Математические устрої

Математические устрої

§ 1. Математичним строєм називається сукупність частотних відносин між звуками у тій музичній системі. Введення у музичну практику многоголосных інструментів з фіксованою частотою звуків (орган та інших.) змусило композиторів, і виконавців зацікавитися кількісної стороною музичних систем. На той час у науці був відома ціла ряд звукових ладів, розроблених китайськими, перськими, індійськими, арабськими і грецькими вченими, основу яких лежали найрізноманітніші математичні принципи відбору звуків і який намагалися пояснити співвідношень між звуками в творах народного музичного творчості.

Мы вважаємо зайвим зупинятися у китайських, перських, арабських і індійських звукових ладів, тому що ці устрої не надали безпосереднього впливу європейську музику, а розпочнемо з вивчення ладу, розробленого давньогрецькими вченими Криму та відомого під назвою «ладу Піфагора».

Древнегреческим ученим було відомо, що у монохорде[2] можна отримати роботу звуки як шляхом порушення цілої струни, але її частин: ½, 2/3 і ¾, І що звуки, отримані шляхом порушення зазначених частин струни, утворюють з її основним тоном інтервали октави — ½ струни, квінти — 2/3 струни і кварти — ¾ струни (по сучасної термінології).

Эти інтервали, знайдені дослідним шляхом люди, отримавши, за переказами, застосування при їх настроюванні ліри Орфея, стали основними інтервалами пифагорова ладу. Інші інтервали цього ладу знайшли послідовниками Піфагора у вигляді обчислень. Важко сказати, які причини змусили зазначених учених відмовитися від подальших ділень струни на частини вчених у цілях отримання нових інтервалів, відомо лише, формування пифагорова ладу здійснювалося не досвідченим, а математичним шляхом. Цей шлях грунтувався наступних міркування: оскільки 2/3 цілої струни дають звук квінтою вищий її основного тону, а ¾ цілої струни — звук квартою вище тієї самої тону, то 2/3 будь-якій частині струни мусять дати звук квінтою вище цієї маленької частини, а ¾ будь-якій частині струни — звук квартою вище цієї частини.

Таким чином, якщо основний тон струни є сек. і беручи 2/3 від 2/3 струни, т. е. 4/9 струни, то звук, відповідний цієї маленької частини струни, буде d1. Цей звук перебуває поза межами октави з — с1. Взявши замість його d, знайдемо, що останньому звуку відповідає 8/9 струны[3].

Если взяти 2/3 від 8/9 струни, т. е. 16/27 струни, то звук, відповідний тієї частини струни, буде а.

Если взяти 2/3 від 16/27 струни, т. е. 32/81 струни, то звук, відповідний цієї частини струни, буде е1. Цей звук перебуває поза межами октави з — с1. Взявши замість нього е, знайдемо, що останньому звуку відповідає 64/81 струни.

Если взяти 2/3 від 64/81 струни, т. е. 128/243 струни, то звук, відповідний цієї частини струни, буде h. Якщо розмістити все знайдені нами звуки гаразд їх висоти і підписати під ними відповідні частини струни, ми одержимо диатоническую мажорну гаму пифагоровой настройки, у якій частотні відносини між звуками виражені в частках струни:

с d е f g a h c1.

1 8/9 64/81 ¾ 2/3 16/27 128/243 ½.

Если, з основних інтервалів пифагорова ладу, рухатися від звуку f по чистим квинтам вниз, виробляючи при: цьому відповідні обчислення, ми одержимо фригийскую гамму[4], ib якої частотні відносини між звуками виражені в частках струни:

с des es f g as b cl.

1 243/256 27/32 ¾ 2/3 81/128 9/16 ½.

Двигаясь по чистим квинтам вгору від звуку Проте й по чистим квинтам вниз від звуку des і виробляючи відповідні обчислення, ми прийдемо у разі до звуку his, у другому — до звуку deses. Звук his на інтервал 524 288/531441?73/74 вище звуку с1, а звук deses — той самий інтервал нижче звуку з. Інтервал, який his вище cl, a deses нижче з отримав назву «пифагоровой коммы» (близько 1/9 тона)[5]. Отже, лад Піфагора — незамкнутый.

