Логічні парадокси

План:

I.

Введение

.

II. Апорії Зенона.

— Ахілл і черепаха.

— Дихотомия.

— Стадий.

III. Парадокс лжеца.

IV.Парадокс Рассела.

I.

Введение

.

Парадокс — це два протилежних, несумісних затвердження, кожного з які є удавані переконливими аргументи. Найбільш різка форма парадоксу — антиномія, міркування, котрий доводить еквівалентність двох тверджень, одна з якого є запереченням другого.

Особливою популярністю користуються парадокси в суворих і точних науках — математики й логіці. І це случайно.

Логіка — абстрактна наука. У неї експериментів, немає фактів звичному значенні цього терміну. Будуючи свої системи, логіка виходить зрештою з аналізу реального мислення. Але результати цього аналізу носять синтетичний характер. Вони є констатациями будь-яких окремих процесів або негативних подій, які була б засвідчити теорія. Такий аналіз не можна, очевидно, назвати наглядом: спостерігається завжди конкретне явление.

Конструюючи нову теорію, учений зазвичай вирушає від фактів, від цього, які можна поспостерігати на досвіді. Хоч би як була вільна його творча фантазія, вона повинна переважно рахуватися з одним неодмінним обставиною: теорія має сенс тільки у разі, коли він цілком узгоджується з які належать їй фактами. Теорія, розбіжна з фактами і спостереженнями, є надуманою й національні цінності не имеет.

Але тоді як логіці немає експериментів, немає фактів немає і самого спостереження, те що стримується логічна фантазія? Які а то й факти, то чинники приймаються до уваги під час створення нових логічних теорий?

Розбіжність логічного теорії з практикою дійсного мислення нерідко знаходять у формі більш-менш гострого логічного парадоксу, інколи ж навіть у формі логічного антиномії, промовляючої внутрішню суперечливості теорії. Цим саме пояснюється ті значення, яке надається парадоксів з логіки, і те багато уваги, яких вони у ній пользуются.

Одне з перші місця і, можливо, кращих парадоксів був записаний Эвбулидом, грецьким поетом і філософом, які жили Криті в VI столітті до зв. е. У цьому вся парадоксі критянин Эпименид стверджує, що це критяни — брехуни. Якщо він каже правду, він бреше. Якщо бреше, він каже правду. То ж Эпименид — брехун чи нет?

Інший грецький філософ Зенон Элейский становив серію парадоксів про нескінченності - звані «апорії» Зенона.

Те, що сказав Платон, є ложь.

Сократ.

Сократ свідчить лише правду.

Платон.

II. Апорії Зенона.

Вагомий внесок у розвиток теорії простору й часу, у дослідження проблем руху внесли элеаты (жителі міста Элея у закутку південної Італії). Філософія элеатов спиралася на висунуту Парменидом (учителем Зенона) ідею неможливості небуття. Будь-яка думку, стверджував Парменид, є думка про існуючому. Тому неіснуючого немає. Немає і руху, оскільки світовий простір заповнене все повністю, отже, світ єдиний, у ньому частин. Будь-яке безліч є обман почуттів. З цього випливає висновок про неможливість виникнення, знищення. По Пармениду ніщо немає і знищується. Цей філософ був охарактеризований першим, хто розпочав доводити висунуті мислителями становища.

Элеаты доводили свої припущення запереченням затвердження, зворотного припущенню. Зенон пішов від свого вчителя, що дозволило Арістотелеві вбачати у реформі Зеноні родоначальника «діалектики «- цим терміном тоді називалося мистецтво досягати істини у спорі шляхом з’ясування суперечностей у судженні супротивника і шляхом знищення цих протиріч.

Ахілл і черепаха. Почнемо розгляд зеноновских труднощів з апорій про рух «Ахілл і черепаха». Ахілл — герой і як ми сьогодні сказали, видатний спортсмен. Черепаха, як відомо, одне з повільних тварин. Проте, Зенон стверджував, що Ахілл програє черепахе змагання з бігу. Приймемо такі умови. Нехай Ахілла відокремлює від фінішу відстань 1, а черепаху — ?. Рухатися Ахілл і черепаха починають одночасно. Нехай для визначеності Ахілл біжить вдвічі швидше черепахи (тобто. надто повільно йде). Тоді, пробігши відстань ?, Ахілл знайде, що черепаха встигла через те водночас подолати відрізок? і досі перебуває попереду героя. Далі картина повторюється: пробігши четверту частину шляху, Ахілл побачить черепаху в одній восьмий частини шляху перед собою тощо. буд. Отже, щоразу, коли Ахілл долає що відділяє його від черепахи відстань, остання встигає уползти його й продовжує залишатися попереду. Отже, Ахілл будь-коли наздожене черепаху. Почавши рух, Ахілл не зможе його завершить.

