонії та вірусного гепатиту.

2. Асимптотична стійкість.

2.1. Головні результати теорії стійкості.

Широке коло задач пов’язано з дослідженнями динаміки об'єктів, що описуються диференціальними рівняннями із запізненням:

(2.1).

на множині кусково-неперервних функцій:

Одним із найзагальніших методів дослідження стійкості таких задач є прямий метод Ляпунова. Використання такої методики для систем із післядією пов’язано з двома напрямками. Перший ґрунтується на скінченно-вимірних функціях Ляпунова і використовує теореми Б.С.Разуміхіна. Однак цей підхід має недолік: не доведено необхідності цих умов стійкості. Сенс диференціально-різницевих рівнянь полягає в нескінченно-вимірних просторах. Використання скінченно-вимірних функцій Ляпунова призводить до зайвих достатніх умов.

. Використання функціоналів — це природнє узагальнення прямого методу Ляпунова для звичайних диференціальних рівнянь на рівняння із запізненням. Головний результат для автономних систем твердить [2].

.

.

2.2. Один загальний випадок нелінійної системи третього порядку із запізненням Розглянемо систему диференціальних рівнянь із запізненням:

(2.2).

задовольняють наступні умови:

(2.3).

— додатні константи.

Теорема 2.2. Нехай умови (2.3) виконані.

— стійким.

— функція Ляпунова для скалярного рівняння:

(2.4).

Тоді:

вигляду:

Повна похідна функціоналу вздовж першого рівняння з (2.2) має вигляд:

таке, що:

(2.5).

у сфері:

. (2.6).

задовольняє умови:

(2.7).

при досить великому N.

зі сфери:

на якому піддослідний розв’язок зодовольняє умови:

Оскільки мають місце (2.5), (2.6), (2.7), то, як випливає з теореми 2 (див. [10], стор.145), розв’язок першого рівняння з (2.2) — експоненціально x-стійкий, тобто:

(2.8).

яка задовольняє друге рівняння з (2.2) у наступному вигляді:

(2.9).

то маємо:

Застосовуючи до останньої нерівності лему Гронуола-Беллмана, отримуємо:

такі, що мають місце нерівності:

має місце:

— стійкість (2.2). Теорему доведено.

3. Система імунного захисту Наша подальша мета — отримати достатні умови стійкості в явному вигляді для наступної нелінійної системи:

(3.1).

— довільні додатні константи.

Нехай:

що задовольняють нерівності:

Тоді тривіальний розв’язок (22) є асимптотично стійким.

Доведення. Використаємо квадратичний функціонал вигляду:

використовуючи систему (22). Маємо:

Зробимо перетворення в усіх складових порядку, відмінного від двох. Тут береться до уваги додатність траєкторії системи. Маємо:

Ми отримали нерівність, де в правій частині є квадратична форма, що відповідає вектору:

Маємо:

.

Тут:

.

є еквівалентною виконанню нерівностей, згаданих у формулюванні теореми.

Література Нисевич Н. И., Марчук Г. И. Математическое моделирование вирусного гепатита. — М.: Наука, 1981.

Hale J. Theory of Functional-Differential Equations. Springer. — Berlin, 1977.

Bellman R., Jacques J., Kalaba R. Some mathematical aspects of chemoterapy. I: one-organ models // Bull. Math. Biophys. — 1960. — Р. 181−198.

Marzeniuk V.P. On Construction of Exponential Estimates for Linear Systems with Delay. — Advances in Difference Equations. — Gordon and Breach Science Publishers. — 1997. — Р.439−445.

Хусаинов Д.Я., Марценюк В. П. Оптимизационный метод исследования устойчивости линейных систем с запаздыванием // Кибернетика и системный аналіз. — 1996. — № 4. — С. 88−93.

Хусаинов Д.Я., Марценюк В. П. Двусторонние оценки решений линейных систем с запаздыванием // Доклады НАН Украины.- 1996. — № 8. — С. 8−13.

Volterra V. Sur la theorie mathmatique des phenomenes hereditaires. J. Math. Pures Appl. — 7 (1928). — Р. 249−298.

Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.

Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1951.

Эльсгольц Л.Э., Норкин С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — М.: Наука, 1971.

Колмановский В.Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с постедействием. — М.: Наука, 1981. — 448 с.