Определение оптимального плану заміни оборудования

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦИИ.

ТЮМЕНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ.

УНИВЕРСИТЕТ.

Кафедра менеджмента.

в галузях ТЭК.

КУРСОВА РОБОТА з дисципліни: Економіко-математичні моделі та художні засоби на задану тему: Визначення оптимального плану заміни оборудования.

Виконав: ст. грн. ЭП-99.

Архангельська Е.А.

Науковий руководитель:

Зольникова С.Н.

Тюмень, 2000.

ЗМІСТ |Запровадження. |3 | |1. Характеристика стану господарюючого суб'єкта та виявлення | | |тенденцій його розвитку. |4 | |2. Информационно-методическое забезпечення економічного | | |моделювання. |7 | |2.1 Методична база рішення моделі. |7 | |2.2 Информационно-методическое забезпечення методу. |12 | |3. Розрахунок показників экономико-математической моделі і | | |економічна інтерпретація результатів. |17 | |Укладання. |29 | |Список літератури. |31 | |Додатка |32 |.

В усьому світі є безліч підприємств, що використовують для виробництва своєї продукції машинне устаткування. Тому його впровадженні потрібно складати оптимальний план використання коштів і заміни устаткування. Завдання заміни устаткування розглядаються як многоэтаповый процес, притаманним для динамічного программирования.

Чимало підприємств зберігають чи заміняють устаткування за своєї інтуїції, не при застосуванні методів динамічного програмування. Застосовувати ці методи доцільно, оскільки це дозволяє найчіткіше максимізувати прибуток або мінімізувати затраты.

Мета цієї курсової роботи вивчити динамічний програмування для подальшого його использования.

Завдання про заміну устаткування у визначенні за оптимальні терміни заміни старого устаткування. Старіння устаткування включає його фізичний моральний знос. У результаті збільшуються виробничі витрати, ростуть видатки обслуговування може й ремонт, знижується продуктивності праці і ліквідна вартість. Критерієм оптимальності є або прибуток за експлуатації устаткування, або сумарні витрати на дію у протягом планованого периода.

1. ХАРАКТЕРИСТИКА СОСТОЯНИЯ ГОСПОДАРЮЮЧОГО СУБ'ЄКТА І ВИЯВЛЕННЯ ТЕНДЕНЦИЙ.

ЙОГО РАЗВИТИЯ.

Для своєї ефективної діяльності виробничі об'єднання й українські підприємства повинні періодично виробляти заміну використовуваного ними устаткування. Під час цієї заміні враховується продуктивність використовуваного устаткування й витрати, пов’язані з змістом потребують і ремонтом оборудования.

На початку планованого періоду для підприємства встановлено нове устаткування, що дозволяє кожний рік восьмирічного періоду випустити готової своєї продукції суму відповідно 25,24,24,23,23,23,22,21,20,20,20,20 тыс.д.ед. Щорічні витрати підприємств, пов’язані із вмістом і ремонтом використовуваного аналогічного устаткування за ж період представлені у п. 1.табл.1.1. Витрати, пов’язані після придбання і установкою нового устаткування, ідентично з встановленим, становлять 10 д.ед., використовуване обладнання списывается.

За підсумками статистичної обробки, результати якої зведені в таблицу1.2, можна побудувати графічну залежність витрат за утримання і ремонт обладнання планованому периоде.

Таблиця 1.2.

Залежність витрат за утримання і ремонт обладнання планованому періоді. |Порядкові роки експлуатації |Витрати, тыс.д.ед. | |устаткування | | |1 |2 | |0 |15,07 | |1 |15,01 | |2 |15,94 |.

Продовження табл.1.1 |1 |2 | |3 |16,11 | |4 |16,93 | |5 |16,86 | |6 |17,96 | |7 |18 | |8 |19,11 | |9 |19,86 | |10 |20,19 |.

Залежність витрат за утримання і ремонт обладнання планованому периоде.

Рис. 1.1.

З графіка видно, що видатки утримання і ремонт обладнання планованому період від кожним роком ростуть, оскільки устаткування стареет.

Характерним для динамічного програмування є підхід до рішенню завдання етапах, з кожним із яких асоціюється одна керована змінна. Набір рекуррентных обчислювальних процедур, що пов’язують різні етапи, забезпечує отримання припустимого рішення завдання у цілому за досягненні останнього этапа.

Це завдання належить до завдань динамічного програмування, оскільки виконуються дві умови це: аддитивность цільової функції; відсутність наслідки, що будується на принципі оптимальності Беллмана.

Fn-k (X (k))=max[Wk+1(X (k), uk+1)+Fn-k-1(Xk+1))](k=0, n-1).

Uk+1.

2. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ЕКОНОМІЧНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.

2.1. Методична база рішення модели.

