Функції та способи їх задання

Функції та способи їх задання.

.

.

План.

1. Деякі властивості функції.

2. Області визначення та значення функції заданої аналітично.

3. Основні елементарні функції.

4. Складні та елементарні функції.

ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ ФУНКЦІЯ Поняття функціональної залежності.

Величина називається змінною (сталою), якщо в умовах даної задачі набуває різних (тільки одне) значень.

Розглянемо дві змінні величини .

Означення: Функцією у = f (x) називається така відповідність між множинами D і Е, при якій кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної у.

При цьому вважають, що:

х — незалежна змінна або аргумент;

у — залежна змінна або функція;

f — символ закону відповідності;

D — область визначення функції;

Е — множина значень функції.

Розрізняють три способи завдання функції: аналітичний, графічний і табличний.

Означення: Функція у = F (u), де и = .

Приклад: .

Означення: Нехай функція у = f (х) встановлює відповідність між множинами D та Е. Якщо обернена відповідність між множинами Е та D буде функцією, то вона називається оберненою до даної у = f (x) і її позначають .

За означенням, для взаємно обернених функцій маємо.

.

Приклад: .

Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х (рис. 3.1).

Означення: Функція (функціональна залежність змінної у від змінної х) називається.

неявною, якщо задана рівнянням F (x, у) = 0, яке не розв’язане відносно змінної y.

Приклад: Рівняння у+х+2у=0 визначає неявну функцію у від х.

Загальні властивості функцій Означення: Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежить також від умови задачі.

Приклад: Знайти область визначення функції.

.

.

D (y)=(-1; 0).

Означення: Функція у = f (x) називається парною (непарною), якщо для будь-якого х .

Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для х .

.

Означення: Функція у = f (x) називається періодичною, якщо для х .

Приклад: у = tgx — періодична функція з мінімальним періодом Т = .

Означення: Функція у — f (x) називається обмеженою на множині D, якщо для всіх х .

Означення: Функція у — f (x) називається монотонно зростаючою (спадною) на множині D, якщо для всіх х .

3.1.3. Елементарні функції.

Основні з них:

1) степенева у = ха;

1) степенева у = ха;

2) показникова у = ах, а > 0, а .

3) логарифмічна у = logа х, а > 0, а .

4) тригонометричні: у = cosx (рис. 3.2); у = sinx (рис. 3.9); у = tgx (рис. 3.5); у = ctgx (рис. 3.10);

5) обернені тригонометричні: y = arcsinx (рис. 3.6); y = arccosx (рис. 3.4); у = arctgx (рис. 3.5); у = arcctgx (рис. 3.11).

.

Означення: Функція у=у (х) називається алгебраїчною, якщо у (х) — розв’язок рівняння.

.

.

Дробово-раціональною функцією буде відношення многочленів.

.

План практичних занять.

1. Функції, їх властивості та області визначення.

Термінологічний словник ключових понять:

Функція — це така відповідність між множинами D та Е, при якій кожному значенню змінної x.

Функція визначена, якщо х — 1.

2. Приклад: Знайти область визначення функції.

.

а) Так як .

б) Маємо .

.

.

_.

.