Моделирование процесів переробки пластмасс

РЕФЕРАТ.

Ця курсова робота містить 26 аркушів друкованого тексту, 7 малюнків, 66 формул.

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ, ДИФЕРИНЦИАЛЬНОЕ РІВНЯННЯ, ТЕПЛОПРОВІДНІСТЬ, ЧАС, ЛИТНИКОВЫЙ КАНАЛ, ОХОЛОДЖЕННЯ, ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ.

Курсова робота містить розрахунок температурного поля литникового каналу литьевой форми, теоретичні інформацію про процесах які у хімічної технології що з охолодженням і нагріванням матеріалів, побудова математичну модель описує теплообмін між бесконечно-длинным циліндром та її поверхнею, опис змінних які входять у модель. Розроблено програму яка описувала охолодження полистирольного литника формы.

РЕФЕРАТ 2.

ЗМІСТ 3.

ЗАПРОВАДЖЕННЯ 4.

1. АНАЛІЗ ВИХІДНИХ ДАНИХ 5.

1.1 НЕОБМЕЖЕНИЙ ЦИЛІНДР. 5.

1.2 ОПИС ЗМІННИХ 5.

1.3 ГРАНИЧНІ УМОВИ 5.

2 СПІЛЬНІ ТЕОРЕТИЧНІ ДАНІ 6.

2.1 ТЕПЛООБМІН 6.

2.1.1 Теплопровідність 6.

2.1.2. Теплопередача в стаціонарному режимі. 7.

2.1.3. Нестационарная теплопровідність. 7.

2.2. НАГРІВАННЯ І ОХОЛОДЖЕННЯ ТІЛ ПРОСТИЙ ГЕОМЕТРИЧНІЙ ФОРМИ 8.

2.2.1. Пласке необмежена пластина. 8.

2.2.2 Необмежений циліндр. 10.

2.3. ТЕПЛОПРОВІДНІСТЬ У ПРОЦЕССАХ, ЩО СУПРОВОДЖУЮТЬСЯ ЗМІНОЮ ФІЗИЧНОГО СОСТОЯНИЯ 11.

2.3.1. Плавлення у сфері x > 0. 12.

2.3.2. Затвердіння. 12.

2.3.3 Плавлення з безперервним видаленням розплаву. 13.

2.4.ТЕПЛОПЕРЕДАЧА У ПОТОКАХ РОЗПЛАВУ 13.

2.5. ПРОМЕНИСТИЙ ТЕПЛООБМІН 15.

3. СКЛАДАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ДОСЛІДЖУВАНОГО ПРОЦЕСУ. 17.

3.1. СПЕЦИФІКА ПОБУДОВИ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ЩО ОПИСУЮТЬ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕСИ 17.

3.2. ВИСНОВОК ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ. 17.

4 СКЛАДАННЯ АЛГОРИТМУ 20.

5 СКЛАДАННЯ ПРОГРАМИ 22.

6 АНАЛІЗ МОДЕЛЮВАННЯ І РОЗРАХУНКІВ 24.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛІТЕРАТУРИ 25.

ПРИЛОЖЕНИЕ1 26.

ПРИЛОЖЕНИЕ2 27.

Переробка полімерних матеріалів — це сукупність технологічних прийомів, методів і процесів, з яких вихідний полімер перетворюють на різні вироби із наперед заданими експлуатаційними характеристиками.

Полімери почали переробляти наприкінці ХІХ в., а до середини XX в. переробка полімерів виділилася на самостійну область техніки, у якій використовується спеціалізоване високопродуктивне устаткування, необхідне реалізації з промисловою масштабах специфічних для полімерів технологічних процессов.

У результаті великий продуктивності сучасного переробного устаткування й високу вартість технологічних ліній проведення експериментальних досліджень реального процесу переробки полімерів, навіть проведених із застосуванням сучасних методів екстремального планування, перетворюється на дорогу і тривалу роботу. Тому доцільно вивчати особливість кожної конкретної процесу, розглядаючи спочатку його теоретичне опис, т. е. його математичну модель.

За такого підходу у кожному даному випадку етапу фізичного експерименту (чи це створення нескладної установки, конструювання технологічної лінії чи випробування нового технологічного режиму) завжди передує етап теоретичного експерименту. Аналізуючи цей етап не потрібно вдаватися до реальних експериментам, натомість досліджуються кількісні характеристики процесу, отримані розрахунковим методом.

Такий їхній підхід дозволяє істотно знизити обсяг фізичного експерименту, оскільки вдаватися щодо нього посідає останній стадії — над процесі пошуку основних закономірностей, а перевірки і уточнення виданих рекомендацій. Зрозуміло, щоб досліджувані теоретичні моделі процесів описували ці процеси з досить хорошим наближенням, вони неодмінно мають враховувати основні особливості моделируемых явлении.