У завданнях динамічного програмування економічний процес залежить від часу (і від кількох періодів (етапів) часу), тому знаходиться низка оптимальних рішень (послідовно кожному за етапу), які забезпечують оптимальне розвиток усього процесу взагалі. Завдання динамічного програмування називаються багатоетапними чи многошаговыми. Динамічний програмування є математичний апарат, дозволяє здійснювати оптимальне планування многошаговых керованих процесів і процесів, залежать від часу. Економічний процес називається керованим, якщо проводити хід її розвитку. Управлінням називається сукупність рішень, прийнятих кожному етапі впливу перебіг процесу. У економічних процесах управління залежить від розподілі і перерозподілі коштів у кожному з етапів. Наприклад, випускати продукцію будь-яким підприємством -керований процес, оскільки він визначається зміною складу устаткування, обсягом поставок сировини, величиною фінансування й т.д. Сукупність рішень, прийнятих у початку кожного року планованого періоду щодо забезпечення підприємства сировиною, заміну обладнання, розмірам фінансування й т.д., є управлінням. Здається, щоб одержати максимального обсягу своєї продукції найпростіше вкласти максимально можливу кількість засобів і використати в повну потужність устаткування. Але це призвело б до швидкого зношування устаткування й, як слідство, до зменшення випуску продукції. Отже, випускати продукцію треба спланувати те щоб уникнути небажаних ефектів. Необхідно передбачити заходи, щоб забезпечити поповнення устаткування принаймні зношування, тобто. за періодами часу. Останнє хоч і призводить до зменшенню обсягу своєї продукції, але забезпечує в подальшому можливість розширення виробництва. Отже, економічний процес випуску продукції вважатимуться що складається з кількох етапів (кроків), кожному у тому числі здійснюється впливом геть його развитие.

Початком етапу (кроку) керованого процесу вважається час ухвалення рішення (величину капітальних вкладень, про заміну устаткування певного виду та т.д.). Під етапом зазвичай розуміють господарський год.

Динамічний програмування, використовуючи поетапне планування, дозволяє як спростити вирішення завдання, а й вирішити такі, до яким не можна застосувати методи математичного аналізу. Спрощення рішення досягається з допомогою значного зменшення кількості досліджуваних варіантів, оскільки натомість, щоб одного разу вирішувати складну многовариантную завдання, метод поетапного планування передбачає багаторазове вирішення питань щодо простих задач.

Плануючи поетапний процес, походять від інтересів всього процесу у цілому, тобто. після ухвалення рішення на окремому етапі завжди необхідно мати у вигляді кінцеву цель.

Проте динамічний програмування має і свої недоліки. На відміну від лінійного програмування, у якому симплексный метод є універсальним, в динамічному програмуванні такого методу немає. Кожна завдання має труднощі, в кожному випадку необхідно знайти найвдалішу методику рішення. Недолік динамічного програмування полягає й у трудомісткості рішення багатомірних завдань. При дуже великому числі змінних вирішення завдання навіть у сучасних ЕОМ обмежується пам’яттю і швидкодією машини. Наприклад, для дослідження кожної перемінної одномірної завдання потрібно 10 кроків, то двумерной завданню їх стає більше до 100, в тривимірної -до 1000 тощо. [7].

Припустимо, якась система P. S перебуває у деякому початковому стані S0 і є керованої. Отже, завдяки здійсненню деякого управління U зазначена система переходить з початкового стану S0 в кінцеве стан Sк. У цьому якість кожного з реалізованих управлінь U характеризується відповідним значенням функції W (U). Завдання у тому, що з безлічі можливих управлінь U знайти таке U*, у якому функція W (U) приймає екстремальна (максимальне чи мінімальне) значення W (U*).

Завдання динамічного програмування мають геометричну інтерпретацію. Стан фізичної системи P. S можна описати числовими параметрами, наприклад витратою пального й швидкістю, кількістю вкладених засобів і т.д. Назвемо ці параметри координатами системи; тоді стан системи можна зобразити точкою P. S, а перехід із одного стану S1 в інше S2 -траєкторією точки P. S. Управління U означає вибір певної траєкторії переміщення точки P. S з S1 в S2, тобто. встановлення певного закони руху точки S.

S0 P. S Sk.

0 x.

Область можливих станів системы.

Графічне зображення переходу системи S.

Рис. 2.1.

Сукупність станів, у яких може переходити система, називається областю можливих станів. Залежно від кількості параметрів, характеризуючих стан системи, область можливих станів системи може бути різною. Нехай, наприклад, стан системи P. S характеризується одним параметром, — координатою x. І тут зміна координати, якби неї накладено деякі обмеження, зобразиться переміщенням точки P. S по осі Оx чи її ділянці. Отже, областю можливих станів системи є сукупність значень x, а управлінням -закон руху точки P. S з початкового стану S0 в кінцеве Sk по осі Ox чи її частини (рис. 2.1).

Якщо стан системи P. S характеризується двома параметрами (x1 і x2), то областю можливих станів системи служить площину x1Ox2 чи його частина, а управління зобразиться лінією на площині, через яку точка P. S переміщається з S0 в Sk (рис. 2.2).

х2.

S0.

S.

Sk.

0 х1.

Управління системи P. S в графічному зображенні рис. 2.2.

У випадку, коли стан системи описується n параметрами xi (i=1,2,…, n), областю можливих станів служить n-мерное простір, а уравление змальовується переміщенням точкиS з якоїсь початковій області S0 в кінцеву Sk за певною «траєкторії» цього пространства.