Обізнані математичний аналіз зазвичай вказують, що кілька сходиться до 1. Тому, мовляв, Ахілл подолає весь шлях за кінцевий проміжок часу й, безумовно, обжене черепаху. Але що пишуть із цього приводу Д. Гільберт і П. Бернайс:

«Зазвичай цей парадокс намагаються обійти міркуванням у тому, сума безлічі цих тимчасових інтервалів все-таки сходиться отже, дає кінцевий проміжок часу. Але це міркування абсолютно торкається один істотно парадоксальний момент, саме парадокс, що полягає у цьому, що якась нескінченна послідовність наступних друг за іншому подій, послідовність, завершаемость якої ми можемо навіть (як фізично, а хоча б у принципі), насправді все-таки повинна завершиться».

Принципова незавершаемость даної послідовності у тому, що відсутня останній елемент. Щоразу, вказавши черговий член послідовності, ми можемо вказати і такий його. Цікавий зауваження, також указывающее на парадоксальність ситуації, зустрічаємо у Р. Вейля:

«Уявімо обчислювальну машину, яка виконувала першу операцію за? хвилини, другу — за? хвилини, третю — за? хвилини тощо. буд. Така машина міг би до кінця першої хвилини „перелічити“ весь натуральний ряд (написати, наприклад, рахункове число одиниць). Зрозуміло, що конструкцією такий машини приречена невдачу. Тоді ж тіло, що вийшло друком з точки А, сягає кінця відрізка У, „відрахувавши“ рахункове безліч точок А1, А2, …, Аn, … ?».

Давні греки тим більше міг собі уявити завершену нескінченну сукупність. Тож виведення Зенона у тому, що рух через необхідність «перелічити» безліч точок неспроможна закінчитися, ще тоді справив велике враження. На схожих аргументах грунтується апорія про неможливість розпочати движение.

Дихотомія. Міркування дуже просте. А, аби пережити весь шлях, рух тіло спочатку має минути половину шляху, але аби здолати кривду цю половину, треба пройти половину половини тощо. буд. нескінченно. Інакше кажучи, за ті самі умовах, що у попередньому разі, ми не матимемо працювати з перевернутим поруч точок: (?)n, …, (?)3, (?)2, (?)1. Якщо у разі апорії Ахілл і черепаха відповідний ряд у відсутності останньої точки, то Дихотомії цей елітний реєстр немає першої точки. Отже, укладає Зенон, рух неспроможна розпочатися. Позаяк рух як неспроможна закінчитися, але й може початися вже, руху немає. Існує переказ, яку згадує А. З. Пушкін у вірші «Движение»:

Движенья немає, сказав мудрець брадатый.

Інший змовчав і став перед ним ходить.

Сильнішими би міг возразить;

Хвалили все відповідь замысловатый.

Але, добродії, потішний випадок сей.

Інший приклад напам’ять мені приводит:

Адже щодня перед нами сонце ходит,.

Однак прав впертий Галилей.

Справді, за легендою, одне із філософів і «заперечив» Зенонові. Зенон велів бити його палицями: адже не збирався заперечувати чуттєве сприйняття руху. Він характеризував його неможливості, у тому, що суворе розмірковування про русі призводить до не піддається розв’язанню протиріччям. Тому, якщо ми хочемо позбутися апорій з думкою, що це взагалі можливо (а Зенон саме вважав, що організувати неможливо), ми повинні вдаватися до теоретичним аргументів, а чи не посилатися на чуттєву очевидність. Розглянемо одне цікаве теоретичне заперечення, що було висунуто проти апорії Ахілл і черепаха.

«Уявімо, дорогою щодо одного напрямі рухаються швидконогий Ахілл і ще дві черепахи, у тому числі Черепаха-1 кілька ближчі один до Ахіллу, ніж Черепаха-2. Щоб показати, що Ахілл зможе перегнати Черепаху-1, розмірковуємо так. Про те час, як Ахілл пробіжить те що розмежовує їх спочатку відстань, Черепаха-1 встигне уползти трохи наперед, поки Ахілл буде пробігати цей «новий відрізок, вона знов-таки просунеться далі, і такий становище буде нескінченно повторюватися. Ахілл дедалі ближче і ближче наближатися до Черепахе-1, але не зможе її перегнати. Такий висновок, ясна річ, суперечить нашому досвіду, але логічного протиріччя в нас нет.

Нехай, проте, Ахілл візьметься наздоганяти більш віддалену Черепаху-2, не звертаючи ніякої увагу близьку. Той-таки спосіб міркування дає змогу стверджувати, що Ахілл зуміє наблизитися впритул до Черепахе-2, але це означає, що він пережене Черепаху-1. Нині ми приходимо вже безпосередньо до логічному противоречию".

Тут важко щось заперечити, якщо залишатися у полоні образних уявлень. Необхідно виявити формальну справи, що дозволить перевести дискусію в конструктивне русло суворих міркувань. Першу апорію можна зводити до наступним трьом утверждениям:

1. Який не був відрізок [A B], рух від, А до У тіло має побувати переважають у всіх точках відрізка [A B].

2. Будь-який відрізок [A B] можна як безкінечною послідовності убуваючих за довжиною відрізків [A a1] [a1 a2] [a2 a3] … [an an+1].

3. Оскільки нескінченна послідовність аi (1? і.

