Моделювання систем масового обслуговування

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Экономические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

КУРСОВИЙ ПРОЕКТ

з дисципліни «Моделювання систем»

на тему: «Моделювання систем масового обслуговування»

Вступ

Аналітичні методи дослідження операцій здаються на перший погляд універсальними засобами для моделювання різноманітних явищ і процесів, які існують в житті. Але це не так, оскільки вони є надзвичайно динамічними, складними, різноманітними. Виходом з такого положення може здатися застосування математичних моделей, але за допомогою них не завжди можна вирішувати усі завдання які постають перед нами. Математичні моделі які можуть бути реалізовані за допомогою ефективних обчислювальних методів, є надто спрощені, а отже не адекватні реальним процесам. Що ж до адекватних математичних моделей то їх здебільшого не можна реалізувати через труднощі обчислювального характеру. У такому разі є сенс застосувати машинну імітацію, що полягає в моделюванні на ЕОМ реальної виробничої чи економічної системи.

Машинна імітація дає змогу користувачеві проводити такі експерименти, які з існуючими реальними системами були б не можливі. Такий метод набуває сьогодні особливої ваги, насамперед як інструмент удосконалення управління економікою та її галузями в межах усієї України. Є всі підстави стверджувати, що машинна імітація — один з найзагальніших та найпотужніших методів прикладного системного аналізу. Адже з допомогою імітаційних моделей системи розкривається сутність відповідних явищ і процесів за умови, що натуральні досліди в реальному середовищі на реальних об'єктах виключаються.

  • 1. Теоретична частина

1.1 Моделювання, основні його задачі

Моделювання — як процес полягає у відтворенні властивостей тих чи інших об'єктів, предметів і явищ за допомогою абстрактних об'єктів та описів у вигляді зображень, планів, систем рівнянь, алгоритмів або програм.

Модель — це умовний образ об'єкта або системи, який служить для відображення співвідношень між людськими знаннями про об'єкт і безпосередньо цим об'єктом.

У процесі моделювання відбувається заміщення об'єкта — оригінала його моделлю і вивчення властивостей об'єкта шляхом дослідження властивостей моделі. Об'єктом може бути природна або штучна система. Під впливом зовнішніх дій проявляються властивості об'єкта. Характеристики У0 — кількісна міра властивості об'єкта. Кожен параметр має певну структуру і принципи, які його відображають. Параметр має підмножину параметрів.

Дослідника цікавлять тільки певні характеристики об'єкта при конкретних зовнішніх діях. Заміщення одного об'єкта іншим правомірне, якщо ті характеристики оригіналу і моделі, які цікавлять дослідника, визначають однотипними множинами параметрів і пов’язані однотипними залежностями між параметрами.

Модель, за допомогою якої описують систему, може містити у собі тільки основні характеристики системи, інші, які не чинять суттєвого впливу на функціонування системи, відкидаються, щоб не ускладнювати процес моделювання. У більшості випадків вважається, що модель складається з трьох основних блоків: вхід, система, вихід. Для того щоб успішно моделювати роботу системи необхідно знати два з цих блоків.

Загалом, модель є абстрактним або формально описаним об'єктом або системою, відображає співвідношення між людськими знаннями про об'єкт і безпосередньо сам об'єкт. Модель, за допомогою якої описують систему, може містити у собі тільки основні характеристики системи, інші, які не чинять суттєвого впливу на функціонування системи, відкидаються, щоб не ускладнювати процес моделювання. У більшості випадків вважається, що модель складається з трьох основних блоків: вхід, система, вихід. Для того щоб успішно моделювати роботу системи необхідно знати два з цих блоків. Для проведення моделювання можуть використовуватися різні методи:

Аналітичні методи — передбачають існування у дослідника деякої аналітичної моделі, яка дасть змогу зменшити затрати на дослідження.

Чисельні методи — їх використання передбачається у тих випадках, коли є неможливим застосування аналітичних моделей. Передбачають застосування статистичних методів.

Якісні методи — з допомогою цих методів можна оцінювати асимтотичні значення величин, які визначаються в процесі моделювання і дозволяють оцінити поведінку системи в цілому.

Найбільш ефективним із них є аналітичний метод, тому його можна розглянути більш детально.

Аналітичний метод моделювання полягає у визначенні формул, які з певною точністю описують роботу системи. Для визначення необхідних нам даних про систему відбувається підстановка значень аргументу під кожен з випадків. Даний метод може застосуватись до відносно нескладних систем. Але більшість моделей, які описують реальні системи, є занадто складними і тому за допомогою цього методу можна тільки попередньо оцінити різноманітні варіанти, попередньо значно ідеалізувавши систему.

Існує декілька видів моделювання. Серед них за різними показниками можна виділити наступні:

В залежності від характеру досліджуваних процесів у системі усі види моделювання можуть бути розділені на детерміновані і стохастичні, статичні і динамічні, дискретні, безперервні і дискретно-безперервні.