Отже, завданню динамічного програмування можна надати таку геометричну інтерпретацію. З усіх траєкторій, що належать області можливих станів системи та що з'єднують області S0 і Sk, необхідно вибрати таку, де критерій W приймає оптимальне значення. [7].

Щоб розглянути загальне вирішення завдань динамічного програмування, введемо позначення і зробимо для подальших викладів предположения.

Вважатимемо, що певний стан аналізованої системи P. S на K-м кроці (k=1,n) визначається сукупністю чисел X (k) =(x1 (k), x2(k) ,…, xn (k)), які одержані результаті реалізації управління uk, забезпечив перехід системи P. S зі стану X (k-1) до стану X (k). У цьому будемо припускати, що позитивний стан X (k), у якому перейшла система P. S, залежить від цього стану X (k-1) і обраного управління uk та залежною від цього, як система P. S прийшла б у стан X (k-1) .

Далі вважатимемо, що у результаті реалізації k-го кроку забезпечений певний прибуток або виграш, також залежить від вихідного стану системи X (k-1) і обраного управління uk слова й рівний Wk (X (k-1), uk), то загальний прибуток або виграш за n кроків становить n.

F=S Wk (X (k-1), uk). (2.1) k=1.

Отже, завдання динамічного програмування повинна задовольняти дві умови. Перше умова зазвичай називають умовою відсутності післядії, а друге — умовою аддитивности цільової функції задачи.

2.2 Информационно-методическое забезпечення метода.

Виконання для завдання динамічного програмування першого умови дозволяє сформулювати нею принцип оптимальності Беллмана. Перш ніж зробити це, треба дати визначення оптимальної стратегії управління. Під такий стратегією розуміється сукупність управлінь U*=(u1*, u2*, …, un*), у результаті яких система P. S за n кроків переходить з початкового стану X (0) в кінцеве X (k) і навіть функція (2.1) приймає найбільше значение.

Принцип оптимальності: хоч би яке був стан системи перед черговим кроком, треба вибрати управління у цьому кроці те щоб виграш на даному кроці плюс оптимальний виграш усім наступні кроки був максимальным.

Звідси випливає, що оптимальну стратегію управління можна отримати роботу, якщо спочатку знайти оптимальну стратегію управління на n-ою кроці, потім на двох останніх кроках, потім на трьох останніх кроках тощо., до перший крок. Отже, рішення аналізованої завдання динамічного програмування доцільно розпочинати з визначення оптимального рішення на останньому, n-ою кроці. Щоб знайти це рішення, очевидно, потрібно зробити різні припущення, як могла закінчитися передостанній крок, і з огляду на це вибрати управління un0, що забезпечує максимальне значення функції Wn (X (n-1), un). Таке управління un0 обраний при певних припущеннях у тому, як закінчився попередній крок, називається умовно оптимальним управлінням. Отже, принцип оптимальності вимагає знаходити кожному кроці умовно оптимальне управління нічого для будь-якого із можливих фіналів попереднього шага.

Щоб можна було здійснити практично, треба дати математичну формулювання принципу оптимальності. І тому введемо деякі додаткові позначення. Означимо через Fn (X0) максимальний дохід, отримуваний за n кроків під час переходу системи P. S з початкового стану X (0) в кінцеве стан X (k) при реалізації оптимальної стратегії управління U=(u1, u2, …, un), а ще через Fn-k (X (k)) -максимальний дохід, отримуваний під час переходу із будь-якої стану X (k) в кінцеве стан X (n) при оптимальної стратегії управління на решти n-k кроках. Тогда:

Fn (X0)=max[W1(X (0), u1)+…+ Wn (X (n-1), un)]; (2.2).

Uk+j.

Fn-k (X (k))=max[Wk+1(X (k), uk+1)+Fn-k-1(Xk+1))](k=0, n-1). (2.3).

Uk+1.

Останнє вираз є математичну запис принципу оптимальності і має назва основного функціонального рівняння Беллмана чи рекуррентного співвідношення. Використовуючи дане рівняння можна знайти вирішення завдання динамічного программирования.

Вважаючи k=n-1 в рекуррентном співвідношенні (2.3), одержимо наступне функціональне уравнение:

F1(X (n-1)=max[Wn (X (n-1), un)+F0(X (n))]. (2.4) un.

У цьому вся рівнянні F0(X (n)) вважатимемо відомим. Використовуючи тепер рівняння (1.4) і розглядаючи різноманітні допустимі стану системи P. S на (n-1)-м кроці X1(n-1), X2(n-1), …, Xm (n-1), …, знаходимо умовні оптимальні рішення un0(x1(n-1)), un0(x2(n-1)),…, un0(xm (n-1)),…

и відповідні значення функції (2.4).

F10 (X1(n-1)), F10 (X2(n-1)), …, F10 (Xm (n-1)),… .

Отже, на n-ою кроці знаходимо умовно оптимальне управління при будь-якому допустимому стані системи P. S після (n-1)-го кроку. Тобто, що не б стані система ні виявилася після (n-1)-го кроку, знатимемо, яке варто прийняти рішення на n-ою кроці. Відомо ще й відповідне значення функції (2.4). Розглянемо функціональне рівняння при k=n-2:

F2(X (n-1))=max[Wn-1(X (n-2), un-1)+F1(X (n-1))]. (2.5).