Так як і кожен інтервал пифагорова ладу виходить у вигляді одного чи іншого кількості квинтовых ходів (вгору чи вниз від вихідного звуку з наступною октавными перенесениями), то кожен інтервал цього ладу має сенс тільки одне кількісне вираз, так:

1) б. секунда, отримувана у вигляді двох квинтовых ходів, виражається ставленням 8/9;

2) б. секста, отримувана у вигляді трьох квинтовых ходів, виражається ставленням 16/27;

3) б. терція, отримувана у вигляді чотирьох квинтовых ходів, виражається ставленням 64/81;

4) диатонический напівтон, отримуваний у вигляді п’яти квинтовых ходів, виражається ставленням 243/256;

5) хроматичний напівтон, отримуваний у вигляді семи квинтовых ходів, виражається ставленням 2048/2187.

Так як 2048/2187 менше 243/256 струни, то хроматичний напівтон пифагорова ладу більше диатонического на пифагорову комму. Оскільки інтервали пифагорова ладу (крім октави) похідні від год. квінти, то пифагоров лад є лад однофакторный.

Трудно сказати, який вплив надав пифагоров лад із музикою античних греків, та його роль справі розвитку середньовічної музики цілком зрозуміла.

В середньовіччі став широко застосовуватися у церковної музиці орган — багатоголосий інструмент з фіксованою частотою звуків. Цей інструмент вимагав настройки. Оскільки єдиним строєм, добре відомим у часи, був лад Піфагора, то орган стали налаштовувати у тому ладі. Налаштування органу на пифагоровом ладі технічно нескладне значних труднощів. Вона здійснюється шляхом настройки чистих квінт (т. е, квінт без биттів) угору й униз від вихідного звуку і перенесення цих квінт до меж однієї октави.

Однако вже перші спроби гри на органі, налаштованому в пифагоровом ладі, показали, що гармонійна б. терція цього ладу звучить занадто напружено і непридатна у ролі терції мажорного тонічного тризвуку (гармонійного). Треба думати, що цей напруженість у першу чергу помітили учасники хору, які, очевидно, дотримувалися натуральної б. терції. Причину напруженості пифагоровой б. терції знайти важко. У пифагоровом ладі б. терція виходить у вигляді чотирьох ходів по год. квинтам вгору й за виражається ставленням 64/81. Якщо висловити величину пифагоровой б. терції не частками струни, а числами коливань, то виявиться, що у цій терції верхньому звуку відповідає 81 коливання, а нижньому — 64. (С-І у великих октаві при а=435 герц). Для б. терції с1-е1 ставлення між числами застережень 324/256 ((81/64)x (4/4)). Звуки б. терції с1-е1 мають тон збіги е3 (5-ї частковий тон с1 збігаються з 4-му частковим тоном е1).

Число коливань в секунду 5-го часткового тону =256.5= 1280, число коливань в секунду 4-гочастичноготона=324×4=1296. При одночасному звучанні обох звуків б. терції с1-е1 інтервал даватиме 16 биттів в секунду (1296−1280=16). Ці биття та створюють напруження як у гармонійної пифагоровой б. терції.

Итак, спроба використовувати пифагоров лад для настройки багатоголосого музичного інструменту фіксованою частотою звуків увійшла у в протиріччя з зростаючим гармонійним свідомістю. Музична практика вимагала чи від гармонійних терцій взагалі чи заміни їх іншими гармонійними б. терциями, прийнятними для хору.

§ 2. Останнім шляхом пішли Фольяни і Царлино, видатні теоретики XVI століття. Базуючись на роботах Аристоксена, Птолемея і Дидима, вони запропонували брати для б. терції не 64/81, а 4/5 (64/80) струни, інакше кажучи, розглядати б. терцію, як основний, ніж як похідний інтервал. Стрій, отриманий шляхом заміни терції 64/81 терцією 4/5, отримав назву «чистого », оскільки б. терція 4/5 звучить без биттів (суто).

Выразим нині у частках струни частотні співвідношень між звуками, утворюючими диатоническую мажорну гаму чистого ладу, наприклад:

c d e f g a h c1.

