Типологія правил висновку

Умовивід аналізується на двох рівнях: синтаксичному і семантичному.

З точки зору синтаксису умовивід являє собою правило висновку. Правилом висновку є норма, що дозволяє із суджень однієї логічної структури як засновків отримувати судження певної логічної структури як висновок.

Кожне правило репрезентує нескінченну множину умовиводів різноманітних за змістом, але єдиної синтаксичної структури.

Ця логічна структура є правилом висновку, яке регламентує найрізноманітніші міркування лише в рамках схеми, заданої цим правилом.

Враховуючи характеристику правила висновку, наведеного вище, можна сказати, що систематичний огляд правил висновку логіки суджень сприятиме розгляду всіх можливих міркувань у цій логіці. Тому розглядаючи те чи інше правило висновку логіки суджень, мають на увазі, що тут йдеться про конкретні міркування, які репрезентуються цим правилом.

Правила висновку логіки висловлювань поділяються на:

• — основні та
• — похідні.

У свою чергу основні та похідні правила поділяються на:

• — прямі та
• — непрямі.

О с н о в н и м и називаються правила, які змістовно очевидні і дозволяють відрізнити правильно побудовані міркування від неправильно побудованих міркувань.

П о х і д н и м и називаються правила, які виводяться із основних і сприяють скороченню процесу висновку.

П р я м и м и називаються правила, які вказують на безпосереднє виведення висновку із засновків.

Н е п р я м и м и називаються правила, які дають можливість стверджувати правомірність деяких висновків на основі визнання правомірності інших висновків.

Систему правил висновку логіки суджень можна записати за допомогою такої схеми:

Розгляд правил висновку логіки суджень розпочнемо з основних прямих правил.

Правило введення кон’юнкції (ВК):

Правило введення диз’юнкції (ВД):

Треба враховувати різницю смислів сполучника «або»: і) сполучно-розділове «або»; і) суворо розділове «або».

Нехтування цією різницею при вживанні диз’юнкції призводить до логічної помилки. Наприклад,.

Якщо приєднати висновок до засновків через імплікацію, то у результаті не отримаємо тотожно-істинної формули, а отже, висновок не відповідає визначенню правильного дедуктивного умовиводу.

У тих випадках, коли неможливо вирішити, в якому смислі вживається сполучник «або», треба посилатися на смисл сполучника «або» у сполучно-розділовому розумінні.

Розглянемо другий приклад.

Правила висновку логіки висловлювань бувають основні та похідні.

Це правило — основне_.

Отже, це правило не похідне.

Логічна структура цього міркування має такий вигляд:

Приклад міркування за правилом введення еквіваленції:

Якщо суд визнає вину обвинувачуваного, то він мав на це достатні підстави.

Якщо суд має достатні підстави щодо визнання вини обвинувачуваного, то він визнає його винним.

Отже, якщо і тільки якщо суд визнав вину обвинувачуваного, то він мав на це достатні підстави.

Як уже зазначалося, окрім наведених основних прямих правил висновку логіки висловлювань існують і основні непрямі. До них відносяться:

• а) правило введення імплікації,
• б) правило введення заперечення.

Розглянемо правило введення імплікації: Правило введення імплікації (ВІ):

Це правило використовується у тих вивідних процесах, коли для отримання висновку ми звертаємося до припущень, які полегшують процедуру виведення. Його можна сформулювати так: «Якщо із засновків П і з припущення, А випливає В, то можна стверджувати вивідність із цих засновків, А ^В».

то суд його виправдає.

Суд визнав обвинувачуваного винним.

В діях обвинувачуваного немає складу злочину.

Суд визнав обвинувачуваного невинним.

Отже, невірно, що в діях обвинувачуваного немає складу злочину.

II. Якщо в діях підозрюваного є склад злочину, то проти нього може бути порушена кримінальна справа. Якщо проти підозрюваного порушена кримінальна справа, то лише суд визначає міру запобіжного заходу. Отже, якщо в діях підозрюваного є склад злочину, то лише суд може визначити міру запобіжного заходу.

Визначення цього правила таке: «Якщо із засновків і довільного припущення, А випливають два суперечливих висловлювання В і В, то таке припущення повинно бути визнаним як хибне, істинним визнається А».

Зупинимося на розгляді похідних правил висновку логіки висловлювань.

Правило транзитивності імплікації (ТІ):

Обґрунтування правил висновку

Для подальшого розгляду правил необхідно прийняти деякі домовленості. Аналізуючи правила, природно виникає питання, чи можна перевірити надійність цих правил, їх коректність. На рівні семантики це можна зробити шляхом побудови таблиць істинності, шляхом еквівалентиних перетворень, методом аналітичних таблиць (про що буде сказано пізніше). На рівні синтаксису така перевірка здійснюється через побудову доведення останнього рядка правила.

