Порядок і хаос

Порядок і хаос

Григорий Мучник

Упорядоченность і хаос… Дві крайності, спостережувані у світі. Чітка, підпорядковується певному порядку зміна подій у навколишньому просторі та у часі - рух планет, Земля обертається, поява комети Галлея на обрії, розмірений стукіт маятника, поїзда, які йдуть за розкладу. І, з іншого боку, хаотичне метання кульки в рулетці, броунівський рух частки під випадковими ударами «сусідів», безладні вихори турбулентності, які утворюються при перебігу рідини з досить великий скоростью.

До недавнього часу для будь-якій галузі техніки, нічого для будь-якого виробництва характерне прагнення організовувати роботу всіх апаратів і пристроїв в усталеному статичному режимі. Порядок, рівновагу, стійкість завжди вважалися хіба що головними технічними достоїнствами. Хіба не побоюватися зовнішнього безладдя, невизначеності, хиткості, неминучих енергетичних втрат — цих обов’язкових супутників неравновесности? Мабуть, у техніці сміливіше всіх виявилися будівельники, які зуміли подолати цей психологічний бар'єр і стали закладати у конструкції веж, висотних будинків, мостів елемент невизначеності - можливість здійснювати коливання. Невпорядковані процеси можуть приводити і до катастроф. Наприклад, при неправильному виборі профілю крил чи хвостового оперення літаків у польоті може виникнути грізне явище — флаттер — поєднання крутильних і изгибных неупорядкованих коливань. При досягненні певної швидкості польоту флаттер призводить до руйнації всієї конструкції, — свого часу це явище виявилося, мабуть, найсерйознішим перешкодою по дорозі розвитку реактивної авіації. Згодом академік М. В. Келдыш розробив теорію нестійких коливань та фізичні методи боротьби із нею, і лише його роботи дозволили справитися з флаттером шляхом затормаживания — демпфирования — коливань. Завдяки такому демпфированию конструкції літаків ставали стійкими навіть у складних нестаціонарних умовах, притаманних аеродинаміки. Цікаво, що з монографій Келдиша, видана 1945 року, називається «Вібрація переднього колеса триколісного шасі». Вібрація — це американська різновид фокстроту, за законами якого і «танцює» колесо. Вібрація колеса літакових шасі при злетів і посадках теж зумовлювало самозбудним нерегулярним коливань і через це — до руйнації літаків. За підсумками теорії Келдиша цей дефект був усунутий. Так фундаментальна наука в вкотре продемонструвала свою практичну полезность.

В реальної природі протікає безліч хаотичних процесів, але впевнено ми не сприймаємо їх як хаос, і спостережуваний світ здається нам цілком стабільним. Наше свідомість, як правило, інтегрує, узагальнює інформацію, сприйняту органами почуттів, і тому ми бачимо дрібних «тремтінь» — флуктуацій — у навколишній нас природі. Літак надійно тримається в повітряних турбулентных вихрах, і було вони неупорядочено пульсують, піднімальну силу літака можна розрахувати з точністю за кілька кілограмів як деяку середню величину. З далекого космосу на Землю приходять сигнали від супутників і космічних об'єктів, і з гігантського моря хаотичних перешкод вдається «виловити» важливу інформацію. Власне, вся радіофізика будується на «розбракуванні» з певних статистичним закономірностям корисних даних, і шкідливих «шумов».

Как пов’язані між собою впорядковані і хаотичні явища як і сформулювати (змістовно і математично суворо) правила, які описували б безперервний перехід від суворих чинних закономірностей до хаосу випадкового, і наоборот?

Классический приклад такої двоїстого поведінки однієї й тієї ж об'єкта, єдиної фізичної системи — це політична течія рідини (див. рис.1).

.

Рис. 1.