Проілюструвати отриманий висновок можна по-різному. Найвідоміша ілюстрація — «найшвидше не зможе наздогнати саме повільне» — було розглянуто вище. Але й запропонувати радикальнішу картину, у якій обливаючись потім Ахілл (який із пункту А) безуспішно намагається наздогнати черепаху, спокійнісінько греющуюся на Сонце (у пункті У) і навіть думаючу втікати. Суть апорії від прийняття цього не змінюється. Ілюстрацією стане значно більше гостре висловлювання — «найшвидше не зможе наздогнати нерухоме». Якщо перша ілюстрація парадоксальна, то друга — тим более.

У цьому ніде не стверджується, що убутні послідовності відрізків ai для [A B] і ai «для [A «B «] повинні бути однаковими. Навпаки, якщо відтинки [A B] і [A «B «] нерівні за довжиною між собою, їх розбивки на нескінченні послідовності убуваючих відрізків виявляться різними. У наведеному міркуванні Ахілла відокремлює від черепах 1 і 2 різні відстані. Тому маємо два різних відрізка [A B1] і [A B] із загальною початковій точкою А. Нерівні відтинки [A B1] і [A B] породжують різні нескінченні послідовності точок, і неприпустимо використовувати жодну замість інший. Тим часом ця «незаконна» операція застосовується у аргументах про поїздку двох черепахам.

Не змішувати ілюстрації і істота апорії, можна стверджувати, що апорії Ахілл і Дихотомія симетричні стосовно одна одній. У насправді, Дихотомія також водиться до наступним трьом утверждениям:

1. Який не був відрізок [A B], рух від, А до У тіло має побувати переважають у всіх точках відрізка [A B].

2. Будь-який відрізок [A B] можна як безкінечною послідовності убуваючих за довжиною відрізків [bn+1 bn] … [b3 b2] [b2 b1] … [b1 B].

3. Оскільки нескінченна послідовність bi немає першої точки, неможливо побувати у кожної з точок цієї последовательности.

Отже, апорія Ахілл полягає в тезі про неможливість завершити рух через необхідність відвідати послідовно кожну з точок нескінченної низки, упорядкованого на кшталт? (т. е. на кшталт порядку на натуральних числах), який має останнього елемента. Натомість Дихотомія стверджує неможливість руху через наявність нескінченної низки точок, упорядкованих на кшталт ?* (так упорядковані цілі негативні числа), який має першого элемента.

Проаналізувавши ретельніше дві наведені апорії, ми виявимо, що обидві вони спираються на припущення безперервністю простору й часу у сенсі їх безкінечною подільності. Таке припущення безперервності відрізняється від сучасного, але відбувалося у давнини. Без припущення тези, що кожен просторовий або тимчасовою інтервал можна розділити на менші за довжиною інтервали, обидві апорії руйнуються. Зенон чудово розумів. І він наводить аргумент, що виходить із прийняття припущення про дискретності простору й часу, т. е. припущення про існування елементарних, далі неподільних, довжин і времен.

Стадій. Отже, скажімо існування неподільних відрізків простору й інтервалів часу. Розглянемо таку схему, де кожна клітина таблиці представляє неподільний блок простору. Є три низки об'єктів А, У і З, котрі посідають по три блоку простору, причому перший ряд залишається нерухомим, а ряди У і З починають одночасне спрямування напрямі, зазначеному стрелками:

A1.

A2.

A3.

В3.

В2.

В1.

С1.

С2.

С3.

Початкова положение.

А1.

А2.

А3.

В3.

В2.

В1.

С1.

С2.

С3.

Кінцеве положение.

Ряд З, стверджує Зенон, за неподільним час пройшов одне неподільне місце нерухомого низки, А (місце А1). Однак за тих той самий час ряд З пройшов два місця низки У (блоки В2 і В3). Відповідно до Зенонові, це суперечливо, т. до. мав зустрітися момент проходження блоку В2, зображений наступного схеме:

В3.

В2.

В1.

С1.

С2.

С3.

Проміжне положение.

А де до цього проміжне становище перебував ряд, А? Він просто більше не залишається відповідного місця. Залишається або визнати, що лідери руху немає, або погодитися, що кілька, А ділимо не так на три, але в більше місць. Однак у цьому разі ми знову повертаємося до допущенню про безкінечною подільності простору й часу, знову потрапляючи у безвихідь апорій Дихотомія і Ахілл. При будь-якому результаті рух виявляється неможливим.

Основна думка апорій Зенона Элейского у тому, що дискретність, множинність і рух характеризують лише чуттєву картину світу, але він явно недостовірна. Справжня картина світу осягається лише мисленням і теоретичним дослідженням.

Не вникати у глибину апорій, можна ставитися до них зверхньо і дивуватися, як і Зенон не додумався до очевидних речей. Але про Зеноні не перестають сперечатися, а історія науки показує, що й про щось довго сперечаються, це, зазвичай, недарма. Безсумнівно, роздуми над апориями допомогли створити математичний аналіз, відіграли певну роль фізичної революції і, цілком імовірно, що у фізиці XXI століття їх значення буде ще більше істотним.