Если звуку з відповідає ціла струна (1), то звуку е, утворюючому б. терцію зі звуком з, відповідатиме 4/5 струни; звуку а, утворюючому б. терцію зі звуком f, 3/5 струни (4/5 від ¾=3/5); звуку h, утворюючому б. терцію зі звуком g, — 8/15 струни (4/5 від 2/3=8/15). Звуках f і g, що створює кварту і квінту зі звуком з, і звуку d утворюючому кварту зі звуком g, відповідатиме, як й у ладі Піфагора, ¾, 2/3 і 8/9 струни.

Итак, звуки диатонической мажорній гами чистого ладу в частках струни виразяться такими відносинами:

c d e f g a h з.

1 8/9 4/5 ¾ 2/3 3/5 8/15 ½.

Взяв як основне інтервалу б. терцію і розмірковуючи аналогічно, ми знайдемо, що звуки фригийской гами виразяться:

с des es f g as b cl.

1 15/16 5/6 ¾ 2/3 5/8 5/9 ½.

Если, рухаючись квинтовыми і терцовыми ходами, знайти частини струни, відповідні звуках fis, cis, gis тощо. буд. до his включно, і більшості струни, відповідні звуках ges, ces, fes тощо. буд. до deses включно, то виявиться, що his нижче с1, a deses вище з. Справді, звуку his, получаемому шляхом руху на 3 б. терції вгору від з (с-іgis-his), буде відповідати 64/125 струни (1Х4/5Х4/5Х 4/5) (звуку с1 відповідає 64/128, т. е. ½ струни). Звуку deses, получаемому шляхом руху на 3 б. терції вниз від с1 (с1-as-fes-deses), відповідатиме 125/128 струни (½X5/4X5/4X5/4) (звуку з відповідає 128/128, т. е. ціла струна).

Разница між his і с1, deses і з? 1/5 частини тону.

Таким чином, чистий лад, подібно пифагорову, є лад незамкнутый.

Если досліджувати все інтервали, що входять до склад наведеної вище диатонической мажорній гами чистого ладу, то ми не важко повірити, у цьому ладі деякі однойменні інтервали в різних щаблях гами мають різні интервальные коэфициенты.

Так:

1) квінти на 1, 3, 4, 5 і 6-ї щаблях виражаються ставленням 2/3 (c-g-2/3; e-h-8/5:4/5=2/3; f-с1−½:¾=2/3; g-d1−4/9:2/3=2/3; а-е1- 2/5:3/5=2/3);

2) квінта на 2-ї щаблі d-а виражається ставленням 27/40 (3/5:8/9=27/40);

3) м. терції на 3, 6-ї і 7-й щаблях виражаються ставленням 5/6 (e-g-2/3:4/5=5/6; а-с1−½:3/5=5/6; h-d1- 4/9:8/15=5/6);

4) м. терція на 2-ї щаблі d-f виражається ставленням 27/32 (¾:8/9=27/32);

5) б. секунда на 1, 4-й і 6-ї щаблях виражається ставленням 8/9 (c-d-8/9; f-g-2/3:¾=8/9; a-h-8/15:3/5=8/9);.

6) б. секунда на 2-ї і 5-ї щаблях виражається ставленням 9/10 (d-e-4/5:8/9=9/10; g-a-3/5:2/3=9/10).

Таким чином, в диатонической мажорній гамі чистого ладу два интервальных коэфициента мають:

квинта -2/3 і 27/40 (2/3=27/40X80/81).

кварта-¾ і 20/27 (20/27=¾X80/81).

м. терція — 5/5 і 27/32 (5/6=27/32X80/80).

б. свисту -3/5 і 16/27 (16/27=3/5X80/81).

б. секунда- 8/9 і 9/10 (8/9=9/10X80/81).

м. септима -9/16 і 5/9 (5/9=9/916X80/81).

Интервал 80/81, який деякі інтервали чистого ладу більшою або меншою відповідних інтервалів пифагорова ладу, називається «дидимовой коммой ». Дидимова комма? 1/10 тону. Цю ж комму, б. терція пифагорова ладу більше чистої (64/81=5/4×80/81). Оскільки диатонический напівтон, наприклад, з — des, виходить у вигляді ходів:

с — f — des.