Детерміноване моделювання відображає детерміновані процеси, тобто процеси, у яких передбачається відсутність усяких випадкових впливів;

Стохастичне моделювання відображає ймовірністні процеси і події. У цьому випадку аналізується ряд реалізацій випадкового процесу й оцінюються середні характеристики, тобто набір однорідних реалізацій;

Статичне моделювання служить для опису поводження об'єкта в який-небудь момент часу;

Динамічне моделювання відбиває поводження об'єкта в часі;

Дискретне моделювання служить для опису процесів, що передбачаються дискретними, відповідно безперервне моделювання дозволяє відбити безупинні процеси в системах, а дискретно-безперервне моделювання використовується для випадків, коли хочуть виділити наявність як дискретних, так і безупинних процесів.

У залежності від форми представлення об'єкта можна виділити уявне і реальне моделювання:

Уявне моделювання часто є єдиним способом моделювання об'єктів, які або практично не можливо реалізувати в заданому інтервалі часу, або які існують поза умовами, можливими для їхнього фізичного створення. Наприклад, на базі уявного моделювання можуть бути проаналізовані багато ситуацій мікросвіту, що не піддаються фізичному експерименту.

При реальному моделюванні на базі представлень людини про реальні об'єкти створюються різні наочні моделі, що відображають явища і процеси, що протікають в об'єкті, використовується можливість дослідження різних характеристик або на реальному об'єкті цілком, або на його частині. Такі дослідження можуть проводитися як в об'єктах, що працюють у нормальних режимах, так і при організації спеціальних режимів для оцінки характеристик, які цікавлять дослідника

Моделі можна розділити на:

аналогові — ґрунтується на застосуванні аналогій різних рівнів.

зображувальні можуть бути у вигляді тексту, який описує систему, блок-схем, графів, таблиць. Зображувальні моделі можуть використовуватись цю фазу попереднього аналізу або дослідження.

математичні(аналітичні) — формалізуються у вигляді математичних виразів опису системи:

1). Оператори переходів і виходів;

2). Цільова функція;

3). Обмеження, що виконує опис параметрів стану системи;

4). Опис входів-виходів системи.

імітаційні— алгоритм опису системи у вигляді програм для ЕОМ;

діалогові — це людино-машинна система, яка дозволяє дослідникові в процесі моделювання, проведення експерименту, вносити певні значення в систему в режимі взаємодії з ЕОМ.

Адаптивні моделі передбачають присутність механізму адаптації(настройки), що використовується для надходження нової інформації в деякий момент керування.

В загальному випадку для побудови моделі використовують фізико-математичний аналог явищ, експеримент-ідентифікацію.

Основні етапи технології моделювання:

· постановка мети моделювання;

· розробка концептуальної моделі;

· підготовка вихідних даних;

· розробка математичної моделі;

· вибір методів моделювання;

· вибір засобів моделювання;

· перевірка адекватності і корегування моделі;

· планування експериментів з моделлю;

· аналіз результатів моделювання.

Крім того можна зустріти ще і такі етапи моделювання, як розробка програмної моделі (цей етап слідує за етапом вибір засобів моделювання); моделювання на обчислювальній системі «комп'ютер» (він слідує після етапу планування).

Математичне введення в теорію ланцюгів Маркова. (Markov'schain)

Дискретні ланцюги Маркова. Говоритимемо, що заданий дискретний ланцюг Маркова, якщо для послідовності випадкових величин виконується рівність

.

Це означає, що потік випадкових величин визначається тільки вірогідністю переходу від попереднього значення випадкової величини до подальшого. Знаючи початковий розподіл вірогідності, можна знайти розподіл на будь-якому кроці. Величини in можна інтерпретувати як номери станів деякої динамічної системи з дискретною безліччю станів (типу кінцевого автомата). Якщо вірогідність переходів не залежить від номера кроку, то такий ланцюг Маркова називається однорідним і її визначення задається набором вірогідності.

Для однорідного Марківського ланцюга можна визначити вірогідність переходу із стану i в стан j за m кроків

Ланцюг Маркова називається тією, що не приводиться, якщо кожний її стан може бути досягнутий з будь-якого іншого стану. Стан i називається поглинаючим, якщо для нього pii=1.

Стан називається поворотним, якщо вірогідність попадання в нього за кінцеве число кроків рівна одиниці. В іншому випадку стан відноситься до неповоротних. Поворотний стан може бути періодичним і аперіодичним залежно від наявності кратних кроків повернення. Введемо вірогідність повернення в стан i через n кроків після відходу з цього стану:

Вони дозволяють визначити середнє число кроків або, інакше кажучи, середній час повернення:

.

Стан називається поворотним нульовим, якщо середній час повернення в нього рівно нескінченності, і поворотним ненульовим, якщо цей час звичайно. Відомі дві важливі теореми:

Теорема 1

Стани ланцюга Маркова, що не приводиться, або всі неповоротні, або всі поворотні нульові, або всі поворотні ненульові. У разі періодичного ланцюга всі стани мають один і той же період.

Друга теорема розглядає вірогідність досягнення станів в стаціонарному (тобто не залежному від початкового розподілу вірогідності) режимі. Відповідний розподіл вірогідності також називають стаціонарним. Знаходження стаціонарного розподілу вірогідності досягнення станів одна з основних задач теорії телетрафіка.