Так виникає турбулентність. Циліндр обтекается потоком рідини, наприклад, рухається у ній. Обтікання Зручно характеризувати «числом Рейнольдса» Re, яке пропорційно швидкості течії і радіусу циліндра. При малих числах Рейнольдса рідина плавно обтікає що у ній тіло, та був, принаймні того як швидкість течії зростає, в рідини утворюються вихори. Що швидкість натекающего потоку (більше число Рейнольдса), тим більше коштів утворюється вихорів й тим важче, заплутаніше стають траєкторії частинок рідини. При розвиненою турбулентності швидкість потоку позаду тіла пульсує непередбачуваним образом.

Наблюдая рухомий потік води за умов, коли ми можемо регулювати його швидкість, наприклад, у руслі греблі або за русі глісера, ми можемо вловити поступовий перехід від стійкого рівного — ламинарного — течії до нерівному, пульсуючому, вихревому — турбулентному. При малих швидкостях рідина тече розмірено й поволі, кажуть, стаціонарно. Коли саму швидкість течії зростає, серед починають утворюватися вихори, а й у стадії картина залишається стаціонарної. В міру зростання швидкості вихори дедалі більше захоплюються потоком, і виникає нестационарное протягом. Вода несподівано закручується в вирах і взагалі поводиться, немовби власної примхи впадає то туди, то сюди. Великі вихори породжують непередбачувана, неупорядковане стан, і, нарешті, структура потоку стає повністю турбулентной — хаотической.

Чем ж пояснити настільки сильне різницю між ламинарным і турбулентним течіями, в ніж тут загадка? На жаль, попри безперервні зусилля великого числа дослідників різних країн, нікому ще вдалося ні описати бурхливе, неупорядковане (такий переклад латинського слова turbulentus) турбулентне протягом, ні знайти аналітично, тобто із допомогою формул, умови початку нього від ламинарного (латинське lamina означає «платівка», «полоска»).

Но тоді виникає природне запитання: чому такі важко описати хаотичне турбулентне поведінка рідини математично? Річ у тім, деякі фізичні системи (насправді більшість їх) виявляються дуже «чуйними» — вони бурхливо реагують навіть у слабкі впливу. Такі системи називаються думок нелінійних, бо їх відгук непропорційний силі «возмущающего» впливу, а вони часто й взагалі непередбачуваний. Наприклад, якщо трохи підштовхнути камінь, що лежить на вершині скелі, він покотиться вниз по невідомої заздалегідь траєкторії, і ефект від участі падіння каменю то, можливо набагато більше, ніж те вплив, якому він піддався. Інакше кажучи, слабкі обурення його зі стану не загасають, а різко посилюються. Щоправда, камінь чутливий до слабким впливам, лише він у вершині скелі, проте існують фізичні системи, які так ж бурхливо реагують на зовнішні обурення протягом багато часу. Саме через такі системи та виявляються хаотическими.

Так і за турбулентності - маленькі вихри-возмущения, безупинно що у рідини, не розсмоктуються (як із ламинарном перебігу), а постійно наростають, доки всі рух води не придбає складний, заплутаний характер. Відповідно й опис цього руху надзвичайно складно: у турбулентного потоку занадто багато «ступенів свободы».

Как показує приклад турбулентності, поведінка нелінійної системи важко передбачити — вона «відгукується» на обурення свого майна дуже складно способом мислення й, як правило, неоднозначно. Тому, щоб досліджувати нелинейные процеси, зазвичай доводиться використовувати так званий «принцип линеаризации», тобто зводити нелінійну систему із властивою їй неоднозначним відгуком до лінійної, яка характеризується цілком «надійним» передбачуваним поведінкою. Фактично, це — кардинальне спрощення і тим самим загрубление суті явления.

Но на наших очах технічний прогрес супроводжується появою дедалі об'ємніших систем, наприклад, енергетики, і те, як гарантувати стійкість його роботи, повне відсутність непередбачуваних збоїв, стає дедалі важливою завданням. Сьогодні знадобилися нові підходи, принципово новий погляд на цю проблему аналізу нелінійних процесів, що призводять до непрогнозованого поведінці, до «хаосу». І хоча сутність порядку й хаосу досі не сформульована, останніми роками з’явилася надія дати раду дії механізмів непередбачуваності, включаючи переходи «порядок — хаос» або «хаос — порядок» (такі переходи та його двунаправленность позначають П? Х).