III. Парадокс лжеца.

Вже майже з половиною тисячі років одній з логічних загадок, мучающих людей, які намагаються гармонізувати підстави свого мислення, є «парадокс брехуна». Попри те що, що на даний час відомі десятки семантичних, логічних і математичних парадоксів і апорій, «парадокс брехуна» посідає своє особливе место:

— по-перше, якого є найдоступнішим з багатьох парадоксів і з цього, найвідомішим з них.

— по-друге, він первинний стосовно до багатьох інших парадоксів і, отже, останні непереборні, доки дозволено «парадокс лжеца».

Найпростішим варіантом парадоксу брехуна є висловлювання «Я брешу». Якщо висловлювання брехливо, то який провіщає сказав правду, і отже, сказане не є брехнею. Якщо ж вислів перестав бути хибним, а який провіщає стверджує, що його брехливо, це його висловлювання брехливо. Виявляється, в такий спосіб, що, якщо який провіщає бреше, він каже правду, і наоборот.

«Парадокс брехуна» має й інших схожий один на друга формулювань. Нижче наведені лише окремі з них:

— «Усі критяни — брехуни» (теза, висловлене критянином Эпименидом);

— «Я висловлюю зараз хибне предложение»;

— «Усі, що X стверджує у проміжок часу Р — ложь»;

— «Це твердження ложно»;

— «Це твердження не належить до класу істинних высказываний».

Хоча наведений список не повний, він надає певне уявлення про проблеми. Логічний проблема у тому, що припущення щодо помилковості наведених висловлювань веде до до справжності й наоборот.

Давніх греків дуже займало, як, начебто, цілком цілком осмислене твердження може бути ні істинним, ні хибним так, щоб цьому не виникло протиріччя. Філософ Хризипп написав шість трактатів про парадоксі брехуна, жодного з яких немає зберігся по наш час. Ходить легенда, певний Филит Косский, зневірившись дозволити цей парадокс, покінчив самогубством. Подейкують, що з відомих давньогрецьких логіків, Диодор Кронос, вже в схилі літ дав обітницю не їсти до того часу, доки знайде рішення «Брехуна», і помер, так нічого й не добившись.

У середньовіччі цей парадокс віднесли до так званим не піддається розв’язанню пропозицій і став об'єктом систематичного аналізу. Тепер «Брехун» — цей типовий колишній софізм — нерідко іменується королем логічних парадоксів. Йому присвячена велика наукова література. І, тим щонайменше, як у разі багатьох інших парадоксів, залишається недостатньо ясним, які саме проблеми ховаються його і варто позбуватися него.

Розглянемо першу формулювання: приписувану Эпимениду твердження логічно суперечливо, якщо припустити, що брехуни завжди брешуть, а нелжецы завжди кажуть правду. За такого припущення твердження «Усі критяни брехуни «може бути істинним, адже тоді Эпименид було б брехуном і, отже, очевидно: він стверджує, було б брехнею. Але це твердження може бути і неправдивим, оскільки це означала б, що критяни кажуть лише правду і, отже, те, що сказав Эпименид, також истинно.

Історія логіки знає безліч спроб і підходів до розв’язання даного парадоксу. Один із перших — спроба уявлення «парадоксу брехуна «як софізму. Суть такого подання у тому, що у реальному житті жоден брехун вона каже тільки неправда. Отже, парадокс — софізм, заснований на удаваної посылке.

Але таке пояснення прийнятно тільки до першої (ранньої) формулювання парадоксу, але з «знімає «парадокс у його точніших сучасних формулюваннях. Є кілька рішень парадоксу брехуна у його сучасної формулюванні. Яка з рішень правильне? Усі правильні. Як таке то, можливо? Тому, що парадокс — це міркування, що призводить до протиріччю. Позбутися протиріччя можна у різний спосіб. Усі вони зводяться для заміни деякого сумнівного шматочка міркувань більш правильний. У результаті виходить міркування, аналогічне колишньому, але не матимуть видимих протиріч. З іншого боку, різні рішення наводяться через різновиди логік.

Заміняти можна різні шматочки. У кожній оказії вийдуть різні рішення, а яке з нього віддати перевагу — як кому подобається. Одному самим сумнівним здається один шматочок, іншому — інший. Іноді найперший сумнівний шматочок помітний і очевидний.

Мабуть, найпоширенішим варіантом рішення парадоксу брехуна є поділ мови та метаязыка:

Зараз «Брехун» зазвичай вважається характерним прикладом тих труднощів, яких веде змішання двох мов: мови, у якому говориться про лежачої поза нею дійсності, й мови, яким розмовляють про першому языке.

У повсякденному мові немає різниці між тими рівнями: і дійсності, і мові говоримо однією й тому самому мові. Наприклад, людина, рідною мовою якого є російська мову, вбачає ніякої особливої відмінності між твердженнями: «Скло прозоро» і «Правильно, що скло прозоро», хоча одне з яких говорить про склі, а інше — про висловлюванні щодо стекла.

