Цифрова обробка сигналів

1. Дискретні сигналы.

1.1. Дискретизація безперервних сигналов.

1.2. Зв’язок спектрів дискретних і безперервних сигналов.

1.3. Перетворення Фур'є і Лапласа для дискретних сигналов.

1.4. Z — преобразование.

1.5. Основні теореми Z — преобразования.

1.6. Дискретне перетворення Фурье.

2. Дискретні цепи.

2.1. Разностное рівняння і дискретна цепь.

2.2. Передатна функція дискретної цепи.

2.3. Загальні властивості передавальної функции.

2.4. Частотні характеристики.

2.5. Імпульсна характеристика. Свертка.

2.6. Кругова свертка.

2.7. Енергія дискретного сигналу. Кореляція енергетична спектр

2.8. Розрахунок енергії сигналу в дискретної цепи.

2.9. Секционирование.

3. Цифрові фильтры.

3.1. Цифрова система обробки сигналов.

3.2. Розрахунок не рекурсивних ЦФ загального вида.

3.3. Схема і характеристики фільтрів з лінійної фазой.

3.4. Загальні властивості фільтрів з лінійної фазой.

3.5. Розрахунок ЦФ з лінійної фазою. Метод взвешивания.

3.6. Метод частотною выборки.

3.7. Розрахунок рекурсивних фільтрів. Метод билинейного преобразования.

4. Ефекти кінцевої розрядності та його учет.

4.1. Шум квантування і шумове модель.

4.2. Розрахунок шумів квантования.

4.3. Вплив структури ЦФ на шум квантования.

4.4. Квантування коефіцієнтів. Розрахунок разрядности.

4.5. Чувствительность.

4.6. Масштабирование сигналу в цепи.

4.7. Динамічний діапазон ЦФ.

4.8. Граничні циклы.

5. Відновлення безперервного сигнала.

5.1. Характеристики ЦАП.

5.2. Похибки восстановления.

Література.

Обговорено основні тези теорії дискретних сигналів і їх обробки. Розглянуто особливості цифровий реалізації дискретних систем. Викладено методи розрахунку цифрових фільтрів, отримали найбільше распространение.

Ефекти кінцевої розрядності ЦФ та його облік розглянуті стосовно системам з фіксованою коми. Похибки дискретизації і відновлення обговорені лише на рівні необхідному розуміння вопроса.

Для технічних факультетов.

1. Дискретні сигналы.

1.1 Дискретизація безперервних сигналов.

Обробка сигналів на цифрових ЕОМ починається із заміни безперервного сигналу X (t) на дискретну послідовність, на яку застосовуються такі обозначения.

x (nT), x (n), xn, {x0; x1; x2; … } .

Дискретизація здійснюється електронним ключем (ЕК) через рівні інтервали часу T (Рис. 1.1).

Дискретна послідовність аппроксимирует вихідний сигнал X (t) як гратчастої функції X (nT). Частота перемикання електронного ключа fд і крок дискретизації T пов’язані формулой.

fд = 1 / T. (1.1).

Дискретна послідовність чи дискретний сигнал виражається через вихідний безперервний (аналоговий) сигнал наступним образом.

x (nT) = x (t)(t — nT), (1.2).

де (t) — дискретна — функція (Рис. 1.2, а),.

(t — nT) — послідовність — функцій (Рис. 1.2, б).

Похибка, виникає при заміні аналогового сигналу дискретним сигналом, зручно оцінити порівнюючи спектри цих сигналов.

1.2. Зв’язок спектрів дискретного і безперервного сигналов.

Вихідний вираз для спектра дискретного сигналу з урахуванням (1.2) запишеться так X (j) =x (nT) e-jt dt =x (t)(t — nT) e-jt dt. Періодичну послідовність — функцій тут розкласти до кількох Фур'є (t — nT) =, де з урахуванням формули зв’язку спектрів періодичного і непериодического сигналів, оскільки F (j) = 1.

Після заміни в вихідному вираженні періодичної послідовності - функцій її розкладанням до кількох Фур'є одержимо X (j) =x (t)() e-jt dt =x (t)e-jt dt .

З огляду на тут теорему усунення спектрів, тобто.: якщо f (t) F (j), то f (t) F[j (0)], останнє рівність можна як формули, котра виражає зв’язок спектрів дискретного X (j) і аналогового Xa (j) сигналів X (j) =Xa[j (-)]. (1.3).

З формули (1.3) з урахуванням пояснюючих малюнків 1.3, а, б можна зробити такі висновки :

1. Спектр дискретного сигналу складається з суми спектрів вихідного безперервного сигналу, зсунутих друг щодо друга по осі частот на величину рівну частоті дискретизації д.

2. Спектри аналогового і дискретного сигналів збігаються буде в діапазоні частот [-0,5д; 0,5д], якщо задовольняється нерівність в 0,5д, (1.4) де у — верхня частота спектра аналогового сигнала.

Рівність в (1.4) відповідає утвердженню теореми Котельникова про мінімальної частоті д.

1. Суміжні спектри Xa (j) в (1.3) частково перекриваються, якщо умова (1.4) не виконується (Рис 1.3, б). І тут спектр дискретного сигналу спотворюється стосовно спектру аналогового сигналу. Ці спотворення є неустранимыми і називаються помилками наложения.

2. Аналоговий сигнал можна відновити повністю по дискретному сигналу з допомогою ФНЧ, частота зрізу якого з = 0,5д. Це твердження грунтується але збігу спектрів дискретного сигналу не вдома ФНЧ і безперервного сигналу. Сигнал відновлюється без спотворень, якщо виконується умова (1.4). інакше сигнал відновлюється з спотвореннями, зумовлені помилками наложения.

Вибір частоти дискретизації ввозяться відповідність до (1.4). якщо частота не відома, то вибір з буд визначається розрахунком за такою формулою (1.1), у якій інтервал T вибирається наближено з такою розрахунком, щоб аналоговий сигнал відбудовувалося не мають відчутних спотворень плавним з'єднанням отсчетов дискретного сигнала.

1.3 Перетворення Фур'є і Лапласа для дискретних сигналов.

Для дискретних сигналів формули Фур'є і Лапласа можна спростити. Справді, оскільки, то після початку дискретної перемінної пара перетворень Фур'є приймає вид.

Тут застосовуються формули одностороннього перетворення Фур'є, оскільки початок відліку поєднується з початком дії дискретного сигнала.

Формули Фур'є для дискретних сигналів застосовують у нормированном вигляді, тому після заміни X (nT) X (nT) / T перетворення Фур'є приймає остаточний вид (1.5).

Формули Лапласа для дискретних сигналів виходять виходячи з (1.5) після узагальнення частоти протягом усього площину комплексного змінного, тобто j P = + j (1.6).

1.4. Z — преобразование.

Ефективність частотного аналізу дискретних сигналів істотно зростає, якщо замінити перетворення Лапласа Z — перетворенням. І тут зображення сигналу X (p), яке є трансцендентний функцію перемінної P = + j, замінюється Z — зображенням сигналу X (Z), що є раціональної функцією перемінної Z = x + jy.

Формули Z — перетворення виходять з формули Лапласа (1.6) заміною переменных.

epT = Z .(1.7).

Підстановка (1.7) і його производной.

dZ / dp = TepT.

в (1.6) призводить до формулам прямого й протилежного Z — перетворення (1.8).

Крапки на мнимої осі комплексного змінного p = +j, тобто точки p = j, визначають реально частотні характеристики сигналу. Мнимою осі відповідає на площині Z одинична окружність, позаяк у цьому випадку відповідно до (1.7).

Z = ejT =(1.9).

Тому безперервному зростанню перемінної на мнимої осі площині p = + j, відповідає багаторазовий обхід одиничної окружності на площині z = x + jy (Рис. 1.4). Цим фактом пояснюється, зокрема, та обставина, що інтегрування у формулі зворотного z — перетворення (1.8) здійснюється вздовж одиничної окружності площині z замість інтегрування вздовж прямий паралельної мнимої площині p.

Враховуючи сказане і формули (1.7), (1.9) можна стверджувати, що ліва полуплоскость змінного p = + j відображається на площину одиничного кола змінного z = x + jy, права полуплоскость — на площину z поза одиничного круга.

Підстановка (1.9) в z — зображення сигналу призводить до спектру цього сигналу, підстановка (1.7) дає зображення по Лапласу.

Приклад. Визначити спектр і можуть побудувати графіки модуля і аргументу спектральною щільності сигналу x (nT) = {a; b} (Рис. 1.5, а).

Решение.

Z — зображення сигналу відповідно до (1.8).

X (Z) =x (nT) Z-n = x (0T) Z-0 + x (1T) Z-1 = a + bZ-1.

Звідси підстановкою (1.9) визначаємо спектр сигнала.

X (j) = a + be-jT.

Графіки модуля і аргументу спектральною щільності наведено малюнку 1.6, а, б на інтервалі частот [0; д].

Поза інтервалу частот [0; буд] частотні залежності повторюються з періодом д.

1.5 Основні теореми Z — преобразования.

Перерахуємо без докази теореми z — перетворення, які потрібні у наступних разделах.

1. Теорему линейности.

Якщо x (nT) = ax1(nT) + bx2(nT) ,.

то X (Z) = a X1(Z) + bX2(Z).

2. Теорему запаздывания.

Якщо x (nT) = x1(nT — QT) ,.

то X (Z) = X1(Z) Z-Q.

3. Теорему про пакунку сигналов.

Якщо X (nT) = x1(kT) x2(nT — kT) ,.

то X (Z) = X1(Z) X2(Z).

4. Теорему про множенні сигналов.