Теорема 2

Для ланцюга Маркова, що не приводиться і аперіодичної, завжди існує гранична вірогідність, не залежна від початкового розподілу вірогідності. Більш того, має місце одна з наступних двох можливостей:

А) всі стани ланцюга неповоротні або всі поворотні нульові, і тоді вся гранична вірогідність рівна нулю і стаціонарного стану не існує;

Б) всі стани поворотні ненульові і тоді існує стаціонарний розподіл вірогідності:

Стан називається ергодичним, якщо воно аперіодичне і поворотно-ненульове. Якщо всі стани ланцюга Маркова ергодичні, то весь ланцюг називається ергодичним. Граничну вірогідність ергодичного ланцюга Маркова називають вірогідністю стану рівноваги, маючи на увазі, що залежність від початкового розподілу вірогідності повністю відсутня.

Ланцюг Маркова з кінцевим числом станів (кінцевий ланцюг), зручно зображати у вигляді орієнтованого графа, званого діаграмою переходів. Вершини графа асоціюються із станами, а ребра з вірогідністю переходів.

Обчислення вірогідності досягнення станів проводиться прямими методами або за допомогою z-перетворення.

Ланцюг Маркова

Введемо матрицю вірогідності переходів і вектор-рядок вірогідності на кроці n

.

Розподіл вірогідності на довільному кроці тоді підкорятиметься матричному співвідношенню:

.

Воно дозволяє рекурентно обчислювати всю вірогідність станів. Для знаходження граничного розподілу (стаціонарного) потрібно вирішити рівняння:

Його можна вирішувати як систему лінійних рівнянь алгебри, якщо ланцюг кінцевий.

Для прикладу (мал. 1) маємо:

.

і рішення матричного рівняння зводиться до рішення системи трьох рівнянь:

Коефіцієнти першого рівняння в цій системі доповнюють до одиниці суму коефіцієнтів другого і третього рівнянь; це свідчить про лінійну залежність між ними. Тому для вирішення системи рівнянь потрібно ввести додаткову нормуючу умову. В даному прикладі:.

Вирішуючи систему отриманих рівнянь, маємо:

Рівняння для вірогідності досягнення стану в перехідному режимі вирішити значно важче. Деякого спрощення можна досягти, використовуючи z — перетворення. Застосуємо його до рівняння для перехідної вірогідності

.

Позначаючи відповідні перетворення, отримаємо:.

Всі отримані тут математичні результати відносилися до однорідних Марківських процесів, де вірогідність переходів не залежить від часу. В більш загальному випадку така залежність має місце.

Розглянемо вірогідність переходу системи із стану i на m-том кроці в стан j на n-том кроці для n > m.

Можна показати, що ця вірогідність зв’язана між собою, так званим рівняннями Чепмена-Колмогорова. (Chapman — Kolmogorov)

.

Для однорідних ланцюгів Маркова ці рівняння спрощуються оскільки

.

І зводяться до аналізованих вище.

1. 2 Системи масового обслуговування

За останній час в самих різних областях практики виникла необхідність в рішенні різних задач вірогідності, пов’язаних з роботою так званих систем масового обслуговування (СМО). Прикладами таких систем можуть служити: телефонні станції, ремонтні майстерні, квиткові каси, стоянки таксі, перукарні і т.п.

Теорія масового обслуговування спирається на теорію вірогідності і математичну статистику.

На первинний розвиток теорії масового обслуговування зробили особливий вплив роботи Датського ученого А. К. Эрланга (1878−1929).

Теорія масового обслуговування — область прикладної математики, що займається аналізом процесів в системах виробництва, обслуговування, управління, в яких однорідні події повторюються багато разів, наприклад, на підприємствах побутового обслуговування; в системах прийому, переробки і передачі інформації; автоматичних лініях виробництва і ін.

Предметом теорії масового обслуговування є встановлення залежностей між характером потоку заявок, числом каналів обслуговування, продуктивністю окремого каналу і ефективним обслуговуванням з метою знаходження якнайкращих шляхів управління цими процесами.

Задача теорії масового обслуговування — встановити залежність результуючих показників роботи системи масового обслуговування (вірогідність того, що заявка буде обслужена; математичного очікування числа обслужених заявок і т.д.) від вхідних показників (кількості каналів в системі, параметрів вхідного потоку заявок і т.д.). Результуючими показниками або характеристиками СМО, що цікавлять нас,є - показники ефективності СМО, які описують чи здатна дана система справлятися з потоком заявок.

Задачі теорії масового обслуговування носять в імітаційний характер і зрештою включають економічний аспект за визначенням такого варіанту системи, при якому буде забезпечений мінімум сумарних витрат від очікування обслуговування, втрат часу і ресурсів на обслуговування і простоїв каналів обслуговування.

Система обслуговування вважається заданою, якщо відомі:

1) потік вимог, його характер;

2) безліч обслуговуючих приладів;

3) дисципліна обслуговування (сукупність правил, задаючих процес обслуговування).

Кожна СМО складається з якогось числа обслуговуючих одиниць, які називаються каналами обслуговування. Як канали можуть фігурувати: лінії зв’язку, різні прилади, особи, що виконують ті або інші операції і т. п

Всяка СМО призначена для обслуговування якогось потоку заявок, що поступають в якісь випадкові моменти часу. Обслуговування заявок продовжується якийсь випадковий час, після чого канал звільняється і готовий до прийому наступної заявки. Випадковий характер потоку заявок і часів обслуговування призводить до того, що в якісь періоди часу на вході СМО накопичується надмірно велике число заявок (вони або стають в чергу, або покидають СМО не обслуженими); в інші ж періоди СМО працюватиме з недовантаженням або взагалі простоюватиме.