Розглянемо на прикладі правила транзитивності імплікації його семантичне та синтаксичне обґрунтування (на предмет коректності).

Спочатку зупинимося на семантичному обґрунтуванні.

Побудова таблиць істинності, еквівалентні перетворення (КНФ) досить громіздкі, тому можна запропонувати такий спосіб.

Отже, засновки у нашому правилі не можуть бути істинними, а висновок — хибним, а це свідчить, що це правило логічно коректне і гарантує правильність відповідних його структурі змістовних міркувань.

Схематично така перевірка коректності правила висновку зображується таким чином:

З цієї схеми очевидно, що при будь-яких значеннях В наше припущення про логічну некоректність правила відпадає. У такий, можна сказати, досить економний спосіб можна перевірити кожне з правил.

Синтаксичне обґрунтування правила висновку передбачає побудову виведення останнього рядка із засновків.

Для цього розгорнемо правило, вставивши між засновками і висновком проміжні ланки, які в правилі опущені.

Доведення здійснюється таким способом:

• 1. Виписуємо засновки, що входять до правила.
• 2. Зліва виписуємо кроки доведення.
• 3. Справа напроти кожного кроку виписуємо його підставу (це може бути домовленість про введення чергового припущення, або певне правило). Праву сторону такого запису називають аналізом доведення.

Здійснимо доведення правила ТІ:

Відповідно до цього правила із заперечення диз’юнкції слідує кон’юнкція заперечень висловлювань, що її складають.

Наведемо приклад міркування, побудованого за правилом ЗД:

Наведемо приклад конкретного міркування, що регламентується цим правилом:

Наведемо приклад міркування, побудованого за правилом простої контрапозиції:

Наведемо приклад конкретного міркування за правилом складної контрапозиції:

Отже, ми розглянули правила висновку логіки висловлювань, які в сукупності є множиною можливих конкретних міркувань. Також з’ясували, що перевірка коректності правила висновку можлива шляхом побудови таблиці істинності для формули, що представляє висновок та доведення останнього рядка правила висновку.

Метод аналітичних таблиць

Окрім цих способів перевірки правила висновку (ми наголошуємо саме на перевірці правила висновку, а не на висновку, саме тому, що будь-який висновок це є по суті втілення конкретного правила висновку, тому перевірка коректності висновку зводиться до перевірки коректності правила висновку) існує ще перевірка шляхом застосування методу аналітичних таблиць.

Основу методу аналітичних таблиць складає звичайне визначення таблиць істинності для пропозиційних зв’язок, а сама аналітична таблиця будується навпаки. Виходимо із того, що значення істинності усього виразу нам відомо, залишається знайти лише значення істинності для елементарних висловлювань, з яких складається цей вираз.

Іншими словами, таблиці називаються аналітичними тому, що розкладаючи вихідне висловлювання на елементарні висловлювання (на атоми), ми намагаємося знайти набір значень атомів, при яких би вихідне висловлювання було хибне.

Розглянемо застосування методу аналітичних таблиць для перевірки коркетності висновку у логіці висловлювань. Наприклад, візьмемо складне висловлювання:

Припустимо, що воно хибне. Якщо в результаті встановлення значення атомів, з яких складається вихідне висловлювання, прийдемо до протиріччя, то цим самим буде аргументована коректність висновку, відображеного в цьому висловлюванні.

Для побудови аналітичної таблиці необхідно виконати такі умови:

• 1. Нумерацію рядків таблиці розпочинають з 0 (нуля).
• 2. Наслідки відділяються від припущення горизонтальною рискою.
• 3. Наслідки, які отримані із одного з попередніх висловлювань позначають римськими цифрами.
• 4. Аналітична таблиця складається з гілок. Таблиця вважається замкненою, якщо в ній зустрічається пара висловлювань ТА і ТА, а вся аналітична таблиця вважається замкненою, коли кожна її гілка замкнена.

Замкненість аналітичної таблиці позначається знаком (+) (у нашому прикладі після 7 рядка). Отже, наведене висловлювання тотожно істинне, припущення про його хибність відпадає і можна стверджувати, що дане складне висловлювання коректне відносно правил висновку логіки висловлювань.

Розглянемо складніший випадок.

логіка умовивід аналітичний.

Якщо висновок логіки висловлювань неправильний, то при побудові аналітичної таблиці отримаємо хоча б одну незамкнену гілку. Побудуємо аналітичну таблицю висловлювання:

Отже, дане висловлювання не є тавтологією, а це означає, що воно має неправильний висновок.