Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)

Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі).

.

.

План Рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними.

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку і рівняння, що зводяться до однорідних.

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Рівняння Бернуллі.

12.2. Рівняння з відокремленими й відокремлюваними змінними Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку.

.

праву частину можна подати у вигляді.

.

то (за умови, що .

.

Розглядаючи цю рівність як рівність двох диференціалів та інтегруючи зліва за .

.

Це співвідношення є загальним інтегралом рівняння (12.1).

Диференціальне рівняння першого порядку типу (12.2), в якому при диференціалах .

Диференціальне рівняння вигляду.

.

називається рівнянням з відокремлюваними змінними.

Справді, якщо .

.

і, отже, загальний інтеграл рівняння, за аналогією з (12.2), має вигляд.

.

Приклад 1. Нехай .

тих, хто не знає. Припускаючи, що в момент часу .

.

з початковою умовою.

Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Подамо його у вигляді.

.

Загальний інтеграл рівняння.

.

Знайдемо інтеграл у лівій частині рівності (12.6):

.

(Зауважимо, що .

.

Звідси знаходимо загальний розв «язок .

.

Для отримання розв «язку задачі Коші покладемо в рівності (12.7) .

.

Підставимо вираз (12.8) у загальний розв «язок (12.7) і спростимо результат. Отримаємо шуканий частинний розв «язок:

.

Його графіком є так звана логістична крива (рис. 12.1).

.

Рис. 12.1.

Приклад 2. Нехай відомо, що швидкість хімічної реакції, яка перетворює речовину .

Потрібно скласти диференціальне рівняння залежності об «єму .

Нехай об «єм речовини .

.

(.

.

або.

.

де .

Цікаво відзначити, що рівняння (12.11) збігалося з рівнянням (12.5). Вперше таке рівняння використано у 1845 р. і названо як рівняння Ферхольста — Перла, застосовувалось воно для опису динаміки чисельності популяції в біології. Зауважимо, що такий самий вигляд мають рівняння інших процесів — наприклад, попиту на сезонні масові послуги на підприємствах побутового обслуговування, а також випаровування вологи з пористої речовини тощо.

Розглянемо диференціальне рівняння виду .

12.3. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку і рівняння, що зводяться до однорідних Рівняння першого порядку.

.

називається однорідним відносно .

.

Приклад 1. Рівняння .

.

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку зводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки .

.

звідки.

.

Інтегруючи це рівняння й повертаючись від змінної .

Прикладі 2. Розв «язати рівняння .

Р о з в ‘ я з о к. Це рівняння однорідне. Виконаємо у цьому рівнянні заміну залежної змінної .

.

Відокремлюючи змінні, одержуємо: .

.

Отже, загальний розв «язок рівняння має вигляд .

Приклад 3. Покажемо, як розв «язується рівняння, наведене в прикладі 3, за допомогою полярних координат.

Перейдемо до нових змінних .

.

Звідси.

.

.

Отже,.

.

Права частина рівняння у нових координатах набуває вигляду.

.

Прирівнюючи праву і ліву частини рівняння, дістанемо.

.

На основі властивості пропорції позбудемося дробів:

.

Спрощуючи це рівняння, отримаємо.

.

Відокремлюємо змінні.

.

Інтегруємо.

.

(довільну сталу позначили як .

Повернемось до старих змінних .

або .

Зауваження. До однорідних рівнянь зводяться диференціальні рівняння вигляду.

.

1. У разі, коли .

.

Оскільки .

сталі .

.

Ця система має єдиний розв «язок (згідно з умовою .

2. Якщо .

.

Якщо в цьому рівнянні виконати заміну змінної за формулою .

Перейшовши до нової змінної у рівнянні (12.13), одержимо рівняння.

.

у якому змінні легко відокремлюються.

Приклад 4. Розв «язати рівняння.

.

Р о з в ‘ я з о к. Це — диференціальне рівняння вигляду (12.13). Перевіримо, чи виконується для нього нерівність .

.

Для визначення .

.

головний визначник якої дорівнює .

в результаті якої отримуємо однорідне рівняння .

Відокремлюємо змінні .

.

Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд.

.

або.

.

Враховуючи виконані заміни змінних, маємо:

.

Отже, загальний інтеграл вихідного рівняння.

.

або, після спрощень,.

.

12.4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку Лінійними диференціальними рівняннями першого порядку називається рівняння, лінійне відносно невідомої функції та її похідної:

.

де .

Якщо, зокрема, .

.

називається лінійним однорідним (або без правої частини), а рівняння (12.14), в якому .

Однорідне рівняння (12.15) — це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні:

.

Загальний інтеграл рівняння.

.

а загальний розв «язок однорідного рівняння (12.15).

.

Щоб відшукати загальний розв «язок рівняння (12.14), використаємо так званий метод варіації довільної сталої Лагранжа. Суть його полягає в тому, що розв «язок рівняння (12.14) шукатимемо у вигляді, аналогічному (12.16), але вважатимемо у цій формулі .

.

Підставимо (12.17) у рівняння (12.14):

.

або .

З останнього рівняння знаходимо .

.

де .

.

Зауваження. Метод варіації довільної сталої для рівняння (12.14) можна реалізувати на практиці таким чином.

Розв «язок рівняння (12.14) шукаємо у вигляді добутку двох невідомих функцій .

.