Процес роботи СМО є випадковим процесом з дискретними поляганнями і безперервним часом; полягання СМО міняється стрибком в моменти появи якихось подій (або приходу нової заявки, або закінчення обслуговування, або моменту, коли заявка, якій набриднуло чекати, покидає чергу).

Перелік характеристик систем масового обслуговування можна представити таким чином:

· середній час обслуговування;

· середній час очікування в черзі;

· середній час перебування в СМО;

· середня довжина черги;

· середнє число заявок в СМО;

· кількість каналів обслуговування;

· інтенсивність вхідного потоку заявок;

· інтенсивність обслуговування;

· інтенсивність навантаження;

· коефіцієнт навантаження;

· відносна пропускна спроможність;

· абсолютна пропускна спроможність;

· частка часу простою СМО;

· частка обслужених заявок;

· частка втрачених заявок;

· середнє число зайнятих каналів;

· середнє число вільних каналів;

· коефіцієнт завантаження каналів;

· середній час простою каналів.

СМО поділяють на різні групи в залежності від складу і від часу перебування в черзі до початку обслуговування, і від дисципліни обслуговування заявок.

По складу СМО бувають:

одноканальні - характеризуються одним вхідним потоком, одним обслуговуючим пристроєм;

багатоканальні - з великим числом обслуговуючих пристроїв. Багатоканальні системи можуть складатися з обслуговуючих пристроїв як однакової, так і різної продуктивності.

За часом перебування вимог у черзі до початку обслуговування системи поділяються на три групи:

1) з необмеженим часом очікування — чергова заявка (вимога), заставши всі пристрої зайнятими, стає в чергу й очікує обслуговування доти, поки один із пристроїв не звільниться;

2) з відмовами — вимога, яка надійшла, заставши всі пристрої зайнятими, залишає систему;

3) змішаного типу — вимога, що надійшла, заставши всі пристрої зайнятими, стає у чергу й очікує обслуговування протягом обмеженого часу. Не дочекавшись обслуговування у встановлений час, заявка залишає систему.

Практична частина

дискретний марков аналітичний

Завдання № 1

Розробити модель роботи видавничого центру та дослідити поведінку характеристик її ефективності.

У видавничому центрі є принтери для друку документів. Інтенсивність друку документів дорівнює л документів у хв. Середній час друку складає s хв. Передбачається, що черга документів, що очікують друкування, може бути необмеженої довжини.

Параметри завдання:

r = 3; л = 0,9; s = 4

Дана СМО являється розімкнутою багатоканальною з необмеженим часом очікування.

Для розімкнутих систем масового обслуговування з без зупинним потоком вимог і необмеженим часом очікування обслуговування характерні такі особливості:

— нескінченне число можливих станів і, що пов’язано з числом вимог у системі;

— обмежене число r обслуговуючих каналів;

— кожний канал здатний одночасно обслуговувати тільки одну вимогу;

— при наявності вільного каналу вимога, що поступає до системи, негайно обслуговується;

— вимога, що надійшла в систему в момент, коли всі rканалів обслуговування зайняті, стає в чергу очікування обслуговування;

— теоретично черга вимог, що очікують обслуговування, нескінченна.

Задача визначення показників функціонування такої системи вирішується при наявності пуассонівського розподілу потоку вимог і показового закону розподілу часу обслуговування.

Вихідними параметрами вирішення задачі служать:

л-- середня кількість вимог, що поступають на обслуговування в одиницю часу; м-- середня продуктивність обслуговуючого каналу (у тих жеодиницях виміру, що й потік вимог); r-- число обслуговуючих каналів.

Вище вказані параметри визначаються шляхом обробки виробничих спостережень за час продуктивної роботи сполучених робочих процесів і ланок виробництва. Для вирішення задач даного типу використовують формули Ерланга. Складаємо ланцюг Маркова для даної системи:

Розвязання:

Висновок:

r

л

s

Po

Poch

Moch

Toch

C

г

3

0,9

4

0,798

1,369*10^-3

1,329*10^-4

1,476*10^-4

2,775

0,925

1

0,9

2

0,55

0,45

0,368

0,409

0,55

0,55

Провівши дослідження СМО з кількістю каналів 3, інтенсивністю друку 0,9, і середньому часі обслуговування ми зробили висновок, що дана СМО гн є ефективною, оскільки коефіцієнт простою каналів 92,5%. Можна запропонувати внести зміни для покращення роботи СМО. А саме: зменшити кількість каналів до 1 і швидкість обслуговування до 2 хв. (поставити один принтер, більш дорогий який може друкувати з більшою швидкістю) зміни, що до інтенсивності ми вносити не можемо, отже вона залишається незмінною. Результати наших початкових досліджень наведені в таблиці, також там присутні запропоновані зміни по яким видно, що коефіцієнт простою каналів зменшився до 55%. Розглянувши таблицю нам чітко видно, що наші пропозиції доцільно застосувати, що покращить роботу СМО.

