Лінійна алгебра. 
Матриці та вектори (реферат)

Реферат на тему:

Лінійна алгебра. Матриці та вектори.

Означення. Матрицею розміром nxm називається прямокутна таблиця чисел.

$$\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1j}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{2j}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{i1}& a_{i2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{ij}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{in}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}& a_{m2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mj}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}\right)=\begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}={\left(a_{\text{ij}}\right)}_{i=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.}m-j=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},n}$$.

Означення. Матриці A=(aij) та B=(bij) називаються рівними (однаковими), якщо вони мають однакову кількість рядків та стовпців і всі їхні елементи, розташовані на однакових місцях, є рівними (тобто aij=bij для всіх значень i та j).

Означення. Сумою двох матриць A=(aij) та B=(bij) з однаковою кількістю рядків та стовпців називається матриця C=A+B, де.

cij=aij+bij (i=1,…, mj=1,…, n). (1.1).

Означення. Добутком матриці A=(aij) на число k називається матриця B=kвигляду B=kk).

Матриця називається квадратною, якщо кількість її рядків співпадає із кількістю стовпців (n=m).

Означення. Квадратна матриця E=(eij) називається одиничною, якщо.

$$e_{\text{ij}}=\{\begin{array}{c}1\text{при}i=j\\ 0\text{при}i/=j\end{array}$$ ,.

тобто ця матриця має вигляд.

$$E=\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& \text{.}\text{.}\text{.}& 0& \text{.}\text{.}\text{.}& 0\\ 0& 1& \text{.}\text{.}\text{.}& 0& \text{.}\text{.}\text{.}& 0\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ 0& 0& \text{.}\text{.}\text{.}& 1& \text{.}\text{.}\text{.}& 0\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ 0& 0& \text{.}\text{.}\text{.}& 0& \text{.}\text{.}\text{.}& 1\end{array}\right)$$ .

Означення. Матриця O називається нульовою, якщо всі її елементи є нулями: $$O=\left(\begin{array}{ccc}0& \text{.}\text{.}\text{.}& 0\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ 0& \text{.}\text{.}\text{.}& 0\end{array}\right)$$ .

Означення. Добутком матриці $$A=\begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}$$ на матрицю $$B=\begin{array}{ccc}{b}_{\text{11}}& \text{.}\text{.}\text{.}& b_{1p}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ b_{n1}& \text{.}\text{.}\text{.}& b_{\text{np}}\end{array}$$ називається матриця $$C=AB=\begin{array}{ccc}{c}_{\text{11}}& \text{.}\text{.}\text{.}& c_{1p}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ c_{m1}& \text{.}\text{.}\text{.}& c_{\text{mp}}\end{array}$$, елементи якої обчислюються за формулою.

$$c_{\text{ij}}=\underset{k=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ik}}{b}_{\text{kj}}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}\text{.}\text{.}\text{.}+a_{\text{in}}{b}_{\text{nj}}(i=1,\text{.}\text{.}\text{.},m-j=1,\text{.}\text{.},p)$$ (1.2).

Приклади.

1. Нехай $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$ та $$B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$$ .

Тоді $$A+B=\left(\begin{array}{cc}6& 8\\ \text{10}& \text{12}\end{array}\right)$$, $$5A=\left(\begin{array}{cc}5& \text{10}\\ \text{15}& \text{20}\end{array}\right)$$, $$-A=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ -3& -4\end{array}\right)$$ .

2. Нехай, крім того,.

$$C=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$$ та $$D=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\\ 5& 6\end{array}\right)$$ .

Тоді $$CD=\left(\begin{array}{cc}11+22+35& 15+24+36\\ 41+52+65& 43+54+66\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\text{20}& \text{29}\\ \text{42}& \text{68}\end{array}\right)$$ ,.

D — не має сенсу,.

$$AB=\left(\begin{array}{cc}\text{19}& \text{22}\\ \text{43}& \text{50}\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}\text{23}& \text{34}\\ \text{31}& \text{46}\end{array}\right)\text{.}$$.

Зазначимо, що в останньому прикладі А.

Виконуються такі властивості додавання та множення матриць:

Е= А= А (властивість множення на одиничну матрицю);

О= А= О (властивість множення на нульову матрицю);

k O O A+O = O+A =A;

= ()A- (AA ();

A+B = B+A (комутативна властивість додавання);

A+(B+C)=(A+B)+C (асоціативна властивість додавання);

(= /p>

) =(;

(A+B)C = AC+BC — C (A+B) = CA+CB.

