Нечеткие безлічі в системах управления

У. Я. Пивкин, Є. П. Бакулин, Д. І. Кореньков.

Нечіткі безлічі в системах управления.

Під редакцией.

доктора технічних наук, професора Ю. Н. Золотухина.

|Дане методичний посібник є | |введенням у теорію нечітких множин — | |активно що розвивається останніми роками | |розділ математики, що дозволяє | |моделювати наближені міркування | |людини. У рукописному вигляді посібник було | |основою курсу лекцій, читавшегося на | |кафедрі «Автоматизації фізико-технічних | |досліджень «фізичного факультету НГУ. | Оглавление.

Передмова 3.

ЗАПРОВАДЖЕННЯ 4.

1. НЕЧІТКІ БЕЗЛІЧІ 5.

Приклади записи нечіткого безлічі 5.

До основних рис нечітких множин 5.

Приклади нечітких множин 6.

Про методи побудови функцій приналежності нечітких множин 7.

Операції над нечіткими множинами 8.

Наочне уявлення операцій над нечіткими множинами 9.

Властивості операцій? і ?. 9.

Алгебраїчні операції над нечіткими множинами 10.

Відстань між нечіткими множинами, індекси нечіткості 13.

Принцип узагальнення 16.

2. НЕЧІТКІ ВІДНОСИНИ 17.

Операції над нечіткими відносинами 18.

Композиція двох нечітких відносин 21.

Умовні нечіткі підмножини. 23.

3. НЕЧІТКА І ЛІНГВІСТИЧНА ПЕРЕМІННІ 27.

Нечіткі числа 28.

Операції над нечіткими числами 28.

Нечіткі числа (L-R)-типа 29.

4. НЕЧІТКІ ВИСЛОВЛЮВАННЯ І НЕЧІТКІ МОДЕЛІ СИСТЕМ 32.

Правила перетворень нечітких висловлювань 33.

Способи визначення нечіткою імплікації 33.

Логико-лингвистическое опис систем, нечіткі моделі. 35.

Модель управління паровим казаном 36.

Повнота і несуперечність правил управління 39.

Література 40.

Предисловие.

Мабуть, найбільш разючою властивістю людського інтелекту є здатність приймати правильні рішення на обстановці неповної і нечіткою інформації. Побудова моделей наближених міркувань чоловіки й використання в комп’ютерних системах майбутніх поколінь представляє сьогодні одне з найважливіших проблем науки. Значне просування у цьому напрямі зроблено 30 років тому професором Каліфорнійського університету (Берклі) Лотфи А. Заді (Lotfi A. Zadeh). Його робота «Fuzzy Sets », що з’явилася 1965 року у журналі Information and Control, + 8, заклала основи моделювання інтелектуальної діяльності і з’явилася початковим поштовхом до розвитку нової математичної теории.

Що ж запропонував Заді? По-перше, він розширив класичне канторовское поняття безлічі, допустивши, що характеристичне функція (функція приналежності елемента безлічі) може приймати будь-які значення інтервалі (0;1), Не тільки значення 0 або 1. Такі безлічі були названі їм нечіткими (fuzzy). Л. Заде визначив також кілька операцій над нечіткими множинами і навіть запропонував узагальнення відомих методів логічного виведення modus ponens і modus tollens. Ввівши потім поняття лінгвістичної перемінної і допустивши, що на посаді її значень (термов) виступають нечіткі безлічі, Л. Заде створив апарат для описи процесів інтелектуальної діяльності, включаючи нечіткість і невизначеність висловів. Подальші роботи професора Л. Заде та її послідовників заклали міцний фундамент нову теорію і дистриб’юторів створили передумови на впровадження методів нечіткого управління у інженерну практику. Вже на 1990 року за цій проблематиці опубліковано понад 10 000 робіт, а число дослідників досягло 10 000, причому у США, Європі й СРСР із 200−300 людина, близько 1000 — у Японії, 2000;3000 — таки в Індії і майже 5000 дослідників в Китае.