При математичному описі реальних виробничих процесів доводиться вдаватися до істотним спрощенням. У цьому значну допомогу у створенні математичних моделей надає аналіз простих випадків. Прийом що така можна припустити, вона дозволяє незалежно встановлювати основні закономірності найпростіших випадків вибраних як математичного аналога поведінки полімерних расплавов.

Термодинамические співвідношення, описують розігрів і плавлення полімерів, є фундаментом, з урахуванням якого будуються неизотермические моделі реальних процесів переробки. Основні питання термодинаміки і теплопередачі в полимерах розглянуті у цій работе.

1. АНАЛІЗ ВИХІДНИХ ДАННЫХ.

1.1 Необмежений цилиндр.

Розглянемо необмежений циліндр радіуса R, температура поверхні якого залишається незмінною протягом усього процесу теплообміну. Радіальне розподіл температурах початковий момент поставлено як деякою функції Т®. Необхідно відшукати розподіл температур. Такі завдання зустрічаються при розрахунку процесів охолодження полімерної волокна, затвердіння литников литьевых форм тощо. п.

Диференціальний рівняння теплопровідності для циліндра має вид:

(1.1).

Крайові умови: (1.2).

(1.3).

(1.4).

Рішення, отримане методом поділу змінних, має складний вид тому завданням даної роботи є підставою знайти чисельна його решение.

1.2 Опис переменных.

Рівняння теплопровідності встановлює залежність між такими величинами котрі характеризують процес теплопроводности:

T-температура за Цельсієм (градус).

r-радиус циліндра (М).

t-время ©.

a-коэффициент температуропроводности (градус/с*м2).

21.3 Граничні условия.

Аби вирішити даного диференціального рівняння у приватних похідних необхідними даними є значення похідних температури по радіусу на осі циліндра, що має бути рівної нулю (1.4).

Температуру стінки циліндра, якою відбувається охолодження литника приймемо рівної 30 градусов.

(1.5).

Радіус литника зазвичай становить 0.01 м.

R=0.01 (1.6).

Розподіл температури в початковий час по радіусу поставлено як убутній експоненційною функції, щоб похідна температури по.

часу на осі циліндра була рівної нулю, радіус будуємо в квадрат (1.7).

(1.7).

2 СПІЛЬНІ ТЕОРЕТИЧНІ СВЕДЕНИЯ.

2.1 Теплообмен.

Розрізняють три виду теплообміну: теплопровідність, теплопередача конвекцией і променистий теплообмен.

Передача тепла з допомогою теплопровідності ввозяться результаті руху молекул, атомів і електронів; він відіграє значної ролі при теплообмене твердих і розплавлених полимерах. При конвекції, можливої лише у рідинах і газах, тепло передається з допомогою відносного руху частинок нагрітого тіла. При променистому теплообмене передача тепла між просторово розділеними частинами тіла відбувається поза рахунок електромагнітного излучения.

2.1.1 Теплопроводность.

Основне завдання теорії теплопровідності є з’ясування розподілу температур всередині тіла. Якщо розподіл температур залежить від часу, то завдання теплопровідності є стаціонарної; якщо розподіл температур залежить від часу, то завдання стає нестационарной.

Передача тепла відбувається в першій-ліпшій нагоді, як у тілі існує температурний градієнт. За законом Фур'є, що лежить у в основі всіх розрахунків теплопровідності, для изотропных матеріалів вектор теплового потоку q пропорційний температурному градиенту:

(2.1).

де q — кількість тепла, який струменіє через одиничну поверхню, перпен дикулярную напрямку теплового потока;

k — коефіцієнт теплопроводности.

Вважаючи в рівнянні енергетичного балансу V = Про, получим:

(2.2).

Рівняння (2.2) є рівняння теплопровідності для изотропного твердого тела.

Якщо всередині изотропного тіла є джерело тепла, то рівняння (2.2) необхідно доповнити членом, враховує тепловыделение.

(2.3).

де — коефіцієнт температуропроводности [заміна на в рівнянні (2.3) можлива для несжимаемых твердих тел];

— оператор Лапласа в прямокутної системі координат.

(2.4).

G — інтенсивність внутрішніх тепловыделений, віднесена до одиниці объема.

Прикладами внутрішніх тепловыделений є поглинання інфрачервоних променів в напівпрозорих середовищах, экзотермический ефект хімічних реакцій тощо. п.

2.1.2. Теплопередача в стаціонарному режиме.

