Кластерный аналіз в портфельному инвестированиии

Кластерный аналіз Державний університет Вища Школа Экономики.

Реферат за курсом «Управління інвестиційним портфелем» на тему:

Кластерний анализ.

в портфельному инвестировании.

Виконала Величко Оксана.

група 612.

Москва 2003.

Содержание Введение 3.

1. Поняття кластерного аналізу 4.

2. Кластерний аналіз в портфельному інвестуванні 5.

3. Алгоритм оптимізації портфеля із застосуванням кластерного аналізу 10.

4. Кластеризація «блакитних фішок» російського ринку 14 Укладання 17 Список літератури 18.

Величезне безліч інвестиційних інструментів, наданих сучасним фінансовим ринком, змушує корпоративних інвесторів з кожним днем аналізувати дедалі більше фінансової інформації. Інколи успіх інвестування залежить від обсягу аналізованих фінансових даних, часу, витраченого на аналіз, і виду, де представлені результати. Більше, швидше, зручніше — ось основні вимоги, запропоновані постійно мінливим фінансовим ринком до методів аналізу фінансових данных.

Під час упорядкування великих диверсифікованих портфелів необхідно аналізувати сотні фінансових інструментів десятками показників за кілька минулих років. Це мільйони чисел, між які потрібно виявити взаємозв'язок і який треба розмістити у певному порядке.

Ситуація на фінансовому ринку змінюється так швидко, що з підтримання оптимальної співвідношення доходность-риск аналіз фінансових активів доводиться проводити за кількома разів у день. У цьому рахунок може йти, а то й на секунди, то, на минуты.

Результати фінансового аналізу, представлені у вигляді великих масивів чисел, теж не надто спрощують процес прийняття рішень. Чи можна згрупувати результати у вигляді, щоб процес прийняття рішень став більш ефективним? Чи можна візуалізувати дані і вивести результати аналізу так, щоб аналітик разом міг охопити їх взглядом?

Процедура кластеризації вирішує подібність фінансових активів, характеризуемых значеннями багатьох параметрів, з урахуванням формальних математичних критеріїв. Це дозволяє замінити тривалий і трудомісткий процес вивчення і порівняння активів швидшим обчислювальним алгоритмом. З іншого боку, будучи засобом аналізу багатомірних даних, кластеризація дає можливість окреслити активи з близькими значеннями всіх параметров.

1. Поняття кластерного анализа.

При аналізі та прогнозуванні соціально-економічних явищ дослідник частенько стикається з багатомірністю їхні описи. Це відбувається за виконанні завдання сегментування ринку, побудові типології країн з досить великому числу показників, прогнозування кон’юнктури ринку окремих товарів, вивченні і прогнозуванні економічної депресії і багатьох інших проблем.

Перше застосування кластерний аналіз знайшов у соціології. Назва кластерний аналіз походить від англійського слова cluster — гроно, скупчення. Вперше у 1939 було визначено предмет кластерного аналізу та зроблено його опис дослідником Трионом. Головне призначення кластерного аналізу — розбивка безлічі досліджуваних об'єктів і ознак на однорідні у відповідній розумінні групи чи кластери. Це означає, що вирішується завдання класифікації даних, і виявлення відповідної структури у ній. Методи кластерного аналізу можна використовувати в різних випадках, навіть у тому випадку, коли йдеться про простий угрупованню, коли всі зводиться до утворення груп по кількісному сходству.

Велике гідність кластерного аналізу, у тому, що вона дозволяє виробляти розбивка об'єктів за одному параметру, а, по цілому набору ознак. З іншого боку, кластерний аналіз на відміну більшості математико-статистичних методів не накладає ніяких обмежень на цей вид аналізованих об'єктів, і дозволяє розглядати безліч вихідних даних практично довільній природи. Це має значення, наприклад, для прогнозування кон’юнктури, коли показники мають різноманітний вид, що ускладнює застосування традиційних економетричних подходов.

Кластерний аналіз дозволяє розглядати досить великий обсяг інформації та різко скорочувати, стискати великі масиви соціальноекономічної інформації, робити їх компактними і наглядными.

Важливе значення кластерний аналіз має стосовно совокупностям часових рядів, які характеризують економічну розвиток (наприклад, общехозяйственной і товарної кон’юнктури). Тут можна виділяти періоди, коли значення відповідних показників були досить близькими, а також визначати групи часових рядів, динаміка найбільш схожа.