Останні 5−7 років почалося використання методів і моделей в промисловості. І хоча перші застосування нечітких системам управління відбулися у Європі, найінтенсивніше впроваджуються такі у Японії. Спектр додатків їх широкий: від керівництва процесом відправлення і зупинки поїзда метрополітену, управління вантажними ліфтами і доменної піччю до пральних машин, пилососів і СВЧ-печей. У цьому нечіткі системи дозволяють підвищити якість продукції при зменшенні ресурсо і енерговитрат і забезпечують вищу опірність впливу заважаючих чинників проти традиційними системами автоматичного управління. Інакше кажучи, нові підходи дозволяють розширити сферу докладання систем автоматизації межі застосовності класичної теорії. У цьому плані цікава думка Л. Заде: «Вважаю, що зайве прагнення точності стало надавати дію, сводящее нанівець теорію управління і теорію систем, бо вона призводить до того, що дослідження, у цій галузі зосереджуються за тими і лише про тих проблемах, які піддаються точному рішенню. Через війну багато класи важливих проблем, у яких ці, мети та обмеження є дуже складними чи ні певними у тому, щоб допустити точний математичний аналіз, залишалися, і залишаються у боці через ту причину, що де вони піддаються математичної трактуванні. Для здобуття права щось сказати істотне для проблем такого роду, ми повинні відмовитися від вимог точності й діють допустити результати, що є кілька розмитими чи невизначеними ». Зміщення центру досліджень нечітких систем убік практичних додатків призвело до постановці цілого ряду проблем такі як нові архітектури комп’ютерів для нечітких обчислень, елементна база нечітких комп’ютерів, і контролерів, інструментальні кошти розробки, інженерні методи розрахунку розробки нечітких системам управління і що інше. Основна мета запропонованого читачам навчального посібника — залучити увагу студентів, аспірантів і молодих науковців до нечіткою проблематики і дати доступне введення у жодну з найцікавіших областей сучасної науки. професор Ю. Н. Золотухин травень 1995 г.

Математична теорія нечітких множин, запропонована Л. Заде більш чверть століття тому, дозволяє описувати нечіткі поняття і, оперувати цими знаннями й робити нечіткі висновки. Засновані в цій теорії методи побудови комп’ютерних нечітких систем істотно розширюють області застосування комп’ютерів. Останнім часом нечітке управління є одним із найбільш активних і результативних областей досліджень застосування теорії нечітких множин. Нечітке управління виявляється особливо корисним, коли технологічні процеси заважкими для аналізу з допомогою загальноприйнятих кількісних методів, чи коли доступні джерела інформації інтерпретуються якісно, неточно чи невизначено. Експериментально показано, що нечітке управління дає кращі результати, проти одержуваними при загальноприйнятих алгоритми управління. Нечіткі методи допомагають управляти домною і прокатним станом, автомобілем і поїздом, розпізнавати і зображення, проектувати роботів, які мають дотик і зором. Нечітка логіка, де грунтується нечітке управління, ближчий за духом до людського мисленню і природним мовам, ніж традиційні логічні системи. Нечітка логіка, переважно, забезпечує ефективні засоби відображення невизначеностей і неточностей реального світу. Наявність математичних засобів відбивання нечіткості вихідної інформації дозволяє побудувати модель, адекватну реальности.

1. НЕЧІТКІ МНОЖЕСТВА Пусть E — універсальне безліч, x — елемент E, а R — деяке властивість. Звичне (чітке) підмножина A універсального безлічі E, елементи якого задовольняють властивості R, окреслюється безліч упорядкованих пар A = {?A (х)/х}, де? A (х) — характеристична функція, приймаюча значення 1, якщо x задовольняє властивості R, і 0 — інакше. Нечітке підмножина відрізняється від зазвичайного тим, що з елементів x з E немає однозначної відповіді «немає «щодо властивості R. У зв’язку з цим, нечітке підмножина A універсального безлічі E окреслюється безліч упорядкованих пар A = {?A (х)/х}, де? A (х) — характеристична функція приналежності (чи навіть функція приналежності), приймаюча значення деякому цілком упорядкованому безлічі M (наприклад, M = [0,1]). Функція приналежності вказує ступінь (або рівень) приналежності елемента x подмножеству A. Безліч M називають безліччю приладь. Якщо M = {0,1}, то нечітке підмножина A може розглядатися як звичайне чи чітке множество.

Примеры записи нечіткого множества Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0,1]; A — нечітке безліч, для которого.

?A (x1)=0,3;

?A (x2)=0;

?A (x3)=1;

?A (x4)=0,5;

?A (x5)=0,9. Тоді A можна як: A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 } чи A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, чи |A |x1 | |= |x2 | | |x3 | | |x4 | | |x5 | | | | | |0,3 | | |0 | | |1 | | |0,5 | | |0,9 | | | |.