Un-1.

Щоб знайти значення F2 всім допустимих значень X (n-2), треба зазначити Wn-1(X (n-2), un-1) і F1(X (n-1)). Що ж до значень F1(X (n-1)), всі вони вже определены. Поэтому треба провести обчислення для Wn-1(X (n-2), un-1) попри деякий відборі допустимих значень X (n-2) і відповідних управлінь un-1. Ці обчислення дозволять визначити умовно оптимальне управління u0n-1 кожному за X (n-2). І з таких управлінь що з вже обраним управлінням на останньому кроці забезпечує максимальне значення доходу двома останніх шагах.

Послідовно здійснюючи описане вище итерационный процес, дійдемо до перший крок. У цьому кроці відомо, що не стані може бути система. Тому непотрібен робити припущень про допустимих станах системи, а залишається тільки лише вибрати управління, яке найкраще з урахуванням умовно оптимальних управлінь, вже узвичаєних усіх наступних шагах.

Отже, внаслідок послідовного проходження всіх етапів від кінця до початку визначається максимальне значення виграшу за n кроків і чи кожного з них знаходимо умовно оптимальне управление.

Щоб знайти оптимальну стратегію управління, тобто визначити дані вирішення завдання, потрібно тепер пройти всю послідовність кроків, лише з цього разу з початку до кінця. Як-от: першою кроці як оптимального управління u1* візьмемо знайдене умовно оптимальне управління u10. З другого краю кроці знайдемо стан X1*, у якому переводить систему управління u1*. Цей стан визначає знайдене умовно оптимальне u20, яке нині вважається оптимальним. Знаючи u2*, знаходимо X2*, отже, визначаємо u3* тощо. Внаслідок цього знайдеться рішення завдання, тобто максимально можливий прибуток і оптимальну стратегію управління U*, що включає оптимальні управління на окремих кроках: U*= (u1*, u2*, …, un*).

Отже, з знаходження рішення завдання динамічного програмування видно, що цей процес є досить громіздким. Тому складніші завдання вирішують із допомогою ЕОМ. [1].

Динамічну завдання з заміну обладнання можливо також вирішити графічним методом. На осі Х відкладають номер кроку (до). на осі У — вік устаткування (t). Крапка (к-1;t) на площині відповідає початку Доого кроку по експлуатації обладнання віці t лет.

Будь-яка траєкторія яка переводить точку S (k-1;t) зі стану S0 P. S,. Вона складається з відрізків, тобто з кроків відповідних років експлуатації. Потрібно вибрати таку траєкторію коли він видатки експлуатацію зменшаться мінімальні. Якщо відомі залежність продуктивності встановленого для підприємства устаткування від час його використання R (t) і залежність витрат за ремонт устаткування при різному час його використання S (t) та експлуатаційні витрати пов’язані після придбання нового устаткування, то показником ефективності у разі є прибуток яка максимизируется.

3. РОЗРАХУНОК ПОКАЗНИКІВ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛІ І ЭКОНОМИЧЕСКАЯ.

ІНТЕРПРЕТАЦІЯ РЕЗУЛЬТАТОВ.

У цьому завданню як системи P. S виступає устаткування. Стан цією системою визначаються фактичним часом використання устаткування (її віком) t, тобто описуються єдиним параметром t.

Як управлінь виступають рішення про заміну і збереження устаткування, які у початку кожного року. Означимо через Xc рішення про збереження устаткування, а ще через Xз -рішення про заміну устаткування. Тоді завдання відшукати такий стратегії управління, обумовленою рішеннями, прийнятими до початку кожного року, коли він загальний прибуток підприємства упродовж восьми років є максимальной.

Це завдання має властивостями аддитивности й відсутності післядії. Отже, його виконання можна знайти з допомогою алгоритму, реалізованого в два етапу. У першому етапі на своєму шляху з початку 10-го року періоду до початку 1-го роки кожного припустимого стану устаткування знайдемо умовне оптимальне управління (рішення), але в другому етапі під час руху з початку 1-го року періоду до початку 10-года з умовних оптимальних рішень кожному за року складемо оптимальний план заміни устаткування десять лет.

Для визначення умовних оптимальних рішень спочатку потрібно скласти функціональне рівняння Беллмана. Оскільки було припущено, що до початку k-го року (k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) може лише одне з цих двох рішень — заміняти або заміняти устаткування, то прибуток підприємства за k-ый рік составит:

Z*k = max r (t)-s (t)+Zk+1(t+1); Xc r (0)-s (0)-P0+Zk+1(1); Xз.

(3.1) де t -вік устаткування до початку k-го року (k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10); Xk -управління, реалізоване до початку k-го року; P0 -вартість нового устаткування. Використовуючи тепер рівняння (3.1), знаходимо рішення вихідної завдання. Це рішення починається з визначення умовно оптимального управління (рішення) останньому (10-го) року періоду, у зв’язку з ніж знаходимо безліч допустимих станів устаткування до початку даного року. Оскільки до початку періоду є нове обладнання (t =0), то вік устаткування до початку 10-го року їх може становити 1,2,3,4,5,6,7,8,9 років. До кожного з цих станів знайдемо умовно оптимальне рішення і відповідне значення функції Z*10(t). Z*10(1)=max 8,99 = 8,99; Xc.