Кластерний аналіз можна використовувати циклічно. І тут дослідження виробляється до того часу, коли будуть досягнуто необхідні результати. У цьому кожен цикл тут здатна родити інформацію, яка здатна сильно змінити спрямованість і подальшого застосування кластерного аналізу. Цей процес відбувається можна системою із другого связью.

У завданнях соціально-економічного прогнозування дуже перспективне поєднання кластерного аналізу коїться з іншими кількісними методами (наприклад, з регрессионным анализом).

Як людина інший метод, кластерний аналіз має певні вади суспільства і обмеження: Зокрема, склад і кількість кластерів залежить від выбираемых критеріїв розбивки. При зведенні вихідного масиву даних до більш компактного виду можуть бути певні спотворення, а також можуть губитися індивідуальні риси окремих об'єктів з допомогою заміни їх характеристиками узагальнених значень параметрів кластера. При проведенні класифікації об'єктів ігнорується часто-густо можливість відсутності у аналізованої сукупності будь-яких значень кластеров.

У кластерному аналізі вважається, що: а) обрані характеристики допускають у принципі бажане розбивка на кластери; б) одиниця виміру (масштаб) обрані правильно.

Вибір масштабу грає великій ролі. Зазвичай, дані нормалізують відніманням середнього та розподілом на стандартне отклоненение, отже дисперсія виявляється рівної единице.

2. Кластерний аналіз в портфельному инвестировании.

Загальновідомо, зміна курсової вартості і дивідендів різних цінних паперів у Росії, а й в усьому світі залежить від створення низки внутрішніх та міжнародних чинників економічного і неекономічного характеру. Ці чинники може бути взаємопов'язані в різного рівня, а тенденції зміни їх динаміки здатні відрізнятися одне від друга в досить сильної ступеня. Отже, зміна вартості інвестиційного портфеля додаванням різних тенденцій з із високою імовірністю вистачає складною і практично непередбачуваною, якщо використовувати звичайний регресійний аналіз. Основні чинники впливу впливають різні цінних паперів лише з різною ефективністю, а найчастіше й у прямо протилежних напрямах. До прикладу, підвищення цін нафту може сприятливо зашкодити цінних паперах нафтових корпорацій, негативно позначившись на автомобілебудівному секторе.

У цьому світлі вищесказаного, перед інвесторами виникають такі проблемы:

1) Визначення з максимальною ступенем точності істотних чинників і на курс цінних бумаг;

2) Упорядкування научно-обоснованного прогнозу динаміки поведінки цих цінних паперів, виходячи з вивченні даних факторов;

3) Упорядкування з урахуванням отриманих даних про фондовий ринок оптимального інвестиційного портфеля, що дозволяє максимізувати прибуток від вкладень при заданої ступеня риска.

Малюнок 1.

Як теоретики, і практики, займаються оптимізацією портфеля цінних паперів, регулярно зіштовхуються з труднощами, коли їх виникає практично неминуча завдання розбивки безлічі існуючих цінних паперів різні групи з відносно однорідної структурою. Наріжним каменем проблеми є питання вибору й узгодження вибраних чинників те щоб їх дає уявлення в багатовимірної системі координат досить точно справляла розбивка на кластери, які характеризуються максимально схожими тенденціями. Заодно слід враховувати, що коли ще й вдалося підібрати точні коефіцієнти для існуючих кількісних чинників, завжди, знайдуться щонайменше важливі якісні показники, висловити які у кількісної формі практично неможливо. У зв’язку з цим прийнято групування цінних паперів з урахуванням існуючих індустріальних та інші класифікацій, і навіть йдучи від апріорній дохідності (ex ante).

Розбивка безлічі цінних паперів деякі кластери залежно від динаміки дохідності здійснюється так: дані про дохідності цінних паперів протягом бази прогнозу компонуються у загальну матрицю вида:

[pic] (1).

де Rkm — доходність за k-й цінної папері за m-й период,.

[pic].

Далі, розбивка на кластери відбувається після обчислення евклидова відстані між цінними паперами p і q по формуле.

[pic] (2).

де m — номер періоду, (Rm — среднеквадратическое відхилення дохідності у період m.

Критична величина розбивки передбачається рівної квадратному корені з кількості періодів T, тобто середньої величині евклидового расстояния:

[pic] (3).