. Зауваження. Тут знак «+ «перестав бути позначенням операції складання, а можна буде объединения.

Основные характеристики нечітких множеств Пусть M = [0,1] і A — нечітке безліч із елементами з універсального безлічі E і безліччю приладь M. Величина [pic]? A (x) називається заввишки нечіткого безлічі A. Нечітке безліч A нормально, якщо його висота дорівнює 1, тобто. верхня межа його функції приналежності дорівнює 1 ([pic]? A (x)=1). При [pic]?A (x)0, тобто. носій A = {x/?A (x)>0}? x? E. Елементи x? E, котрим? A (x)=0,5 називаються точками переходу безлічі A.

Примеры нечітких множеств Пусть E = {0,1,2,., 10}, M =[0,1]. Нечітке безліч «кілька «можна визначити так: «кілька «= 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; його характеристики: висота = 1, носитель={3,4,5,6,7,8}, точки переходу — {3,8}. Нехай E = {0,1,2,3,…, n,…}. Нечітке безліч «малий «можна визначити: «малий «= [pic]. Нехай E = {1,2,3,…, 100} й відповідає поняттю «вік », тоді нечітке безліч «молодий », можна визначити з допомогою? «молодий «(x) = [pic]. Нечітке безліч «молодий «на універсальному безлічі E «={Іванов, Петров, Сидоров,…} задається з допомогою функції приналежності? «молодий «(x) на E = {1,2,3,.100} (вік), званої стосовно E «функцією сумісності, у своїй:? «молодий «(Сидоров):=? «молодий «(x), де x — вік Сидорова. Нехай E = {Запорожець, Жигулі, Мерседес,…} - безліч марок автомобілів, а E «= [0,?) — універсальне безліч «вартість », тоді на E «ми можемо визначити нечіткі безлічі типу: «бідним », «для середнього класу », «престижні «, з функціями приналежності типа:

[pic].

Имея цих функцій і знаючи вартості автомобілів з E в момент часу, ми цим визначимо на E «нечіткі безлічі із самими назвами. Приміром, нечітке безліч «бідним », заданий на універсальному безлічі E = {Запорожець, Жигулі, Мерседес,…} виглядає наступним образом:

[pic].

Аналогично можна визначити Нечітке безліч «швидкісні «, «середні «, «тихохідні «і т.д.

О методах побудови функцій приналежності нечітких множеств В наведених вище прикладах використані прямі методи, коли експерт або просто задає кожному за x? E значення? A (x), або визначає функцію сумісності. Зазвичай, прямі методи завдання функції приналежності йдуть на вимірюваних понять, як-от швидкість, час, відстань, тиск, температура тощо., чи коли виділяються полярні значення. Багато завданнях при характеристиці об'єкта можна назвати набір ознак й у кожного їх визначити полярні значення, відповідні значенням функції приналежності, 0 чи 1. Наприклад в завданню розпізнавання осіб варто виокремити такі шкали: | | |0 |1 | |x1|высота чола |низький |широкий | |x2|профиль носа |кирпатий |горбатий | |x3|длина носа |короткий |довгий | |x4|разрез очей |вузькі |широкі | |x5|цвет очей |світлі |темні | |x6|форма |остроконечны|квадратны| | |підборіддя |і |і | |x7|толщина губ |тонкі |товсті | |x8|цвет особи |темний |світлий | |x9|очертание особи |овальне |квадратно| | | | |е |.

Для конкретної особи, А експерт, з наведеної шкали, задає ?A (x)? [0,1], формуючи векторну функцію приналежності { ?A (x1), ?A (x2),… ?A (x9)}. При прямих методах використовуються також групові прямі методи, коли, наприклад, групі експертів пред’являють конкретну особу і має дати одне із двох відповідей: «ця людина лисий «чи «ця людина не лисий », тоді кількість стверджувальних відповідей, ділене на загальна кількість експертів, дає значення? «лисий «(даної особи). (У цьому вся прикладі можна діяти через функцію сумісності, але давайте тоді доведеться вважати число волосинок на в голові в кожного з пред’явлених експерту осіб). Непрямі методи визначення значень функції приналежності використовують у випадках, коли немає елементарних вимірюваних властивостей, якими визначається цікавить нас нечітке безліч. Зазвичай, це методи попарних порівнянь. Якби значення функцій приналежності були нам відомі, наприклад, ?A (xi) = wi, i=1,2,…, n, то попарные порівняння можна уявити матрицею відносин A = {aij}, де aij=wi/wj (операція деления).