Завдання № 2

Розробити модель і дослідити основні показники роботи системного менеджера і функціонування комп’ютерів.

Системний менеджер обслуговує групу з m комп’ютерів. Кожний комп’ютер зупиняється в середньому л разів на годину. Процес налагоджування займає в середньому t год.

Параметри завдання: m=5; л=3; t=0,2

Дана СМО являється замкнутою одноканальною з обмеженим потоком вимог

Для одноканальних замкнутих систем масового обслуговування характерні такі особливості:

· наявність одного каналу обслуговування, r =1;

· наявність т об'єктів, які можуть вимагати обслуговування;

· число можливих станів системи i, зв’язане з числом вимог у системі, скінченне і змінюється в діапазоні від 0 до т +1;

· канал спроможний одночасно обслуговувати тільки одну вимогу;

· вимога, що поступає в систему, негайно обслуговується, якщо канал вільний;

· число вимог j, що очікують обслуговування, змінюється в діапазоні від 1 до т;

· вимога, що надійшла в систему в момент, коли канал зайнятий обслуговуванням, стає в чергу очікування обслуговування;

· об'єкт, вимога на обслуговування якого задоволена, стає потенційним джерелом нової вимоги.

Задача визначення показників такої системи вирішується при наявності пуассонівского розподілу потоку вимог і показового закону розподілу часу обслуговування.

Вхідними параметрами вирішення задачі служать:

т -- число об'єктів обслуговування;

л -- середня кількість вимог, що поступають на обслуговування в одиницю часу;

м-- середня продуктивність обслуговуючого каналу (у тих же одиницях виміри, що і потік вимог).

У сталому режимі роботи системи масового обслуговування, коли основні показники системи незмінні в розглянутому періоді часу

Складаємо ланцюг Маркова для даної системи:

Оцінка роботи системного менеджера і функціонування комп’ютерів:

Основні вхідні дані:

Кількість системних менеджерів r=

1

Кількість комп’ютерів m=

5

Інтенсивність надходження вимог л =

3

вимог на годину

Процес налагодження в середньому t=

0,2

години

Середня продуктивність техніка м=1/t

5

вимог на годину

Числові характеристики функціонування комп’ютерів

Відношення інтенсивності вхідного потоку вимог до вихідного

с=л/м

0,6

Імовірність простою техніка Р0=

0,20 390 187

або

2,04% робочого часу

Математичне очікування числа простоюючих комп’ютерів Мсис=

3,367 316 978

комп

Коефіцієнт простою комп’ютера б=

0,673 463 396

67,35% робочого часу

Середня довжина черги Моч=

2,387 707 164

комп

Коефіцієнт очікування обслуговування в=

0,477 541 433

або

47,75% робочого часу

Середній час очікування Т=

0,119 385 358

год, або

7,163 121 хв.

Розрахункова таблиця

і

Рі(Р0,Рі-1)

Рі/Р0

Рі

іРі

(і-1)Рі

0

Р0=Р0

1

0,20 390 187

0

1

Р1=5Р0*с

3

0,6 117 056

0,6 117 056

0

2

Р2=4Р1*с

7,2

0,146 809 344

0,293 618 687

0,1 468 093

3

Р3=3Р2*с

12,96

0,264 256 818

0,792 770 455

0,5 285 136

4

Р4=2Р3*с

15,552

0,317 108 182

1,268 432 729

0,9 513 245

5

Р5=Р4*с

9,3312

0,190 264 909

0,951 324 547

0,7 610 596

49,0432

1

3,367 316 978

2,3 877 072

Залежність простою менеджера від кількості пк.

В електронній таблиці передбачено такий розподіл осередків для вхідних даних:

осередок F5 — для числа каналів обслуговування, r= 1;

осередок F6 — для числа об'єктів, що обслуговуються, m = 5;

осередок F7 -- для інтенсивності вхідного потоку вимог, л = 3;

осередок F8 -- середні час налагодження, t = 0,2;

осередок F9 — для інтенсивності вихідного потоку вимог, м=5 (1/t, t= 0,2);

осередки В24: В31 — для значень величини i = 0,1,.., 5;

осередок D24 -- для константи 1.

В електронній таблиці передбачено запис наступних формул для одержання розрахункових числових даних:

формула =F7/F8 в осередку F12 — для розрахунку величини с;

формула =Е24 в осередку F13 — для посилання на осередок Е24 із розрахунковою імовірністю простою технікаР0;

формула =F32 в осередку F14 -- для посилання на осередок F32 із розрахунковим математичним очікуванням числа комп’ютерів, які простоюють, Мсис;

формула =F14/F6 в осередку F15 — для розрахунку коефіцієнта простою комп’ютерів;

формула =G32 в осередку F16 — для посилання на осередок G32 із розрахунковим математичним очікуванням середньої довжини черги Моч;

формула =F16/F6 в осередку F17 — для розрахунку коефіцієнта простою в очікуванні обслуговування;

формула =F17/(F6−1) в осередку F18 -- для розрахунку середнього часу очікування обслуговування Точ(в годинах). ;

формула =F18*60 в осередку Н18 -- для розрахунку середнього часу очікування обслуговування (в хвилинах). ;