Якби когось прийшла думка необхідність казати про світі однією мовою, йдеться про властивості цієї мови — іншою, міг би скористатися двома різними існуючими мовами, скажімо росіянам і англійським. Натомість, аби лишень сказати: «Корова — це іменник», сказав би «Корова is a noun», а замість: «Твердження „Скло не прозоро“ — брехливо» вимовив б «The assertion „Скло не прозоро“ is false». За такої використанні різних мов сказане про мир ясно відрізнялося від сказаного про мову, з допомогою якого говорять про світі. У насправді, перші висловлювання ставилися б до російського мови, тоді як другі — до английскому.

Якби далі нашому знавцю мов захотілося висловитися з приводу якихось обставин, що стосуються вже англійської, міг би скористатися ще однією мовою. Припустимо німецьким. Для розмови звідси останньому можна було б вдатися, між іншим, до іспанській мові і т.д.

Виходить, в такий спосіб, своєрідна драбинка, чи ієрархія, мов, кожен із якої використовуються цілком певної виховної мети: першою говорять про матеріальному світі, другою — звідси першому мові, третьому — про друге мовою й т.д. Таке розмежування мов областю їх застосування — рідкісне явище у житті. Однак у науках, спеціально котрі займаються, подібно логіці, мовами, воно іноді видається дуже корисним. Мова, у якому міркують світі, зазвичай називають предметним мовою. Мова, використовуваний для описи предметного мови, називають метаязыком.

Зрозуміло, що, коли мова і метамова розмежовуються зазначеним чином, твердження «Я брешу» не то, можливо сформульовано. Він каже про хибність те, що сказано російською, і, отже, належить до метамови і бути висловлено англійською. Конкретно він повинен звучати так: «Everything I speak in Russian is false» («Усе мною російською брехливо»); у тому англійському затвердженні щось говориться нього самого, і жодного парадоксу не возникает.

Розрізнення мови та метамови дозволяє усунути парадокс «Брехуна». Тим самим було з’являється можливість коректно, без протиріччя визначити класичне поняття істини: істинним є висловлювання, відповідне описуваної їм действительности.

Поняття істини, як всі інші семантичні поняття, має відносний характер: вона завжди може бути віднесене до якогось языку.

Як показав польський логік АТарский, класичне визначення істини має формулюватися у мові ширшому, чому він мову, котрій призначене. Інакше кажучи, якщо ми хочемо вказати, що означає оборот «висловлювання, істинне за даному мові», потрібно, крім висловів цієї мови, користуватися також висловлюваннями, що у ньому нет.

Тарський впровадив поняття семантично замкнутого мови. Таку мову включає, крім своїх висловів, їх назви, і навіть, це важливо підкреслити, висловлювання про істинності формулируемых у ньому пропозицій. Межі між розумом і метаязыком в семантично замкнутому мові немає. Кошти його настільки багаті, які дозволяють як щось стверджувати про позамовною реальності, а й оцінювати істинність таких тверджень. Цих коштів досить, зокрема, у тому, щоб відтворити у мові антиномию «Брехун». Семантично замкнутий мову виявляється, в такий спосіб, внутрішньо суперечливим. Кожен природний мову є, очевидно, семантично замкнутым.

Єдине прийнятний шлях до усунення антиномії, отже, і внутрішньої суперечливості, відповідно до Тарскому, — відмова від вживання семантично замкнутого мови. Цей шлях прийнятний, звісно, лише тоді штучних, формалізованих мов, припускають ясне підрозділ мовою і метамова. У природничих ж мовами зі своїми неясною структурою і можливість говорити про все однією й тому самому мові такий невідь що реальний. Ставити питання внутрішньої несуперечливості мов втрачає сенс. Їх багаті виразні можливості мають значення і свою зворотний бік — парадоксы.

Є й інші рішення парадоксу брехуна, наприклад, рішення Оккама і рішення Буридана:

Отже, існують висловлювання, розмовляючі про своє власної істинності чи помилковості. Ідея, що така висловлювання є осмисленими, дуже стара. Її відстоював ще давньогрецький логік Хрисипп. У середньовіччі англійський філософ і логік У. Оккам заявляв, що затвердження «Будь-яке висловлювання брехливо» безглуздо, оскільки він промовляють на числі іншого і свого власного помилковості. На цьому затвердження прямо слід протиріччя. Якщо всяке висловлювання брехливо, це стосується й самому даному утвердженню; але це, що його брехливо, означає, що ні всяке висловлювання бреше. Аналогічно само і з твердженням «Будь-яке висловлювання істинно». Вона також має бути віднесене до безглуздим і веде до протиріччю: якщо кожен вислів істинно, то істинним є і заперечення самого цього висловлювання, тобто висловлювання, що ні всяке висловлювання истинно.

Чому, проте, висловлювання неспроможна осмислено казати про свого власного істинності чи помилковості? Вже сучасник Оккама, французький філософ XIV в. Ж. Буридан, ні згоден із його рішенням. З погляду звичайних поглядів на безглуздості, висловлювання на кшталт «Я брешу», «Будь-яке висловлювання істинно (брехливо)» тощо. цілком осмислені. Про що можна подумати, у тому можна висловитися, — такий загальний принцип Буридана. Людина може думати про істинності затвердження, що він вимовляє, отже, може і висловитися звідси. Не усі твердження, розмовляючі самих собі, ставляться до безглуздим. Наприклад, твердження «Цю пропозицію написано російською» є справжнім, а твердження «У цьому вся пропозиції десять слів» брехливо. І вони цілком осмислені. Якщо допускається, що затвердження може говорити про собі, чому воно здатне зі змістом говорити про такому своєму властивості, як истинность?