— 0,07 Z*10(2)=max 8,06 = 8,06; Xc.

— 0,07 Z*10(3)=max 6,89 = 6,89; Xc.

— 0,07 Z*10(4)=max 6,07 = 6,07; Xc.

— 0,07 Z*10(5)=max 6,14 = 6,14; Xc.

— 0,07 Z*10(6)=max 4,04 = 4,04; Xc.

— 0,07 Z*10(7)=max 3,00 = 3,00; Xc.

— 0,07 Z*10(8)=max 0,89 = 0,89; Xc.

— 0,07 Z*10(9)=max 0,14 = 0,14; Xc.

— 0,07 Отримані результати зведені в таблицю 3.1.

Таблиця 3.1.

Можливе стан устаткування до початку 10-го року периода.

|Возраст устаткування |Значення функції Z*10(t) |Умовно оптимальне | |t (років) |(тыс.д.ед.) |рішення Х | |1 |8,99 |Xc | |2 |8,06 |Xc | |3 |6,89 |Xc | |4 |6,07 |Xc | |5 |6,14 |Xc | |6 |4,04 |Xс | |7 |3 |Xс | |8 |0,89 |Xс | |9 |0,14 |Xс |.

Розглянемо можливе стан устаткування до початку 9-го року періоду і знайдемо відповідні значення функції Z*9(t).

Z*9(1)=max 17,05 = 17,05; Xc.

8,92 Z*9(2)=max 14,95 = 14,95; Xc.

8,92 Z*9(3)=max 12,96 = 12,96; Xc.

8,92 Z*9(4)=max 12,21 = 12,21; Xc.

8,92 Z*9(5)=max 10,18 = 10,18; Xc.

8,92 Z*9(6)=max 7,04 = 8,92; Xc.

8,92 Z*9(7)=max 3,89 = 8,92; Xc.

8,92.

Z*9(8)=max 4,04 = 8,92; Xc.

8,92.

Отримані результати записані в таблиці 3.2.

Таблиця 3.2 можливе стан устаткування до початку 9-го року периода.

|Возраст устаткування |Значення функції Z*9(t) |Умовно оптимальне | |t (років) |(тыс.д.ед.) |рішення Х | |1 |17,05 |Xc | |2 |14,95 |Xc | |3 |12,96 |Xс | |4 |12,21 |Xс | |5 |10,18 |Xс | |6 |8,92 |Xз | |7 |8,92 |Xз | |8 |8,92 |Xз |.

Визначимо умовно оптимальне рішення кожного з допустимих станів устаткування до початку 8-го року періоду. Відповідно до рівнянням 3.1 имеем:

Z*8(1)=max 23,94 = 23,94; Xc.

16,98 Z*8(2)=max 21,02 = 21,02; Xc.

16,98 Z*8(3)=max 19,10 = 19,10; Xc.

16,98 Z*8(4)=max 16,25 = 16,98; Xз.

16,98 Z*8 (5)=max 15,06 = 16,98; Xз.

16,98.

Z*8(6) =max 12,96 = 16,98; Xз.

16,98 Z*8(7)=max 16,98 = 16,98; Xз, Xс.

16,98.

Полученные результати зведені в таблицю 3.3.

Таблиця 3.3.

Можливе стан устаткування до початку 8-го року периода.

|Возраст устаткування |Значення функції Z*8(t) |Умовно оптимальне | |t (років) |(тыс.д.ед.) |рішення Х | |1 |23,94 |Xc | |2 |21,02 |Xc | |3 |19,10 |Xc | |4 |16,98 |Xз | |5 |16,98 |Xз | |6 |16,98 |Xз | |7 |16,98 |Xc, Xз |.

Розглянемо можливе стан устаткування до початку 7-го року періоду і знайдемо відповідні значення функції Z*7(t).

Z*7(1)=max 8,99 +21,02 = 30,01; Xc.

9,93−10+23,94 Z*7(2)=max 8,06+19,10 = 27,16; Xc.

23,87 Z*7(3)=max 6,89+16,98 = 23,87; Xз, Xс.

23,87 Z*7(4)=max 6,07+16,98 = 23,87; Xз.

23,87 Z*7(5)=max 6,14+16,98 = 23,87; Xз.

23,87.

Z*7(6)=max 4,04+16,98 = 23,87; Xз.

23,87.

Отримані результати записані в таблиці 3.4.

Таблиця 3.4 можливе стан устаткування до початку 7-го року периода.

|Возраст устаткування |Значення функції Z*7(t) |Умовно оптимальне | |t (років) |(тыс.д.ед.) |рішення Х | |1 |30,01 |Xc | |2 |27,16 |Xc | |3 |23,87 | Xз, Xс | |4 |23,87 |Xз | |5 |23,87 |Xз | |6 |23,87 |Xз |.