Этому сприяли передусім два чинника: по-перше, інтенсивне використання сучасних обчислювальних засобів і, по-друге, розвиток математичного апарату, який залишався раніше тільки у межах «чистої теорії». Потужні комп’ютери дали рішення нелінійних рівнянь як ефектних графічних образів — траєкторій еволюції динамічної системы.

Основы математичного апарату, підходящого для описи «хаосу», було закладено ще наприкінці ХІХ століття, а отримали значне поширення лише час. Цьому сильно сприяла вітчизняна математична школа академіка А. Н. Колмогорова від імені члена-кореспондента АНСССР В. И. Арнольда і професори Я. Г. Синая. У сфері прикладних досліджень велика заслуга належить школам академіка А.В.Гапонова-Грехова і члена-кореспондента АНСССР А. С. Монина. У цей час формується новий дуже універсальний підхід до аналізу нелінійних систем, заснований на класичних результатах математиків і физиков.

Сначала про порядке

Порядок в фізичної, екологічної, економічної будь-який інший системі то, можливо двох видів: рівноважний і неравновесный. При равновесном порядку, коли система перебуває у рівновазі зі своїми оточенням, параметри, що її характеризують, однакові з тими, які характеризують довкілля; при нерівноважному порядку вони різні. Що зазвичай розуміється під такими параметрами?

В фізиці самий головний їх — температура: ніяке рівновагу неможливо, якщо всередині аналізованої нами системи температура не така, як в оточення. У цьому відразу виникають теплові потоки, починається перетікання тепла від гарячих тіл до холодним, що буде тривати до того часу, поки температура не встановиться на єдиному всім тіл — як у системі, і її оточенні - рівні. Так, виключений електричний праску швидко набуває температуру кімнати — «довкілля»: останнім — системою — і оточенням встановлюється рівновагу. Інше важливе параметр, що характеризує фізичну систему, — тиск. При равновесном порядку тиск всередині системи має бути одно тиску її у із боку оточення. Економічні і соціальні системи теж описуються узагальнюючими параметрами, які за рівновазі приймають фіксовані значения.

На перший погляд рівноважний більш «стабільний», ніж неравновесный. У самій природі рівноважного порядку закладено протидія будь-яким збурюванням стану системи (таке «упертість» в термодинаміці називається принципом Ле-Шателье).

Способность повертатися до вихідному стану — неодмінна властивість про саморегулюючих систем. І хоча «саморегулювання» — термін порівняно недавній, виник він, сутнісно, разом із кібернетикою, саморегульовані процеси зустрічаються у природі часто-густо. Мабуть, самий разючий приклад такої процесу — природний ядерний реактор, що працював приблизно півмільйона років (і, зауважте, безупинно на ремонт).

В 1972 року на урановому родовищі Окло в африканської республіці Габон було проведено ізотопний аналіз руд. Це була радше формальність, «рутина», ніж серйозне наукове дослідження. Але раптом всім результати виявилися незвичними: концентрація ізотопу уран-235 виявилася набагато нижчі природною — часом збіднення («вигоряння») урану досягало 50 відсотків. У той водночас дослідники виявили величезний надлишок таких ізотопів (неодима, рутенію, ксенону та інших), які часто виникають при реакції розподілу урану-235. Феномен Окло породив безліч гіпотез, і з найпростіших серед них (і тому найбільш правдоподібна) призводить до фантастичного перший погляд висновку: близько два мільярди років тому в Окло пустили атомний реактор, пропрацював приблизно п’ятсот тисячоліть. Прибульці? Зовсім не обязательно.