Сам Буридан вважав висловлювання «Я брешу» не безглуздим, а хибним. Він обгрунтовував це. Коли людина стверджує якесь пропозицію, він стверджує цим, що його істинно. Якщо ж пропозицію говорить про собі, що його саме бреше, воно є лише скорочену формулювання складнішого висловлювання, який підтверджує це й свою істинність, і свій неправдивість. Цей вислів суперечливо і, отже, брехливо. Але він неможливо бессмысленно.

Аргументація Буридана й тепер іноді вважається убедительной.

Є й інші напрями критики того рішення парадоксу «Брехун», яке сталося деталях розвинене Тарским. Чи в семантично замкнутих мовами — а такі усе ж природні мови — немає ніякої протиотрути проти парадоксів цього типа?

Якби це були так, то поняття істини завжди можна було визначити суворим чином, тільки в формалізованих мовами. Тільки них вдається розмежувати предметний мову, у якому міркують про світ, і метамова, яким розмовляють про цю мову. Ця ієрархія мов будується на зразок засвоєння іноземних мов з допомогою рідного. Вивчення такий ієрархії привело до багатьох цікавих висновків, й у окремих випадках вона істотна. Але її немає у природному мові. Дискредитує це його? І так, то що саме мері? Адже ньому поняття істини все-таки вживається, і звичайно без ускладнень. Чи є запровадження ієрархії єдиний засіб винятку парадоксів, подібних «Лжецу?».

У 1930;ті роки відповіді опікується цими питаннями представляли безсумнівно стверджувальними. Але тепер колишнього одностайності ми маємо, хоча традиція усувати парадокси такого типу шляхом «расслаивания» мови залишається господствующей.

Останнім часом дедалі більше уваги приваблюють эгоцентрические висловлювання. Вони зустрічаються слова, подібні «я», «це», «тут», «тепер», та його істинність залежить від цього, коли, ким, де їх вживаються. У затвердженні «Ці слова бреше» зустрічається слово «це». Якого саме об'єкту вона ставиться? «Брехун» може говорити, що слово «це» не належить до змісту цього твердження. Але тоді чого вона ставиться, що означає? І чому даний сенс може бути все-таки вказано словом «это»?

Не вдаючись у деталі, слід зазначити лише, що у контексті аналізу эгоцентрических висловів «Брехун» наповнюється повністю змістом, що раніше. Виявляється, вона вже не застерігає від змішання мови та метамови, а свідчить про небезпеки, пов’язані із неправильним вживанням слова «це» й подібних эгоцентрических слов.

Проблеми, котрі пов’язували протягом століть з «Брехуном», радикально змінювалися залежно від цього, розглядався він як приклад двозначності, або як вираз, зовні що видається за взірець змішання мови та метамови, або ж, нарешті, як типовий приклад неправильного вживання эгоцентрических висловів. І впевненості, що з цим парадоксом не виявляться пов’язаними у майбутньому та інші проблемы.

Відомий сучасний фінський логік і філософ Р. фон Вригт писав свою роботу, присвяченій «Брехунові», що це парадокс в жодному разі повинен розумітись як локальне, ізольоване перешкода, устранимое одним изобретательным рухом думки. «Брехун» зачіпає багато найважливіші теми логіки й семантики. І це визначення істини, і тлумачення протиріччя, та докази, й ціла серія важливих відмінностей: між пропозицією і яка виражається їм думкою, між вживанням вислови й його згадуванням, між змістом імені Ілліча та обозначаемым їм объектом.

" Парадокс брехуна «(хоч і дивовижно), вкрай близький зі своєї логічного форми і характеру логічного помилки багатьох інших «парадоксів », котрі прийнято вважати цілком самостійними. До до їх числа і знаменитий «парадокс Рассела » .

III. Парадокс Рассела.

Найбільш знаменитим з розчинених у минулому столітті парадоксів є антиномія, виявлена Б. Расселом і повідомлена їм у листі до Р. Ферге. Рассел відкрив свій парадокс, належить до області логіки й математики, в 1902 г. Цю ж антиномию обговорювали одночасно у Геттінгені німецькі математики 3. Цермело (1871— 1953) і Д. Гільберт. Ідея носилася повітря, і його опублікування справило враження вибуху бомби. Цей парадокс викликав у математиці, на думку Гільберта, ефект повної катастрофи. Нависла загроза над найпростішими та найважливішими логічними методами, найбільш звичайними і корисними поняттями. Виявилося, що у теорії множин Кантора, що із захопленням було прийнято більшістю математиків, є дивні протиріччя, яких неможливо, чи, по крайнього заходу, дуже важко, позбутися. Парадокс Рассела (точніше, Рассела — Цермело) особливо яскраво виявив ці протиріччя. Над його дозволом, як і, як та контроль дозволом інших знайдених парадоксів канторовской теорії множин, трудилися найвидатніші математики тих лет.