Означення. Матрицею AT, транспонованою до матриці $$A=\begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}$$, називається матриця $$A^T=\begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{m1}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{1n}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}$$ .

Виконуються такі властивості:

(AB)T = BTAT;

(=.

(AT)T = A.

Частковим випадком матриці є вектор (упорядкована послідовність чисел). Розрізняють вектор-рядок (матрицю-рядок) $$\stackrel{}{a}=(a_1,\text{.}\text{.}\text{.},a_n)$$ та векторстовпець (матрицю-стовпець) $$\stackrel{}{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ b_n\end{array}\right)$$ .

Добуток матриці на вектор обчислюється за загальним означенням множення матриць:

$$\stackrel{}{c}=A\stackrel{}{b}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ b_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}{b}_1+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{1n}{b}_n\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}{b}_1+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{\text{mn}}{b}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ c_n\end{array}\right)$$ ,.

$$\stackrel{}{d}=\stackrel{}{b}A=\left(\begin{array}{ccc}{b}_1& \text{.}\text{.}\text{.}& b_m\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}\right)=$$.

$$=\left(\begin{array}{ccc}{b}_1{a}_{\text{11}}+\text{.}\text{.}\text{.}+b_m{a}_{m1}& \text{.}\text{.}\text{.}& b_1{a}_{1n}+\text{.}\text{.}\text{.}+b_m{a}_{\text{mn}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{d}_1& \text{.}\text{.}\text{.}& d_m\end{array}\right)$$ .

Приклад. Для виготовлення виробів W1 та W2 потрібні вузли v1 та v2. Для виготовлення цих вузлів, в свою чергу, відповідно, потрібні деталі d1, d2 та d3 у кількостях, що наведені у таблицях:

Обчислити кількість деталей, що потрібні для виготовлення кожного із виробів W1 та W2.

На основі аналізу цих таблиць бачимо, що шукана кількість деталей облислюється як добуток матриць.

$$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right)x\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}22+31& 21+30& 20+33\\ 12+41& 11+40& 10+43\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}7& 2& 9\\ 6& 1& \text{12}\end{array}\right)$$ .

Отриманий результат такий:

Зокрема, для виготовлення виробу W2 потрібно 12 деталей d3.

Приклад. Нарахувати заробітну плату, яку потрібно виплатити на кожне замовлення, якщо вхідна інформація задана у таблицях:

Таблиця A.

Таблиця B.

Таблиця C.

Помноживши матрицю B на матрицю A, отримуємо затрати часу на робочих місцях щодо кожного замовлення:

Справді, $$BA=\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 3\\ 4& 0& 2\\ 6& 2& 1\end{array}\right)x\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{0,8}& \mathrm{2,1}& \mathrm{1,2}& \mathrm{3,0}\\ \mathrm{1,3}& \mathrm{0,5}& \mathrm{2,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{1,1}& \mathrm{1,0}& \mathrm{2,5}& \mathrm{1,8}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\text{16}\mathrm{,\; 4}& \text{17}& \text{33}\mathrm{,\; 1}& \text{21}\mathrm{,\; 8}\\ \mathrm{5,4}& \text{10}\mathrm{,\; 4}& \mathrm{9,8}& \text{15}\mathrm{,\; 6}\\ \mathrm{8,5}& \text{14}\mathrm{,\; 6}& \text{15}\mathrm{,\; 3}& \text{20}\mathrm{,\; 2}\end{array}\right)$$ .

Перемноживши отриману матрицю на вектор (матрицю-стовпець) C, обчислимо витрати на зарплату щодо кожного із замовлень:

Отже, витрати на зарплату обчислюються як добуток матриць:

$$(BA)C=\left(\begin{array}{cccc}\text{16}\mathrm{,\; 4}& \text{17}& \text{33}\mathrm{,\; 1}& \text{21}\mathrm{,\; 8}\\ \mathrm{5,4}& \text{10}\mathrm{,\; 4}& \mathrm{9,8}& \text{15}\mathrm{,\; 6}\\ \mathrm{8,5}& \text{14}\mathrm{,\; 6}& \text{15}\mathrm{,\; 3}& \text{20}\mathrm{,\; 2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{1,}\text{30}\\ \mathrm{1,}\text{25}\\ \mathrm{1,}\text{40}\\ \mathrm{1,}\text{45}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{120},\text{52}\\ \text{56},\text{36}\\ \text{80},\text{01}\end{array}\right)$$ .