Перевага даної методики полягає, по-перше, у цьому, що вона дозволяє собі з вкрай високим рівнем точності групувати цінних паперів зі подібними тенденціями у зміні дохідності протягом усього періоду, визначального базу прогнозу, що дає підстави розраховувати зберегти як і тенденції й у дальнейшем.

Другим її перевагою є можливість повної автоматизації, що значно полегшує роботу, дозволяючи використовувати сучасні обчислювальні кошти, і навіть обробляти однорідну інформацію, отримувану з електронних баз даних. Тому може бути без особливих труднощів впроваджена у комп’ютерних системах окремих фірм, котрі займаються інвестуванням, але й на відповідних ресурсах мережі Интернет.

Мабуть, найгострішою проблемою, виникає фахівцям по факторному аналізу, є добір чітких і ясних критеріїв, дозволяють відсіяти малозначні чинники, що б розмірність моделі без збільшення її точності, і навіть вірно знайти вагу інших чинників. Доказом важливості цього питання, і навіть відсутності однозначно оптимальних рішень, є достаток різноманітних критеріїв відбору значимих компонент. Досить назвати такі методи, як розрахунок варимакс-критерия, n-критерий, відбір з допомогою t-критерия Стьюдента і т.п.

Вочевидь, що вводити в модель черговий чинник доцільно лише у тому випадку, якщо у достатньо знижує рівень ентропії, а отже, збільшує значення R-квадрат. Як чисельно висловити приріст даної величини залежно кількості впроваджуються чинників? Розглянемо цієї проблеми у світі коефіцієнтів послідовної детерминации.

Нехай є N чинників X1… XN, може бути які впливають дохідність інвестиційного портфеля. При введення в рівняння регресії чинника Xi показник R-квадрат приймає деяке певне значення. Виберемо чинник, у якому він буде наибольшим:

[pic] (4).

де P12 — коефіцієнт послідовної детермінації для даного чинника, ryx1 — парний коефіцієнт кореляції між дохідністю і вже цим фактором.

Тепер вводять у отримане рівняння регресії другий чинник таким чином, щоб значення R-квадрат знову виявилося максимально можливим, і потім розраховуємо другий коефіцієнт послідовної детерминации:

[pic] (5).

Так розраховуємо такі коэффициенты:

[pic] і т.д.

Базовий відбір чинників триває до того часу, поки величина одержуваних коефіцієнтів послідовної детермінації стане менше деякого критичної позначки. З огляду на, що у механізм розрахунку скоригованої величини R-квадрат входить поправка на зростання ентропії при введення нових чинників, її приріст з кожної ітерації алгоритму може бути позитивним і, отже, критичне значення p має перевищувати нуля.

Він дозволяє відібрати із усіх наявних чинників саме ті, які мають найбільший вплив на дохідність аналізованих цінних паперів. Це дозволяє істотно понизити розмірність моделі, створюваної з урахуванням методики, прискорити обчислення і навіть відкинути дані, не мають великого впливу цікаві для нас показники. Зазвичай, від виявлених головних компонент залежить щонайменше 85% загальної дисперсії, що вкотре показує ефективність обраного методу анализа.

Тепер, коли визначено методи відбору факторів, і технологія розбивки безлічі цінних паперів деякі кластери, можна приступати безпосередньо побудувати методики оптимізації інвестиційного портфеля. З огляду на, що на даний час впровадження будь-якій економічній методики немислимо без автоматизації, існує алгоритм, за яким слід виробляти операції щоб одержати бажаного результату: оптимизированного набору цінних паперів, дозволяють забезпечити максимальну прибуток при заданому рівні риска.

У першому етапі визначаються вихідні масиви даних, які підлягають математичної обработке.

На початку є такими вихідними даними: S1, S2, …, SN — аналізованих безліч цінних бумаг;

[pic] (6).

матриця дохідності цінних паперів S1-SN за періоди [0; T], де Rij — доходність за цінної папері і за j-й период;

[pic] (7).

матриця чинників X1-XK за періоди [0; T], де Xij — значення чинника Xi за j-й период;

(п — оцінка ризику гаданого портфеля цінних бумаг.

Тепер потрібно визначити частки m1, …, mN наявних у інвестиційному портфелі цінних паперів з єдиною метою максимізації дохідності в наступному періоді при заданому рівні риска:

[pic] (8).

де рівень дохідності Ri обчислюється як ставлення очікуваного звітний період вартості цінних паперів Si до курсової вартістю момент формування портфеля з відрахуванням единицы.

Так, дохідність протягом місяця в останній момент часу t=1 обчислюється наступним образом:

[pic] (9).

