Інтегрування з допомогою заміни змінної. 
Інтегрування частинами

Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами.

.

.

План.

Інтегрування частинами.

Інтегрування часток.

Заміна змінної.

1. Інтегрування частинами Нехай .

Тоді .

.

Звідси.

.

Формула (8.16) називається формулою інтегрування частинами в невизначеному інтегралі.

Користуючись формулою (8.16), рекомендується обчислення інтегралів від таких функцій :

.

де .

Інтегруючи вирази .

Для прикладу знайдемо.

.

Знову, взявши .

.

.

Позначивши .

.

Звідси .

Нехай .

.

Отже, на основі формули (8.16) одержимо.

.

.

.

Обчислимо тепер

.

Остаточно з урахуванням .

Останній приклад показує, що часто інтегрування частинами приводить до мети скоріше в тих випадках, де, як це здавалось би, доцільніше застосувати інші методи. У цьому можна переконатися, спробувавши знайти первісну для функції .

2. Інтегрування часток Через те, що .

Користуючись цим, стають очевидними такі формули :

.

.

де .

2..

Через те що .

3. Заміна змінної.

Нехай потрібно обчислити інтеграл .

.

Формулу (8.20) слід розуміти так, що після інтегрування в правій частині рівності замість .

Щоб довести рівність (8.20), потрібно довести, що похідні за .

.

.

Фактично у п. 9.3.5 теж йшлося про заміну змінної, в чому можна безпосередньо переконатися .

Не можна дати універсальних замін змінних, які зводили б заданий інтеграл до простішого. Але для ряду випадків це можна здійснити. Доцільно, наприклад, в інтегралах, що містять під знаком інтеграла вирази вигляду .

.

За подальшого вивчення методів інтегрування розглядатимуться інші заміни змінних .

Приклади .

1..

.

2..

.

.

_.

.