Для роботи реактора потрібен уповільнювач нейтронів, наприклад, вода. Воно цілком могло випадково зібратися в родовищах із високим концентрацією урану-235 і запустити ядерний казан. До того ж почалося саморегулювання: зі збільшенням потужності реактора виділялося багато тепла і піднімалася температура. Вода випаровувалася, замедляющий нейтрони шар ставав тонше, і потужність реактора падала. Тоді вода скапливалась знову, та циклу регулювання повторялся.

Природа неравновесного порядку інша. Цей вид порядку — штучного походження і ми згадували, є тільки за умови подачі енергії (чи живильним маси) ззовні. Справді, адже неравновесность — неоднаковість параметрів системи та середовища — викликає потоки тепла та величезною масою. Тож підтримки порядку потрібно компенсувати втрати, які викликають необоротні «выравнивающие» потоки. Інакше кажучи, потрібні енергетичні витрати. Якщо підживлення енергією припинити, то система «звалиться» до стану рівноважного порядку. Втрати, пов’язані з перетіканням тепла чи маси, називаються диссипативными, оскільки з їхньою фізична сутність — розсіювання енергії, кажуть, її диссипация. Складається парадоксальна ситуація: в умовах диссипации, традиційно яку вважають прояв розпаду структур, їх нестійкості, виникає порядок! (див. статтю «Всюдисущі неустойчивости»).

Мы рідко задумуємося про тим, що людський організм існує у стані неравновесного порядку, коли енергетичні втрати компенсуються з допомогою енергії палива (їжі) і окислювача (повітря). Коли ж життєвий шлях організму закінчується, він перетворюється на стан повного рівноваги з довкіллям (рівноважний порядок).

Физика — наука кількісна, і, щоб отримати конкретний результат, потрібно вийти з загальних міркувань до рівнянням і математичним образам. Найбільш корисним з цих образів, з допомогою якого зобразити перебіг процесу, стан системи та рівень її організованості, виявилося зване фазове простір. Координатами у тому просторі служать різноманітним параметрам, що характеризують аналізовану систему. У механіці, наприклад, це стану та швидкості всіх точок, рух що їх розглядаємо, і у сучасної аналітичної механіці фазове простір, мабуть, основне понятие.

.

Рис. 2.

Фазовое простір — це, з одного боку, абстрактне математичне простір, координатами у якому служать стану та швидкості всіх точок фізичної системи, з другого боку, вона дуже зручне наочного висвітлення її еволюції. Наприклад, рух кульки на абсолютно пружною ґумці, де немає тертя, повністю визначається початковій швидкістю і становищем кульки (початковими умовами). Кожному миттєвому стану такого осциллятора — колебательной системи — відповідає точка на фазової площині. Коли кулька коливається угору й униз без тертя, цю крапку описує замкнуту криву, а якщо коливання помалу згасають, то фазовая траєкторія сходиться спіраллю до граничною точці, відповідної зупинці кульки. Ця точка нерухома: якщо кулька підштовхнути, його фазовая крива повернеться таку ж точку, яка нібито притягує все сусідні траєкторії. Тому його називають нерухомій яка притягувала точкою, чи фокусом. Така притягивающая точка — найпростіший тип аттрактора.

Что ж дає зображення процесів в фазовому просторі? І що: лише переглянувши «фазовий портрет» фізичної системи, ми можемо заявити, перебуває вона у стані рівноважного чи неравновесного порядку. Понад те, попри її різну фізичну сутність, ці дві виду порядку можна зобразити в одній і тієї ж діаграмі як чітких точок, ліній і постатей. Можна ще намалювати діаграму переходу із одного упорядкованого стану в другое.

А чи завжди геометричні образи на фазової діаграмі будуть чіткими? Виявляється, що існує клас явищ, протилежних порядку як у фізичної сутності, і характером зображення на фазової діаграмі. Їх образи розмиті, нечіткі, мають випадковий, чи, кажуть, стохастический характер. Явища, які породжують такі образи, називаються хаотическими.

Что таке «хаос»?