На практиці експерт сам формує матрицю A, у своїй передбачається, що діагональні елементи рівні 1, а елементів симетричних щодо діагоналі aij = 1/aij, тобто. якщо одне елемент становить? разів сильніше чим інший, цей останній мав відбутися о 1/? разів сильніший від, аніж перший. У загальному разі завдання зводиться для пошуку вектора w, задовольняючого рівнянню виду Аw = ?maxw, де? max — найбільше власне значення матриці A. Оскільки матриця, А позитивна з побудови, вирішення цього завдання є і є положительным.

Операції над нечіткими множествами Включение. Нехай A і B — нечіткі безлічі на універсальному безлічі E. Кажуть, що A міститься у B, якщо? x ?E ?A (x) ?B (x). Позначення: A? B. Іноді вживають термін «домінування », тобто. коли A? B, кажуть, що B домінує A. Рівність. A і B рівні, якщо? x?E ?A (x) = ?B (x). Позначення: A = B. Доповнення. Нехай? = [0,1], A і B — нечіткі безлічі, задані на E. A і B доповнюють одне одного, якщо? x?E ?A (x) = 1 —? B (x). Позначення: B = [pic]или A = [pic]. Вочевидь, що [pic]= A. (Доповнення визначено для M = [0,1], але очевидно, що може бути визначити нічого для будь-якого упорядкованого M). Перетин. A? B — найбільше нечітке підмножина, що міститься одночасно у A і B. ?A?B (x) = min (?A (x),? B (x)). Об'єднання. А? У — найменше нечітке підмножина, у тому числі як Однак і У, з функцією приналежності: ?A? B (x) = max (?A (x),? B (x)). Різниця. А — B = А?[pic] з функцією приналежності: ?A-B (x) = ?A ?[pic] (x) = min (?A (x), 1 —? B (x)). Дизъюнктивная сума. А? B = (А — B)?(B — А) = (А ?[pic]) ?([pic]? B) з функцією приналежності: ?A-B (x) = max{[min{? A (x), 1 — ?B (x)}]; [min{1 — ?A (x), ?B (x)}] } Приклади. Нехай: A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4; B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4; З = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4. Тут: A? B, тобто. A міститься у B чи B домінує A, З незрівнянно ні з A, ні з B, тобто. пари {A, З} і {A, З} - пари недоминируемых нечітких множин. A? B? З. [pic]= 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4; [pic]= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4. A? B = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4. А? В = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4. А — У = А? [pic]= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4; У — А = [pic]? У = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4. А? У = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

Наглядное уявлення операцій над нечіткими множествами.

Для нечітких множин можна будувати візуальне уявлення. Розглянемо прямокутну систему координат, на осі ординат якої відкладаються значення? A (x), на осі абсцис в довільному порядку розташовані елементи E (ми готуємося вже використовували таке подання до прикладах нечітких множин). Якщо E за своєю природою упорядковано, цей порядок бажано зберегти в розташуванні елементів на осі абсцис. Це уявлення робить наочними прості операції над нечіткими множествами.

[pic].

[pic] [pic] [pic].

На верхню частину малюнка заштрихованная частина відповідає непевному безлічі A і, коли говорити точно, зображує область значень Проте й всіх нечітких множин, які у A. На нижньої - дано [pic], A? [pic], A? [pic].

Свойства операцій? і ?.

