Експонентний зростання

Экспоненциальный рост

Если приріст чисельності популяції пропорційний кількості особин, чисельність популяції зростатиме экспоненциально.

Выражение «експонентний зростання» увійшло до нашого лексикону для позначення швидкого, як правило невтримного збільшення. Воно часто використовується, наприклад, в описах стрімкого зростання кількості міст або збільшення чисельності населення. Проте у математиці цей термін має точний зміст і позначає певний вид роста.

Экспоненциальный зростання має місце у тих популяціях, у яких приріст чисельності (число народжень мінус число смертей) пропорційний числу особин популяції. Для популяції людини, наприклад, коефіцієнт народжуваності приблизно пропорційний кількості репродуктивних пар, а коефіцієнт смертності приблизно пропорційний кількості людей популяції (позначимо його N). Тоді, в розумному приближении, прирост населення = число народжень — число смертей.

.

= rN.

(Здесь r — так званий коефіцієнт пропорційності, що дозволяє нам записати вираз пропорційності як уравнения.).

Пусть dN — число особин, добавившихся до популяції під час dt, тоді тоді як популяції загалом N особин, то умови для експоненційного зростання будуть задоволені, если.

dN = rN dt.

После того як і XVII столітті Ісаак Ньютон винайшов диференціальний літочислення, ми знаємо, як вирішувати це рівняння для N — чисельності популяції у будь-яку довільну заданий час. (Довідково: таке рівняння називається диференційним.) Ось його решение:

N = N0 ert.

где N0 — число особин в популяції початку відліку, а t — час, що минув від цього історичного моменту. Символ е позначає таке спеціальне число, воно називається підставу натурального логарифма (і близько одно 2,7), і весь права частина рівняння називається экспоненциальная функция.

Чтобы краще зрозуміти, що таке експонентний зростання, уявіть собі популяцію, що складається спочатку з однієї бактерії. Через певний час (через кілька годин чи хвилин) бактерія ділиться надвоє, цим подвоюючи розмір популяції. Через наступний проміжок часу кожна з цих двох бактерій знову розділиться надвоє, і величину популяції знову подвоїться — тепер вже чотири бактерії. Після десяти подвоєнь вже буде понад тисячу бактерій, після двадцяти — понад мільйон, тощо. Якщо з кожним розподілом популяція подвоюватиметься, її зростання триватиме до бесконечности.

Существует легенда (швидше за все, яка відповідає дійсності), нібито людина, який вигадав шахи, доставив цим таке задоволення своєму султанові, що той пообіцяв виконати будь-яку прохання. Людина попросив, щоб султан поклав на першу клітину шахівниці одне зерно пшениці, другу — два, на третю — чотири континенти і таке інше. Султан, вважаючи ця потреба незначним по порівнянню з наданою їм послугою, попросив свого поданого придумати іншу прохання, але він відмовився. Природно, до 64-му подвоєнню число зерен стало таким, що в усьому світі нема б потрібної кількості пшениці, щоб задовольнити це прохання. У тому версії легенди, відому мені, султан в народних обранців наказав відрубати голову винахіднику. Мораль, який у мене кажу моїм студентам, така: іноді годі було бути надто умным!

Пример з шахівницею (як і з уявлюваними бактеріями) показує нам, що ніяка популяція неспроможна зростати вічно. Адже рано чи пізно вона просто вичерпає ресурси — простір, енергію, воду, що догоджає. Тому популяції можуть зростати по експонентному закону лише певне час, і раніше чи пізно їх зростання яких повинне сповільнитися. Треба лише змінити рівняння те щоб при наближенні чисельності популяції до максимально можливої (яка може підтримуватися довкіллям) швидкість зростання сповільнювалася. Назвемо цю максимальну чисельність популяції K. Тоді видозмінене рівняння виглядатиме так:

dN = rN (1 — (N/K)) dt.

Когда N значно менше K, членом N/K можна знехтувати, і ми повертаємося до початкового рівнянню звичайного експоненційного зростання. Та коли N наближається до свого максимального значення K, значення 1 — (N/K) прагне нулю, відповідно котиться до нуля і приріст чисельності популяції. Загальна чисельність популяції у разі стабілізується і залишається лише на рівні K. Крива, описувана цим рівнянням, і навіть саме рівняння, мають кілька назв — S-кривая, логистическое рівняння, рівняння Вольтерра, рівняння Лотка—Вольтерра. (Віто Вольтерра (1860−1940) — видатний італійський математик і викладач; Альфред Лотка (1880−1949) — американський математик і страхової аналітик.) Хай вона називалася, це — досить просте вираз чисельності популяції, різко зростаючій експоненціально, та був замедляющейся з наближенням до якомусь межі. І вона значно краще відбиває зростання чисельності реальних популяцій, ніж звичайна экспоненциальная функция.

Список литературы

Для підготовки даної праці були використані матеріали із сайту internet.