Якщо x (nT) = x1(nT) x2(nT) ,.

то X (Z) = X1(V) X2() V-1 dV,.

де V, Z — перемінні на площині Z.

5. Теорему енергій (рівність Парсеваля).

x2(nT) =X (Z) X (Z-1) Z-1 dZ.

Z — перетворення дискретних сигналів має значення однакову значенням перетворення Лапласа безперервних сигналов.

1.6. Дискретне перетворення Фурье.

Якщо сигнал обмежений у часі значенням tu, яке спектр — частотою, він повністю характеризується кінцевим числом отсчетов N як в тимчасовій, і у частотною областях (Рис. 1.7, а, б) :

N = tu/T — в тимчасовій області, де T = 1/fд ,.

N = fд/f1 — в частотною області, де f1 = 1/tu .

Дискретному сигналу відповідає періодичний спектр, дискретному спектру відповідатиме періодичний сигнал. І тут отсчеты X (nT) = {X0; X1; … XN-1} є коефіцієнтами низки Фур'є періодичної послідовності X (jk1), період, що дорівнює буд. Відповідно, звіти X (jk1) = {X0; X1; … XN-1} є коефіцієнтами низки Фур'є періодичної послідовності X (nT), період, що дорівнює tu.

Зв’язок отсчетов сигналу і спектра встановлюється формулами дискретного перетворення Фур'є (ДПФ). Формули ДПФ взято з формул Фур'є для дискретних сигналів (1.5), якщо безперервну зміну замінити дискретної перемінної k1, то есть.

k1, d 1.

Після заміни перемінної в (1.5) получим.

X (jk1) = x (nT),.

x (nT) =X (jk1).

Звідси після підстановки 1 = д/N, T = 2/д формули ДПФ приймають остаточний вид.

X (jk1) =x (nT) — пряме ДПФ ,.

x (nT) =X (jk1) — зворотне ДПФ (1.10).

Сигнал з обмеженою спектром має, слід сказати, нескінченну проміжок часу й, відповідно безліч отсчетов і безперервний спектр. Спектр залишиться безперервним, якщо число отсчетов сигналу обмежити кінцевим числом N. Формули (1.10) у разі будуть висловлювати зв’язок між N отсчетами дискретного сигналу і N отсчетами його безперервного спектра, що можна повністю відновити з його отсчетам.

Приклад. Визначити отсчеты спектра сигналу на Рис. 1.5, а.

Тут N = 2 тому X (jk1) =x (nT) e-jkn следовательно.

X (j01) =x (nT)e-j0 = x (0T) + x (1T) = a + b.

X (j11) =x (nT)e-jn = x (0T) e-j0 + x (1T) e-j = a — b.

графік отсчетов спектра наведено на Рис. 1.5, б, де 1 = д/N = 0,5д.

Сигнал з кінцевим числом отсчетов N має спектр, який повторює з кінцевої похибкою спектр сигналу із нескінченним числом отсчетов: спектри збігаються на отсчетных частотах k1 і вирізняються інших частотах. Відмінність спектрів тим менше, що більше N. У насправді, реальні сигнали мають кінцевої енергією і, отже, починаючи з деякого номери відліку іншими номерами можна знехтувати через їх дрібниці, що ні надасть помітного впливу спектр сигнала.

Приклад. Здійснити дискретизацию експоненційного імпульсу X (t) = Ae-t = 1 e-10t і порівняти спектри вихідного і дискретного сигналов.

Решение.

Графік сигналу X (t) представлений Рис. 1.8.

Нехай T = 0,02с. І тут плавним з'єднанням отсчетов сигналу (штриховая лінія на Рис. 1.8) сигнал відновлюється задовільно хоча помітні спотворення на околиці точки t = 0, тому помилки накладення будуть певним чином проводити спектральні характеристики.

Нехай tu = 0,4с. У цьому вся случае.

N = tu/T = 20.

Розрахунок спектра за такою формулою прямого ДПФ у точці = 0 (k = 0) запишеться так.

X (j01) = 1,0 + 0,8187 + 0,6703 + 5 488 + 0,4493 + 0,368 + 0,3012 + 0,2466 + 0,2019 + 0,1653 + 0,1353 + 0,1108 + 0,9 072 + 0,7 427 + 0,6 081 + 0,4 979 + 0,4 076 + 0,3 337 + 0,2 732 + 0,2 237 = 5,41.

Істинне значення спектра у точці = 0 можна визначити знаючи спектр аналогового експоненційного импульса.

Xa (j) =, отже Xa (j0) == 0,1.

щоб порівняти спектри дискретного і безперервного сигналів, дискретний спектр необхідно денормировать множенням на T, оскільки формули Фур'є для дискретних сигналів застосовують у нормированном вигляді. Поэтому.

X (jo1) = 5,41 T = 5,420,02 = 0,1082.

Отже збіг спектрів Xa (j) і X (j) у точці = 0 цілком задовільний. Деяка неточність пояснюється впливом помилок наложения.

До речі, що вибір кроку дискретизації досить контролювати в точках максимальної крутизни вихідної функції X (t). У розглянутий прикладі такий точкою є час t = 0.

На закінчення відзначимо, що формули ДПФ спрощують розрахункові процедури по взаємному перетворенню сигналів та його спектрів, що особливо важливо задля технічних систем, функціонуючих У реальному масштабі часу. У таких випадках застосовується алгоритм перетворення Фур'є (ШПФ), заснований на формулах ДПФ. Прискорена процедура розрахунків з алгоритму ШПФ досягається з допомогою винятку повторних арифметичних операцій, притаманних розрахунків з формулам ДПФ.

2. Дискретні цепи.

2.1 Разностное рівняння і дискретна цепь.

Безперервний сигнал на вході лінійної системи x (t) і відповідні сигнал y (t) не вдома пов’язані диференційним рівнянням. Заміна безупинної перемінної t на дискретну зміну nT веде до заміни диференціального рівняння разностным рівнянням. Канонічна форма разностного рівняння загального виду, враховує вочевидь його присутність серед системі як прямих, і зворотного зв’язку, запишеться так.

y (nT) =am x (nT — mT) +y (nT -), (2.1).

де (M + 1) — число прямих связей,.

Z — число зворотних связей,.

m,, n — цілі позитивні числа.

Аналітичні на методи вирішення разностных рівнянь багато в чому повторюють на методи вирішення диференційних рівнянь й дозволяють отримати рішення, у загальному вигляді, придатному для аналізу роботи дискретної системи. Чисельні на методи вирішення призводять до результату як числової послідовності, тому разностное рівняння у разі сприймається як алгоритм функціонування дискретної системи, придатної для програмування на ЕОМ роботи такий системы.

Система робота якої описується разностными рівняннями, є дискретної оскільки він здатна впливати лише з отсчеты сигналу. Дискретна система і дискретна ланцюг здійснює, відповідно до (2.1) такі операції над дискретними сигналами.

1. Зрушення (запізніле розуміння) на ціла кількість інтервалів T.

2. Множення певний коефіцієнт am чи b.

3. Складання сигналов.

Перелічені операції утворюють повний базис, де можна реалізувати заданий вплив на сигнал.

Набору операцій базису відповідає набір типів елементів дискретної ланцюга: елементи пам’яті (затримки), умножители і сумматоры.

Канонічна схема дискретної ланцюга загального виду, відповідна разностному рівнянню (2.1), приведено на Рис. 2.1.

Разностное рівняння з постійними коефіцієнтами am, b описує лінійну дискретну ланцюг. Разностное рівняння з коефіцієнтами, залежними від рівня отсчетов дискретного сигналу, описує нелінійну дискретну цепь.

Разностное рівняння складається безпосередньо за схемою ланцюга, враховуючи можливі шляхи проходження сигналу, чи з системним характеристикам цепи.

Приклад. Скласти разностное рівняння ланцюга, схема якої приведено на Рис. 2.2, а.

Решение.

Тут є три шляху проходження сигналу від входу до виходу ланцюга, якими сигнали минають і потім укладаються у сумматоре. Тому разностное рівняння має вид.

y (nT) = 0,5 x (nT) — 0,7 x (nT — T) + 0,35 x (nT — 2T).

Приклад. Визначити y (nT) (Рис. 2.2, б), якщо x (nT) = {1,0; 0,5}.

Решение.

Разностное рівняння ланцюга y (nT) = 0,5 x (nT — T) + 0,1 x (nT) чисельна рішення разностного рівняння :

n=0; y (0T) = 0,5 x (-T) + 0,1 x (0T) = 0,1;

n=1; y (1T) = 0,5 x (0T) + 0,1 x (1T) = 0,55;

n=2; y (2T) = 0,5 x (1T) + 0,1 x (2T) = 0,25;

n=3; y (3T) = 0,5 x (2T) + 0,1 x (3T) = 0.

Отже y (nT) = {0,1; 0,55; 0,25}.

Графіки сигналів x (nT) і y (nT) наведено на рис (2.3,а, б).

Приклад. Визначити сигнал на виході ланцюга (рис 2.2,в), якщо y (nT)={0,1; 0,1}.

Рішення.

Ланцюг містить зворотний зв’язок (ОС), тому сигнал на виході ланцюга формується як сигнал із боку входу, і із боку выхода.

y (nT) = 0,4 x (nT-T) — 0,08 y (nT-T).

n=0y (0T) = 0,4 x (-T) — 0,08 y (-T) = 0.

n=1y (1T) = 0,4 x (0T) — 0,08 y (0T) = 0,4.

n=2y (0T) = 0,4 x (1T) — 0,08 y (1T) = 0,368 тощо. …

Отже y (nT) = {0; 0,4; 0,368; …}.