Теплопередачу в безупинно діючих нагрівальних системах переробного устаткування можна як независящую від часу. Отже, розподіл температур носить усталений характері і визначається інтегруванням диференціального рівняння (2.5).

(2.5).

2.1.3. Нестационарная теплопроводность.

Найчастіше у реальних процесах переробки має справу з нестационарным режимом теплопровідності, коли полімер піддають нагріванню чи охолодження (наприклад, охолодження у вигляді відлитого вироби). Теоретичні дослідження процесу нестационарной теплопровідності є великий розділ математичної фізики. Рішення, одержувані внаслідок інтегрування рівняння (2.5), є функції часу й просторових координат, задовольняють початковим і граничним умовам. Розрізняють чотири роду граничних умов Умови першого роду: поставлено розподіл температур лежить на поверхні, що може чи бути постійним, або залежати від часу; в найпростішому разі, якщо становище кордонів визначається одним числом (наприклад, відстанню L), такі граничні умови математично визначаються вираженням виду (2.6):

(2.6).

Умови другого роду: задана щільність теплового потоку кожної точки поверхні тіла як функція времени:

(2.7).

Умови третього роду: заданий коефіцієнт теплообміну, але в кордоні й температура контактують із граничной поверхнею среды:

(2.8).

Умови четвертого роду: відповідають теплообміну тіла з довкіллям згідно із законом теплопровідності чи теплообміну системи тіл, що у тепловому контакті (температура стичних поверхонь одинакова):

(2.9).

(2.10).

Аналітична теорія нестационарной теплопровідності має великим набором рішень одномірних завдань, яких прийнято зводити усе різноманіття завдань, можна зустріти в інженерної практиці. Нині отримані аналітичні рішення теплопровідності в пласкою стінці, в циліндрі, в корпусі й у сфере.

2.2. Нагрівання і охолодження тіл простий геометричній формы.

2.2.1. Пласке необмежена пластина.

Під необмеженої зазвичай розуміють таку пластину, завширшки довжина якої в багато разів перевищують товщину. Отже, необмежена пластина (рис. 2.1) є тіло, обмежений двома паралельними площинами. Зміна температури відбувається щодо одного напрямі (x), у інших напрямах (у і z) температура неизменна.

Рис. 2.1. Становище координат для дослідження теплового процесу у необмеженої пластине.

Отже, завдання є одномірної. Для одномірного теплового потоку без внутрішнього джерела тепла рівняння теплопровідності зводиться до виду: (2.11).

Зазвичай використовують граничні умови третього рода:

(2.12).

Розглянемо випадок, як у початковий момент температура пластини переважають у всіх точках була однакова і дорівнює Т. е. Це початкова умова записується в виде:

(2.13).

Рішення, отримане методом перетворення Лапласа, має вид:

(2.14).

Тут — безрозмірна температура;

— критерій Фур'є (критерій гомохронности для процесів чистої теплопровідності);

— безрозмірна координата;

— функція помилок, де ;

Якщо коефіцієнт тепловіддачі дуже високий (це еквівалентно завданням постійної температури на стінці), рівняння (2.14) упрощается:

(2.15).

Для прикидочних розрахунків зручно користуватися номограммой залежності? від представленої на рис. 2.2.

Рис. 2.2 Номограмма визначення безразмеоной температури в сечении необмеженої пластини при.

Якщо значення критерію Фур'є велике, але з одно нескінченності, рішення має вид:

(2.16).

Тут (2.17).

де — коріння характеристичного уравнения.

(2.18).

де Bi = aw/? — критерій Био.

Рівняння (2.18) має незліченну кількість дійсних позитивних коренів. Перші п’ять коренів щодо різноманітних значень критерію Біо були враховано Карслоу і Егером. Зазвичай практично користуються номограммами. Номограмма що дозволяє визначити безрозмірну температуру що за різних значеннях критерях Біо приведено на рис. 2.3.

Рис. 2.3 Номограмма визначення безрозмірною температури поверхні необмеженої пластины.

Аналогічна номограмма, призначена визначення температури у центрі пластини, приведено на рис. 2.4.

Рис. 2.4 Номограмма визначення безрозмірною температури у середині необмеженої пластины.

2.2.2 Необмежений цилиндр.

Розглянемо необмежений циліндр радіуса R, температура поверхні якого залишається незмінною протягом усього процесу теплообміну. Радіальне розподіл температурах початковий момент поставлено як деякою функції Т®. Необхідно відшукати розподіл температур визначення в циліндрі будь-якої миті часу. Завдання подібного типу зустрічаються при розрахунку процесів охолодження полімерної волокна, затвердіння литников литьевых форм тощо. п.

Диференціальний рівняння теплопровідності для цилиндра.

має вигляд: (2.19).

