Обобщенный принцип найменшого дії

Обобщенный принцип найменшого действия

канд. биол. наук М. П. Иванов, д-р техн. наук В. В. Кашинов ФНИИ им. А. А. Ухтомского, СПбГУ Введены континуально багатозначні функції, дозволяють адекватно описувати фізичні завдання. Показано їх на відміну від розривних функцій. Сформульована і вирішена вариационная мета функционалов з разрывным интегрантом, залежать від лінійних інтегральних операторів, діючих на потрібну оптимизируемую функцію, причому ядро оператора і оптимизируемая функція може бути континуально безперервними. З допомогою таких операторів можна адекватно описувати розподілені частицы.

Хорошо відомий у фізиці принцип найменшого дії [1] грунтується на класичному вариационном обчисленні, коли функціонал залежить від экстремали і його похідних, застосуємо лише нейтральних частинок. У замітці [2] показано, що з заряду прискорення запізнюється стосовно возмущающей силі з допомогою лоренцевых сил тертя, тобто. для заряду існує певна перехідна імпульсна характеристика, а рух заряду можна описати інтегральним оператором. Тож зарядів, коли можна зв’язати значення прискорення в момент багатозначно обурення той самий (або інший) момент, принцип найменшого дії незастосовуваний. Для завдань потрібно інший математичний апарат. Узагальнений принцип найменшого дії грунтується на методах узагальненого варіаційного обчислення. Розглянемо его.

1. Континуально багатозначні функции

В останнім часом негладкі, розривні і сингулярні функції стали привертати пильну увагу [3−5]. Побудовано приклад безупинно дифференцируемой розривної функції просторі D — нескінченно дифференцируемых фінітних функцій [4]. За позитивного рішення варіаційних завдань экстремалями іноді виявляються негладкі, т.зв. розривні чи сингулярні функції [3, 5]. Проте поняття разрывности функцій в точках розриву) який завжди відповідає фізичним і математичним об'єктах — безперервним кривим, що вони фактично описывают.

Рассмотрим криву — прямокутний імпульс (рис. 1), певний і безперервний на осі абсцис. Такі об'єкти можна як математично: наприклад, так можна розкладену на пласкою поверхні мотузку. Але якщо про пряму b говоримо, що вони існують, і пишемо при, то про точки x=0 і x=1 говориться, що мені функція терпить розрив першого роду, а прямих a і з нібито немає, хоча мотузка фізичних розривів не имеет.

.

Рис. 1. Безперервна крива — прямокутний импульс По-видимому, пояснюється це тим, що розгляду багатозначних функцій традиційно намагаються уникати. У нашому випадку точкам x=0 і x=1 відповідають замкнуті відтинки [0,1], паралельні осі ординат, тобто. одній точці на осі абсцис відповідає безліч точок на осі ординат, має потужність континууму. Виходить непросто багатозначності, а багатозначності потужності континуума.

Рассмотрим характерний приклад — першу введену у фізиці розривну функцію — функцію Хевисайда, визначене [6−8] як межа послідовностей безперервних функцій, мають все похідні. Тому графік граничною функції нібито має бути безперервним. Цьому суперечить визначення функції Хевисайда, дане, наприклад, в монографіях [6−8],.

(1.1).

Введем уточнену визначення функції включення, відповідне граничного переходу в еквівалентних послідовностях [6] безперервних функцій, має безперервний график,.

(1.2).

Если функцію включення (1.2) можна як безупинної мотузки, розкладеної на пласкою поверхні, то функція Хевисайда представляється тієї ж мотузкою, з якої вирізаний шматок (сегмент [0,1]) у точці x=0. Обидві функції мають рівні односторонні межі, але різні графіки при x=0 і які з цього свойства.

На перший погляд, визначення (1.2) незвичне, але вони він нове. Коли показують значення певного інтеграла від позитивної подынтегральной функції, то мають на увазі, що він «дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою графіком подынтегральной функції, віссю абсцис і прямими, паралельними осі ординат, побудованими на кінцях відрізка інтегрування «[8].

Поскольку певний інтеграл в кінцевих межах від a до b можна висловити з допомогою зсунутих функцій включення H (x) через інтеграл із безкінечними пределами.

