Існування неявної функції багатьох змінних

У цьому параграфі ми розглянемо узагальнення вище доведеної теореми для випадку функції двох змінних.

Теорема 2.1 Нехай М₀(х₀, у₀, z₀)R³ і F (x, y, z) такі, що.

• 1) F (x₀, y₀, z₀)=0;
• 2) в деякому околі точки М₀, функція F (x, y, z) і F_x; F_y;F_z неперервні;
• 3) F_z(x₀, y₀, z₀)0.

Тоді в деякому паралелепіпеді П={x, y, z: x₀-₁₀+₁, y₀-₂₀-₂,

z₀-₃₀+₃} рівняння F (x, y, z) визначатиме єдину функцію z=F (x, y), яка буде визначена в прямокутнику П₁={(х, у): x₀-₁₀+₁, y₀-₂₀-₂}, яка буде неперервно диференційовною в цьому прямокутнику.

Частинні похідні будуть обчислюватися за формулами:

;

Аналогічна теорема має місце для випадку функції від більше ніж 3-х змінних.

Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь

Іноді буває, що неявні функції задаються системою рівнянь. При цьому має місце така теорема.

Теорема 3.1 Нехай маємо таку систему:

(3.1).

іточка, координати якої задовільняють кожному рівнянню системи (3.1).

Тоді, якщо:

• 1) в деякому околі точки М₀, існують всі часткові похідні першого порядку функцій F₁,…, F_m,при чому частинні похідні, де; , будуть неперервні в точці М₀;
• 2) величина, яка називається якобіяном і позначається

відмінна від нуля в точці М₀, то існують додатні числа ₁>0, ₂>0,…,_m>0 та окіл точки такий, що в ньому існує єдиний набір функцій:

U₁=₁(x₁,…, x_n)

U₂=₂(x₁,…, x_n)

…

U_m=₂(x₁,…, x_n),

які є розв’язками системи (3.1). В межах цього околу матимуть місце нерівності:

Кожна з функцій _і є неперервною в цьому околі точки М₀ та диференційовною в ньому.

В зв’язку з цією теоремою виникає питання, а як же знайти частинні похідні від функцій _і, які одержалися в попередній теоремі. Адже із формулювання зрозуміло, що теорема стверджує тільки існування тих функцій і не дає можливості їх явно задати. Отже, як знайти їх частинні похідні?

Для цього продиференціюємо кожне із рівнянь системи (3.1) по змінній х_1. Зважаючи на те, що х_і - незалежні змінні, а U_i — функції від х₁…х_п, матимемо:

…

Ми одержимо систему m лінійних рівнянь відносно т невідомих. Головний визначник цієї системи це є якобіян, взятий в точці М₀, який за умовою теореми не дорівнює нулю.

Розв’язавши цю систему, ми знайдемо.

Для того, щоб знайти частинні похідні по інших змінних зробимо те саме.