Що стосується, коли інвестор немає можливостей продавати цінних паперів без покриття, вводиться додаткову умову: my>0, де y — номер відповідної цінної бумаги.

3. Алгоритм оптимізації портфеля із застосуванням кластерного анализа.

Запропонований алгоритм можна умовно розбити чотирма основні стадии:

1) Розбивка безлічі цінних паперів деякі кластеры;

2) Визначення чинників, які впливають дохідність складових кожного кластера. Розрахунок факторних терезів. Побудова рівняння регрессии;

3) Прогнозування динаміки вибраних факторов;

4) Обчислення очікуваної дохідності і рівня ризику кожної цінної бумаги;

5) Визначення оптимального набору цінних паперів та його часткового ваги в інвестиційному портфелі задля забезпечення максимізації доходности.

Нині можна розглянути ці стадії подробнее:

1. Розбивка безлічі цінних паперів деякі кластеры.

Ця стадія починається з формування таблиці эвклидовых відстаней між наявними цінними бумагами:

Таблиця 1 — Таблиця эвклидовых відстаней |S2 | |- |r2,j |r2,N | |…Si… | | |ri, j |ri, N | |SN | | | |- |.

Відстані обчислюються по формуле.

[pic] (10).

Дві цінних паперів з найменшою відстанню об'єднують у кластер, дохідність якого обчислюється як середня арифметична доходностей цих цінних паперів, після чого процедура розрахунку повторюється. Процес об'єднання в кластери припиняється, коли мінімальне відстань між групами перевищить критичне значение:

[pic] (11).

Через війну описаної процедури, замість випадкового безлічі цінних паперів, ми маємо набір упорядкованих кластерів, об'єднаних з урахуванням загальних тенденцій у поступовій динаміці дохідності. У цьому досягаються відразу дві важливі мети: по-перше, значно скорочується кількість змінних, що в помітної ступеня спрощує обчислення, а по-друге, зменшується частка впливу випадкових чинників, які у окремі моменти корелювати з дохідністю окремих цінних паперів. У межах кластера за рахунок виробленої диверсифікації ймовірність випадкових збігів зменшується в багато разів, що дозволяє значно більше ясно встановити фактори, реально які впливають на доходность.

2. Визначення чинників, які впливають дохідність складових кожного кластера. Розрахунок факторних терезів. Побудова рівняння регрессии.

А, щоб вирахувати величину впливу кожного чинника на відповідний кластер цінних паперів, уявімо доходність за кластерам в наступному виде:

[pic] (12).

де Fi — коефіцієнт чинника Xi в рівнянні множинної регрессии,.

Et — помилка під час часу t. У цьому величина T повинна значительно.

(щонайменше ніж у п’ять разів) перевищувати кількість чинників k.

Значимі чинники відбираються з допомогою описаного вище методу з застосуванням коефіцієнтів послідовної детермінації. Чинники відбираються послідовно, а вибір визначається шляхом максимізації коэффициента.

[pic] (13).

Процес додавання чинників триває до того часу, поки максимальний скоригований коефіцієнт послідовної детермінації бракуватиме негативною величиною. Для будь-якого обраного кількості чинників коефіцієнти F1, F2,…, Fk розраховуються в такий спосіб, щоб мінімізувати суму квадратів помилок регресії у період бази прогноза:

[pic] (14).

Цією мети можна досягти шляхом математичних перетворень матриці факторних терезів. Нині існує низка програмних пакетів, які дозволяють виробляти дані розрахунки дуже швидко і поза короткий час. дослідження, проведене Е. А. Дорофеевым у роботі «Вплив коливань економічних чинників на динаміку російського ринку », виявило значну залежність курсів акцій вітчизняних компаній від величини ВВП і індексу CPI.

3. Прогнозування динаміки вибраних факторов.

Результатом вищевказаних обчислень є отримання формул множинної регресії кожному за кластера, з допомогою яких, спираючись на статистичні даних про динаміці чинників, можна було одержати прогноз розвитку дохідності кластерів наступний період, і оцінити величину існуючого ризику. Перевага прогнозування чинників проти прогнозуванням курсів окремих цінних паперів полягає у наявності значно великої кількості авторитетних досліджень з руху макроекономічних чинників, і навіть статистичних зведень органів державного регулирования.

Четвертий етап буде присвячено переходу вивчення загальних кластерных тенденцій розрахуватися індивідуальних рівнянь регресії кожної з наявних цінних бумаг.