Крайові умови:

Рішення, отримане методом поділу змінних, в безрозмірною формі, має вид:

(2.20).

Для оцінки зміни теплосодержания циліндра визначимо середньої температури как:

(2.21).

Тоді безрозмірна середня температура визначиться співвідношенням: (2.22).

де; - коріння функції Бесселя першого роду нульового порядку зумовлені выражением:

(2.23).

Отже, зменшення середньої температури описується простим експонентним законом. Для зручності прикидочних розрахунків на рис. IV. 10 приведено номограмма залежності між? і Fo.

Рис. 2.5 Номограмма визначення залежності між безрозмірною середньої надлишкової температурою і критерієм Фур'є у разі необмеженого цилиндра.

2.3. Теплопровідність у процесах, що супроводжуються зміною фізичного состояния.

Аналізуючи процеси переробки полімерів, найчастіше доводиться чи з завданням про нагріванні чи охолодженні полімеру, сопровождающемся зміною фізичного стану (плавленням чи затвердением). Теоретичне розгляд завдань подібного типу вперше виконано Нейманном.

Ми зупинимося одному, найбільш простому разі, у якому спрощення теплофизические характеристики розплаву і твердого полімеру вважатимемо однаковими. Нехай прихована теплота плавлення дорівнює ?, а температура плавлення Тп. Означимо координату поверхні розділу між твердою і рідкої фазами через Х (t). Тоді одна з граничних умов які мають задовольнятися в цій поверхні, запишеться в виде:

Ts = Tm = Tn при X=X (t) (2.24).

Індекс p. s вказує, що відповідна величина належить до твердої фазі (наприклад, ?p.s — щільність твердої фази). Відповідно індекс m вказує, що обсяг належить до рідкої фазе.

Друге граничну умова стосується поглинання (чи виділення) прихованої теплоти лежить на поверхні розділу. Припустимо, політика щодо x>x (t) перебуває рідина за нормальної температури Тт (х, t), а області x=x (t) — тверда фаза за нормальної температури Ts (xtt).

Якщо поверхню розділу переміщається на відстань dx, то елементі обсягу речовини виділяється і бути відведено внаслідок теплопровідності кількість тепла, враховуючи одиницю поверхні однакову?? dx. Математично це основна умова запишеться в виде:

(2.25).

Розглянемо три випадку: плавлення, затвердіння і плавлення з видаленням расплава.

2.3.1. Плавлення у сфері x > 0.

Якщо початковий момент область x > 0 зайнята твердим тілом із постійною температурою Ts0 і за t > 0 площину x = 0 підтримується при постійної температурі Т2 > Тп, то становище площині плавлення визначиться выражением:

(2.26).

Тут — корінь уравнения.

(2.27).

где.

;

У цьому розподіл температурах твердої і переробки рідкої фазах описується выражением:

(2.28).

(2.29).

2.3.2. Затвердевание.

нехай у початковий час область x > 0 є рідиною, а область x.

Припустимо, що значення термічних коефіцієнтів хіба що затверділого розплаву від значень термічних коефіцієнтів твердої фази у сфері x < 0. Дамо термічним коефіцієнтам цій галузі індекс s0.>

Що Надходить розплав має температуру Т2. Координата поверхні розділу фаз визначиться соотношением:

(2.30).

Тут? — корінь уравнения.

(2.31).

Після визначення ?, що може виконати будь-яким численным методом (наприклад, методом ітерації), можна визначити температурні поля переважають у всіх трьох областях (початкова тверда фаза, затверділе речовина і расплав):

(2.34).

(2.35).

(2.35).

2.3.3 Плавлення з безперервним видаленням расплава.

Нехай тверде тіло нагрівається завдяки поступающему ззовні для її поверхні постійному тепловому потоку q. У цьому весь розплав безупинно видаляється. Приймемо площину, де відбувається плавлення, за площину з координатою x = 0 й вважатимемо, що тверде тіло до області x > 0 рухається щодо цьому відношенні зі швидкістю ?. Отже, масовий витрата розплаву, Qm, віднесений до одиничної ширині, равен:

(2.36).

У що встановилася режимі температура у сфері x > 0 описується выражением:

(2.37).

З диференціального рівняння теплопровідності слід, що теплової потік в стаціонарному режимі нульовий. Отже, кількість тепла, подведенного ззовні в одиницю часу, має бути дорівнювала кількості тепла, відведеного в одиницю часу з расплавом:

(2.38).

Визначивши? з співвідношення (2.38), можна розрахувати розподіл температурах твердому тілі за такою формулою (2.36). Розглянуті три випадку найбільш типові для процесів переробки полімерів, оскільки кожен реальний процес плавлення можна звести до одного з них.