формула =(6-B24)*D24*$F$ 12 в осередку D25 -- для розрахунку величини при і = 0;

формула =CYM (D24: D30) в осередку D31;

формула =1/D32 в осередку Е24 — для розрахунку імовірності

Р0;

формула =$E$ 24*D25 в осередку Е25 -- для розрахунку імовірності Рiпри i = 1;

формула =СУМ (Е24: Е30) в осередку ЕЗ1;

формула =В24*Е24 в осередку F24 — для розрахунку величини і*Рiпри і = 0;

формула = СУМ (F24: F30) в осередку F31;

формула =В24*Е25 в осередку G25 — для розрахунку величини (i-1)* Рi при i = 1;

формула = СУМ (G25: G30) в осередку G31.

В електронній таблиці передбачено запис таких формул для одержання процентних числових даних:

формула =F13 в осередку Н13 — для посилання на осередок F13 з метою одержання часу простою техніка у відсотках від загального робочого часу;

формула =F15 в осередку Н15 -- для посилання на осередок F15 із метою одержання часу простою одного комп’ютера у відсотках від загального робочого часу;

формула =F17 в осередку Н17 — для посилання на осередок F17 із метою одержання часу простою одного комп’ютера через очікування в черзі у відсотках від загального робочого часу;

Для завершення формування електронної таблиці необхідно послідовно скопіювати формули:

з осередку D25 в осередки D26: D31 для одержання величини при і =1,2,3,4,5;

з осередку Е25 в осередки Е26: Е31 для розрахунку імовірності Рiпри i=2,3,4,5,6;

з осередку F24 в осередки F25: F30 для розрахунку імовірності i*Рiпри i=1,2,3,4,5,6;

з осередку G25 в осередки G26: G30 для розрахунку імовірності (i-1)*Рі при i=2,3,4,5,6;

Висновок:

r

m

l

Р0=

б=

в=

Т=

1

5

3

2,04%

67,35%

47,75%

7,163 121

1

6

3

0,56%

72,38%

55,81%

6,696 704

1

4

3

6,24%

60,94%

37,50%

7,499 251

Дослідивши розроблену модель і основні показники роботи менеджера ми дійшли до висновку, що потрібно змінити вхідні параметри, щоб оптимізувати процес. За заданими параметрами ми отримали результати: Імовірність простою техніка Р0=2,04%, Коефіцієнт простою комп’ютера б=67,35%, Коефіцієнт очікування обслуговування в=47,75%, Середній час очікування Т=7,163 121 хв. Розглянувши декілька варіантів внесення змін до даної СМО (приклади наведені в таблиці) ми зробили висновок, що доцільно зменшити кількість комп’ютерів до 4, що в свою чергу дасть нам збільшення простою техніка до 6,24% робочого часу, що не дуже багато, але це ж дасть нам змогу зменшити коефіцієнт простою комп’ютерів до 60,94% і коефіцієнт очікування обслуговування до 37,50%. Факт зменшення кількості комп’ютерів позитивно вплинув на процес, оскільки наші комп’ютери будуть більше працювати ніж простоювати, і відповідно утримувати 4 комп’ютери економічно вигідніше ніж 5. Якщо змінювати інтенсивність надходження вимог, то отримуємо залежність відповідно до якої збільшення інтенсивності надходження вимог призводить до погіршення роботи системи. Звідси випливає, що заданий параметр інтенсивності надходження вимог (5 вимог на годину) цілком об'єктивний і чітко підходить для оптимальної роботи системи.

Завдання № 3

Розробити модель центру ІТ — технологій і дослідити поведінку характеристик і ефективності.

В центр ІТ — технологій з r комп’ютерами надходять замовлення на обчислювальні роботи від різних фірм. Якщо всі комп’ютери зайняті роботою, то замовлення, що поступає до центру, не приймається і фірма змушена звертатися в інше місце. Середній час виконання замовлення складає 3 год. Інтенсивність потоку заявок є величина л.

Дана система належить до багатоканальних систем масового обслуговування з відмовами.

Багатоканальні СМО — це СМО з декількома однаковими пристроями обслуговування, що ввімкнені паралельно (мал. 2. 4).

Аналіз багатоканальних СМО набагато складніший, ніж одноканальних. За допомогою теорії масового обслуговування можна отримувати аналітичні залежності в замкнутому вигляді для розрахунку характеристик роботи багатоканальних СМО в стаціонарному режимі роботи тільки лише для моделей типу Для СМО з іншими законами розподілу часу надходження й обслуговування вимог, використовують чисельні методи.

Для системи, що складається з однакових пристроїв обслуговування коефіцієнт завантаження дорівнює:

Його можна трактувати як математичне очікування числа зайнятих пристроїв.

Розглянемо класичне завдання Эрланга.

Є п каналів, на які поступає потік заявок з інтенсивністю. Потік обслуговувань має інтенсивність. Знайти граничну вірогідність станів системи і показники її ефективності.

Система S (СМО) має наступні стани (нумеруємо їх по числу заявок, що знаходяться в системі): So, S1, S2, … , Sk , Sn, деSk-- стан системи, коли в ній знаходиться k заявок, тобто зайнято k каналів.