Визначимо умовно оптимальне рішення кожного з допустимих станів устаткування до початку 6-го року періоду. Відповідно до рівнянням 3.1 имеем:

Z*6(1)=max 8,99+ 27,16 = 36,15; Xc.

29,94.

Z*6(2)=max 8,06+23,87 = 31,93; Xc.

29,94.

Z*6(3)=max 6,89+23,87 = 30,76; Xс.

29,94.

Z*6(4)=max 6,07+23,87 = 29,94; Xз, Xс.

29,94.

Z*6(5)=max 6,14+23,87 = 30,01; Xс.

29,94.

З значення функції Z*6(4) видно, що до початку 6-го року періоду вік устаткування становить 4 року, незалежно від цього, було б ухвалено рішення Xc чи Xз, величина прибутку виявиться одному й тому ж. Це означає, що на посаді умовно оптимального рішення можна взяти будь-яке. Отримані значення для Z*6(t) записані в таблиці 3.5.

Таблиця 3.5 можливе стан устаткування до початку 6-го року периода.

|Возраст устаткування |Значення функції Z*6(t) |Умовно оптимальне | |t (років) |(тыс.д.ед.) |рішення Х | |1 |36,15 |Xc | |2 |31,93 |Xc | |3 |30,76 |Xс | |4 |29,94 |Xс, Xз | |5 |30,01 |Xс |.

Розглянемо можливе стан устаткування до початку 5-го року й знайдемо кожного з них умовно оптимальне рішення і відповідне значення функції Z*5(t).

Z*5(1)=max 8,99+31,93 = 40,92; Xc.

36,08.

Z*5(2)=max 8,06+30,76 = 38,82; Xc.

36,08.

Z*5(3)=max 6,89+29,94 = 36,83; Xс.

36,08.

Z*5(4)=max 6,07+30,01 = 36,08; Xз, Xс.

36,08.

Полученные результати записані в таблиці 3.6.

Таблиця 3.6 можливе стан устаткування до початку 5-го року періоду |Вік устаткування |Значення функції Z*5(t) |Умовно оптимальне | |t (років) |(тыс.д.ед.) |рішення Х | |1 |40,92 |Xc | |2 |38,82 |Xc | |3 |36,83 |Xс | |4 |36,08 |Xс, Xз |.

Визначимо умовно оптимальне рішення кожного з допустимих станів устаткування до початку 4-го року періоду. Відповідно до рівнянням (3.1):

Z*4(1)=max 8,99+38,82 = 47,81; Xc.

40,85.

Z*4(2)=max 8,06+ 36,83 = 44,89; Xc.

40,85.

Z*4(3)=max 6,89+36,08 = 42,97; Xс.

40,85.

Отримані результати записані в таблиці 3.7.

Таблиця 3.7 можливе стан устаткування до початку 4-го року периода.

|Возраст устаткування |Значення функції Z*4(t) |Умовно оптимальне | |t (років) |(тыс.д.ед.) |рішення Х | |1 |47,81 |Xc | |2 |44,89 |Xc | |3 |42,97 |Xс |.

Розглянемо можливе стан устаткування до початку 3-го року й знайдемо кожного з них умовно оптимальне рішення і відповідне значення функції Z*3(t).

Z*3(1)=max 8,99+44,89 = 53,88; Xc.

47,74 Z*3(2)=max 8,06+42,97 = 51,03; Xc.

47,74.

Отримані результати записані в таблиці 3.8.

Таблиця 3.8.

Можливе стан устаткування до початку 3-го року периода.

|Возраст устаткування |Значення функції Z*3(t) |Умовно оптимальне | |t (років) |(тыс.д.ед.) |рішення Х | |1 |53,88 |Xc | |2 |51,03 |Xc |.

Тепер розглядаються допустимі стану устаткування до початку 2-го року періоду. На цей час часу вік устаткування то, можливо дорівнює лише одному року. Тому доведеться порівняти лише дві можливих рішення: зберегти обладнання, або зробити заміну. Z*2(1)=max 8,99+51,03 = 60,02; Xc.

53,81.

На початку другого року періоду устаткування потрібно сохранить.

Відповідно до умові до початку періоду встановлено нове обладнання (t=0). Тому проблема вибору між збереженням і заміною устаткування не існує: устаткування слід зберегти. Отже, умовно оптимальним рішенням є Xc, а значення функції: Z*1(1)=9,93+60,02 =69,95.