2.4.Теплопередача в потоках расплава.

Передача тепла в що просувалася рідини іде за рахунок механізму конвективного теплообміну, що роблять за рахунок перенесення тепла струмом рідини, і з допомогою теплопровідності самої рідини. Аналітичне рішення диференційних рівнянь теплопровідності у разі конвективного теплообміну вдасться одержати лише за запровадження значної частини спрощень. Тож практичних цілей використовують результати експериментальних досліджень, представлені у вигляді залежностей між відповідними критеріями подоби. Зазвичай щодо теплопередачі конвекцией приймаються такі допущения:

1) за українсько-словацьким кордоном з поверхнею нагріву (охолодження) дотримуються умови прилипания; 2) фізичні параметри рідини (теплоємність, теплопровідність, щільність і в’язкість) зберігають незмінне значення для потоку; 3) променистий теплообмін між поверхнею нагріву (охолодження) і потоком рідини відбувається незалежно від контактної теплоотдачи.

Нині найбільшого поширення отримали екс* периментальные дослідження процесів стаціонарного теплообміну. Для описи процесу теплообміну зазвичай використовується відоме рівняння Ньютона:

(2.39).

де, а — коефіцієнт тепловіддачі, визначальний кількість тепла, подводимое (чи відведене) до рідини в одиницю часу через поверхню з одиничної площадью;

Tw — температура стінки канала;

Тж — середня температура жидкости.

З власного фізичному змісту коефіцієнт тепловіддачі є умовної величиною і характеризує ставлення коефіцієнта теплопровідності рідини до товщині? пристенного шару, у якому відбувається температурний скачок:

(2.40).

Використання методів теорії подоби дозволяє звести розв’язання проблеми теплообміну серед рідини до експериментальному визначенню виду функціональної зависимости:

(2.41).

Тут — критерій Нуссельта, що характеризує интенсивность.

теплообмена;

Рr = Порівн?/? — критерій Прандтля, що характеризує співвідношення між кількістю тепла, поглощаемого рідиною з допомогою зміни энтальпии, і пишатися кількістю тепла, відведеного з допомогою теплопроводности;

Gr = g? P2lz?T/?2 — критерій Грасгофа, що характеризує інтенсивність теплообміну з допомогою вільної конвекции;

Re = vlp/ц — число Рейнольдса, характеризує ставлення сил інерції до сил грузького трения;

Ре = vd/a — критерій Пекле;

— критерій Гретца.

Відомі нині результати експериментального дослідження теплообміну в розплавах полімерів ставляться переважно до перебігу в каналах круглого перерізу. Загальна формула має вид:

(2.42).

де індекси «Ж» і «ст» Означають, що відповідні значення критерію ставляться до усередненим характеристикам рідини або до характеристикам рідини в пристінному слое.

Значення показників ступеня при критеріях в рівнянні (2.42) наведено ниже:

Таблиця (3.1) Значення показників ступеня при критеріях подобия.

Полімер, А X У Z Z1.

П Поліетилен низької густини 16 0,33 0,33 0,15 0,33.

П Поліетилен низької густини 17 2,25 0,18 0,20 0,25 0.

2.5. Променистий теплообмен.

Нагрівання випромінюванням застосовується головним чином операціях, попередніх пневмоі вакуум-формованию щодо тонких аркушів термопластов.

Промениста енергія передається як електромагнітних хвиль, поширених у просторі до того часу, перебувають у шляху не зустрінеться якась поглинаюча середовище: газ, рідина чи тверде тіло. Випромінювана енергія пропорційна четвертого ступеня абсолютної температури вивчає тіла. Оскільки зазвичай більшість енергії випромінювання в застосовуваної практично області температур посідає інфрачервоний спектр, нагрівання випромінюванням називають також інфрачервоним нагревом.

Гіпотетична тіло, поглинаюча все падаючі нею промені, називається абсолютно чорним тілом. Інтенсивність лучеиспускания абсолютно чорного тіла Еb визначається законом Стефана — Больцмана:

(2.43).

Де, а — стала Стефана Больцмана, рівна 1,36 • 10 -12 кал/(см2 • з • /K4), чи.

Реальні тіла випромінюють менше енергії. Їх излучательная здатність е оцінюється по формуле:

(2.44).

де Є — інтенсивність лучеиспускания реального тела.

Зазвичай? залежить від температури, збільшуючись з її зростанням. Металлоиды і окисли металів мають високої излучательной здатністю (?? 0,8). У добре відполірованих металів излучательная здатність невисока (?? 0,1) Реальні тіла поглинають тільки п’яту частину яка ними излучения.