Приклад. Входження деталей та комплектуючих у деякий виріб показане на рисунку 1.1 :

Виріб.

4 3 10 15.

Комплектуюча Комплектуюча Деталь Деталь.

K1 K2 D1 D2.

2 3 4 5.

D1 D2 D1 D2.

Рис. 1.1.

Визначити загальне входження кожної з деталей D1 та D2 у виробі.

Побудуємо відповідні матриці.

Матриця входжень деталей у комплектуючих: $$A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 5\end{array}\right)$$. Тут рядки відповідають деталям, а стовпці ­ комплектуючим.

Безпосереднє входження деталей у виробі - це вектор $$\stackrel{}{c}=\left(\begin{array}{c}\text{10}\\ \text{15}\end{array}\right)$$, а входження комплектуючих у виробі - вектор $$\stackrel{}{b}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$$ .

Тоді загальну кількість деталей D1 та D2 у виробі обчислюють за формулою.

$$\stackrel{}{d}=\left(\begin{array}{c}{d}_1\\ d\end{array}\right)=A\stackrel{}{b}+\stackrel{}{c}=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\text{10}\\ \text{15}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{20}\\ \text{27}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\text{10}\\ \text{15}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{30}\\ \text{42}\end{array}\right)$$ .

Отже, для виготовлення одного виробу потрібно 30 деталей D1 та 42 деталі D2 .

Означення. Нехай A=(aij)i=1,…, n-j=1,…, n — квадратна матриця. Оберненою до неї матрицею A-1 називається матриця, для якої має місце.

A=A-1 .

Якщо обернена до A матриця існує, то (A-1)-1=A.

Приклад.

Нехай $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$$. Тоді $$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -2/3\\ 0& 1/3\end{array}\right)$$ .

Справді,.

$$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -2/3\\ 0& 1/3\end{array}\right)=E$$ ,.

$$A^{-1}A=\left(\begin{array}{cc}1& -2/3\\ 0& 1/3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)=E$$ .

За допомогою оберненої матриці можна розв’язувати системи лінійних рівнянь, оскільки запис.

$$\{\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}{x}_1+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{1n}{x}_n=b_1\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}{x}_1+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{\text{nn}}{x}_n=b_n\end{array}$$.

є рівнозначний до запису.

$$A\stackrel{}{x}=\stackrel{}{b}$$, де $$$$ $$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}\right),\stackrel{}{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_n\end{array}\right),\stackrel{}{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ b_n\end{array}\right)\text{.}$$.

Розв’язок $$\stackrel{}{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_n\end{array}\right)$$ системи $$A\stackrel{}{x}=\stackrel{}{b}$$ знаходиться при допомозі множення зліва обидвох частин на обернену матрицю A-1 :

$${\text{A}}^{\text{-1}}A\stackrel{}{x}=A^{-1}\stackrel{}{b}$$ ,.

$$E\stackrel{}{x}=A^{-1}\stackrel{}{b}$$, (1.3).

$$\stackrel{}{x}=A^{-1}\stackrel{}{b}$$ .

Відшукання оберненої матриці ­ досить складна математична задача. Проте дії над матрицями реалізовані у багатьох комп’ютерних системах. Зокрема, в системі EXCEL обчислення оберненої матриці реалізується за допомогою так званої функції масиву MINVERSE, а множення матрицьза допомогою функції масиву MMULT (зазначимо, що функція масиву, на відміну від звичайної функції, вводиться одночасним натисканням трьох клавіш — Shift, Ctrl та Enter).

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ.

1. 1.Барковський В., Барковська Н. Математика для економіста. — К., 1997. Т.1−3.

2. 2.Бугір М. Математика для економістів. — Тернопіль, 1998.

3. 3.Михайленко В., Федоренко Н. Математичний аналіз для економістів. — К., 1999.

4. 4.Нікбахт Е., Гроппелі А. Фінанси. — К., 1993.

5. 5.Nicholson R.N. Mathematics for Business and Economics. — 1986.

6. 6.Завада О. Методичні вказівки до виконання контрольних робіт.

з курсу «Математика для економіста». — Львів, 2000.