(1.3).

то функції включення (1.2) таки описують «прямі, паралельні осі ординат », чого не скажеш функції Хевисайда (1.1).

Замечание. З формули (1.3) слід, що це интегрируемые функції фактично визначено на всієї осі абсцис, що дозволяє, володіючи методикою рішення розривних екстремальних завдань, наприклад, наведеної у монографії [5], легко вирішувати їх, коли екстремум не внутрішній, а досягається за українсько-словацьким кордоном замкнутого відрізка [a, b].

Используя визначення функції включення (1.2), функцію, зображену на мал.1, — прямокутний імпульс — можна записать:

.

Предложенное несуперечливе визначення безупинної функції включення дозволяє адекватно описувати безперервні криві в точках математичної разрывности. Сам термін «розривна функція «обраний кілька невдало. Фактично журнал ми маємо працювати з безперервними функціями, з багатозначністю потужності континууму. Справді розривними є функції типу функції Хевисайда (1.1), але фактично, коли говориться про «розривних функціях », переважно випадків маю на увазі функції виду (1.2).

Интересно відзначити, що популярні пакети комп’ютерних програм на вирішення прикладних завдань і побудови графіків EUREKA і MATHEMATICS дають графічне зображення функції включення, записаній як H (x)=(1+sgn (x))/2, саме у вигляді формули (1.2). У монографії [5] в графіках також використовується безперервна функція включення (1.2), це означення й не приводится.

Наглядное уявлення dфункції як звичайній функції в математичної літературі заперечується, тому під час вирішення екстремальних негладких і розривних завдань поняття dфункції немає [3, 5]. Для аналітичного рішення екстремальних завдань потрібно уточнення визначення в dфункции.

Для уточнення визначення введеної Дираком сингулярной функції - dфункції введемо dобразну еквівалентну послідовність [6, 9] через функції включення (1.2).

(1.4).

При будь-якому значенні a існує интеграл.

.

и межа формули (1.4) при a- 0 є dфункцією, т. е.

(1.5).

Так певна (1.4)-(1.5) dфункція є межею безперервного графіка прямокутного імпульсу заввишки ½a і завширшки 2a. При a- 0 висота «стінок «прямокутного імпульсу необмежено зростає, а ширина імпульсу прагне 0. У межі «стінки «» злипаються «в один промінь — dфункцію, що у початку координат.

При проходженні функції в d a (x) в напрямі кривою від до «стінки «прямокутного імпульсу відбуваються у протилежних напрямах, тому dфункція (що складається з двох «злиплих «» стінок ») одночасно спрямована в протилежних напрямах. (Одну криву, яку відбуваються у різних напрямках, вважають різними кривими [8]).

Определенная вище dфункція має наочне подання до вигляді променя — позитивної полуоси ординат. Маючи нескінченну висоту і нульову ширину, dфункція обмежує одиничну площа (невизначеність типа) й володіє подвійний направленностью.

Следует відзначити, що у наведеному визначенні dфункція не сприймається як «рівна нулю попри всі і обращающаяся у точці x=0 у нескінченність «[8]. Тепер dфункція сприймається як промінь — лінійне безліч, має потужність континуума.

Поскольку уточнену визначення dфункції торкається її визначення як функціоналу просторі D, все властивості dфункції, аналізованої як сингулярна узагальнена функція, сохраняются.

Производная dфункції має наочне подання до вигляді осі ординат, має подвійний спрямованістю в кожної з полуплоскостей y0 і перетинає вісь абсцис (це у одній точці x=0).

Далее все похідні розуміються в узагальненому сенсі [6−9], тобто. як пакунки з похідними сингулярной dфункции.

Теория узагальнених функцій і розроблена техніка обчислень їх похідних [6−9] дозволяють поширити необхідні умови экстремума на континуально багатозначні (звані розривні) функції багатьох дійсних переменных.

2. Вариационные завдання з разрывным интегрантом

Многие прикладні оптимізаційні завдання зводяться для пошуку экстремумов інтегральних функционалов з разрывным интегрантом. Тут «розривної «розуміється так: необов’язково розривної. Зазвичай, зокрема й у монографіях [3, 5], оптимізаційні завдання розглядаються для функционалов, залежать від операторів диференціювання. У працях [10, 11] розглядаються функционалы, залежать від інтегральних операторів, що дуже розширює коло розв’язуваних задач.