У разі з допомогою циркуляції сигналу по ланцюга ОС вихідний сигнал складається з безлічі отсчетов.

Дискретна ланцюг, яка містить ОС, називається рекурсивної. Дискретна ланцюг без ОС називається нерекурсивной.

2.2 Передатна функція дискретної цепи.

Заміна сигналів в разностном рівнянні (2.1) на Z — зображення цих сигналов.

.

призводить до алгебраизации разностного уравнения.

.

Алгебраизация здійснюється застосуванням теорем лінійності і запаздывания.

Перехід до області Z — зображень дозволяє запровадити поняття передавальної функції дискретної ланцюга H (Z), яка як ставлення Z — зображення сигналу не вдома ланцюга до Z — зображенню сигналу на вході ланцюга. Тому, враховуючи алгебраїчну форму разностного рівняння загального виду, можна записати загальний вигляд передавальної функції дискретної цепи.

. (2.3).

Звідси, зокрема, для нерекурсивной цепи.

. (2.4).

Якщо нерекурсивная ланцюг полягає лише з одного елемента запізнювання, то ,.

що знаходить своє свій відбиток у позначення елементів пам’яті на схемах дискретних цепей.

Передатна функція конкретної ланцюга формується по передаточным функцій її елементів відповідно до загальних правил лінійних ланцюгів. Зокрема, для ланцюга що містить ОС застосовується відома формула.

(2.5).

де — передатна функція ланцюга.

прямого проходження сигнала,.

— предаточная функція ланцюга ОС.

Приклад. Оперделить передатну функцію ланцюга на рис. (2.4,а).

Решение.

де, .

Приклад. Визначити передатну функцію на рис.(2.4,б).

Решение.

де — передатна функція рекурсивної частини схемы,.

— передатна функція нерекурсивной частини цепи.

По відомої передавальної функції можна легко визначити разностное рівняння цепи.

Приклад. Скласти разностное рівняння ланцюга на рис.(2.2,в).

Решение.

Здесь.

Тому.

Отсюда.

Отже переходячи до оригіналам: y (nT)= 0,4 x (nT-T) — 0,08 y (nT-T).

2.3 Загальні властивості передавальної функции.

Критерій стійкості дискретної ланцюга збігаються з критерієм стійкості аналогової ланцюга: полюси передавальної функції повинні розташовуватися який у лівій напівплощини комплексного змінного, що оответствует становищу полюсів не більше одиничного кола площині.

z = x + jy.

Передатна функція ланцюга загального виду записується, відповідно до (2.3), наступним образом:

(2.6).

де знаки доданків враховуються в коэффицентах ai, bj, у своїй b0=1.

Властивості передавальної функції ланцюга загального виду зручно сформулювати як вимог фізичної можливості бути реалізованим раціональної функції від Z: будь-яка раціональна функція від Z може бути як передавальної функції стійкою дискретної ланцюга з точністю до множника H0HQ, Якщо ця функція задовольняє требованиям:

1. коефіцієнти ai, bj — речові числа,.

2. коріння рівняння V (Z)=0, тобто. полюси H (Z), перебувають у межах одиничного кола площині Z.

Множник H0ZQ враховує постійне посилення сигналу H0 та постійний зрушення сигналу по осі часу на величину QT.

2.4 Частотні характеристики.

Комплекс передавальної функції дискретної цепи.

Нули передавальної функції можуть распологаться у будь-якій точці площині Z. Якщо нулі перебувають у межах одиничного кола, то характеристики АЧХ і ФЧХ такий ланцюга пов’язані перетворенням Гільберта і однозначно можуть визначити одна через іншу. Така ланцюг називається ланцюгом минимально-фазового типу. Якщо хотябы один нуль з’являється поза одиничного кола, то ланцюг належить до ланцюга нелинейно-фазового типу, для якого перетворення Гільберта неприменимо.

2.5 Імпульсна характеристика. Свертка.

Передатна функція характеризує ланцюг в частотною області. У тимчасовий області ланцюг характеризується імпульсної характеристикою h (nT). Імпульсна характеристика дискретної ланцюга є реакцію ланцюга на дискретну — функцію. Імпульсна харакетеристика і передатна функція є системними характеристиками і пов’язані між собою формулами Z — перетворення. Тому импульсную реакцію можна як певний сигнал, а передатну функцію H (Z) — Z — зображення цього сигнала.

Передатна функція є основним характеристикою під час проектування, якщо норми задано относитеольно частотних характеритик системи. Відповідно, основний характеристикою є імпульсна характеристика, якщо норми задано в тимчасовій обрасти.

Импульсную характеристику можна визначити безпосередньо за схемою як реакцію ланцюга на — функцію, чи рішенням разностного рівняння ланцюга, вважаючи, x (nT) = (t).

Приклад. Визначити импульсную реакцію ланцюга, схема якої приведено на рис. 2.6,б.

Решение.

Разностное рівняння ланцюга y (nT)=0,4 x (nT-T) — 0,08 y (nT-T).

Рішення разностного рівняння в чисельній вигляді за умови, що x (nT)=(t).

n=0;y (0T) = 0,4 x (-T) — 0,08 y (-T) = 0;

n=1;y (1T) = 0,4 x (0T) — 0,08 y (0T) = 0,4;

n=2;y (2T) = 0,4 x (1T) — 0,08 y (1T) = -0,032;

n=3;y (3T) = 0,4 x (2T) — 0,08 y (2T) = 0,256; тощо. …

Звідси h (nT) = {0; 0,4; -0,032; 0.256; …}.

Для стійкою ланцюга отсчеты імпульсної реакції із поліциклічним перебігом часу прагнуть нулю.

Импульсную характеристику можна визначити відомою передавальної функції, применяя.

а. зворотне Z-преобразование,.

б. теорему разложения,.

в. теорему запізнювання до результатів розподілу полинома чисельника на поліном знаменника.

Останній із перелічених способів належить до численным методам рішення поставленої задачи.

Приклад. Визначити импульсную характеристику ланцюга на рис.(2.6,б) по передавальної функции.

Решение.

Тут H (Z) =.

Розділимо чисельник на знаменатель.

Застосовуючи до результату розподілу теорему запізнювання, отримуємо.

h (nT) = {0; 0,4; -0,032; 0.256; …}.

Порівнюючи результат з розрахунками по разностному рівнянню в предидущем прикладі, можна переконатися у достовірності розрахункових процедур.

Пропонується визначити самостійно импульсную реакцію ланцюга на рис.(2.6,а), застосовуючи послідовно обидва розглянутих метода.

Відповідно до визначенням передавальної функції, Z — зображення сигналу не вдома ланцюга можна визначте як твір Z — зображення сигналу на вході кайдани й посадили передавальної функції цепи:

Y (Z) = X (Z)H (Z).(2.11).

Звідси, по теоремі про пакунку, згортка вхідного сигналу з імпульсної характеристикою сигналізує не вдома цепи.

y (nT) =x (kT)h (nT — kT) =h (kT)x (nT — kT). (2.12).

Визначення вихідного сигналу за такою формулою пакунки застосовується у розрахункових процедурах, а й у ролі алгоритму функціонування технічних систем.

Пример.

Визначити сигнал не вдома ланцюга, схема якої приведено на рис.(2.6,б), якщо x (nT) = {1,0; 0,5}.

Решение.

Тут h (nT) = {0; 0,4; -0,032; 0,256; …}.

Розрахунок по (2.12).

n=0: y (0T) = h (0T)x (0T) = 0;

n=1: y (1T) = h (0T)x (1T) + h (1T) x (0T) = 0,4;

n=2: y (2T)= h (0T)x (2T) + h (1T) x (1T) + h (2T) x (0T) = 0,168;

Отже y (nT) = { 0; 0,4; 0,168; … }.

У технічних системах замість лінійної пакунки (2.12) частіше застосовується кругова чи циклічна згортка .

2.6 Кругова свёртка .

Реальним сигналам відповідають числові послідовності кінцевої довжини. Кінцеву числову послідовність можна продовжити по осі часу шляхом періодичного повторення й одержати періодичну числову послідовність. Періодичній числової послідовності відповідає спектр як періодичної числової послідовності. Обидві послідовності мають однакову період N і пов’язані формулами ДПФ.

Заміна реальних послідовностей періодичними дозволяє збільшити ефективність використання обчислювальної техніки стосовно дискретним сигналам (швидкісна свёртка, ШПФ та інших.).

Свёртка періодичних послідовностей називається кругової й на інтервалі рівному одному периоду.

y (nT) =x (kT)h (nT — kT), (2.13).

Лінійна і кругова свёртки дають однаковий результат, якщо відповідним чином вибрати в кругової свёртке розмір вихідних послідовностей. Річ у тім, що свёртка кінцевих послідовностей призводить до послідовності, розмір якої N перевищує довжину кожної із вихідних послідовностей і за визначенням, равен.

N = N1 + N2 — 1,(2.14).

де N1 — довжина послідовності x (nT),.

N2 — довжина послідовності h (nT).

Тому заміна вихідної послідовності на періодичну виконується з такою розрахунком, щоб довжина періоду вийшла рівної N, додаючи із метою нулі як саме ті элементов.

Приклад.

Обчислити кругову свёртку за даними прикладу в параграфі 2.4.

Решение.

Тут, нехтуючи малими значеннями отсчётов уявімо импульсную реакцію як кінцевої числової послідовності h (nT) ={0; 0,4; -0,032}.

Звідси, оскільки x (nT) = {1,0; 0,5}, з урахуванням (2.14).

N1 = 2, N2 = 3, N = 4.