Когда у липні 1977 року Нью-Йорк раптово занурився в темряву, ніхто й гадки не мав, що причина катастрофи — перехід енергетичної системи міста з рівноважного стану в хаотичне, викликаний дисбалансом вироблення і споживання енергії. Несподівано з енергетичної системи міста випав великий споживач. Система автоматики і диспетчерська служба ще не встигли відключити еквівалентну цьому споживачеві, сутнісно, працюючу лише з нього, генерирующую станцію. Утворився розрив генерацією енергії і його споживанням, і цього енергетична система перейшла зі стану рівноваги в хаотичне. «Фазовий портрет» системи з одного частотою (США ця частота дорівнює 60Гц), яка підтримується з точністю, перетворився на портрет з великою числом частот — «розмився». Ситуація безупинно погіршувалася, оскільки система захисту споживачів випадкових, хаотичних «кидків» напруження і збою частоти початку послідовно відключати підприємства від джерел енергії. Це була найсправжнісінька катастрофа — розвал системи. Такі катастрофи досить поодинокі, проте вона практично щодня великих енергосистемах світу спостерігаються явища менш небезпечні, проте котрі доставляють чимало клопоту. У лініях передачі «гуляють» випадкові, хаотичні частоти, викликані змінами у режимі роботи устаткування й недосконалістю системам управління. Вони завдають економіці збитки не менший, ніж втрати на опір в лініях передачі - «джоулево тепло», яким витрачається близько 20 відсотків вироблюваної у світі электроэнергии.

Обычно під хаосом завжди розумілося неупорядковане, випадкове, непрогнозоване поведінка елементів системи. Багато років панувала теорія, що стверджувала, що статистичні закономірності визначаються лише числом ступенів свободи: вважали, що хаос — це відбиток складного поведінки великої кількості частинок, які, зіштовхуючись, створюють картину неупорядкованого поведінки. Найхарактерніший приклад такої картини — броунівський рух дрібних частинок у питній воді. Воно відбиває хаотичні теплові переміщення величезного числа молекул води, випадково ударяющих по плаваючим у питній воді частинкам, примушуючи їх до випадковим блуканням. Такий процес виявляється повністю непередбачуваним, недетерминированным, оскільки точно встановити послідовність змін — у напрямі руху частки неможливо — адже ми не знаємо, як рухаються все без винятку молекули води. Але чому це означає? І що: стає неможливим винести такі закономірності, які б точно прогнозувати кожне наступне зміна траєкторії частки за попереднім її стану. Інакше кажучи, вдасться надійно, достовірно зв’язати між собою причину та досудове слідство чи, за свідченням фахівців по математичної фізиці, формалізувати причинно-наслідкових зв’язків. Такий вид хаосу може бути недетерминированным (НХ). І все-таки деякі усереднені характеристики поведінки у стані недетерминированного хаосу знайшли. Використовуючи апарат статистичної фізики, вчені зуміли вивести формули, описують деякі узагальнені параметри броунівського руху, наприклад, відстань, пройдене часткою певний час (першим це завдання вирішив А. Эйнштейн).

Однако в останні роки увагу дослідників дедалі більше зосередилося на так званому детерминированном хаосі (ДХ-2). Цей вид хаосу породжується не випадковим поведінкою великої кількості елементів системи, а внутрішньої сутністю нелінійних процесів. (Саме такою хаосу й призвів до енергетичної катастрофи у Нью-Йорку.) Виявляється, що детермінований хаос — зовсім на рідкість: усього дві пружно зіштовхуваних більярдних кулі утворюють систему, складна поведінкова функція якої має статистичні закономірності, то є містить елементи «хаосу». Відштовхуючись друг від одного й від стінок більярдного столу, кулі розсіюються під різними кутами, і крізь деяку послідовність зіткнень їх можна як нестійку динамічну систему з непрогнозованим поведінкою. Аналітичні рішення нелінійних рівнянь, що описують поведінка таких систем, зазвичай, що неспроможні отримати. Тому дослідження з допомогою обчислювального експерименту: на ЕОМ крок по кроку отримують чисельні значення координат окремих точок траектории.