Будем вирішувати вариационную завдання для функционалов з разрывным интегрантом, залежать від лінійних інтегральних операторов.

(2.1).

где h (t) — экстремаль, щодо якої припускаємо, что.

Функционал якості I може залежати від кількох основних операторов.

(2.2).

где F[T ]- интегрант, визначальний зв’язок (композицію) операторів F і в функционале I. Интегрант F[T ] то, можливо безперервним, гладким, негладким і навіть континуально багатозначним чи разрывным.

Оптимизации методами негладкого аналізу присвячена монографія Френка Кларка [3], але методику Кларка застосувати до функционалам, залежать від інтегральних операторів, не можна, як можна її застосувати і для функционалов з континуально багатозначним чи разрывным интегрантом. З іншого боку, экстремали у Кларка передбачаються абсолютно безперервними. Усе це кілька звужує сферу застосування негладкой оптимізації Кларка — теорії, впитавшей у собі досягнення своєї попередників, на кoторых він посилається у своїй монографії. Оскільки оптимизируемый функціонал залежить від інтегральних операторів, метод, використаний монографії [5], незастосовуваний теж. У той самий час на вирішення сформульованої завдання досить методів варіаційного обчислення, теорії узагальнених функцій і теореми Фубини [8], тому будемо надходити так.

Негладкий, континуально багатозначний чи розривної интегрант можна з допомогою функції включення H (x) (1.2) чи його похідних, тобто. dфункції (1.5) і його похідних, застосовуючи їх фільтруючі властивості. При варьировании функціоналу I все похідні усвідомимо в узагальненому сенсі.

..

Заметим, що цей інтеграл тепер має математичний і тяжка фізична сенс, а чи не є «просто символом », як із класичному визначенні dфункции.

По загальному правилу [9−12] введемо однопараметрическое сімейство кривих , де d h (t)-произвольная функція з Lp[a, b], a — малий параметр. Підставляючи в оператори (2.1), а оператори (2.1) в функціонал (2.2) і дифференцируя І за a, одержимо варіацію функціоналу d I і прирівняємо її нулю:

(2.3).

Теперь, щоб отримати необхідна умова экстремума, треба виключити довільну функцію з варіації функціоналу d I. У класичному вариационном обчисленні це з допомогою інтегрування частинами, що у тому випадку незастосовно. Вважаючи, що варіації d I застосовна теорема Фубини [8], однією з умов застосовності якій у змозі бути суммируемость произведений.

.

изменим в формулі (2.3) порядок інтегрування [10, 11].

(2.4).

Используя основну лемму варіаційного обчислення в формулюванні Л. Янга [7], одержимо аналог рівняння Эйлера для функционалов з континуально багатозначним чи разрывным интегрантом, залежать від лінійних інтегральних операторів, діючих на экстремаль,.

(2.5).

Следствие. Якщо скористатися фильтрующим властивістю dфункції і його похідних, означити ядра операторів (2.1) через Ki (x, t)=d (i)(x-t), то рівняння (2.5) набуде вигляду рівняння Эйлера.

(2.6).

простейшей варіаційної завдання [12], але для функционалов з континуально багатозначним чи разрывным интегрантом.

(2.7).

зависящих від шуканої функції h (t) і його похідних h (i)(t).

Пример. Завдання Дидоны з канавою. У його розпорядженні царівни є мотузка заданої довжини L, яка повинна обмежити ділянку узбережжя, причому берегова риса представляється лінією x=0 на площині Оtx (Рис.2). У цьому треба знайти криву довжини L, що лежить в полуплоскости, з'єднуючу точки (-1,0) і (1,0), таку що загальна площа між кривою і віссю t максимальна.

Стремясь мати приміром нерівний интегрант, Кларк модифікував [3, с.178] завдання Дидоны так. Він вважає, що з деякого a >0 земля у сфері x>a гіршої якості і прибуток з неї становить лише половину доходу з землі у сфері x.