Відразу стало очевидним, що ні логіці, ні з математиці за довгу історію існування був вироблено анічогісінько, що могла б послужити підвалинами усунення антиномії. Явно виявився необхідним відхід звичних способів мислення. Але з якого місця та у напрямі? Наскільки радикальним мав стати відмови від усталених способів теоретизування? З подальшим дослідженням антиномії переконання у необхідності принципово нового підходу неухильно зростало. Через півстоліття після відкриття фахівці з підставах логіки й математики Л. Френкель і И. Бар-Хиллел вже без будь-яких обмовок стверджували: «Ми вважаємо, будь-які спроби вийти з цього становища з допомогою традиційних (тобто мали ходіння до ХХ століття) способів мислення, досі незмінно проваливавшихся, явно недостатні цієї мети». Сучасний американський логік X. Каррі писав трішки пізніше звідси парадоксі: «У термінах логіки, відомій у ХІХ ст., становище просто більше не піддавалося поясненню, хоча, звісно, у наше освічений століття можуть знайтися люди, які побачать (чи подумають, що побачать), що ж полягає ошибка».

Парадокс Рассела в початкової формі пов’язані з поняттям безлічі, чи класу. Можна говорити безлічах різних об'єктів, наприклад, про безліч всіх осіб або про безліч натуральних чисел. Елементом першого безлічі буде всякий окремій людині, елементом другого — кожне натуральне число. Припустимо також самі безлічі розглядати, як деякі об'єкти і казати про безлічах множин. Можна запровадити навіть ті поняття, як безліч всіх множин чи безліч всіх понять. Щодо будь-якого довільно взятого безлічі представляється осмисленим запитати, є воно власним елементом чи ні. Сили-силенної, які містять себе як елемента, назвемо звичайними. Наприклад, безліч всіх людей перестав бути людиною, як і безліч атомів — це атом. Незвичними будуть безлічі, є власними елементами. Наприклад, безліч, об'єднує все безлічі, є безліччю і, отже, містить сам себе як элемента.

Розглянемо тепер безліч всіх звичайних множин. Оскільки вона безліч, про нього теж можна запитувати, звичайне воно або незвичну. Відповідь, проте, виявляється збентежила. Якщо він звичайне, відповідно до своєму визначенню, повинна утримувати сам себе як елемента, оскільки містить всі звичайні безлічі. Але це, що є незвичним безліччю. Припущення, що зараз безліч є звичайне безліч, наводить, в такий спосіб, до протиріччю. Отже, вона може бути звичайним. З іншого боку, вона може статися незвичним: незвичне безліч містить сам себе як елемента, а елементами нашого безлічі є лише звичайні безлічі. У результаті дійшли висновку, що багато всіх звичайних множин може бути ні звичайним, ні незвичним безліччю.

Отже, безліч всіх множин, які є власними елементами, є свій елемент у тому лише тому випадку, як його перестав бути таким елементом. Ця явна протиріччя. І отримано воно з урахуванням найправдоподібніших припущень і з допомогою незаперечних начебто кроків. Протиріччя свідчить, що таке безлічі не існує. Але чому неспроможна існувати? Адже він складається з об'єктів, які відповідають чітко певному умові, причому саме умова не здається якимось винятковим чи незрозумілим. Якщо настільки це й ясно заданий безліч неспроможна існувати, те, що, власне, полягає різницю між можливими і неможливими множинами? Висновок про не існуванні аналізованого безлічі звучить зненацька і непокоїть. Він робить наш спільний поняття безлічі аморфним і хаотичним, немає і гарантії, що його нездатна породити якісь нові парадоксы.

Парадокс Рассела чудовий своєю крайньою спільністю. На його побудови непотрібні будь-які складні технічні поняття, як у деяких інших парадоксів, досить понять «безліч» і «елемент безлічі». Але це простота таки говорить про його фундаментальності: адже воно зачіпає найглибші підстави наших міркувань про безлічах, оскільки говорить щодо якихось спеціальних випадках, йдеться про безлічах вообще.

Інші варіанти парадоксу Парадокс Рассела немає специфічно математичного характеру. У ньому використовується поняття безлічі, але з зачіпаються якісь особливі, пов’язані саме з математикою його свойства.

Це очевидним, якщо переформулювати парадокс в доти чисто логічних термінах. Про кожного властивості можна, цілком імовірно, запитувати, застосовно воно перед самим собою чи ні. Властивість бути гарячим, наприклад, незастосовно перед самим собою, оскільки саме перестав бути гарячим; властивість бути конкретним також належить перед самим собою, оскільки це абстрактне властивість. І ось властивість бути абстрактним, будучи абстрактним, застосовно перед самим собою. Назвемо ці непридатні до самих собі властивості незастосовними. Застосовно чи властивість бути неприложимым перед самим собою? Виявляється, не приложимость є неприложимой в тому разі, якщо не є такою. Це, звісно, парадоксально. Логічний, що стосується властивостей різновид антиномії Рассела, так само парадоксальна, як і математична, належить безлічам, її разновидность.