Коефіцієнт поглинання окреслюється ставлення поглиненої з лучения до падающему.

При розрахунку променистого теплообміну між чорними тілами під випромінювання потрапляє лише не та частина тіла, яка проглядається з випромінює тіла. Далі, інтенсивність випромінюваної енергії максимальна вздовж нормальний до і дорівнює нулю в тангенциальном напрямі. Можна врахувати взаємне розташування випромінювача і облучаемого тіла запровадженням коефіцієнта видимості, враховує частку випромінюваної енергії, який потрапляє на облучаемое тело.

Припустимо, що промениста енергія, випромінювана від чорної поверхні 1 на чорну поверхню 2, дорівнює E1A1F12 (A1 — площа випромінювача, F12 — частка енергії, потрапляє на поверхню 2). Вочевидь, что.

A1F12 = A2F21 (2.45).

Тому кількість тепла Q12, передане при променистому теплообмене від тіла 1 до тіла 2, равно:

Q12 = A1F12(E1-E2) (2.46).

Скористаємося законом Стефана — Больцмана і получим:

(2.47).

Нарешті, якщо T2/T1.

(2.48).

Для неабсолютно чорних тіл розрахунок ускладнюється наявністю частки багаторазово відображеного випромінювання. Що стосується двох нескінченних паралельних пластин загальна кількість тепла, переданого з одиниці поверхні, виражається формулой:

(2.49).

де F? — коефіцієнт випромінювання, равный:

(2.50).

Коефіцієнт теплопередачі h визначиться з висловлювання, аналогічного формою рівнянню Ньютона:

(2.51).

Реальні полімери та його розплави погано пропускають інфрачервоне випромінювання. Тому падаюча ними енергія перетворюється на тепло безпосередньо з їхньої поверхні. Певний кількість выделяющегося тепла відразу ж потрапити втрачається на втрати у вигляді власного випромінювання та шляхом конвекции.

Що Поглинається тепло поширюється всередину з допомогою процесів теплопровідності. Тому підсумкове розподіл температурах тілі, нагреваемом променистої енергією, залежить тільки від потужності потоку променистої енергії, але й від теплопровідності і конвективных потерь.

3. СКЛАДАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ДОСЛІДЖУВАНОГО ПРОЦЕССА.

3.1. Специфіка побудови математичних моделей що описують термодинамические процессы.

Розроблені методи аналізу термодинаміки процесів переробки полімерів дозволяють встановлювати зв’язок між основними технологічними параметрами (тиск, щільність, температура) з досить високим рівнем точності. Нині розроблений дуже надійний математичний апарат, що дозволило узагальнити величезний експериментальний материал.

Математичні моделі процесів теплопередачі базуються на математичному апараті, розробленому в класичних дослідженнях теплопровідності твердих тілах. Спільним недоліком відомих рішень є припущення про незалежність теплофизических характеристик від температури. Відомо, що це термодинамические функції і теплофизические характеристики полімерів істотно залежить від температури і тиску. Тому, за побудові моделей реальних процесів звернути особливу увагу до правильний вибір середніх значень відповідних характеристик.

3.2. Висновок диференціального рівняння теплопроводности.

Аби вирішити завдань що з перебуванням температурного поля необхідно мати диференціальний рівняння теплопровідності. Під диференційним рівнянням розуміють математичну залежність між фізичними величинами котрі характеризують досліджуване явище, причому ці фізичні величини є функціями простору й часу. Таке рівняння характеризує перебіг фізичного явища у будь-якій точці тіла будь-якої миті времени.

Диференціальний рівняння теплопровідності дає залежність між температурою, часом і координатами елементарного объема.

Висновок диференціального рівняння зробимо спрощеним методом. Припустимо, що є одномірне температурное полі (тепло поширюється щодо одного напрямі, наприклад, у напрямі осі x). Термічні коефіцієнти вважаємо не залежать від координат і времени.

Виділимо в однорідної і ізотропного необмеженої пластині елементарний паралелепіпед, обсяг якого дорівнює (рис. 3.1) Кількість тепла, втекающего через ліву грань в паралелепіпед в одиницю часу, одно, а кількість тепла, яке витікає через протилежну грань в единицу.

часу, одно.

Рис 1.3. Потік тепла через елементарний объём.

Якщо, то елементарний паралелепіпед буде нагріватися, тоді відмінність між цими потоками тепла згідно із законом збереження енергії дорівнює теплу, аккумулированному даним елементарним параллелепипедом, т. е.

(3.1).

Величина є невідома функція x. Якщо раніше розкласти до кількох Тейлора і обмежитися двома першими членами низки, можна написать:

(3.2).

Тоді з рівності (3.1) будемо иметь:

(3.3).