Отже, максимальна прибуток підприємства то, можливо рівної 69,95 тыс.д.ед. Вона відповідає оптимальним планам заміни устаткування, т.к. оптимальний план єдиний. Оптимальні плани виходять з урахуванням даних таблиць 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, тобто у результаті обчислювального процесу, який перебуває у проходженні всіх розглянутих кроків початку 1-го на початок 10-го року періоду. Для 1-го року періоду рішення єдино — слід зберегти устаткування. Отже вік устаткування до початку 2-го року періоду дорівнює одному року. Тоді оптимальним розв’язанням для 2-го року періоду є рішення про збереження устаткування. Реалізація цього рішення призводить до того, що вік устаткування до початку 3-го року періоду стає рівним двох років. За такої віці (див. табл.3.8) устаткування 3-му року періоду слід зберегти. Після збереження обладнання комплексу вік до початку 4-го року періоду становитиме 3 роки. Як таблиці 3.7, в такому віці устаткування слід зберегти. Тому вік устаткування до початку 5-го року періоду становитиме чотири року. З таблиці 3.6 слід, що устаткування слід зберегти чи замінити у разі збереження його вік до початку 6-го періоду становитиме п’ять років, й устаткування знову слід зберегти (див. таблицю 3.5). Якщо ми устаткування зберігаємо до початку 7-го року періоду, то вік устаткування буде років, та якщо з таблиці 3.4 слід, що устаткування слід замінити. На початку 8-го року періоду вік устаткування становитиме рік, але це отже, устаткування слід зберегти (див. таблицю 3.3). До початку 9-го року періоду вік устаткування становитиме двох років й у відповідність до таблицею 3.2 воно знову зберігається. На початку 10-го року періоду устаткування зберігається (див. таблицю 3.1).

Розглянемо наступний оптимальний план:

І тому повернемося до початку 5-го року періоду, коли вік устаткування буде рівним чотирьох років. За такої віці (див. табл.3.6) устаткування в 5-му року періоду слід зберегти чи замінити. На відміну від попереднього оптимального плану, замінимо устаткування. Після заміни обладнання комплексу вік до початку 6-го року періоду становитиме рік. Як таблиці 3.5, в такому віці устаткування слід зберегти. Тому вік устаткування до початку 7-го року періоду становитиме двох років. З таблиці 3.4 слід, що устаткування слід зберегти й його вік становитиме 3 роки, отже, до початку 8-го року устаткування слід зберегти (див. таблицю 3.3). Якщо ми устаткування зберігаємо до початку 9-го року періоду, то вік устаткування буде чотири роки, та якщо з таблиці 3.2 слід, що устаткування слід зберегти. На початку 10-го року періоду вік устаткування становитиме п’ять років, але це отже, устаткування слід зберегти (див. таблицю 3.1).

Таблиця 3.9.

Оптимальні плани заміни устаткування |Вік |Оптимальні плани | |устаткування t | | | |I |II | |1 |Зберегти | |2 |Зберегти | |3 |Зберегти | |4 |Зберегти | |5 |Зберегти |Замінити | |6 |Зберегти | |7 |Замінити |Зберегти | |8 |Зберегти | |9 |Зберегти | |10 |Зберегти |.

Запишемо в таблицю 3.9 дані нашої завдання, і основі цієї таблиці побудуємо графік залежності продуктивності устаткування від час його використання предприятием.

Таблиця 3.10.

Дані завдання заміни оборудования.

|Годы експлуатації |Витрати S (t) |Річна продукція |r (t)-S (t) | | | |r (t) | | |0 |15,07 |25 |9,93 | |1 |15,01 |24 |8,99 | |2 |15,94 |24 |8,06 | |3 |16,11 |23 |6,89 | |4 |16,93 |23 |6,07 | |5 |16,86 |23 |6,14 | |6 |17,96 |22 |4,04 | |7 |18 |21 |3 | |8 |19,11 |20 |0,89 | |9 |19,86 |20 |0,14 | |10 |20,18 |20 |-0,18 |.

Залежність продуктивності устаткування від час його використання предприятием.

Рис. 3.1.

З графіка видно, що продуктивність устаткування з часом падає, тобто устаткування старіє і потребує ремонту чи замены.

У таблиці 3.10 зведені значення оптимальних планів заміни оборудования.

Таблиця 3.10.

Значення оптимальних планів заміни устаткування |I |II | |69,95 |69,95 | |60,02 |60,02 | |51,03 |51,03 | |42,97 |42,97 | |36,08 |36,08 | |30,01 |36,15 | |23,87 |27,16 | |23,94 |19,10 | |14,95 |12,21 | |6,89 |6,14 |.

Залежність одержуваної прибутку підприємством від часу використання експлуатованого устаткування при оптимальних планах його замены.

Рис. 3.2.

На малюнку 3.2 зображено два оптимальних плану. З малюнка видно, що до початку 5-го року значення всіх оптимальних планів одинаковы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Динамічний програмування — це область математичного програмування, куди входять сукупність прийомів і коштів на перебування оптимального рішення, і навіть оптимізації кожного кроку системи та виробленні стратегії управління, тобто процес управління можна уявити, як многошаговый процес. Динамічний програмування, використовуючи поетапне планування, дозволяє як спростити рішення завдання, а й вирішити такі, яких не можна застосувати методи математичного аналізу. Спрощення рішення досягається з допомогою значного зменшення кількості досліджуваних варіантів, оскільки замість здобуття права одного разу вирішувати складну многовариантную завдання, метод поетапного планування передбачає багаторазове вирішення питань щодо простих завдань. Плануючи поетапний процес, походять від інтересів всього процесу взагалі, тобто. після ухвалення рішення на окремому етапі завжди необхідно пам’ятати кінцеву цель.