Отже вихідні числові послідовності запишуться так.

x (nT) = {1,0; 0,5; 0; 0}, h (nT) ={0; 0,4; -0,032; 0}.

Звідси, застосовуючи (2.13), получаем.

n=0: y (0T) = x (0T)h (0T) + x (1T)h (-1T) + x (2T)h (-2T) + x (3T)h (-3T) = 0;

n=1: y (1T) = x (0T)h (1T) + x (1T)h (0T) + x (2T)h (-1T) + x (3T)h (-2T) = 0,4;

n=2: y (0T) = x (0T)h (2T) + x (1T)h (1T) + x (2T)h (0T) + x (3T)h (-1T) = 0,168;

n=3: y (0T) = x (0T)h (3T) + x (1T)h (2T) + x (2T)h (1T) + x (3T)h (0T) = -0,016;

Отже y (nT)= {0; 0,4; 0,168; -0,016}, що збігаються з розрахунками по лінійної свёртке в прикладі параграфа 2.4.

Графіки періодичних числових послідовностей x (nT), h (nT), y (nT) наведено на рис.(2.7).

До періодичним числовим послідовностям, отриманим викладеним вище способом, можна застосувати ДПФ, перемножити результати і після виконання зворотного ДПФ отримати послідовність y (nT), збігається з результатами розрахунків по кругової свёртке.

2.7. Енергія дискретного сигналу.

Кореляція і колись енергетичний спектр.

Як енергії дискретного сигналу прийнята мера.

Wx =x2(nT), (2.15).

відповідно частотною області, відповідно до рівності Парсеваля,.

Wx =X2()d =X (j)X*(j)d (j), (2.16).

де X (j) = X ()ej () — спектр сигналу x (nT),.

X*(j) = X ()e-j () — спектр x (-nT) відповідно до теоремою про спектрі інверсного сигнала,.

X2() = X (j)X*(j) = Sx (j) — енергетичний спектр сигналу x (nT).

На рис.(2.8) показаний за приклад сигнал x (nT) та її инверсная копія x (-nT) для деякого приватного случая.

Енергетичний спектр висловлює середню потужність сигналу x (nT), що припадає на вузьку смугу частот на околиці перемінної .

У тимчасовий області енергетичному спектру відповідає згортка инверных сигналів, який визначає кореляційну функцію Sx (nT) сигналу x (nT). (2.17).

Відповідно до (2.17) і (2.15) кореляційна функція у точці n = 0 дорівнює енергії сигналу, т. е.(2.18).

Для періодичних дискретних сигналів кореляційна функція і колись енергетичний спектр пов’язані формулами ДПФ.

Звідси виходять розрахункові формули енергії періодичних дискретних последовательностей.

що він відповідає рівності Парсеваля для дискретних періодичних сигналів. Кореляційна функція таких сигналів визначається за такою формулою кругової свёртки.

Розрахунок енергії дискретного сигналу можна виконати за необхідності, застосовуючи рівність Парсеваля щодо Z — зображень сигналу та її инверсной копії (теорема энергий).

(2.21).

де — Z — зображення кореляційної функции.

Умесно помітити, що стосовно випадковим сигналам кореляційна функція частіше визначається за формулою з вагарням множником, т. е.

відповідно для енергетичного спектра.

що зумовлює результату, у якому середнє випадкової величини зі зростанням N сходиться до постійної величине.

Згортка сигналу з инверсной копією іншого сигналу називається взаємної кореляцією цих сигналов.

2.8 Розрахунок енергії сигналу в дискретної цепи.

У будь-якій точці дискретної ланцюга енергію сигналу можна визначити відомим сигналу чи з кореляційної функції сигналу у цій точці. Кореляційну функцію сигналу у певній точці ланцюга можна визначити як відомим сигналу, а й у відомої кореляційної функції вхідного сигналу і імпульсної реакції (2.22).

де — кореляційна функція сигналу на вході цепи,.

— кореляційна функція импулсного відгуку даної точке,.

— умовний знак свёртки.

Доведемо рівність (2.22).

У цьому вся вираженні силу лінійності ланцюга сигнали можна поєднати у різний спосіб. Поэтому.

що доводить справедливість (2.22). Отже.

(2.23).

Автокорреляционная функція є чётной функцією, тому застосовуючи кругову свёртку (2.22), періоди і необхідно вирівняти з такою розрахунком, щоб зберегти чётный характер цих функций.

Приклад. Визначити енергію сигналу не вдома ланцюга, якщо.

x (nT) = {0,5; 0,5}, h (nT) = {1,0; 0,5}.

Решение.

1. Розрахунок у тимчасової области.

Визначаємо сигнал не вдома ланцюга за такою формулою кругової свёртки.

Отсюда.

2. Розрахунок в частотною области.

Спочатку необхідно визначити отсчёты спектра сигналу за такою формулою прямого ДПФ.

Звідси, відповідно до рівності Парсеваля,.

3. Розрахунок за такою формулою (2.23).

Визначаємо кореляційні функції і .

Кожна секція поєднується з предидущей секцією з урахуванням зсуву між секціями вхідного сигналу .

Застосовуються дві основні методу секціонування: метод перекриття з підсумовуванням і метод перекриття з накоплением.

1. Метод перекриття з суммированием.

Сигнал x (nT) розбивається на секції довжиною L. Звідсидовжина секції , — довжина секції , — довжина .

Довжина секції більше довжини секції на. Тому суміжні секції вихідного сигналу перекриваються на інтервалі довжиною. На інтервалі перекриття необхідні арифметичні операції з підсумовуванню отсчётов.

2. Метод перекриття з накоплением.

Сигнал x (nT) розбивається на секції довжиною L. Потім кожна секція нарощується зліва ділянкою предидущей секції довжиною. Тому — довжина , — довжина , — довжина .

Штучне подовження кожної секції призводить до того, перші і останні отсчётов секції є хибними і тому відкидаються. Решта L отсчётов кожної секції, є «справжніми, тому суміжні секції поєднуються без перекриття і зазора.

Приклад. Здійснити посекционную обробку сигналу.

x (nT) = { 1,0; 0,5 }, якщо h (nT)= { 1,0; 0,5 }.

Решение.

Застосуємо метод перекриття з накоплением.

Нехай L = 1. Звідси; тому після штучного подовження секций:

Вирівнюємо періоди сигналів до застосування кругової свёртки:

N = N1 + N2- 1 = 3. Отже x0(nT)= {0; 0,4; 0}, x1(nT)= {0,4; 0,8; 0}, x2(nT)= {0,8; 0; 0} Після свёртки з кожної секції і відкидання отсчётов отримуємо: звідси.

y (nT)= {0,4; 1,0; 0,4}.

Метод перекриття з накопиченням отримав переважне поширення, бо тут непотрібен проведення додаткових арифметичкских операцій після обробки кожної секции.

3. Цифрові фильтры.

3.1 Цифрова система обробки сигналов.

Обробка дискретних сигналів здійснюється, як правило у цифровій формі: кожному отсчёту ставлять у відповідність двоичное кодове словом, і, внаслідок, дії над отсчётами вживають дії над кодовими словами. Отже дискретна ланцюг стає цифровий ланцюгом, цифровим фільтром (ЦФ). Переклад отсчётов в двоичные кодові слова відбувається у аналогово-цифровом преобразователе (АЦП). На виході ЦФ (рис. 3.1) здійснюється зворотна операція: кодові слова в цифро-аналоговом преобразователе перетворюються на отсчёты дискретного сигналу і, нарешті, не вдома, синтезуючого фільтра (СФ) формується оброблений аналоговий сигнал.

Дискретна і цифрова ланцюга описуються однаковими рівняннями. Відмінність полягає у приближённом характері уявлення отсчётов сигналу кодовими словами кінцевої розмірності (помилки квантування). Тому сигнал не вдома цифровий ланцюга відрізняється від ідеального варіанту в величину похибки квантування.

Цифрова техніка дозволяє їм отримати високу якість обробки сигналів попри помилки квантування: помилки (шуми) квантування можна навести до тями збільшенням розрядності кодових слів. Раціональні способи конструювання цифровий ланцюга також сприяють мінімізації рівня шумів квантування.

Розрахунок цифровий ланцюга по заданим вимогам до її характеристикам має низку принципових особливостей залежно від наявності зворотний зв’язок. Ці особливості є результатом кінцевої довжини імпульсного відгуку нерекурсивного ЦФ.

Тому нерекурсивні фільтри містять велика кількість елементів ланцюга, але з тим мають низку важливих достоїнств: нерекурсивні ЦФ завжди стійкі, дозволяють будувати фільтри з мінімальним лінійної фазою, відрізняються простий настроюванням. З урахуванням викладеного стають зрозумілими причини, якими методи розрахунку нерекурсивных ЦФ і рекурсивних цифрових фільтрів прийнято розглядати отдельно.

3.2 Розрахунок нерекурсивных ЦФ загального вида.

Мета розрахунку нерекурсивных цифрових фільтрів (рис. 3.2,а) залежить від розрахунку значень коэффицентов та його числа N по допускам на системні характеристики, а також у розрахунку розрядності кодових слів і виборі оптимального динамічного діапазону ЦФ за нормами на помехозащищённость сигналу і можливість перевантаження системи, що визначається ефектами кінцевої розрядності кодових слов.

Вимоги до системним характеристикам частіше задаютс щодо, а такою: імпульсної чи частотною. Тому розрізняють розрахунок ЦФ в тимчасовій області й розрахунок ЦФ в частотною области.

Розрахунок ЦФ в тимчасовій области.

Необхідна імпульсна характеристика у випадку має нескінченну довжина у часі. Тому спочатку необхідно задатися кінцевим числом N перших отсчётов необхідної імпульсної характеристики.