Застосовуючи рівняння теплопровідності, получим:

(3.4).

Рівняння (3.5) є диференціальний рівняння теплопровідності для одномірного потоку тепла. Якщо тепло поширюється по нормальний до изотермическим поверхням, то вектор q розкласти втричі складові по координатным осях. Кількість акумульованого елементарним обсягом тепла дорівнюватиме сумме.

(3.5).

Тоді диференціальний рівняння прийме вид.

(3.6).

Для симетричного одномірного температурного поля є функцією однієї координати. Пояснимо на прикладі нескінченного круглого циліндра. Якщо вісь такого циліндра збігаються з координатою z, то температура у будь-якій точці циліндра залежатиме тільки від координат x і в. При рівномірному охолодженні чи нагріванні циліндра у будь-якій точці, віддаленої з відривом r від осі циліндра, температура в момент часу буде сама й той самий. Отже, ізотермічні поверхні викличуть циліндричні поверхні, коаксиально розташовані до циліндра. Між радіальної координатою r (радиус-вектор) і координатами x і в існує связь.

r2 = х2 + у2. (3.7).

Тоді диференціальний рівняння теплопровідності для нескінченного циліндра можна перетворити так:

(3.8).

для нескінченного циліндра можна перетворити так:

(3.9).

(3.10).

Дифференцируя (3.8) по x, а (3.10) по у, получаем.

(3.11).

(3.12).

Складаючи рівняння (3.11) і (3.12) і до уваги (3.7), одержимо для рівняння теплопровідності таке выражение:

У випадку, коли температура залежить від усіх трьох координат (x, у, р), диференціальний рівняння теплопровідності кінцевого циліндра має вид.

; (3.13).

4 СКЛАДАННЯ АЛГОРИТМА.

Аби вирішити диференціального рівняння теплопровідності нескінченного циліндра скористаємося методом сіток, суті якого залежить від розбивці координатної площині на однакові частини і обчисленні значення шуканої функції в вузлах образуемой сітки. Використовуючи значення функції в крайніх точках можна послідовно обчислити її значення у частині координатної плоскости.

; (4.1).

Замінимо приватний диференціал разностным отношением:

; (4.2).

Можна Здійснити таке перетворення функции:

; (4.3).

; (4.4).

; (4.5) (4.6).

; (4.7).

; (4.8).

Підготуємо рівняння (4.8) для рекуррентного обчислення в MatLab V6.0.

Произведём переобозначения:

; (4.9).

; (4.10).

; (4.11).

; (4.12).

; (4.13).

Маємо формулу:

T (i+1,j+1)=T (i, j+1)+(a*dt/dr)*(((T (i, j+2)-2*T (i, j+1)+T (i, j))/dr)+((1/r)*(T (i, j+2)-T (i, j+1)))); (4.14).

Через війну послідовних обчислень можна було одержати масив T що характеризує температурное полі необмеженого циліндра будь-якої миті времени.

1.Программа починається з завдання змінних: початкового й кінцевого моменту часу, числа дискретних отсчётов за часом, радіус циліндра і кількість його разбиений, констант характеризуючих тепло-физические властивості полимера.

2.Следующим етапом є обчислення кроку аргументів, за якими обчислюватися вихідна функция.

3.Краевые умови: значення шуканої функції в початковий час t0 = 0 залежно від радіуса, і температури стінки литникового каналу будь-якої миті часу задаються циклом For.

4.Каждому елементу вектора характеризуючого температурное полі початковий час присвоюється значення температури, розрахований як значення функції розподілу вкладеній у цикл. Кількість циклів присвоєння значень вектору збільшують на два так його елементів однією має перевищувати ніж число інтервалів разбиений і одне значення більше, щоб було можливим обчислення значення масиву у центрі циліндра після переходу від внутрішнього циклу до внешнему.

5.Каждому елементу вектора характеризуючого температуру стінки каналу будь-якої миті часу присвоюється постійне значення температури Кількість циклів присвоєння значень вектору збільшують однією, так його елементів однією має перевищувати ніж число інтервалів разбиений.

6.Для обчислення матриці визначальною температуру циліндра по радіусу будь-якої миті часу використовуємо два вкладених циклу For. У внутрішньому циклі передбачено зміна радіуса циліндра, і обчислення температурного поля була в поставлене момент времени.

7.При перехід до зовнішньому циклу відлік за часом поповнюється одиницю. Значення похідною температури по радіусу будь-якої миті часу одно нулю і тому, щоб врахувати ще одне крайове умова під час переходу від зовнішнього циклу до внутрішнього значення останньої температури копіюється два раза.