Пусть А, У, З — нечіткі безлічі, тоді виконуються такі властивості: [pic]- коммутативность; [pic]- асоціативність; [pic]- идемпотентность; [pic]- дистрибутивность; A? = A, де? — порожній безліч, тобто. ??(x) = 0 ?>x?E; A? = ?; A? E = A, де E — універсальне безліч; A? E = E; [pic]- теореми де Моргана. На відміну від чітких множин, для нечітких множин у випадку: A?[pic]? ?, A?[pic]? E. (Що, зокрема, проілюстровано вище в прикладі наочного уявлення нечітких множин). Зауваження. Введені вище операції над нечіткими множинами засновані на використанні операцій max і min. Теоретично нечітких множин розробляються питання узагальнених, параметризованных операторів перетину, об'єднання і, дозволяють врахувати різноманітні смислові відтінки відповідних зв’язок «і «, «чи », «не ». Одне з підходів до операторам перетину й об'єднання залежить від їх визначенні у п’ятому класі трикутних і конорм. Трикутною нормою (t-нормой) називається двуместная справжня функція T:[0,1]Ч[0,1]>[0,1], яка задовольнить наступним умовам: T (0,0)=0; T (?A, 1) = ?A; T (1,? A) = ?A — обмеженість; T (?A, ?B) ?T (?C, ?D), якщо? A??C, ?B??D — монотонність; T (?A, ? B) = T (?B, ?A) — коммутативность; T (?A, T (? B, ?З))= T (T (?A, ?B), ?З) — асоціативність; Простим випадком трикутних норм є: min (?A, ? B) твір ?A??B max (0, ?A +? B -1). Трикутною конормой (t-конормой) називається двуместная справжня функція ?:[0,1]Ч[0,1]> [0,1], зі властивостями: T (1,1) = 1; T (?A, 0) =? A; T (0,? A) = ?A — обмеженість; T (?A, ?B)? T (?C, ?D), якщо? A ??З, ?B ??D — монотонність; T (?A, ?B) = T (?B, ?A) — коммутативность; T (?A, T (?B, ?З)) = T (T (?A, ?B), ?З) — асоціативність. Приклади t-конорм: max (?A,? B) ?A + ?B — ?A? ?B min (1, ?A + ?B).

Алгебраические операції над нечіткими множествами Алгебраическое твір A і B позначається A? B й так: ?x?E ?A?B (x) = ?A (x)?B (x). Алгебраїчна сума цих множин позначається [pic]и визначається так: ?x?E [pic]=? A (x) + ?B (x)-?A (x)?B (x). Для операцій {?, [pic]} виконуються властивості: [pic]- коммутативность; [pic]- асоціативність; A? = ?, A[pic]? = A, A? E = A, A[pic]E = E [pic]- теореми де Моргана. Не виконуються: [pic]- идемпотентность; [pic]- дистрибутивность; і навіть A?[pic] = ?, A[pic] [pic]= E. Зауваження. Докази наведених властивостей операцій над нечіткими множинами ми залишаємо читачеві. Наприклад доведемо властивість: [pic]. Означимо? A (x) через a, ?B (x) через b. Тоді, у лівої частини кожному за елемента x маємо: 1-ab, а правої: (1- a)+(1-b)-(1-a)(1-b) = 1-a+1-b-1+a+b-ab = 1-ab. Доведемо, що властивість дистрибутивности не виконується, тобто. A?(B[pic]C)? (A?B)[pic](A?C). Для лівої частини маємо: a (b+c-bc) = ab+ac-abc; для правої: ab+ac-(ab)(ac) = ab+ac+a2bc. Це означає, що дистрибутивность не виконується при a? a2. Зауваження. При спільне використання операцій {?, ?,+,?} виконуються властивості: А?(B?C) = (A?B)?(A? З); А? (B?C) = (A?B)?(A?C); А[pic](B?C) = (A[pic]B)?(A[pic]C); А[pic](B?C)=(A[pic]B)?(A[pic]C). Продовжимо огляд основних операцій над нечіткими множинами. За підсумками операції алгебраического твори (по крайнього заходу для цілих? ця основа очевидна) визначається операція спорудження до рівня? нечіткого безлічі A, де? — позитивне число. Нечітке безліч A? визначається функцією приналежності ?A? = ??A (x). Приватним випадком спорудження до рівня є: CON (A) = A2 — операція концентрування, DIL (A) = A0,5 — операція розтяги, що використовуються під час роботи з лінґвістичними неопределенностями.

[pic].

Умножение на число. Якщо? — позитивне число, таке, що ?[pic]? A (x)?1, то нечітке безліч ?A має функцію приналежності: ??A (x) = ??A (x). Опуклі комбінація нечітких множин. Нехай A1, A2,., An — нечіткі безлічі універсального безлічі E, а ?1, ?2, …, ?n — неотрицательные числа, сума яких дорівнює 1. Опуклої комбінацією A1, A2,., An називається нечітке безліч A з функцією приналежності: ?x?E ?A (x1, x1,…, xn) = ?1?A1(x) + ?2?A2(x) + … + ?n?Ai (x). Декартово твір нечітких множин. Нехай A1, A2, …, An — нечіткі підмножини універсальних множин E1, E2, …, En відповідно. Декартово твір A = A1ЧA2 Ч… ЧAn є нечітким підмножиною безлічі E = E1ЧE2 Ч… ЧEn з функцією приналежності: ?A (x1, x1, …, xn) = min{ ?A1(x1), ?A2(x2), …, ?Ai (xn) }. Оператор збільшення нечіткості використовується для перетворення чітких множин в нечіткі і збільшення нечіткості нечіткого безлічі. Нехай A — нечітке безліч, E — універсальне безліч і всіх x? E визначено нечіткі безлічі K (х). Сукупність усіх K (х) називається ядром оператора збільшення нечіткості Ф. Результатом дії оператора Ф на нечітке безліч A є нечітке безліч виду: Ф (A, K) = [pic]?A (x)K (х), де? A (x)K (х) — добуток кількості на нечітке множество.