и виражається ставленням 15/16 (¾×5/4=15/16), а хроматичний напівтон, наприклад, з — cis, виходить у вигляді ходів:

с — f — а — cis1 — cis.

и виражається ставленням 24/25 (¾×4/5×4/5×2) й, оскільки дріб 24/25 більше 15/16, то звук сis (як відповідний больщему відтинку струни) нижче звуку des. Таким чином, в чистому ладі диатонический напівтон більше хроматичного (див. лад Піфагора). З усієї вищевикладеного, можна зробити такі висновки:

1. Заміна пифагоровых терцій чистими уможливила використання у музичному мистецтві гармонійних мажорних і мінорних тризвуків (тонічних) розширили область частотних інтонацій (квінта 2/3 і 27/40, м. терція 5/и 27/32, б. секунда 8/9 і 9/10 тощо. буд.).

2. Зазначена заміна не створила ладу, цілком відповідає вимогам музичної практики, оскільки чистий лад виявився:

а) незамкнутым, т. е. позбавленим энгармонизма;

б) незручним для модуляції навіть у найближчі (від (C-dur) тональності;

в) які вимагають складного устрою музичних інструментів з фіксованою частотою звуків.

Поясним викладене в в.п. б й у.

Чтобы зробити модуляцію з C-dur в d-moll, необхідно мати за тонік ладу чисте мінорний тризвук d — f — а. Цим тризвуком може бути мінорний тризвук II щаблі C-dur, бо вона складається з «нечистої» квінти — d — a (27/40) і пифагоровой м. терції d — f (27/32), Аби зробити тризвук d — f — а чистим, необхідне звуку d взяти ставлення 9/10 замість 8/9, тобто. понизити його за дидимову комму 80/81. Отже, з метою модуляції з C-dur в d-moll (і навпаки) необхідно мати 2 звуку d, відмінних, за частотою на дидимову комму. Один як звуку доминантового тризвуку C-dur другий — у ролі звуку тонічного тризвуку d-moll. Із тих-таки причин для модуляції з F-dur в g-moll (і навпаки) треба мати два «комматических звуку» g, для модуляцій з G-dur в a-moll треба мати два комматических звуку чи т. буд.

Для скоєння модуляцій у 2-у ступінь кревності знадобляться нові комматические звуки. Отже, при широкому користуванні модуляціями знадобиться велике кількості комматических звуків. Якщо, ще, прийняти до уваги, що у чистому ладі немає энгармонизма (fis не збігається за висотою з ges), то для користування чистим строєм знадобиться чимала кількість звуків в межах одного октави до 85 звуків). Ця обставина значно ускладнює пристрій музичних інструментів з фіксованою частотою звуків і робить дуже складній гру цих інструментах. З усієї вищевикладеного слід, що чистий лад є дуже складний математичний лад.

Музыкальное мистецтво, що вже у першій половині XVII століття початок широко користуватися энгармонизмом, були задовольнитися чистим строєм, і він розділив доля пифагорова.

Итак, причиною, яка змусила музичне мистецтво відмовитися від чистого ладу, було виправдатись нібито відсутністю цьому ладі энгармонизма, інакше кажучи, незамкненість цього ладу. Тому подальша еволюція ладів пішла шляхом створення про «темпераций"[6], т. е. таких математичних ладів, які завдяки певним частотним співвідношенням між звуками є замкнутими. Оскільки музичне мистецтво були відразу відмовитися від чистих квінт і чистих терцій, котрі мають переваги перед терциями Піфагора були явні, то автори темперации намагалися дозволити завдання, з чистих великих і малих терцій і чистих квинт.

Равномерные темперации

§ 1. Спроби дозволити проблему ладу, придатного для музичних цілей, у вигляді нерівномірних темперации, закінчилися невдачею, тому що ці темперации давали можливість користуватися обмеженою кількістю тональностей (окремими тональностях з’являлися звані «стогнуть» інтервали). Але це спроби, особливо роботи Веркмейстера і Нейдгардта, намітили правильний шлях вирішення ж проблеми і привели пізніших дослідників до двенадцатизвуковому равномерно-темперированному строю. Автори цього ладу виходили з таких міркувань. Якщо пифагорову комму (1/9 тону) на 12 рівних частин, т. е. розподілити її між дванадцятьма квінтами цього ладу, кожен квінта зменшиться на 1/108 тону (1/9:12=1/108). У цьому умови дванадцята квінта вгору від звуку з (his) збігаються з октавою від цього ж звуку (с1), а дванадцята квінта вниз від звуку с1 (deses) збігаються з октавою того ж таки звуку (з). Збіг his з с1, a deses з з викликає збіг всіх энгармонически рівних звуків, які відрізняються висоті на пифагорову комму. Такий збіг станеться шляхом усунення обох звуків.