Граф станів СМО відповідає процесу загибелі і розмноження показаний на мал. 2

Мал. 2

Потік заявок послідовно переводить систему з будь-якого лівого стану в сусідній правий з однією і тією ж інтенсивністю . Інтенсивність же потоку обслуговуванні, що переводять систему з будь-якого правого стану в сусідній лівий стан, постійно міняється залежно від стану. Дійсно, якщо СМО знаходиться в стані S2 (два канали зайняті), то вона може перейти в стан S1 (один канал зайнятий), коли закінчить обслуговування або перший, або другий канал, тобто сумарна інтенсивність їх потоків обслуговуванні буде 2. Аналогічно сумарний потік обслуговуванні, що переводить СМО із стану S3(три канали зайняті) у S2матиме інтенсивність 3, тобто може звільнитися будь-який з трьох каналів і т.д.

Для схеми загибелі і розмноження одержимо для граничної вірогідності стану

де члени розкладання,, --, будуть представляти собою коефіцієнти при роу виразах для граничної вірогідності p1, p2, pk ., pn.

Величина називається приведеною інтенсивністю потоку заявок або інтенсивністю навантаження каналу. Вона виражає середнє число заявок, що приходить за середній час обслуговування однієї заявки. Тепер

(а)

Формула (а) для граничної вірогідності одержала назву формула Эрланга на честь засновника теорії масового обслуговування.

Вірогідність відмови СМО є гранична вірогідність того що всі п каналів системи будуть зайняті, тобто

Відносна пропускна спроможність -- вірогідність того, що заявка буде обслужена:

Абсолютна пропускна спроможність:

Середнє число зайнятих каналів є математичне очікування числа зайнятих каналів:

де pk-- гранична вірогідність станів, визначуваних по формулі (8).

Проте середнє число зайнятих каналів можна знайти простіше, якщо врахувати, що абсолютна пропускна спроможність системи А є не що інше, як інтенсивність потоку обслужених системою заявок (у одиницю часу). Оскільки кожен зайнятий канал обслуговує в середньому заявок (у одиницю часу), то середнє число зайнятих каналів

або

Складаємо ланцюг Маркова для даної системи:

Вихідні параметри: л=0,7; r=3; µ=3

Висновок:

r

л

s

Pn

Mz

Mr

Q

A

Kz

3

0,7

3

1,677*10^-3

0,233

2,767

0,998

0,699

0,078

2

0,7

2

0,043

0,335

1,665

0,957

0,67

0,167

як видно з результатів моделювання коефіцієнт зайнятості вузлів дорівнює 7,8%, що є явною ознакою невисокої ефективності роботи системи. Для покращення показників функціонування необхідно зменшити кількість комп’ютерів до 2 більш дорогих які дадуть змогу зменшити середній час виконання до 2 год., тоді коефіцієнт зайнятості збільшиться до 16. 7% і при цьому імовірність відмови зросте лише до 4,3%.

Висновок

У цій курсовій роботі розкриті поняття, що пояснюють функціонування системи масового обслуговування. Чітко розписані змодельовані процеси обслуговування, які дають чітке поняття про оптимізацію систем масового обслуговування.

Також описані типові елементи, з яких складаються системи масового обслуговування (потік, що входить, його опис і основні особливості, черга і її дисципліна, обслуговуючі прилади і особливості механізму обслуговування, потік, що входить).

Провівши дослідження СМО з кількістю каналів 3, інтенсивністю друку 0,9, і середньому часі обслуговування ми зробили висновок, що дана СМО гн є ефективною, оскільки коефіцієнт простою каналів 92,5%. Можна запропонувати внести зміни для покращення роботи СМО. А саме: зменшити кількість каналів до 1 і швидкість обслуговування до 2 хв. (поставити один принтер, більш дорогий який може друкувати з більшою швидкістю) зміни, що до інтенсивності ми вносити не можемо, отже вона залишається незмінною. Результати наших початкових досліджень наведені в таблиці, також там присутні запропоновані зміни по яким видно, що коефіцієнт простою каналів зменшився до 55%. Розглянувши таблицю нам чітко видно, що наші пропозиції доцільно застосувати, що покращить роботу СМО.

Як видно з результатів моделювання коефіцієнт зайнятості вузлів дорівнює 7,8%, що є явною ознакою невисокої ефективності роботи системи. Для покращення показників функціонування необхідно зменшити кількість комп’ютерів до 2 більш дорогих які дадуть змогу зменшити середній час виконання до 2 год., тоді коефіцієнт зайнятості збільшиться до 16. 7% і при цьому імовірність відмови зросте лише до 4,3%.