.

Решта отсчёты через їх дрібниці відкидають визначають похибка наближення, що можна оцінити, наприклад, по середньоквадратичному критерію близости.

Коефіцієнти фільтра приймаються рівними відповідним отсчётам необхідної імпульсної характеристики. Після розрахунку розрядності коэффицентов, шумів квантування і масштабирующих коэффицентов залишається оцінити похибка реалізованої імпульсної характеристики стосовно необхідної і ухвалити рішення про необхідності повторного расчёта.

Розрахунок ЦФ в частотною области.

Спочатку необхідно продовжити необхідну частотну характеристику на діапазон [0,5д; буд] за правилами комплексно-сопряжённой симетрії (рис. 3.2,б), що визначається речовинним характером імпульсного відгуку. За характеристиками слід визначити N комплексних частотних отсчётов.

3.3. Схеми і характеристики фільтрів з лінійної фазой.

Нерекурсивный фільтр дозволяє їм отримати четную чи непарну импульсную характеристику відтак, лінійну ФЧХ чи довільній АЧХ, що з теореми про спектрі парних і непарних сигналів: спектр фаз парних і непарних сигналів є лінійним.

Фільтри з парними імпульсними характеристиками називаються симетричними, з непарними — антисимметричными. Кожен із відзначених типів фільтрів має свої особливості залежно від парності числа відводів N, що зручно розглянути на конкретні приклади.

Симетричні фільтри з непарною N.

На рис. 3.3, а приведено схема і імпульсна характеристика симетричного фільтра для випадку N=5. Передатна функція такий цепи:

H (Z) = a2 + a1Z-1 + a0Z-2 + a1Z-3 + a2Z-4 = Z-2 [a0 + a1 (Z + Z-1) + a2 (Z2 + Z-2)].

Звідси, після підстановки Z = e jT і з урахуванням формули Эйлера.

H (j) = ej2T (a0 + 2a1 co T + 2a2cos 2T).

отже, формули АЧХ і ФЧХ.

H () = a0 + 2a1 co T + 2a2cos 2T, () = -2T.

Графік АЧХ та графіки поясняющие характер АЧХ — co T, co 2T — наведено на рис. 3.4, а.

Симетричні фільтри з четным N.

На рис. 3.3, б наведено схема і імпульсна характеристика симетричного фільтра для випадку N=4. Передатна функція фільтра.

H (Z) = a2 + a1Z-1 + a1Z-2 + a2Z-3 = Z-1,5 [a1 (Z0,5 + Z-0,5) + a2 (Z1,5 + Z-1,5)].

Звідси H (j) = ej1,5T (2a1 co 0,5 T + 2a2cos 1,5T).

Відповідні формули АЧХ і ФЧХ.

H () = 2a1 co 0,5 T + 2a2cos 1,5T, () = -1,5T.

Характер АЧХ і поясняющие графіки — на рис. 3.4, б.

Антисимметричные фільтри з непарною N.

На рис. 3.5, а наведено схема і імпульсна характеристика антисимметричного фільтра для випадку N=5.

Передатна функція фильтра.

H (Z) = a2 + a1Z-1 + 0Z-2 — a1Z-3 — a2Z-4 = Z-2 [a1 (Z — Z-1) + a2 (Z2 — Z-2)].

звідси H (j) = ej2T j (2a1 sin T + 2a2 sin2T).

Тому формули АЧХ і ФЧХ.

H () = 2a1 sin T + 2a2 sin 2T, () = -2T.

Характер АЧХ і поясняющие графіки — на рис. 3.6, f.

Антисимметричные фільтри з четным N.

Схема і імпульсна характеристика для випадку N=4 наведено на рис. 3.5, б. Передатна функция.

H (Z) = a2 + a1Z-1 — a1Z-2 — a2Z-3 = Z-1,5 [a1 (Z0,5 — Z-0,5) + a2 (Z1,5 — Z-1,5)].

Звідси.

H (j) = ej1,5T j (2a1 sin 0,5 T + 2a2sin 1,5T).

Формули АЧХ і ФЧХ.

H () = 2a1 sin 0,5 T + 2a2 sin 1,5T, () = -1,5T.

Характер АЧХ і поясняющие графіки — на рис. 3.6, б.

3.4 Загальні властивості фільтрів з лінійної фазой.

Аналіз розглянутих варіантів фільтрів з лінійної фазою дозволяє робити висновків загального характера.

1. Симетричні фильтры.

H (0) 0, () = -T (3.3).

а. Якщо N — парне, то АЧХ — парна функція.

H () = а0 + 2 аm co mT (3.4).

Застосовується за умови H (0,5д) 0.

б. Якщо N — парне, то АЧХ — непарний функция.

H () = 2 аm co [(m — 0,5) T](3.5).

Застосовується за умови H (0,5д) = 0.

2. Антисимметричные фільтри.

H (0) = 0, () = -T (3.6).

а. Якщо N — парне, то АЧХ — непарна функція.

H () = 2 аm sin m T (3.7).

Застосовується за умови H (0,5д) = 0.

б. Якщо N — парне, то АЧХ — парна функция.

H () = 2 аm sin [(m — 0,5) T](3.8).

Застосовується за умови H (0,5д) 0.

На рис. 3.7, а, б наведено графіки, поясняющие зазначені вище свойства.

Якщо необхідна передатна функція має у ролі множника мниму одиницю, то застосовуються виключно антисимметричные фільтри. Наприклад, передатна функція дифференциатора чи интегратора.

H (j) = j, H (j) = 1 / j.

І тут умови.

Н (0) = 0, чи H (0,5д) = 0, чи H (0,5д) 0.

за необхідності слід відтворити искусственно.

3.5. Розрахунок ЦФ з лінійної фазою. Метод взвешивания.

Розрахунок фільтрів з лінійної фазою починається з вибору типу фільтра (симетричний, антисимметричный) і парності N відповідно до загальними властивостями фільтрів з лінійної фазою і необхідної АЧХ.

а. Якщо Н (0) 0, то фільтр симетричний. Отсюда:

N — парне, якщо H (0,5д) 0.

N — парне, якщо H (0,5д) = 0.

б. Якщо Н (0) = 0, то фільтр антисимметричный. Отсюда:

N — парне, якщо H (0,5д) = 0.

N — парне, якщо H (0,5д) 0.

Після вибору типу фільтра і парності N необхідно продовжити необхідну АЧХ на діапазон [0,5д; буд] у відповідність із графіками на Рис. 3.7, а, б. Вибір розрахункової формули для ФЧХ, тобто. (3.3) чи (3.6), визначається типом фильтра.

Після виконаних процедур розрахунок фільтра здійснюється за загальними правилами розрахунку не рекурсивних ЦФ.

Приклад. Розрахувати ФНЧ з лінійної фазою за такими вихідним данным:

ПП [0; 200] гц, перехідна область [200; 300] Гц.

Решение.

Вибираємо fд = 800 гц. Звідси після нормування частот =.

ПП [0; 0,25], ПН [0,375; 0,5].

Тут Н (0) 0, тому фільтр симметричный.

H (0,5д) = 0, тому N — четное.

Отже, необхідну АЧХ необхідно продовжити на діапазон [0,5д; буд] непарною чином (Рис. 3.8, а).

Розрахунок починається з вибору величини N.

Нехай N = 8. Звідси інтервал між вибірками 1 = = 0,125.

Формула для ФЧХ (3.3): () = -T. Отсюда.

() = -7, або заради частот вибірки (k1) = -71,.

Отсчеты АЧХ — по необхідної АЧХ на графіці Рис. 3.8, а.

Отже, комплексні частотні отсчеты:

Н (jk1) = {1e j0; 1ej0,875; 1ej1,75; 0; 0; 0; -1ej5,25; -1ej6,125 }.

Звідси розрахунок імпульсної характеристики за такою формулою обр. ДПФ.

h (nT) = H (jk1) e j (2/N) kn =.

={0,065; -0,165; 0,025; 0,53; 0,53; 0,025; -0,165; 0,065}.

що він відповідає схемою фільтра на Рис. 3.8, б.

Розрахункова формула АЧХ подібного типу фільтра — (3.5).

Тому М () = 1,06 co + 0,05 co 3 — 0,33 co 5 + 0,13 co 7.

Результати розрахунку реалізованої АЧХ наведено на графіці Рис. 3.8, а (штриховая линия).

У околиці точок розриву необхідної АЧХ (у цьому прикладі це частоти 0,25 і 0,75) відхилення від норми реалізованих характеристик виходить значним внаслідок впливу ефекту Гіббса. Послабити вплив ефекту Гіббса вдається запровадженням ваговій функції (метод зважування) до імпульсної характеристиці.

Нова імпульсна характеристика формується по правилу:

h «(nT) = W (nt) * h (nT).

Де W (nT) — вагова функція чи «сглаживающее вікно » .

Знаходять застосування різні типи вікон, наприклад «вікно «Хэмминга:

W (nT) = 0,54 + 0,46 co [2 ], (3.9).

де n = 0, 1, 2, … (N — 1).

Для аналізованого примера.

W (nT) = {0,08; 0,244; 0,64; 0,96; 0,96; 0,64; 0,244; 0,08}.

h «(nT) = {0,005; -0,04; 0,016; 0,51; 0,51; 0,016; -0,04; 0,005}.

Звідси нові коефіцієнти фільтра і нове передатна функция.

H «(Z) = 0,005 — 0,04Z-1 + 0,016Z-2 + 0,51Z-3 + 0,51Z-4 + 0,016Z-5 — 0,04Z-6 +.