Так як і пифагоровом ладі все цілі тони виходять у вигляді двох квинтовых ходів і тому рівні між собою, й, оскільки послідовність 6 цілих тонів (наприклад, від звуку з) призводить до звуку his, який 1/9 тону вище з, то, зменшуючи год. квінти на 1/108 тону, ми зменшуємо кожен цілий тон на 1/54, а послідовність 6 тонів на 1/9 тону (пифагорову комму). Отже, в аналізованому нами темперированном ладі октава складається з 6 рівних цілих тонів.

Так як і пифагоровом ладі хроматичний напівтон більше диатонического, то цілий тон пифагорова ладу ділиться на два нерівних півтони. У означеному нами темперированном ладі хроматичний напівтон дорівнює диатоническому.

Поэтому у тому ладі цілий тон ділиться однакові півтони. Отже, у тому ладі октава складається з 12 рівних півтонів, проте інші інтервали з меншого кількості цих півтонів — від 11 (б. септима — ув. сексте) до 1 (м. секунда).

Исследуем тепер запитання про музичної прийнятності інтервалів 12-звукового равномернотемперированного ладу. Оскільки під назвою лад виходить шляхом розподілу год. октави на 12 рівних півтонів, то ми все октави цього ладу, як й у інших теоретичних строях, чистые[7]. Темперована квінта, меншою чистої на 1/108 тону, і темперована кварти, яка більше чистої на 1/108 тону, за своїми звуковим якостям майже від чистих.

Темперированная б. терція менше пифагоровой на 1/27 тону і, отже, більше чистої на 1/16 тону; навпаки, темперована м. секста, що є зверненням б. терції, більше пифагоровой на 1/27 тону і від чистої на 1/16 тону.

Темперированная м. терція більше пифагоровой на 1/36 тону і, отже, менше чистої на 1/14 тону; навпаки, темперована б. секста, що є зверненням м. терції, менше пифагоровой на 1/36 тону і більше чистої на 1/14 тону.

Итак, темперована б. терція більше чистої на 1/16 тону, а темперована м. терція менше чистої на 1/14 тону. Ці терції за своїми звуковим якостям помітно від чистих, але у музичному відношенні прийнятні. Це ж можна сказати й стосовно поводження терцій — секст. Що ж до диссонирующих інтервалів, то ці інтервали, зберігають свої звукові якості у ширших межах, ніж консонирующие, в темперированном ладі не викликає жодних протестів із боку музичного слуху. Отже, все інтервали досліджуваного нами равномернотемперированного ладу в музичному відношенні прийнятні. Налаштування хроматичної гами 12-звукового равномернотемперированного ладу представляє певні труднощі. Оскільки інтервали цього ладу можна було одержати у вигляді квинтовых ходів, то теоретично питання зводиться до пошуку числа биттів в секунду, що дає темперована квінта в різних щаблях хроматичної гами досліджуваного ладу, практично — до відліку зазначених биттів.

Первая частина питання дозволяється так.

Если ми позначимо через x величину, яка ніколи, скільки раз число коливань верхнього звуку темперованого півтони більше ніж коливань його нижнього звуку, прийнятого за 1, то x12 буде величиною, яка б показала, скільки раз число коливань верхнього звуку октави більше ніж коливань її нижнього звуку, прийнятого за 1. Оскільки число коливань верхнього звуку октави більше ніж коливань її нижнього звуку вдвічі, ми можемо скласти таке рівняння:

1: x12 = 1: 2.

х12 = 2 чи x= 21/12 = 1,0595.