Рассел запропонував також наступний популярний варіант відкритого їм парадоксу. Уявімо, що вона одного села так визначив обов’язки цирульника: голити всіх чоловіків села, які голяться самі, і лише цих чоловіків. Чи має він голити себе? Якщо можна, він стосуватиметься до тих, хто голиться сам, а тих, хто голиться сам, вона повинна голити. Якщо ні, він належати до тих, хто голиться сам, і, отже, змушений буде голити себе. Ми приходимо, в такий спосіб, до висновку, що це брадобрей голить себе і лише тому випадку, що він не голить себе. Це, зрозуміло, неможливо.

Міркування про брадобрее спирається на припущення, що така брадобрей існує. Отримане протиріччя означає, що це припущення брехливо, немає і такого жителя села, який голив б усіх тих країн і лише про тих її мешканців, які голяться самі. Обов’язки цирульника не здаються здавалося б суперечливими, тому висновок, що їх то, можливо, звучить досить несподівано. Але це висновок перестав бути все-таки парадоксальним. Умова, котрого має задовольняти сільський брадобрей, насправді внутрішньо суперечливо і, отже, невиконуваним. Такого перукаря може бути у селі за тією ж причини, якою у ній немає, який було б старше себе чи який народився до свого рождения.

Міркування про брадобрее можна назвати псевдопарадоксом. З власного ходу воно суворо аналогічно парадоксу Рассела і вже цим цікаво. Але він все-таки, не є справжнім парадоксом.

Інший приклад такої ж псевдопарадокса є відоме розмірковування про каталозі. Якась бібліотека вирішила скласти бібліографічний каталог, куди входили б, усе ті й ті бібліографічні каталоги, які містять посилання себе. Чи має такий каталог включати посилання себе? Неважко показати, що створення такого каталогу нездійсненна; він неспроможна існувати, бо він повинен це й включати посилання себе і включать.

Цікаво зазначити, коли на складання каталогу всіх каталогів, які містять посилання себе, можна видати за нескінченний, будь-коли що завершується процес. Припустимо, що у якійсь час були складено каталог, скажімо К1, до складу якого, все які від нього каталоги, які містять посилання себе. Зі створенням К1 з’явилася ще одна каталог, він посилання себе. Оскільки завдання у тому, щоб скласти повний каталог всіх каталогів, не упоминающих себе, то, очевидно, що К1 перестав бути її рішенням. Він згадує одне із таких каталогів — себе. Включивши в К1 це згадування про нього самому, одержимо каталог К2. У ньому згадується К1, але з сам К2. Додавши до К2 таке згадка, одержимо КЗ, який неповний тому, що ні згадує себе. І далі без конца.

Можна згадати про ще один логічний парадокс — «парадокс голландських мерів », подібний з парадоксом цирульника. Кожен муніципалітет у Голландії повинен мати мера, і двоє різних муніципалітету що неспроможні мати однієї й тієї ж мера. Іноді виявляється, мер не живе у своєму муніципалітеті. Припустимо, що видано закон, за яким деяка територія P. S виділяється лише заради таких мерів, які живуть у своїх муніципалітетах, і велить усім цим мерам оселитися цій території. Припустимо, далі, цих мерів виявилося стільки, що це територія P. S сама утворює окремий муніципалітет. Де повинен проживати мер цього Особливої Муніципалітету P. S? Просте міркування показує, що й мер Особливої Муніципалітету проживає біля P. S, він ні проживати там, і навпаки, якщо він проживає біля, він таки має цій території. Те, що це парадокс аналогічний парадоксу цирульника, річ цілком очевидна.

Рассел однією з перших запропонував варіант вирішення даної «свого» парадоксу. Запропоноване ним рішення, одержало назву «теорії типів »: безліч (клас) та її елементи ставляться до різним логічним типам, тип безлічі вище типу його елементів, що усуває парадокс Рассела (теорія типів був використана Расселом й у рішення знаменитого парадоксу «Брехун »). Багато математики, проте, відмовили расселовское рішення, вважаючи, що його накладає занадто жорсткі обмеження на математичні утверждения.

Аналогічно само і коїться з іншими логічними парадоксами. «Антиномії логіки, — пише фон Вригг, — спантеличили із часу відкриття і, мабуть, будуть спантеличувати нас. Ми повинні, гадаю, вивчати й не так як проблеми, що чекає рішення, скільки як невичерпний сирої матеріал на роздуми. Вони важливі, оскільки розмірковування про них зачіпає найбільш фундаментальні питання всієї логіки, отже, і лише мышления».

Список використовуваної литературы:

1 Френкель А. А., Бар-Хиллел І. «Підстави теорії множеств».

2. B.Russell. «Introduction to mathematical philosophy».

3. Russell B. «The principles of mathematics».

4. Задоя А.І. «Введення у логику».

5. Гільберт Д. — Акерман У., «Основи теоретичної логики».

6. Лакофф Дж. «Прагматика у природному логіці. Нове в лінгвістиці».

7. Якобсон Р. «Погляди Боаса на граматичне значение.».