+ 0,005Z-7.

Графік АЧХ з урахуванням сглаживающего вікна наведено на Рис. 3.9. Розрахункова функція отримана з формули для М «(Z) після підстановки.

Z = ejT = ej2.

Порівнюючи реалізовані АЧХ на Рис. 3.8, чи Рис. 3.9, можна переконатися у поліпшенні якості апроксимації необхідної АЧХ під час введення «вікна » .

Зі збільшенням N позитивний ефект від участі застосування «сглаживающего вікна «возрастает.

У розглянутий прикладі норми на відхилення реалізованої АЧХ від необхідної не задано. Якщо такі норми вони не виконуються, то… (рядок ксерокопії не влезла).

3.6. Метод частотною выборки.

Коефіцієнти не рекурсивного ЦФ (Рис. 3.2, а) відповідають отсчетам імпульсної характеристики. Схему не рекурсивного ЦФ можна перетворити в такий спосіб, щоб коефіцієнти фільтра відповідали отсчетам інший системної характеристики — передавальної функції. Нова схема ЦФ є основою конструювання фільтрів методом частотною вибірки.

3.6.1 Схема фильтра.

Схема фільтра формується за результатами еквівалентних перетворень передавальної функції не рекурсивного ЦФ.

H (Z) = an Z-n.

де у відповідність до формулою зворотного ДПФ.

an = h (nT) = H (jk1) ej (2/N)kn.

следовательно.

Н (Z) = H (jk1) ej (2/N)kn Z-n = (ej (2/N)kn Z-1)n.

Застосовуючи тут формулу суми N перших членів геометричній прогрессии.

получаем.

H (Z) = = P (Z)(3.10).

где.

P (Z) = 1 — dZ-N, Fk (Z) = 1 / (1 — bkZ-1), d = ej2k, bk = e j2k/N (3.11).

Схема фільтра, відповідного (3.10), приведено на Рис. 3.10, а. Схеми ланок фільтра, відповідних (3.11), наведено на Рис. 3.10, б.

Схема фільтра на рис. 3.10 діє з урахуванням поправок, обумовлених особливостями розташування нулів і полюсів передавальної функции.

Нули і полюси H (Z) (3.10), тобто. коріння уравнений.

1- ej2k Z-N = 0, 1 — e j2k/N Z-1 = 0.

Розташовані на одиничної окружності площині Z в точках.

Zk = e j2k/N.

і взаємно компенсується. Але компенсація виходить неповної через кінцевої розрядності кодових слів, що зумовлює стрибків частотною характеристики фільтра і більше, не виключена можливість самозбудження ланцюга. Тому рекомендується зміщувати точки Zk всередину одиничного кола на малу величину, т. е.

Zk = eT/N e j2k/N, де Т < 10−5>

що він відповідає коефіцієнтам фільтра.

d = e-T e j2k, bk = e-T e j2k/N (3.12).

Невелика поправка коефіцієнтів фільтра (3.12) мало позначиться на характеристиках фильтра.

3.6.2 Частотна характеристика фильтра.

Частотна характеристика фільтра методом частотною вибірки виходить підстановкою.

Z = ejT,.

в (3.10). Звідси, з урахуванням формули Эйлера,.

H (j)=.

следовательно.

(3.13).

що він відповідає ряду Котельникова для спектрів дискретних сигналів. Отже, частотну характеристику не рекурсивного ЦФ можна подати як у вигляді низки Фур'є, і у формі низки Котельникова.

Кожна з отсчетных функцій в (3.13).

(3.14).

на частоті = k1 приймає значення частотною вибірки H (jk1); інші отсчетные функції в цій частоті звертаються до нуль. На графіці Рис. 3.11 показано як приклад деяка АЧХ і його складові - равносмещенные отсчетные функції для випадку N=8, де отсчетные функції представлені головним пелюстком, крім модуля отсчетной функції при К=0, яка зображено повністю.

З урахуванням вищевикладеного стає зрозуміло, що регулювання частотних отсчетов фільтра методом частотною вибірки є взаимонезависимой подібно взаимонезависимой регулюванню отсчетов імпульсної характеристики не рекурсивного ЦФ за схемою на Рис. 3.2, а.

Розрахунок фільтра починається з орієнтовного вибору величини N. Коефіцієнти фільтра дорівнюють відповідним отсчетам необхідної частотною характеристики. Особливий випадок має місце у точках розриву характеристики: отсчеты, які працюють у околиці точок розриву, тобто. у перехідній області, необхідно вибирати з такою розрахунком, щоб отримати задовільний наближення реалізованої характеристики до необхідної буде в діапазоні частот, що прилягає до перехідною області. Найчастіше в перехідну область потрапляє 1 чи 2 отсчетных частоти. І тут задовільний результат апроксимації можна отримати роботу простим добором модуля отсчетов у перехідній області.

Після перевірочного розрахунку частотних характеристик за такою формулою 3.10 чи 3.13 приймають рішення необхідність повторного розрахунку.

3.6.3. Схема фільтра з речовими отводами.

Реалізація фільтрів за схемою на Рис. 3.10, а пов’язані з деякими особливостями, зумовлені комплексним характером коефіцієнтів в відводах. Тому на згадуваній практиці поширився іще одна варіант схеми такого фільтра, що б речовинним характером коефіцієнтів.

Фільтр з речовими коефіцієнтами виходить з допомогою об'єднання кожної пари відводів з індексами До і (N-K), що є комплексно-сопряженной через комплексно-сопряженной симетрії частотних характеристик фільтра щодо частоти 0,5д. У результате.

(3.15).

де a0k = co k, a1k = -bk co (k — k), b1k = -2bk co k, b2k = b2k.

Схема речовинного відводу, відповідного (3.15), приведено на Рис. 3.12.

Завершуючи обговорення фільтра з частотною вибіркою треба сказати ще одну важливу якість таких фільтрів: у схемі відсутні ланки, відповідні нульовим значенням необхідної АЧХ. Через війну, наприклад, схема частотно-селективного фільтра істотно спрощується, зберігаючи у своїй можливість отримання лінійної фази.

3.7. Розрахунок рекурсивних фільтрів. Метод билинейного преобразования.

Методи розрахунку рекурсивних ЦФ можна розділити на прямі й опосередковані. Прямі методи припускають розрахунок безпосередньо рекурсивного ЦФ, непрямі використовують як проміжний етап розрахунок аналогового фільтра (АФ).

До непрямих методів належить метод билинейного перетворення, заснований такому перетворення частот, у якому частотна вісь стискається до кінцевих розмірів. Формула частотного преобразования.

чи.

де — реальна частота, тобто. частота проектованого ЦФ, — розрахункова частота, тобто. частота допоміжного АФ, , — відповідні комплексні частоты.

На рис. 3.13, а наведено графік залежності розрахункової частоти від реальної частоти, на Рис. 3.13, б — приклад відповідності кривих АЧХ фільтрів АФ і ЦФ.

Зв’язок комплексних змінних допоміжного АФ і реального ЦФ, тобто. і Z визначається равенством.

(3.17).

Формула (3.17) виходить підстановкою в (3.16) Z = epT. У результате.

Перерахуємо послідовність етапів розрахунку ЦФ методом билинейного преобразования.

1. Перевести необхідні характеристики і норми ЦФ на відповідні вимоги до АФ, застосовуючи формулу.

2. Розрахувати передатну функцію АФ, при застосуванні методів розрахунку аналогових фильтров.

3. Визначити передатну функцію ЦФ H (Z) відомою.

4. Побудувати схему ЦФ по H (Z).

5. Виконати необхідні розрахунки з обліку ефектів кінцевої розрядності.

Приклад. Розрахувати рекурсивний ЦФ нижніх частот методом билинейного перетворення за такими вихідним данным:

ПП [0; 200] гц, перех. область [200; 300] гц, А = 3 дБ, Аmin = 15 дБ.

Решение.

Вибираємо fд = 800 Гц.

Контрольні частоти для перекладу норм ЦФ в норми АФ: 0; 200 гц; 300 Гц.

Розрахункова формула для перетворення частот.

Через війну.

f = 0 зв = 0.

f = 200 гц 1600 зв = 1.

f = 300 гц 3840 зв = 2,4.

де зв = - нормована частота ФНЧ,.

= 1600 — частота зрізу ФНЧ.

Основна формула розрахунку АФ.

У разі досить обмежитися аппроксимирующим полиномом Баттерворта другого порядку. Тому, враховуючи що Е=1 для, А = 3 дБ, отримуємо.

Доречно нагадати, що схему ланцюга по дробової передавальної функції від Z зручно будувати у два етапу: спочатку будується не рекурсивна частина, відповідна чисельника Н (Z), потім каскадно із нею — рекурсивна частина, відповідна дробу, в чисельнику якої - одиниця.

Графік реалізованої АЧХ наведено на рис. 3.14, б.

Нелінійна залежність частотного перетворення (3.16) визначає як недоліки, і гідності методу билинейного перетворення. Недолік у цьому, що похилі ділянки частотною характеристики змінюють свій нахил то більше вписувалося, що стоїть частота. Тому, наприклад, лінійна фаза після перетворення (3.16) стає нелінійної. Гідність визначається відсутністю помилок накладення під час переходу АФ ЦФ, що дозволяє їм отримати рівні ослаблення в ПН при конструюванні частотно-селективных фільтрів.

4. Ефекти кінцевої розрядності та його учет.

4.1. Шум квантування і шумове модель.

Отсчеты сигналу на вході цифровий системи квантуються до найближчого з дозволених рівнів. Відстані між суміжними рівнями одно кроку квантування. Крок квантування і розрядність кодових слів пов’язані співвідношенням.