Зная интервальный коэфициент темперованого півтони і кількість півтонів, яке у інтервалах темперованого ладу, можна знайти интервальные коэфициенты цих інтервалів, а знаючи останні і вважаючи, що звуку а1 відповідає 440 гц, можна знайти числа коливань всім звуків темперованої хроматичної гами від с1 до с2.

.

Известно, що з гармонійному відтворенні год. квінти 3-й частковий тон її нижнього звуку утворює тон збіги зі 2-му частковим тоном її верхнього звуку. У темперованої квінті зазначені часткові тони не збігаються, й між ними виникають биття. Для квінти с1- g1 число биттів в секунду одно 0, 89, оскільки число коливань 3-го часткового тону звуку с1 є 784,89[8], число коливань 2-го часткового тону звуку gl є 784[9]. Кількість биттів в секунду для квінти es — b1 одно 1,07, оскільки кількість коливань 3-го часткового тону звуку es1 є 933,39[10], а число коливань 2-го часткового тону звуку b1 є 932,32[11]. З тих міркувань число биттів в секунду для квінти fis1 — сis2 одно 1,25, а квінти а1 — е2 одно 1,48. З усієї хіба що викладеного видно, що з настройки темперированных квінт необхідно знайти числа биттів всім 12 квінт. Проте практика настройки музичних інструментів з фіксованою частотою звуків показує, що це тонкощі зайві І що всім 12 квінт можна взяти середня кількість биттів, т. е. для квінт 1-ї октави 1,1[12]. Ця заміна значно спрощує процес настройки темперированных квінт, хоч і викликає деяке (цілком непомітне для слуху) розходження між обчисленими інтервалами 12-звукового равномерно-темперированного ладу синапси і фактично настраиваемыми. Установивши число биттів для квінт в 1-ї октаві музичних інструментів з фіксованою частотою звуків (наприклад, фортепіано), викладемо метод настройки. Процес настройки починається із наладки а1 по камертоном (440 гц). Після настройки а1 налаштовують й інші звуки 1-ї октави. Расмотрим одне із способів настройки:

.

Поясним схему: квінти a1 — е2 і d1 — a1 настроюється спочатку як чисті, оскільки 1,1 биття в секунду можна як попри деякий зменшенні квінти, і при деякому її збільшенні. Потім е2 знижується (-), поки квінта а1 — е2 дасть 1,1 биття в секунду, a d1 підвищується (+), поки квінта dl — а1 дасть 1,1 биття в секунду. Відтак е2 робиться на певний чисту октаву в el, a від dl — аналогічний хід" у d2. Ці ходи на октаву ставлять за мету змусити нас налаштовувати квінти в межах 1-ї октави, котрим число биттів в секунду = 1,1[13] .

Дальнейшая настроювання квінт відбувається аналогічно, до того часу поки проблема з одного боку ми дійдемо до звуку dis2 (es2) з іншого — до звуку esl (dis1). Якщо такі звуки дадуть год. октаву, то настроювання зроблена правильно, якщо — нечисту октаву, то надстройку необхідно перевірити. Перевірка настройки виробляється у відношенні квінт і октав, а й у відношенні мажорних і мінорних тризвуків та його звернень (звісно, стосовно них звукових якостей, а чи не відліку биттів, що у відношенні терцій важко). Налаштування інших звуків фортепіано не представляє особливих проблем, оскільки вони настроюється по октавам вгору й за вниз від отриманих нами 12 звуків 1-ї октави. Професійні настройщики звичайно відраховують биттів, а налаштовують темперированные квінти на слух. Цей метод настройки швидший, але менш точний.

Сравнительно зі строями пифагоровым і чистим, ні з нерівномірними темперациями, згаданими нами раніше, 12-звуковой равномерно-темперированный лад у музичному плані є строєм дуже досконалим:

1) він належить до лад замкнутий і энгармонический;

2) він з інтервалів, що як при мелодійному, і при гармонійному їх відтворенні цілком прийнятні музичного слуху;

3)он має у октаві лише дванадцять звуків, які можуть, проте, виконати кілька ладових функцій;

4) він потребує порівняно простого устрою многоголосных інструментів.

Все перелічені властивості 12-звукового равномерно-темперированного ладу роблять можливості цього ладу в музичному відношенні майже необмеженими. І. З. Бах в «Das Wohltemperierte Klavier» вперше показав практично все музичні можливості цього ладу.

