Перевірка матриці парних порівнянь на узгодженість

Теорема. Додатна зворотньосиметрична матриця є узгодженою тоді і тільки тоді, коли порядок матриці і її найбільше власне значеня співпадають:

max = n.

Якщо елементи додатної зворотньосиметричної погодженої матриці А змінити незначно («поворухнути»), те максимальне власне значення max також зміниться незначно. Якщо max? n, завжди max>n.

Для отримання max необхідно виконати наступні дії. Помноживши матрицю порівнянь на отриману оцінку власного вектора, одержимо новий вектор. Розділивши перший компонент цього вектора на перший компонент власного вектора, другий компонент нового вектора на другий компонент власного вектора і т.д., визначимо ще один вектор. Розділивши суму компонентів цього вектора на число компонентів, знайдемо наближення до числа лmax (що називається називаному максимальним або головним власним значенням), використовуваному для оцінки узгодженості, що відбиває пропорційність переваг. Чим ближче лmax до n (кількості об'єктів або видів дії в матриці), тим більш узгоджений результат.

Як ступінь відхилення позитивної зворотно-симетричної матриці А від узгодженої матриці приймається наступне відношення:

(5).

яке називається індексом узгодженості (ІУ) матриці А і є показником близькості цієї матриці до узгодженої. Тепер необхідно зрівняти значення індексу узгодженості з значенням випадкової погодженості (величина, що вийшла б при випадковому виборі кількісних суджень зі шкали 1/9; 1/8; 1/7, …, ½, 1, 2 ,…, 9 при утворенні зворотньосиметричної матриці). У таблиці 4 представлені значення випадкових погодженостей для матриць різних розмірностей.

Таблиця 4 Випадкова погодженість (ВП).

Якщо розділити ІУ на число, що відповідає випадкової погодженості матриці того ж порядку, виходить відношення узгодженості (ВУ):

Величина відношення узгодженості повинна бути порядку 10% або менше, щоб бути прийнятною. Якщо значення ВУ виходить із цих меж, то експертам потрібно досліджувати завдання й переглянути судження.

Оцінимо відношення узгодженості для матриці попарних порівнянь другого рівня (Таблиця 1). Для цього спочатку визначаємо лmax. Матрицю порівнянь (табл. 1.) множимо на власний вектор (табл. 2). Отримуємо вектор

Поділивши поелементно цей вектор на власний вектор (табл. 1.) отримуємо наступний вектор:

Визначаємо сума елементів цього вектора:

6,125 531+6,627 394+6,837 061+6,90 155+6,312 755+6,584 191 = 38,57.

Ділимо цю суму на кількість критеріїв і отримаємо максимальне власне число матриці.

лmax = 38,57/6 = 6,43.

Індекс узгодженості:

ІУ = (6,43 — 6) / (6−1) = 0,086.

Відношення узгодженості (ВП береться з табл. 4., для n=6 ВП = 1,24).

ВУ = (0,086 / 1,24) * 100% = 6,93%.

Як бачимо показники узгодженості матриці парних порівнянь другого рівня знаходяться на прийнятному рівні.

Наступним етапом є побудова матриць попарних порівнянь третього рівня.

Для кожного критерію проводяться попарні порівняння альтернатив і відповідно до формул (1) — (6) реалізуються етап синтезу локальних пріоритетів zj (j — номер альтернативи, j = 1, 2, …, m, у нашому випрадку m = 6) і дослідження матриці на узгодженість аналогічно тому, як це представлено для матриці парних порівнянь другого рівня. У таблиці 5 проведені парні порівняння альтернатив за критерієм А1 «Дослідження».

Таблиця 5 — Матриця попарних порівнянь третього рівня за критерієм «А1. Дослідження»

За виразами (1), (2) визначаємо порівняльний пріоритет альтернатив за першим критерієм (табл. 6).

Таблиця 6. Значення власного вектора матриці парних порівнянь відносно критерія «Дослідження».

Перевірка за виразом (3).

0,16+0,59+0,25 = 1.

лmax = 3,05; ІУ = 0,025; ВУ = 0,04. Отже, матриця узгоджена.

Будемо вважати, що значення компонентів вектора означають, що по критерію «Дослідження» альтернатива В зайняла перше місце (0,59), альтернатива С — друге (0,25), альтернатива, А — третє (0,16).

Для усіх шести матриць парних порівнянь третього рівня наведемо результати розрахунків в таблиці 7.

Таблиця 7. Матриці парних порівнянь третього рівня.

Аналіз результатів етапу обчислення векторів приорітетів для матриць парних порівнянь третього рівня. Обчислення ВУ ієрархії.

З урахуванням отриманих результатів для матриць попарних порівнянь третього рівня представимо в таблиці 8 сумарна кількість перших, других і так далі місць, зайнятих кожною альтернативою при обчисленні значень компонент векторів локальних пріоритетів.

Таблиця 8 — Сумарна кількість місць, зайнятих кожною з альтернатив.

Аналіз кількості місць, зайнятих кожної з альтернатив, свідчить про деяку перевагу місця роботи, А (три перших місця, два других та одне третє) над місцем С (два перших місця, чотири других), далі випливає місце роботи В.

Щоб оцінити погодженість всієї ієрархії, треба скористатися наступною формулою:

(7).

де xi — значення i-ой компонента вектора локальних пріоритетів другого рівня, обчислене відповідно до (2); ІУi — значення i-го індексу погодженості матриць попарних порівнянь третього рівня; ВП (m) — значення випадкової погодженості для m = 3.

Згідно (7) отримаємо:

ВУієрархії.

= (0,17*0,025+0,19*0+0,19*0+0,05*0,105+0,15*0+0,25*0,025)*100% / 0,58 =.

=(0,043+0+0+0,053+0+0,063)*100% / 0,58 = 2,72%.

Значення відносної узгодженості всієї ієрархії, менше 10%, є задовільним. В противному випадку необхідно знайти причини неузгодженості й запропонувати ОПР заходи щодо усунення неузгодженості. Аналіз проміжних результатів у чисельнику дробу (7) при обчисленні значення ВУієрархії показує, що найбільший внесок у непогодженість всієї ієрархії вносить шоста матриця парних порівнянь (критерій А6 «Репутація»), потім — четверта та перша матриці з відповідними вагами 0,0063>0.0053>0.0043, друга, третя й п’ята матриці є ідеально погодженими (у чисельнику дробу проміжних результатів відповідні внески мають нульове значення).