4. Обчислення очікуваної дохідності і рівня ризику кожної цінної бумаги.

У багатьох моделей, які спираються CAPM, для цінних паперів розраховується бета-коэффициент, який відбиває взаємозв'язок між динамікою дохідності досліджуваної цінних паперів і існуючими ринковими тенденціями. Проста лінійна регресія стосовно ринкової динаміці може бути занадто неточною, бо дозволяє враховувати специфічні чинники, які надають дану цінний папір вплив вагомішими, ніж фондовий ринок загалом. Тож докладнішого вивчення вдаються до більш ефективним засобам, зокрема: до факторному аналізу. Без зіставлення з тенденціями великий ризик посилення впливу випадкових чинників. Отже, щоб одержати достовірного результату методика аналізу ринку цінних паперів повинна поєднувати обидва вищеописаних подхода.

Досить високою ефективністю прогнозування, джерело якої в використанні бета-коэффициента показує, що окремими цінними паперами і станом ринку загалом спостерігається істотна залежність, що можна використовуватиме проведення оцінки майбутньої дохідності. У цьому кореляція дохідності цінних паперів з середньої дохідністю із кластера значно вища, ніж із ринком загалом. Тож у даної методики бета-коэффициент кожної окремої цінних паперів розраховується, спираючись на не ринковий індекс, а щодо кластера:

[pic] (15).

де ric — коефіцієнт кореляції між дохідністю цінних паперів і середній дохідністю кластера, до якого вона принадлежит,.

(і і (з — відповідно до їхніх среднеквадратические отклонения.

Після розрахунку бета-коэффициента дохідність кожної із них цінних паперів можна буде потрапити висловити з допомогою наступного рівняння регрессии:

[pic] (16).

а очікувана наступного періоді дохідність буде равна.

[pic] (17).

У цьому коефіцієнт невизначеності кожної цінних паперів равняется.

[pic] (18).

а величина ризику ;

[pic] (19).

5.Определение оптимального набору цінних паперів та його часткового вагам в інвестиційному портфелі для максимізації доходности.

Після всіх проведених перетворень отримана кожної цінної папери величину очікуваної дохідності й оцінку наявного ризику. Тепер завдання зводиться до того що, щоб визначити пайовий вагу цих цінних паперів в інвестиційному портфелі із єдиною метою максимізації прибутку при заданому рівні ризику (п.

Як відомо, безліч ефективних портфелів розміщено на так званої ефективної кордоні, не нижче точки мінімізації ризику. Отже, у разі визначеності щодо бажаного рівня ризику оптимальна точка для заданого набору цінних паперів то, можливо визначено однозначно:

Базуючись на даних, отриманих на трьох попередніх етапах, вихідні формули виглядають наступним образом:

[pic].

[pic].

Як зазначалося, у разі потреби додається умова неотрицательности часткою mi.

Отримана завдання легко вирішується як за допомогою стандартно використовуваних обчислювальних методів, і більшістю математичних і економічних програмних пакетів (MathCAD, SAS, Solver for MS Excel і т.д.).

4. Кластеризація «блакитних фішок» російського фондового рынка.

У розділі проведено аналіз наявності кластерів найліквідніших акцій російського ринку. Результати кластеризації відбиті малюнку 2.

Т.к. даний аналіз побудований на кореляції змінних, ми бачимо, що найближчі одна одній перемінні це РАТ ЄЕС (EESR), Мосенерго (MSNG), Сургутнафтогаз (SNGS), Газпром (GSPBEX) і Татнафта (TATN). Тобто протягом більш ніж один рік, котирування даних акцій кореллировали друг з одним, причому дуже. З огляду на, що це відбувалося у минулому, швидше за все так буде й у будущем.

Наступний кластер — Сибнафта (SIBN) і Ростелеком (RTKM).Также дуже залежні друг від друга.

[pic].

Малюнок 2.

Інші два кластера мають великий відстань Евклідовому просторі, тобто. котирування цих акцій не корелюють між собой.

Для оцінки надійності даних висловлювань використовуємо метод корелляции Спирмена непараметричної статистики.