§ 2. Двенадцатизвуковой равномерно-темперированный лад є основою європейської музики з часу І. З. Баха. Проте низку музичних вчених і музикантів не вважали його цілком задовільним. Неодноразово робилися кроки до розширення цього ладу, які переслідували переважно мету:

1) поліпшення звукових якостей гармонійних терцій і секст, т. е. наближення їх до натуральним (4:5, 5:6, 3:5 і п’яти: 8),.

2) введення у музичне мистецтво інтервалів натурального звукоряду, що виражаються стосунки з участю множників 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31 тощо. буд.

Первую мета слід розглядати, як спробу повернути музичне мистецтво до чистого строю, другу — як спробу збагатити музичне мистецтво новими інтервалами натурального звукоряду (7/4, 11/8, 13/8, 19/16, 24/23, 32/31 тощо. буд.) та його похідними.

Трудно щось заперечити проти поліпшення звукових якостей терцій і секст, що саме до запровадження в музику нових інтервалів натурального звукоряду, то, на цьому питанні слід зупинитися.

На стор. 8 було зазначено, що висоті звуку відповідає жодна певна частота, а деяка смуга частот, І що назви інтервалів зберігаються при різних, але близьких за величиною интервальных коефіцієнтів.

Таким чином, «натуральні» м. септима 7/4, меншою м. септими 12-звукового ладу 210 на 1/7[14] тону, не надто різниться по своїм звуковим якостям від останньої, м. терція 19/16, меншою м. терції 12-звукового ладу 24/12 на 1/68 тону, нічим від останньої.

Интервал 11/8, який більше кварти 12-звукового ладу 25/12 на ¼ тону і від ув. кварти 26/12 на ¼ тону, різко відрізняється від обох; інтервал 13/8, який більше м. сексти 12-звукового ладу 28/12 на 1/5 тону і від б. сексти 12-звукового ладу 29/12 на 3/10, різко відрізняється від обох.

Таким чином введення у музичну практику нових інтервалів натурального звукоряду це не дає помітного ефекту. Цей ефект повинен спостерігатися лише тому випадку, коли запроваджувані інтервали суттєво різняться від інтервалів 12-звукового равномерно-темперированного ладу (наприклад, 11/8 і 13/8). Проте, дослідження показують, що у такому випадку ми не сприймаємо нових інтервалів, а сприймаємо частотні інтонації чи попереднього чи наступного інтервалу (11/8 — чи год. кварти чи ув. кварти). Ефект, отримуваний від уведення в музичну практику таких інтервалів, як 7/4 і 19/16, — мізерний, оскільки інтервал 19/16 нічим від відповідних інтервалів 12-звукового ладу, 7/4 — відрізняється від нього незначно.

Среди рівномірних темперации, у яких октава ділиться за більший кількість частин, ніж 12, може бути передусім 24-звуковой равномерно-темперированный лад. Цей порядок, зберігає все особливості 12-звукового равномерно-темперированного ладу, дає можливість здійснити з великою точністю інтервали, коэфициенты яких укладають у собі числа 11 і 13. Поліпшення терцій і секст (порівняно з 12-звуковой темперацией) в аналізованої темперации немає.

Попытки складати музику в 24-звуковом равномерно-темперированном ладі не можна визнати вдалими. Інша рівномірна темперація, що є розширення 12-звуковой равномерно-темперированной системи, є 48-звуковая рівномірна темперація.

В цьому ладі, що зберігає все особливості як 12-звуковой, і 24-звуковой рівномірних темперации, можуть бути точно здійснено інтервали, коэфициенты яких укладають у собі множник 7. З іншого боку, цей лад дає нагоду отримати терції і сексти, дуже близькі до натуральним.

Музыкальные інструменти з фіксованою частотою звуків, необхідних музичного використання цього ладу, дуже складні зі свого влаштуванню (48 звуків в октаві!). Спроби складати музику в 48-звуковом равномерно-темперированном ладі теж дали задовільних результатів.

Наиболее досконала в звуковому відношенні темперація було б 53-звуковая, дає можливість здійснити з великим наближенням інтервали як чистого, і натурального ладу. Гармониум з 53 звуками в октаві побудували Бозанкетом. Практичного застосування розглянута темперація теж получила.