В фазовому просторі детермінований хаос відображається безупинної траєкторією, що розвивається у часі без самопересечения (інакше процес замкнулося в цикл) та поступово заполняющей деяку область фазового простору. Таким чином, будь-яку як завгодно малу зону фазового простору перетинає нескінченно дуже багато відрізків траєкторії. І це створює у кожному зоні випадкову ситуацію — хаос: І тоді дивовижно: попри детермінізм процесу — адже більярдні кулі повністю підпорядковуються класичної, «шкільної» механіці, — хід її траєкторії непередбачуваний. Інакше кажучи, ми в стані передбачити чи навіть грубо охарактеризувати поведінка системи на досить великому відрізку часу й насамперед оскільки принципово відсутні аналітичні решения.

Порядок на сковородке

Если налити на сковорідку тонкий шар який-небудь в’язкому рідини (наприклад, рослинного олії) і нагрівати сковорідку на вогні, підтримуючи температуру олійною поверхні постійної, то, при слабкому нагріванні - малих теплових потоках — рідина залишається спокійною й нерухомій. Це типова картина стану, близького до рівноважному порядку. Якщо зробити вогонь побільше, збільшуючи теплової потік, то кілька днів — геть несподівано — вся поверхню олії перетворюється: вона розбивається на правильні шестигранні чи циліндричні осередки. Структура на сковорідці стає дуже схожій бджолині стільники. Це чудова перетворення називається явищем Бенара, по імені французького дослідника, однією з перших вивчила конвективную нестійкість жидкости.

.

Рис. 3.

Конвективные осередки Бенара. У 1900 року було опубліковано докладну статтю французького дослідника Бенара із фотографією структури, з вигляду яке нагадувало бджолині стільники. При нагріванні знизу шару ртуті, налитою в плаский широкий посудину, весь шар несподівано розпадався на однакові вертикальні шестигранні призми, які згодом було названо осередками Бенара. У центральній частині кожної осередки рідина піднімається, а поблизу вертикальних граней опускається. Інакше кажучи, в посудині виникають спрямовані потоки, які порушують нагріту рідина (з температурою T1) вгору, а холодну (з температурою T2) опускають вниз.

Если і далі збільшувати теплової потік, то осередки руйнуються — відбувається перехід від порядку до хаосу (П?Х). Але особливо дивує у тому, що з ще більших теплових потоках спостерігається чергування переходов:

Х?П?Х?П!!!

При аналізі цього процесу у ролі параметра, що свідчить про, коли на сковорідці буде «порядок» і коли «хаос», тобто визначального «зону» порядку чи хаосу, вибирається так званий критерій Рэлея, пропорційний різниці температур вгору по прошарку олії. Цей параметр називають управляючим, оскільки вона «управляє» перекладом системи вже з стану до іншого. При критичних значеннях Рэлея (математики називають їх точками біфуркації) і спостерігаються переходи «порядок — хаос».

Нелинейные рівняння, якими описується освіту й руйнація структур Бенара, називаються рівняннями Лоренца. Вони пов’язують між собою координати фазового простору: швидкості потоків в шарі, температуру і управляючий параметр.

Процессы, які у посудині, може бути зафіксовано, наприклад, кінозйомкою і порівняно з результатами обчислювального експерименту. На рис. 4 показано саме таке зіставлення. Збіг результатів фізичного і обчислювального експериментів разюче! Але спочатку, ніж можливість перейти до аналізу цих результатів, доведеться вкотре звернутися до фазовому пространству.

.

Рис. 4а.

Переходы від порядку до хаосу з прикладу явища Бенара. Керуючим параметром, який ж виконує функцію «ручки регулювання», тут служить так званий критерій Рэлея (Re), пропорційний різниці температур вгору по прошарку рідини. «Обертання» цієї регулюючої ручки відповідає більшого чи меншому нагріванню рідини. При слабкому нагріванні (Re.