Таблица 2 — Наскільки надійний перший кластер.

|Сравниваемые емітенти |Коефіцієнт корелляции |Рівень значимості | | |Спирмена R |p-level | |EESR & GSPBEX |0,806 077 |0,0 | |EESR & TATN |0,785 205 |0,0 | |EESR & MSNG |0,943 979 |0,0 | |EESR & SNGS |0,903 574 |0,0 | |SNGS & EESR |0,903 574 |0,0 | |SNGS & MSNG |0,863 814 |0,0 | |TATN & GSPBEX |0,779 617 |0,0 | |TATN & MSNG |0,753 098 |0,0 | |TATN & SNGS |0,874 308 |0,0 |.

Корелляция досить сильна, з уровенм значимості менш 0.05. Висновок: Кластер надежен Таблица 2 — Наскільки надійний другий кластер (Сибнафта і Ростелеком).

|Сравниваемые емітенти |Коефіцієнт корелляции |Рівень значимості | | |Спирмена R |p-level | |RTKM & SIBN |0,946 897 |0,00 |.

Висновок: Кластер надійний, корелляция досить висока, з рівнем значимості менш 0.05 Отже, при оптимізації структури портфеля, можна поєднати акції в окремі кластери, що з велику кількість активів істотно спрощує расчеты.

Заключение

.

Кластерний аналіз включає у собі набір різних алгоритмів класифікації. Загальний питання, задаваемый дослідниками у багатьох областях, у тому, як організувати спостережувані дані в наочні структури. У загальному, щоразу, коли необхідно класифікувати «гори «інформації до придатним подальшого опрацювання групам, кластерний аналіз виявляється дуже корисний і ефективнішим. Кластерний аналіз необхідний класифікації інформації, з його за допомогою можна належним чином структурувати перемінні і навіть довідатися, які перемінні об'єднують у першу чергу, а які слід розглядати отдельно.

Велике гідність кластерного аналізу, у тому, що вона дозволяє виробляти розбивка об'єктів за одному параметру, а, по цілому набору ознак. З іншого боку, кластерний аналіз на відміну більшості математико-статистичних методів не накладає ніяких обмежень на цей вид аналізованих об'єктів, і дозволяє розглядати безліч вихідних даних практично довільній природи. Це має значення, наприклад, для прогнозування кон’юнктури, коли показники мають різноманітний вид, що ускладнює застосування традиційних економетричних подходов.

Як людина інший метод, кластерний аналіз має певні вади суспільства і обмеження: Зокрема, склад парламенту й кількість кластерів залежить від выбираемых критеріїв розбивки. При зведенні вихідного масиву даних до більш компактного виду можуть бути певні спотворення, а також можуть губитися індивідуальні риси окремих об'єктів з допомогою заміни їх характеристиками узагальнених значень параметрів кластера. При проведенні класифікації об'єктів ігнорується часто-густо можливість відсутності у аналізованої сукупності будь-яких значень кластерів. Спочатку невідомо число кластерів, яким необхідно розбити вихідну сукупність елементів, і візуальні спостереження багатомірному разі просто більше не призводять до успеху.

Описана методика дозволяє оптимально вирішити відразу дві найважливіші проблеми: розбивка безлічі цінних паперів деякі однорідні групи, і навіть виявлення чинників впливу довкілля, які впливають дані групи з наступним перебуванням факторних терезів. Це дозволяє уникнути штучної дискретності, виникає при жорсткому виборі чинників зовнішньої середовища проживання і сортування компаній лише з галузям (наприклад, з використанням сектор-факторов).

Технологія портфельной оптимізації дозволяє формувати інвестиційний портфель з урахуванням обраного інвестором ступеня ризику і прогнозів зміни макроекономічних чинників, виконаних експертами інвестиційній компанії чи державними органами регулювання економіки. Не менший практичний інтерес представляє порівняння наявного інвестиційного портфеля з еталонним портфелем у межах вибраних чинників, що дає змоги виявити і оцінити переваги та недоліки досліджуваного набору цінних паперів, маючи у своїй кількісні критерии.

1. Шарп У., Александер Р., Бейлі Дж. Інвестиції: Пер. з анг. — М.:

ИНФРА-М, 2001. — XII, 1028 с.

2. Севриновский В. Д. Методика формування інвестиційного портфеля з допомогою факторного і кластерного анализа.

3. Никифорова М. С. Кластерний аналіз в завданнях соціальноекономічного прогнозирования.

———————————;

Загальний портфель.

Портфель.

облигаций.

Портфель.

акций.

Портфель кр/ср

облигаций.

Портфель ср/ср

облигаций.

Портфель д/ср

облигаций.

Кластер 2.

Кластер 3.

Кластер 1.