8.После отримання матриці температур вибудувати графік. Щоб координатні осі були проградуированные зручне використання їх у матриці температур переставлять стовпчики. Здійснюється це з двох вкладених циклов.

9.Далее напрошується висновок графіка й багато калібрування його осей.

5 СКЛАДАННЯ ПРОГРАММЫ.

Програма для MatLab v6.0 R12 починається очищення змінних графічних вікон функцій і вікна виведення результату. Здійснюють це з допомогою: clear, clc, clf, clg.

Щоб програма була легка у використанні та проста в конфигурировании під будь-які завдання розробимо її використовуючи зрозумілі обозначения:

Задаём переменные:

початковий час вибираємо як t0=0;

кінцевий час tk=120;

число дискретних отсчётов часу nt=120;

температура стінки Tc=30;

максимальна температура матеріалу у середині циліндра Tpol=170;

число дискретних отсчетов довгі циліндра nR=10;

радіус циліндра R=0.01 м;

температуропроводность полістиролу a = 0.56 град/м с.

Розрахуємо інтервали зміни температури і радиуса.

dr=R/(nR-1);

dt=(tk-t0)/(nt-1);

Дамо початкові значення температури стінки в циклі For:

for i=1:nt+1.

T (i, 1)=Tc;

end.

Дамо початкові значення температурного поля полімеру в цикле:

for j=1:nR+2.

T (1,j)=Tpol*exp (-2000*(R-dr*(j-1))^2);

end.

Розрахуємо матрицю температурного поля T у вкладеному циклі For:

for i=1:nt.

for j=1:nR.

r=R-dr*(j-1)+0.0001*dr;

T (i+1,j+1)=T (i, j+1)+(a*dt/dr)*(((T (i, j+2)-2*T (i, j+1)+T (i, j))/dr)+((1/r)*(T (i, j+2)-T (i, j+1))));

end.

T (i+1,nR+1)=T (i+1,nR);

T (i+1,nR+2)=T (i+1,nR);

end.

Змінимо порядок розташування шпальт обробивши масив у подвійному циклі For :

for i=1:nt.

for j=1:nR.

TT (i, j)=T (i, nR-j+1);

end.

end.

Побудуємо поверхню описує отриману функціональну залежність T (t, r):

figure (1).

mesh (TT).

Підпишемо координатні оси.

xlabel («R, MM »).

ylabel («t, cek »).

zlabel («T З »).

6 АНАЛІЗ МОДЕЛЮВАННЯ І РАСЧЁТОВ.

Через війну чисельного рішення диференціального рівняння з допомогою складеної програми отримані дані, добре узгоджувалися з аналітичним рішенням диференціального рівняння які під другий — главі даної пояснювальній записки.

Результати одержувані з допомогою даної програми можна використовуватиме моделирований реальних технологічних процесів що з охолодженням і нагріванням циліндричних каналов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Ликов А. У. Теорія теплопровідності. М., ГИТТЛ, 1952. 391 с.

2. Карслоу Р., Егер Д. Теплопровідність твердих тіл. М., «Наука», 1964. 487 с.

3. Кирпичов М. У., Міхєєв М. А. Моделювання теплових пристроїв. М., изд-во АН СРСР, 1936. 255 с.

4. Тябин М. У. та інших. У кн.: Теплообмін. 1974. Радянські дослідження. М., «Наука», 1975, з. 195—198.

5. Торнер «Технологія переробки пластмас», Москва, Московський политехи, ин-т, 1965, № 1, з. 138—143.

6.

ПРИЛОЖЕНИЕ1.

clear, clc, clf, clg.

t0=0;

tk=120;

nt=120;

Tc=30;

Tpol=170;

nR=10;

R=0.01;

dr=R/(nR-1);

dt=(tk-t0)/(nt-1);

a=0.56;

for i=1:nt+1.

T (i, 1)=Tc;

end.

for j=1:nR+2.

T (1,j)=Tpol*exp (-2000*(R-dr*(j-1))^2);

end.

for i=1:nt.

for j=1:nR.

r=R-dr*(j-1)+0.0001*dr;

T (i+1,j+1)=T (i, j+1)+(a*dt/dr)*(((T (i, j+2)-2*T (i, j+1)+T (i, j))/dr)+((1/r)*(T (i, j+2)-T (i, j+1))));

end.

T (i+1,nR+1)=T (i+1,nR);

T (i+1,nR+2)=T (i+1,nR);

end.

for i=1:nt.

for j=1:nR.

TT (i, j)=T (i, nR-j+1);

end.

end.

figure (1).

mesh (TT).

xlabel («R, MM »).

ylabel («t, cek »).

zlabel («T З »).

ПРИЛОЖЕНИЕ2.