Приклад: E = {1,2,3,4}; A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4; K (1) = 1/1+0,4/2; K (2) = ½+0,4/1+0,4/3; K (3) = 1/3+0,5/4; K (4) = ¼.

Тогда Ф (A, K) = ?A (1) K (1) ??A (2)K (2) ??A (3)K (3) ??A (4)K (4) = = 0,8(1/1+0,4/2)? 0,6(½+0,4/1+0,4/3) = = 0,8/1+0,6/2+0,24/3. Чітке безліч ?-рівня (чи рівня ?). Безліччю ?-рівня нечіткого безлічі A універсального безлічі E називається чітке підмножина A? універсального безлічі E, обумовлений як: A? ={x/? A (x)??}, де ??1. Приклад: A = 0,2/x1 + 0/x2 + 0,5/x3 + 1/x4, тоді A0.3 = {x3,x4}, A0.7 = {x4}. Досить очевидне властивість: якщо ?1 ??2, то A?1? A?2. Теорему про декомпозиції. Будь-яке нечітке безліч A розкладено з його безлічам рівня вигляді: A = [pic]?A ?, де? A? — добуток кількості? силою-силенною A, і? «пробіга «область значень M функції приналежності нечіткого безлічі A. Приклад: A = 0,1/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 1/x4 представимо як: A = 0,1(1,0,1,1)? 0,7(0,0,1,1,)? 1(0,0,0,1)= = (0,1/x1 + 0/x2 + 0,1/x3 + 0,1/x4)? (0/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 0,7/x4)? ?(0/x1 + 0/x2 + 0/x3 + 1/x4) = 0,1/x1 +0/x2 +0,7/x3 +1/x4. Якщо область значень функції приналежності складається з n градацій ?1? ?2? ?3? ??? ?n, то A (при фіксованих значеннях градацій) представимо в вигляді: A = [pic]?iA?i, тобто. визначається сукупністю звичайних множин { A?1, A?2, …, A? i}, де A?1 ?A?2?, …, ?A?i.

Расстояние між нечіткими множинами, індекси нечеткости Пусть A і B — нечіткі підмножини універсального безлічі E. Введемо поняття відстані ?(A, B) між нечіткими множинами. При запровадження відстані зазвичай пред’являються такі вимоги: ?(A, B)? 0 — неотрицательность; ?(A, B) = ?(B, A) — симетричність; ?(A, B) < ?(A, З) + ?(З, B). До цих трьом вимогам можна додати четверте: ?(A, A) = 0. Визначимо такі відстані по формулам: Відстань Хемминга (чи лінійне відстань): ?(A, B) = [pic]|?A (xi) — ?B (xi)|. Вочевидь, що ?(A, B)?[0, n]. Евклидово чи квадратичне відстань: ?(A, B) = [pic], ?(A, B)?[0, [pic]]. Відносне відстань Хемминга: ?(A, B) = [pic][pic], ?(A, B)?[0,1]. Відносне евклидово відстань: ?(A, B)=[pic][pic], ?(A, B)?[0,1]. Відстань Хемминга і квадратичне відстань, коли E нескінченно, визначаються аналогічно з вимогою збіжності відповідних сум: якщо E рахункове, то ?(A, B) = [pic]|?A (xi) — ?B (xi)|, ?(A, B) = [pic]; якщо E = R (числова вісь), то ?(A, B) = [pic], ?(A, B) = [pic]. Зауваження. Тут наведено два найчастіше трапляються визначення поняття відстані. Зрозуміло, для нечітких множин можна запровадити й інші визначення поняття расстояния.

Перейдемо до індексам нечіткості чи показниками розмитості нечітких множин. Якщо об'єкт x має здатність R (що породжує нечітке безліч A) лише у приватному мері, тобто. 0.