= 2-b (4.1).

де b — розрядність кодових слів.

Значення молодшого розряду кодових слів чисельно одно кроку квантования.

Різниця істинного і квантованного числа називається помилкою квантування. Помилка квантування е (n) визначається неравенствами:

— при округленні чисел,.

— при усечении чисел.(4.2).

На виході цифровий системи помилки квантування сприймаються як шуму, що називається шумом квантування.

Цифрові умножители які з АЦП є джерелом шуму квантування; не вдома умножителей довжину кодових слів доводиться обмежувати, т.к. розрядність результату перемножения кодових слів зростає й дорівнює сумі разрядностей множимого і множителя.

Розрахунок рівня шуму квантування здійснюється за шумовий моделі, яка від вихідної ланцюга наявністю джерел шуму квантування не вдома АЦП і кожного з умножителей.

На Рис. 4.1, а приведено за приклад шумове модель цифровий ланцюга, схема якої показано на Рис. 4.1, б. позначення для джерел шума:

e0(n) — джерело галасу АЦП.

ei (n) — джерело галасу кожного з Z множників.

4.2. Розрахунок шумів квантования.

Рівень шуму квантування можна оцінити, наприклад, за величиною максимуму шуму, тобто. оцінка шуму з умові найгіршого випадку, чи з величині усередненій енергії шуму, тобто. імовірнісна оцінка шуму.

4.2.1. Розрахунок максимуму шума.

Шум квантування не вдома ланцюга від i-го джерела шуму визначається за такою формулою свертки.

де ei (n) — шум не вдома i-го джерела шума,.

hi (n) — імпульсна характеристика ділянки ланцюга від i-го джерела шуму до виходу цепи.

Максимум шуму Еi виходить у тому вираженні за умови виконання рівностей в формулах (4.2) і збігу знаків ei (k) і hi (n-k). Через війну.

— при округленні чисел,.

— при усечении чисел.

Максимум шуму не вдома ланцюга Є від усіх джерел шуму визначається сумою максимумів, тобто. найгірший випадок, від усіх джерел шума.

(4.3).

де 0/2 — максимум шуму не вдома АЦП при округленні чисел,.

/2 — максимум шуму не вдома кожного з Z умножителей при округленні чисел чи умови однаковою розрядності всіх умножителей.

Оцінка шуму з максимуму призводить до значному перевищення розрахункового рівня шуму з відношення до реальному. Тому частіше застосовується імовірнісна оцінка шума.

4.2.2. Розрахунок усередненій енергії шума.

Шум квантування має інший випадкової послідовності типу «білий шум ». Тому дисперсія шуму не вдома ланцюга відповідно до (2.24), (2.25) визначається за формулою.

де — дисперсія шуму не вдома i-го джерела шуму. З огляду на характер шуму, дисперсія шуму не вдома джерела визначатиметься відомими формулами:

— при округленні чисел.

— при усечении чисел (4.4).

Отже, при округленні чисел.

Дисперсія галасу всіх джерел не вдома ланцюга, за умови відсутності кореляції між джерелами шуму, визначається сумою дисперсій галасу всіх джерел.

(4.5).

де — дисперсія шуму не вдома АЦП при округленні чисел.

— дисперсія шуму не вдома кожного з Z множників при округленні чисел.

Імовірнісна оцінка шуму характеризує усереднений рівень енергії шуму, у реальних умов не виключені короткочасні стрибки перешкоди щодо розрахункового значення.

4.3. Вплив структури ЦФ на шум квантования.

Рівень шуму квантування залежить від добротності полюсів передавальної функції. Добротність К-ого полюси визначається по формуле.

(4.6).

де rk — радіус полюси, Zk = (Рис. 4.2, а), до = кТ — кут полюси, до — частота полюса.

Справді, оскільки Z = epT, то.

Що добротність полюсів, тим більша рівень шумів квантування оскільки високої добротності відповідає тривала циркуляція сигналу по ланцюга ОС за умови повільного зниження рівня сигналу з кожним обходом петлі зворотний зв’язок. Але ланцюг ОС містить, зазвичай, умножители, тому з новою циркуляцією по ланцюга ОС сигнал дедалі більше уражається перешкодою.

Реалізація ланцюга на каскадном принципі дозволяє послабити негативний вплив полюсів на перешкодозахищеність сигналу якщо, з одного боку, кожному полюса підібрати в пару найближчий щодо нього нуль (при збігу полюси і нуля впливу полюси на шум цілком виключена), з іншого боку — розташовувати ланки гаразд наростання добротності полюсов.

Основою каскадної реалізації є уявлення передавальної функції як твори найпростіших сомножителей в чисельнику і знаменателе.

(4.7).

де Z0m — нулі H (Z), Zm — полюси H (Z).

Сомножителям 1-го порядку (нулі і полюси — речові) відповідають ланки 1-го порядку, сомножителям 2-го порядку (нулі і полюси — комплексно-сопряженные) відповідають ланки 2-го порядку. У цьому добротність речовинних полюсів то вище, що ближче одиничної окружності на площині Z розташовується полюс.

Приклад. Побудувати ланцюг на каскадном принципі відомою передавальної функции.

4.4. Квантування коефіцієнтів. Розрахунок разрядности.

Габарити, вага і вартість спеціалізованого процесора, покликаного забезпечити обробки сигналів, тим менше, ніж коротше кодові слова, зокрема, кодові слова, відповідні коефіцієнтам цифровий ланцюга. Кодові слова коефіцієнтів мають, у випадку, нескінченну розрядність, тому розрядність доводиться обмежувати не більше допусків на відхилення від норми системних характеристик.

Спецпроцессор функціонує у системі чисел з фіксованою коми. І тут подрібнена частина кодових слів визначає модуль числа, ціла частина — знак числа: знаку плюс відповідає нуль, знаку мінус — одиниця. Переклад чисел з десяткової системи в двійкову зручно виконати у вигляді таблиці, у якій перша клітина відводиться вихідному числу, інші клітини — результату перемножения на два дробової частини попереднього числа. Ціла частина вересня основних клітинах визначає дробову частина двоичного числа.

Приклад. Дано десяткове число А (10) = 0,32.

Визначити прямий код двоичного числа А (2), якщо розрядність двоичного числа прийняти рівної 8.

Чутливість частотних характеристик досить оцінити на частоті полюси максимальної добротності до, визначене, відповідно до (4.6), значенням кута полюса.

до = кТ.

На частоті до чутливість приймає максимальне значение:

Оцінку максимуму чутливості за коефіцієнтом і можна застосувати, зокрема, розрахуватися розрядності коефіцієнтів по допускам на відхилення АЧХ. Розрахунок починається з визначення середньоквадратичною чутливості за всі коефіцієнтам і.

(4.11).

Необхідність середньоквадратичного критерію пояснюється різним поєднанням знаків чувствительностей залежно від частоти, тому сумарна чутливість може бути рівної нулю навіть у частоті к.

У режимі малих збільшень коефіцієнтів реакція системи проявляється по лінійному закону, тому треба скористатися пропорцией.

і побачити середньоквадратичне значення похибки коефіцієнтів по допуску на відхилення АЧХ Н.

Порівнюючи необхідну значення і реалізоване значення середньоквадратичною похибки коефіцієнтів, можна визначити розрядність коефіцієнтів методом проб.

Як приклад аналізу ланцюга по функції чутливості можна зробити посилання аналіз чутливості полосового ЦФ зміну тактовою частоти. Виявилося, що усунення смуги пропускання збільшенням тактовою частоти, за незмінної ширині смуги пропускання, вимагає збільшення розрядності коэффициентов.

4.6. Масштабирование сигналу в цепи.

Рівень шуму квантування не вдома джерела шуму залежить від рівня сигналу: рівень шуму визначається величиною кроку квантування. Тому співвідношення сигнал/шум то вище, що стоїть рівень сигналу у ланцюги. Але рівні сигналу можуть призвести до переповненню сумматоров ланцюга, тобто. до виходу числа межі розрядної сітки зліва в регістрі сумматора, у якому виробляється сума. У системі чисел з фіксованою коми такою межею називається одиниця.

Переповнення сумматора рівносильне обмеження сигналу згори пороговою нелінійним елементом в аналогової цепи.

Тому не виникає потреба у масштабировании сигналу з такою розрахунком, щоб отримати рівні сигналу у ланцюзі з мінімальним ризиком перевантаження сумматоров. Масштабирование здійснюється спеціальним примножувачем, який встановлюється на вході ланцюга. На рис. 4.3. наведено приклад ланцюга з масштабним умножителем.

Розрахунок множника виконується в кожному сумматору окремо. З багатьох розрахункових значень необхідно вибрати найменше, тобто. того сумматора, який найбільш піддається небезпеки переполнения.

Розрахункові значення рекомендується округлити в менший бік до найближчого числа кратного ступеня 2: операцію множення на число кратну ступеня 2 можна виконати простим зрушенням вересня числовому регістрі, що вона практично не вимагає витрат часу й устаткування множення вступників кодових слів.

Розглянемо методи розрахунку масштабного множника.

4.6.1. Розрахунок за умовою обмеження максимуму сигнала.

Сигнал на вході i-ого сумматора визначається за такою формулою свертки.

Розрахунок масштабного множника по (4.13), тобто. за умовою обмеження максимуму сигналу, призводить до режиму роботи ланцюга, у якому перевантаження сумматоров виключена, але рівні сигналу у ланцюзі - низькі. Тому частіше застосовується варіант розрахунку за умовою обмеження енергії сигналу, який призводить до вищим рівням сигналу.

