Практичне заняття з математики

Практичне заняття.

і покажемо, що існує такий номер N, що для всіх членів послідовності з номерами n > N виконується нерівність.

(1).

Для визначення N досить розв’язати нерівність (1) відносно n:

.

то за N можна взяти 1 або будь-яке інше натуральне число.

2. З’ясувати, чи має границю послідовність (xn), якщо:

) монотонно зростає. Отже, вона має границю.

. Отже, згідно з означенням, послідовність немає границі, тобто є розбіжною.

. Тоді за властивістю 2) задана послідовність має границю, що дорівнює 0.

3. Обчислити границі:

тому його границя також дорівнює нулю. Отже, за властивістю 1(задана послідовність є нескінченно малою.

(найвищий степінь n). Дістанемо.

то, застосувавши теорему про границю суми і добутку, помічаємо, що границя чисельника дорівнює 1, а знаменника 3. за теоремою про границю частки маємо.

а потім скористаємось теоремою про границю суми і частки. Дістанемо.

г) Аналогічно попередньому маємо.

У прикладах б) — г) порівняйте старші степені чисельників і знаменників заданих дробів і зробіть висновок відносно одержаних відповідей.

д) У даному випадку маємо різницю двох нескінченно великих послідовностей. Позбавимося ірраціональності в чисельнику, вважаючи, що знаменник дорівнює 1, і застосуємо теорему про зв’язок нескінченно малої і нескінченно великої послідовностей. Матимемо.

е) Поділивши чисельник і знаменник виразу, що стоїть в дужках, на n і скориставшись властивістю степеня, дістанемо.

Користуючись теоремою про границю добутку, частки і формули (1), маємо.

то.

ж) Маємо границю послідовності комплексних чисел. Обчислимо границі дійсної та уявної частин цієї послідовності. Оскільки.

Вправи для самоперевірки.

1. Довести, що:

коли:

якщо:

;

Відповідь: а) так; б) так; в) ні.

4. Обчислити границі:

; 6) 6; 7) 1; 8) 2;

;

.

Відповідь: S=3.

Використовуючи теорему про границю добутку маємо:

Відповідь: — 9.

.

Завдання для перевірки знань.

має границею число 2.

має границею число 1,5.