Зонный лад

С того часу, як і музичному мистецтві з’явилося поняття лад, цим терміном почали називати сукупність частотних відносин звуків товаришує. Найбільш відомими є лад Піфагора (Давня Греція), чистий лад (Царлино) і 12-звуковой равномерно-темперированный лад (Нейдгардт і Веркмейстер).

Появившаяся останнім часом електровимірювальна акустична апаратура (генератор звуковий частоти, хроматичний стробоскоп тощо. п.) змусила нас змінити наше поняття про ладі. Численні дослідження, проведені у акустичної лабораторії Московської державної консерваторії, показали, що наша слух не здатний сприймати частоту звуків та його частотні відносини, і може сприймати лише висоту звуків та його висотні відносини, що ми сприймаємо як звук однієї й тієї ж назви цілу область близьких частот як і інтервал однієї й тієї ж назви низку частотних відносин між звуками. Ця смуга частот (зона) коливається не більше близько ± 25 центів (± 1/8 тону) навіть у висококваліфікованих музыкантов-слушателей і виконавців в різних музичні інструменти.

Так, наприклад, у випробуваного № 2, який володіє чудовим абсолютним слухом, при прослуховуванні їм окремих звуків, зокрема — а1, зона абсолютного слуху дорівнювала 42 центам (приблизно). У скрипаля Про., у виконанні їм арії Баха з оркестрової сюїти D-dur (перекладення для скрипки з фортепіано Вильгельми), спостерігалися відхилення від равномернотемперированного ладу до ± 30 центов[15]. Такі відхилення і у виконавців на інших інструментах. Цікаво зазначити, що настроювання фортепіано виробляється висококваліфікованими настройщиками над 12-звуковом равномернотемперированном ладі, а зонном ладі, у якому зустрічаються інтервали пифагорова і чистого ладів й у який максимальні відхилення від равномернотемперированного ладу досягають ± 9 центів, а мінімальні - ± 2 цента[16] .

Таким чином музичне мистецтво практично не має і будь-коли користувалося ні пифагоровым ні чистим строями загалом. Воно неспроможна користуватися й отвлеченно-теоретическим равномерно-темперированным строєм, а користується зонным строєм, що є якимось наближенням 12-звуковому равномерно-темперированному строю і обумовлений зонної природою нашого слуху.

Итак, ми повинні розрізняти два виду 12-звукового равномерно-темперированного ладу: отвлеченно-теоретический, який існує на папері, практичним, у якому виконуються і сприймаються музичні твори, і навіть настроюється музичні інструменти (духові інструменти, фортепіано). Цей лад, більш-менш наближається до теоретичного, може бути двенадцатизонным равномерно-темперированным музичним строем.

[1] Ця глава є яскравим прикладом «арифметичного» підходу до питань звуковысотного інтонування. Такий підхід продовжує жити у пошуках «чистої інтонації». (Т. У.).

[2] Музичний інструмент, що складалася з струни, натягнутою на резонансний ящик.

[3] Перенесення звуку на октаву вниз відповідає збільшення струни вдвое.

[4] По середньовічної терминологии.

[5] Коммой називається інтервал, менший 1/8 цілого тона.

[6] Temperare — забезпечувати порядок.

[7] Під словом чистий слід розуміти інтервали натуральні, т. е. інтервали, звуки яких у найпростіших числових відносинах. Наприклад, октава 2: 1, квінта 3: 2, кварти 4: 3 тощо. д.

[8] 261,63×3=784,89.

[9] 392×2=784,00.

[10] 311,13×3=933,39.

[11] 466,16×2=932,32.

[12] (0,89+1,07+1,25+1,48)/4=1,1.

[13] Практично відраховується приблизно 1 биття в секунду.

[14] 210/12:7/4=1,78: 1,75=1/7.

[15] Див. Гарбузов М. А. Внутризонный інтонаційний слух і методи його розвитку. Вид. Музгиз, 1951 г.

[16] Див. Гарбузов М. А. Зонная природа звуковысохного слуху. Вид. АН СРСР, 1948 р.

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із сайту internet.