Дослідивши розроблену модель і основні показники роботи менеджера ми дійшли до висновку, що потрібно змінити вхідні параметри, щоб оптимізувати процес. За заданими параметрами ми отримали результати: Імовірність простою техніка Р0=2,04%, Коефіцієнт простою комп’ютера б=67,35%, Коефіцієнт очікування обслуговування в=47,75%, Середній час очікування Т=7,163 121 хв. Розглянувши декілька варіантів внесення змін до даної СМО (приклади наведені в таблиці) ми зробили висновок, що доцільно зменшити кількість комп’ютерів до 4, що в свою чергу дасть нам збільшення простою техніка до 6,24% робочого часу, що не дуже багато, але це ж дасть нам змогу зменшити коефіцієнт простою комп’ютерів до 60,94% і коефіцієнт очікування обслуговування до 37,50%. Факт зменшення кількості комп’ютерів позитивно вплинув на процес, оскільки наші комп’ютери будуть більше працювати ніж простоювати, і відповідно утримувати 4 комп’ютери економічно вигідніше ніж 5. Якщо змінювати інтенсивність надходження вимог, то отримуємо залежність відповідно до якої збільшення інтенсивності надходження вимог призводить до погіршення роботи системи. Звідси випливає, що заданий параметр інтенсивності надходження вимог (5 вимог на годину) цілком об'єктивний і чітко підходить для оптимальної роботи системи.

Як видно з результатів моделювання коефіцієнт зайнятості вузлів дорівнює 7,8%, що є явною ознакою невисокої ефективності роботи системи. Для покращення показників функціонування необхідно зменшити кількість комп’ютерів до 2 більш дорогих які дадуть змогу зменшити середній час виконання до 2 год., тоді коефіцієнт зайнятості збільшиться до 16. 7% і при цьому імовірність відмови зросте лише до 4,3%.

Список використаної літератури

1. Максимей И. В. Имитационное моделирование на ЭВМ. /И.В Максимей — М.: Радио и связь, 1988.

Марков A.A. Моделирование информационно-вычислительных процессов./ A.A. Марков- М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009. -360 с.

Советов Б. Я. Моделирование систем. Практикум./ Б. Я. Советов С.А. Яковлев- М.: Высш. шк., 1999. -224 с.

Армстронг Дж.Р. Моделирование цифровых систем. /Дж.Р Армстронг — М.: Мир, 1992. — 174 с.

Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. /Н.П. Бусленко -М.: Наука, 1978. -400 с.

Киндлер Е. Языки моделирования./ Е. Киндлер — М.: Энергия, 1985. -288 с.

Самарский А. А Математическое моделирование: методы, описания и исследования сложных систем / A.A. Самарский. -М.: Наука, 2009.- 128 с.

Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделям

систем./ Т. Нейлор — М.: Мир, 1975.

9. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем /Дж. Питерсон. — М.: Мир. 1984. — 264 с.

10. Советов Б.Я. Моделирование систем. Учебник для вузов./ Б.Я. Советов

С.А. Яковлев — М.: Высш. шк., 2011. — 342 с.

11. Томашевский В. Н. Имитационное моделирование в среде

GPSS. /В.Н. Томашевский, Е. Г. Жданова — М.: Бестселлер, 2007. — 416 с.

12. Харин Ю. С. Основы имитационного и статистического моделирования. /Ю.С. Харин- Минск: ДизайнПРО, 2007.

13. Цисарь И. Ф. Компьютерное моделирование экономики. /И.Ф Цисарь, В. Г Нейман — М.: Диалог-МИФИ, 2009. — 304 с,

14. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем. /Р. Шеннон-Искусство и наука. — М.: Мир, 1978. — 418 с.

Додаток 1

Розвяжемо завдання № 2 розроблене в Microsoft Exsel, за допомогою програми для імітаційного моделювання GPSS.

Код програми:

GENERATE, 15

QUEUE pc

SEIZE men

DEPART pc

ADVANCE 12

RELEASE men

TERMINATE 0

GENERATE 60

TERMINATE 1

START 1

Звіт:

GPSS World Simulation Report — GPSS.2. 1

Wednesday, November 28, 2012 16: 23:00

START TIME END TIME BLOCKS FACILITIES STORAGES

0. 000 60. 000 9 1 0

NAME VALUE

MEN 10 001. 000

PC 10 000. 000

LABEL LOC BLOCK TYPE ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY

1 GENERATE 15 0 0

2 QUEUE 15 10 0

3 SEIZE 5 0 0

4 DEPART 5 0 0

5 ADVANCE 5 1 0

6 RELEASE 4 0 0

7 TERMINATE 4 0 0

8 GENERATE 1 0 0

9 TERMINATE 1 0 0

FACILITY ENTRIES UTIL. AVE. TIME AVAIL. OWNER PEND INTER RETRY DELAY

MEN 5 1. 000 12. 000 1 6 0 0 0 10

QUEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY (0) AVE. CONT. AVE. TIME AVE. (-0) RETRY

PC 14 10 15 1 12. 000 48. 000 51. 429 0

CEC XN PRI M1 ASSEM CURRENT NEXT PARAMETER VALUE

6 0 0. 000 6 5 6

FEC XN PRI BDT ASSEM CURRENT NEXT PARAMETER VALUE

17 0 120. 000 17 0 8

Порівнявши значення отримані в Microsoft Exsel і отримані при моделюванні в GPSS, можна зробити висновок, що дані не зовсім співпадають, щоб виявити де допущено помилку це ж саме завдання зробимо за допомогою MatCad.

Додаток 2

Проаналізувавши отримані результати в MatCad, виявилось що вони збігаються з Microsoft Exsel. Можна робити висновок про те що для побудови надійної системи потрібно використовувати результати різних програм для виявлення помилок.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой