Апроксимація функцій методом найменших квадратів

Метою виконання апроксимацiї отриманої у вигляді пар точок функції зміни температури по товщині стінки для останнього моменту часу є знаходження математичної залежності:

Т=f (x)= A (2)· X2+A (1)·X+A (0) (2.1).

Математичними моделями стохастичних процесів, тобто таких, які здійснюються під впливом випадкових факторів, в більшості випадків є емпіричні рівняння регресії, одержані в результаті обробки результатів досліджень. Такі рівняння, як правило, не відображають зв’язки і фізичну взаємодію між різними факторами, які обумовлюють процес, але дозволяють встановити залежність між вхідними та вихідними чинниками системи.

Якщо результати дослідів можна вважати в деякій мірі випадковими, то для побудови рівняння регресії застосовують апроксимацію табличних даних методом найменших відхилень. Суть методу полягає в побудові такого рівняння, яке б забезпечувало мінімальні відхилення експериментальних результатів від апроксимуючої кривої в усьому вивченому діапазоні. При цьому не ставиться завдання, щоб одержана крива точно проходила хоча б через одну точну множини [X, Y]. Такий підхід дозволяє в деякій мірі зменшити вплив похибок вимірювань та помилок, допущених в ході експерименту. З математичної точки зору ця умова може бути досягнута якщо для кожного вузла{xi, yi} величина Si (див. малюнок 2) буде мінімально можливою.

Рис. 2.1. Метод найменших відхилень. Геометрична інтерпретація

Відхилення S можуть бути як додатніми так і від'ємними (S10, S20), але оскільки знаки нас не цікавлять, будемо розглядати квадрати цих відхилень. Висунемо вимогу, щоб квадрати відхилень були мінімальними:

Si2 = (Yei — Yai)2 min (2.2).

Вираз називають критерієм найменших квадратів, а метод визначення параметрів апроксимуючої кривої з використанням цього критерію — методом найменших квадратів.

Укрупнена блок-схема алгоритму має вигляд, показаний на малюнку 2.2.

В блоці вводу вхідних даних задаються: число вузлів N, порядок апроксимуючого поліному M, табличні значення змінних xi, yi, та крок зміни аргументу. Наступним короком є формування масиву [X, Y] та обчилення сум? хmy. Далі формується матриця Грамма — розширена матриця системи рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів cі. Розмір розширеної матриці системи (22) встановлюється в залежності порядку поліному: число рядків M=M+1, число стовпців M=M+2.

Наступним кроком алгоритм передбачає рішення системи (22) методом Гауса та вивід коефіцієнтів рівняння регресії.

Заключна циклічна процедура дозволяє вирахувати значення функції в вузлових та не вузлових точках відрізку [a, b] і визначити похибку апроксимації.

Рис. 2.2. Укрупнена блок-схема алгоритму методу найменших квадратів

За допомогою програми 2- APROKSIM. EXE ми знаходимо математичний вираз функції, що описує залежність температури від товщини стінки парами точок: X;T (x).

Вихідними даними для програми є: кількість вузлів інтерполяції, значення аргументу (Х) та функції (Т (х)) в цих вузлах, а також ступінь полінома.

За результатами роботи програми були отримані наступні значення коефіцієнтів полінома:

А (0) = 335,1727; А (1) = -12,12 595; А (2) = 15,91 115;

Тоді функція, що описує залежність температури від товщини стінки буде мати вигляд:

Т (х)= 15,91 115 * X2 + (-12.1295) * X + 335.1727.

Визначення середньої температури стінки.

Середня температура стінки визначається як середньозважена або середньо-інтегральна величина за формулою:

°К (2.3).

алгоритм апроксимація різничний Чисельне інтегрування функцій базується на геометричному тлумаченні визначеного інтегралу як площі фігури, обмеженої прямими х=а, х=b, віссю абсцис ОХ та кривої у=F (x).