4.6.2. Розрахунок за умовою обмеження енергії сигнала.

Енергія сигналу не вдома i-го сумматора визначається відповідно до (2.25) по формуле.

Формула справедлива для випадкових сигналів з рівномірним енергетичним спектром, що відповідає реальним сигналам.

Сигнал на вході ланцюга вбирається у одиниці по абсолютну величину, тому сигнал не вдома i-го сумматора не перевищить, найімовірніше, модуля одиниці, якщо зажадати виконання условия:

1.

2. Кореляційні зв’язку сигналу і системи — отсутствуют.

Через війну вихідна формула приймає вид.

Отсюда.

Масштабний умножитель з коефіцієнтом (4.14) забезпечує щодо рівні сигналу у ланцюги, але виникає небезпека перевантажень сумматоров. Перевантаження малоймовірні і короткочасні, для багатьох систем обробки сигналів цілком допустимі, тим паче, що негативний ефект від участі перевантажень можна послабити, якщо підставляти одиницю для виходу сумматора за ознакою переповнення.

4.6.3. Розрахунок за умовою обмеження максимуму посилення цепи.

Посилення ділянки ланцюга від входу ланцюга до виходу i-го сумматора значною мірою визначає умови перевантаження i-го сумматора. Тому, обмежуючи максимум посилення единицей.

дійшли режиму роботи ланцюга, у якому небезпека перевантаження i-го сумматора стає мінімальної, оскільки сигнал на вході ланцюга вбирається у по модулю одиниці. Звідси розрахункова формула для масштабного множителя.

(4.15).

Частоту максимального посилення до можна визначити відомим розі высокодобротного полюси до = кТ (4.6) передавальної функції Hi (Z).

Розрахунок масштабного множника по (4.15) застосовується частіше при каскадної реалізації, коли масштабирование можна виконати всередині кожної звена.

4.7. Динамічний діапазон ЦФ.

Динамічний діапазон ланцюга визначається межами рівня вихідного сигналу. Для цифровий ланцюга, яка у системі чисел з фіксованою коми, динамічний діапазон равен.

[; 1,0],.

де — значення молодшого розряду кодових слов.

Ефективність використання динамічного діапазону оцінюється з одного боку — ймовірністю перевантаження сумматоров, з іншого — величиною помехозащищенности сигналу не вдома ланцюга порівняно з шумів квантування не вдома цепи.

(4.16).

де Rш — перешкодозахищеність сигнала,.

— дисперсія шума.

— усереднена енергія сигнала,.

Рс, Рш — потужності сигналу і шума.

Масштабирование сигналу дозволяє домогтися високої ефективність використання динамічного діапазону цепи.

4.8. Граничні циклы.

Граничними циклами називається помилковий сигнал, що виникає не вдома рекурсивного ЦФ, якби вхід ланцюга надходить сигнал як константи. Причиною появи граничних циклів є процедура квантування сигналу в умножителях, охоплених зворотної зв’язком.

Приклад. Визначити форму граничних циклів заданої ланцюга (рис. 4.4), якщо сигнал не вдома умножителя заокруглюється лише на рівні десятих часткою, а сигнал на вході у момент t=0 переривається, тобто. настає пауза. Стан ланцюга на момент t=0 характеризується умовою: y (-1) = 0,5.

Решение.

Разностное рівняння ланцюга: y (n) = x (n) + 0,8y (n-1).

Рішення разностного уравнения.

n=0: y (0) = 0 + 0,8 * 0,5 = 0,4.

n=1: y (1) = 0 + 0,8 * 0,4 = 0,32 0,3.

n=2: y (2) = 0 + 0,8 * 0,3 = 0,24 0,2.

n=3: y (3) = 0 + 0,8 * 0,2 = 0,16 0,2.

n=4: y (4) = 0 + 0,8 * 0,2 = 0,16 0,2.

…

Отже y (n) = {0,4; 0,3; 0,2; 0,2; 0,2; … }, тобто. сигнал «зависає «лише на рівні 0,2. Якщо знак коефіцієнта 0,8 замінити на протилежний, то форма граничних циклів набирає вигляду знакопеременной послідовності y (n) = {-0,4; 0,3; -0,2; 0,2; -0,2; … }.

У ланцюгах високого порядку граничні цикли мають складну форму і визначаються, за необхідності, моделюванням фільтра на ЭВМ.

Хибні сигнали в системах передачі не припустимі, тому застосовуються різні способи боротьби з граничними циклами. Можна, наприклад, підмішувати до сигналу на вході ланцюга псевдослучайную послідовність нулів і одиниць лише на рівні молодшого розряду кодових слів. Але цього випадку необхідно збільшити на одиницю розрядність кодових слів, щоб перешкодозахищеність сигналу залишити попередньому уровне.

5. Відновлення безперервного сигнала.

Послідовність кодових слів не вдома цифрового фільтра необхідно перетворити на аналоговий сигнал. Перетворення здійснюється з допомогою два пристрої: ЦАП і ФНЧ. У ЦАП відбувається перетворення кожного кодового слова у вузький імпульс, амплітуда якого відповідає значенням кодового слова. У ФНЧ відбувається виділення тієї частини спектра, що відповідає спектру аналогового сигналу.

5.1. Характеристики ЦАП.

Цап перетворює отсчеты сигналу як кодових слів в отсчеты сигналу як імпульсів. Перетворення приміром із постійним коефіцієнтом перетворення, які залежать від величини відліку. Отже ЦАП є лінійної системою, імпульсна характеристика якої збігаються з формою імпульсів не вдома ЦАП. Тому сигнал не вдома ЦАП можна визначити за такою формулою пакунки аналогових сигналов.

yцап (t) = y (t) hцап (t)(5.1).

де y (t)=y (nT) — дискретний сигнал на вході ЦАП,.

hцап (t) — імпульсна характеристика ЦАП.

На рис. 5.1, а, в показано форма сигналів на вході і виході ЦАП з прикладу імпульсної характеристики у вигляді прямокутного імпульсу тривалістю (Рис. 5.1, б).

У частотною області пакунку (5.1) відповідає твір спектров.

Yцап (j) = Y (j) * Hцап (j)(5.2).

де, відповідно до (1.3),.

Y (j) =.

Yа (j) — спектр аналогового сигналу, що підлягає восстановлению,.

Hцап (j) — передатна функція ЦАП.

Множник Т-1 у формулі Y (j) заведено відносити до передавальної функції ЦАП, тому передатна функція ЦАП для випадку, відповідного імпульсу на Рис. 5.1, б, запишеться так.

Hцап (j) = (5.3).

Звідси, якщо.

Hцап (j) / Т (5.4).

що підтверджено відомим фактом спектральною теорії: спектр короткого імпульсу дорівнює його площі й залежить від форми імпульсу.

5.2. Похибки восстановления.

Аналоговий сигнал ya (t) звертається не вдома ФНЧ, який виділяє спектр частот [0; 0,5д], відповідний спектру Yа (j).

Yа (j) = Y (j) * Hцап (j) * Hфнч (j)(5.5).

Нерівномірність реальних частотних характеристик ЦАП і ФНЧ призводить до спотворень восстанавливаемого безперервного сигналу. На рис. 5.2 показані характерні риси реальних АЧХ відновлюють пристроїв.

Спотворення ЦАП обумовлені нахилом АЧХ. На Рис. 5.2 АЧХ відповідає імпульсної характеристиці у вигляді прямокутного імпульсу тривалістю. Але із зменшенням, відповідно до (5.3) і (5.4), падає посилення ЦАП, що зумовлює малим рівням сигналу і, до низькою помехозащищенности сигналу стосовно власним перешкод системы.

Спотворення ФНЧ збільшуються з наближенням до частоті зрізу ФНЧ з = 0,5д. Тому робочу смугу частот сигналу Y (j) доцільно розміщувати на неспотвореному ділянці смуги пропускання ФНЧ, можна зробити збільшенням тактовою частоти буд цифрового фільтра. Отже, якщо є можливість збільшити тактову частоту, то ролі ФНЧ можна використовувати просту ланцюжок RC. Інакше якісні показники восстанавливающего устрою доводиться покращувати ускладненням схеми ФНЧ. Нарешті, похибки відновлення можна компенсувати, якщо створювати відповідні предыскажения в ЦФ. І тут норми на проектований ЦФ необхідно поправити для реальні характеристики ЦАП і ФНЧ.

1. Гольденберг Л. та інших. Цифрова обробка сигналів. — Навчальний посібник для вузів. — М.: Радіо і Зв’язок, 1990 г.

2. Гоноровский І.С. Радіотехнічні кайдани й посадили сигнали. — М.: Радіо і зв’язок, 1986 г.

3. Гольденберг Л. та інших. Цифрова обробка сигналів. — Завдання і вправи. Навчальний посібник для вузів. — М.: Радіо і Зв’язок, 1992 г.

4. Карташев В. Г. Основи теорії дискретних сигналів та на цифрових фільтрів. — М.: Вищу школу, 1982 г.

5. Гольденберг Л. та інших. Цифрова обробка сигналів. — Довідник — М.: Радіо і Зв’язок, 1985 г.

6. Лем Р. Аналогові і цифрові фільтри. Розрахунок і реалізація. — М.: Радіо і зв’язок, 1982.

7. Антонью А. Цифрові фільтри: аналіз стану та проектування. — М.: Радіо і зв’язок, 1983 г.

8. Крук Б.І. та інших. 25 питань стосовно цифровим фильтрам. Видання НЭИС, 1990 г.

9. Зеневич А. Ф. Дискретні сигнали й ланцюги. Навчальний посібник. Видання НЭИС, 1992 р.