Завдання 5. Наближене розв'язування трикутників способом аддитаментів

Сторони сферичного трикутника ABC можна виразити в частинах радіусу R кривизни поверхні сфери через виміряні кути А, В, С і вихідну сторону, а за теоремою синусів співвідношеннями такого вигляду:

для сторони b.

для сторони с.

Якщо синуси сторін розкласти в тригонометричний ряд, то після спрощення виразів з точністю малих величин до четвертого порядку отримаємо:

для сторони b ;

для сторони с.

Члени форму; розкладуємо в біноміальний ряд (1-x)^-1 = 1 + x + x² + … i з такою ж точністю остаточно отримаємо:

для сторони b ;

для сторони с.

Величини, , називають аддитаментами.

Аддитаменти — це поправки до сторін сферичного трикутника, з врахуванням яких його можна розв’язувати за сферичними кутами на основі теореми синусів плоскої тригонометрії. Отже, для сторони b ;

для сторони с.

Числові значення аддитаментів невідомих сторін можна розраховувати за приблизними значеннями їх довжин:

та.

Отримані формули дійсні при розв’язуванні сферичних трикутників з довжинами сторін до 200 км.

Для забезпечення точності обчислень довжин сторін m_s = ±0,001 м у тріангуляції 1 класу при обчисленні аддитаментів середній радіус R кривизни поверхні сфери достатньо вважати постійним для поясу між паралелями протяжністю ±5° відносно середньої широти В_m . Оскільки пояс в 10° по широті відповідає 1000 км, то середньою широтою В_m можна вважати широту деякої середньої точки мережі тріангуляції, якщо віддаль від неї до крайніх точок досягає 500 км у напрямі з півдня на північ. Оскільки територія України розташована в широтах приблизно від 44° до 52°, то практично при обчисленні аддитаментів достатньо прийняти середню широту В_m 48° і середній радіус кривизни поверхні сфери R = 6 380 461м.

Якщо розв’язування сферичного трикутника розпочинати за виміряними кутами, то попередньо потрібно позбутися його кутової нев’язки і визначити виправлені сферичні кути. Кожен з виправлених кутів розраховують як суму виміряного кута і поправкиw/3, де нев’язка w = A + B + C — 180° - е. е — сферичний надлишок трикутника.

Послідовність виконання завдання.

Розв’язати два малих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо довжина вихідної сторони метрів, середня широта N — номер варіанту. Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці.

Вихідні дані.

Результати вимірів кутів.

Номер варіанту N = 9

Сталі величини

Робочі формули

Трикутник № 1.

Трикутник № 2.

Відомість наближеного розв’язування трикутників.