Знайдемо похідну.

.

У результаті підстановки функції (12.20) та похідної від неї (12.21) у рівняння (12.14) отримаємо.

.

або.

.

Оскільки функцію .

.

(при цьому перший доданок зліва у (12.22) перетвориться на нуль). Зауважимо, що це не що інше, як лінійне рівняння (12.15) відносно .

.

Оскільки нас цікавить лише один який-небудь ненульовий розв «язок рівняння (12.23), то в цій формулі покладемо .

Це — диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Звідси.

.

Отже, згідно з (12.21) загальний розв «язок рівняння (12.14).

.

Отже, розв «язки (12.19) та цього рівняння збіглися. Зауважимо, що при встановленні типу диференціального рівняння та його розв «язання слід врахувати, що не обов «язково шукається залежність виду .

.

можна подати у вигляді.

.

звідки видно, що воно є лінійним, якщо .

.

Отже, якщо .

Розглянемо деякі приклади розв «язання лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.

Приклад 1. Розв «язати лінійне рівняння .

а) методом варіації довільної сталої;

б) підстановкою .

Р о з в ‘ я з о к. а) Згідно з методом варіації довільної сталої спочатку розв «яжемо відповідне рівняння без правої частини:

.

Маємо .

Підставимо .

.

Звідси .

Таким чином, загальний розв «язок має вигляд.

.

б) Цей же самий результат отримаємо, застосувавши до початкового рівняння підстановку .

.

Знайдемо .

Приклад 2. При відстоюванні суспензії має місце повільне осідання твердих частинок під дією сили ваги, якщо опір середовища пропорційний швидкості осідання частинок, що осідають в рідині без початкової швидкості.

Р о з в «я з о к. Згідно з законом Ньютона.

.

або .

Це лінійне диференціальне рівняння першого порядку. Щоб знайти його частинний розв «язок, що задовольняє початковій умові .

.

Після відокремлювання змінних та інтегрування отримаємо.

.

Щоб знайти загальний розв «язок рівняння з правою частиною, вважаємо, що в останній рівності .

Тоді .

і відносно .

.

Звідси .

де .

.

Тоді загальний розв «язок рівняння набуває вигляду.

.

Поклавши тут .

Отже, частинний розв «язок поставленої задачі матиме вигляд.

.

Приклад 3. З фізики відома залежність між силою стуму .

.

Якщо .

Нехай .

.

Знайдемо загальний розв «язок цього лінійного рівняння. Нехай .

або .

Невідому функцію .

.

звідки.

.

де .

.

а функцію .

.

Отже, сила струму .

.

12.5. Рівняння Бернуллі.

Диференціальне рівняння виду.

.

в якому .

маємо лінійне рівняння, а при .

Покажемо, що рівняння Бернуллі зводиться до лінійного диференціального рівняння першого порядку. Для цього поділимо ліву й праву частини рівняння (12.24) на .

.

та виконаємо заміну змінної .

.

диференціальне рівняння Бернуллі перетворюється на рівняння.

.

яке є лінійним. Проінтегрувавши його одним з описаних раніше способів і повернувшись від .

Зауважимо, що зручніше розв «язувати рівняння Бернуллі, не зводячи його до лінійного, за допомогою підстановки .

Покажемо це на прикладі.

Приклад. Розв «язати рівняння Бернуллі.

.

Р о з в «я з о к. Будемо шукати невідому функцію .

.

Функцію .

.

.

де .

.

12.6. Рівняння в повних диференціалах.

Інтегруючий множник Означення. Диференціальне рівняння вигляду.

.

називається рівнянням у повних диференціалах, якщо .

.

причому .

Покажемо, що коли ліва частина рівняння (12.25) є повним диференціалом деякої функції .

Справді, нехай зліва у рівнянні (12.25) стоїть повний диференціал, тобто .

Оскільки.

.

маємо.

.

Тоді частинні похідні .

.

Оскільки зліва в цих рівностях згідно з умовою записані неперервні функції, то це означає, що й праві частини, тобто .

.

Припустимо тепер, що умова (12.26) виконується, і знайдемо функцію .

.

Оскільки .

.

де .

.

Враховуючи, що .

.

Отже, .

.

Звідси .

де .

.

Це дозволяє записати загальний розв «язок рівняння (12.25) (або те ж саме рівняння (12.27)) у вигляді:

.

Зауваження. На практиці зручніше продиференціювати рівність (12.28) за .

Приклад. Розв «язати рівняння.

.

.

Отже, умова (12.26) виконується. Для знаходження функції .

Звідси визначимо похідну: .

.

Загальний інтеграл рівняння має вигляд .

.

або.

.

Поділивши обидві частини цього рівняння на .

.

1) Нехай шуканий інтегральний множник залежить лише від .

.

Якщо права частина цього рівняння не залежить від .

2) Якщо інтегральний множник є функцією тільки від .

Якщо вираз справа залежить лише від .

Приклад 2. Розв «язати рівняння .

Р о з в «я з о к. Знайшовши частинні похідні.

.

.

Припустимо, що .

Оскільки вираз у правій частині цієї рівності залежить від .

.

.

і, отже, інтегральний множник було знайдено правильно (оскільки (12.26) — рівняння в повних диференціалах). Знайдемо функцію .

Продиференціюємо .

.

і загальний інтеграл рівняння має вигляд.

.