Проте динамічний програмування має і свої недоліки. На відміну від лінійного програмування, у якому симплексный метод є універсальним, в динамічному програмуванні такого методу немає. Кожна завдання має труднощі, в кожному випадку необхідно знайти найвдалішу методику рішення. Недолік динамічного програмування полягає й у трудомісткості рішення багатомірних завдань. Завдання динамічного програмування має відповідати два умови. Перше умова зазвичай називають умовою відсутності післядії, а друге -умовою аддитивности цільової функції задачи.

Насправді зустрічаються завдання планування, у яких помітну роль грають випадкові чинники, впливають як у стан системи, і на виграш. Є різниця між детермінованою і стохастической завданнями динамічного програмування. У детермінованою завданню оптимальне управління єдиний і вказується заздалегідь як жорстка програми дій. У стохастической завданню оптимальне управління є випадковою і вибирається під час самого процесу у залежність від випадково цій ситуації. У детермінованою схемою, проходячи процес етапами від кінця до початку, теж знаходиться кожному етапі низку умовних оптимальних управлінь, але із усіх цих управлінь, у кінцевому рахунку здійснювалося лише одна. У стохастической схемою тут інше. Кожне з умовних оптимальних управлінь може бути фактично здійснених, якщо попередній хід випадкового процесу призведе систему до відповідного состояние.

Принцип оптимальності є основою поетапного вирішення завдань динамічного програмування. Типовими представниками економічних завдань динамічного програмування є звані завдання виробництва і збереження, завдання розподілу капіталовкладень, завдання календарного виробничого планування та інші. Завдання динамічного програмування застосовують у плануванні діяльності підприємства з урахуванням зміни потреби у продукції у часі. У оптимальному розподілі ресурсів між підприємствами у бік чи у времени.

Опис характеристик динамічного програмування і типів завдань, які можна сформульовані у межах, в разі потреби має бути дуже спільним і кілька невизначеним, оскільки існує неозоре масу різноманітних завдань, укладывающихся в схему динамічного програмування. Тільки вивчення значної частини прикладів дає чітке розуміння структури динамічного программирования.

1.Акулич И. Л. Математичне програмування в прикладах та військово-політичні завдання.- М.: Вищу школу, 1993.

2.Вентцель Е. С. Елементи динамічного програмування.- М.: Наука, 1964.

3. Дудорин В.І. Моделювання в завданнях управління производством.-М.: Статистика, 1980.

4. Дослідження операцій на економіці: навчальних посібників для вузів / під ред. Кремера Н. Ш. -М.: Банки і Біржі, ЮНИТИ, 1997.

5. Карасьов А.І., Кремер Н. Ш., Савельєва Т.И. Математичні методи лікування й моделі у планировании.-М.: Економіка, 1987.

6. Кишень В. Г. Математичне програмування. -М.: Наука, 1986.

7.Колемаев В. А. Математична економіка.- М.: Юнити, 1998.

8. Лотів А.В. введення у економічно-математичне моделирование.-М.: Наука, 1984.

9. Ромакин М. И. Оптимізація планування виробництва: экономикоматематичні моделі і методы.-М.: Фінанси і статистика, 1981.

10. Таха Х. А. Введення ЄІАС у дослідження операцій. Кн.1 и2.-М.:Мир, 1985.

11. Терехов Л. Л. Економіко-математичні методи.- М.: Статистика, 1972.

12. Фатхутдинов Р. А. Розробка управлінського рішення. Навчальне пособие.-М.:Интер-Синтез, 1997.

13. Фатхутдинов Р. А. Система менеджмента.-М.: Интер-Синтез, 1996.

14. Хедлі Дж. Нелінійне і динамічний програмування.- М.: Світ, 1967.

ПРИЛОЖЕНИЯ.

Додаток 1.

Таблиця 1.1.

Витрати утримання і ремонт аналогічного устаткування інших предприятий.

|Порядковые |Показники | |роки | | |эксплу-атации | | |устаткування | | |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 | |0 |Затрат|14,7−14,9 |14,9−15,1 |15,1−15,3 |15,3−15,5 |15,5 і | | |и, | | | | |більш | | |тис. | | | | | | | |д.ед. | | | | | | | |Коли-ч|4 |5 |2 |2 |1 | | |ество | | | | | | | |пред-п| | | | | | | |риятий| | | | | | |1 |Затрат|14,6−14,8 |14,8−15,0 |15,0−15,2 |15,2−15,4 |15,4 і | | |и, | | | | |більш | | |тис. | | | | | | | |д.ед. | | | | | | | |Коли-ч|3 |4 |4 |2 |1 | | |ество | | | | | | | |пред-п| | | | | | | |риятий| | | | | | |2 |Затрат|15,4−15,6 |15,6−15,8 |15,8−16,0 |16,0−16,2 |16,2 і | | |и, | | | | |більш | | |тис. | | | | | | | |д.ед. | | | | | | | |Коли-ч|2 |3 |2 |4 |3 | | |ество | | | | | | | |пред-п| | | | | | | |риятий| | | | | | |3 |Затрат|До 15 |15,5−16,0 |16,0−16,5 |16,5−17,0 |17,0 і | | |и, | | | | |більш | | |тис. | | | | | | | |д.ед. | | | | | | | |Коли-ч|3 |4 |3 |2 |2 | | |ество | | | | | | | |пред-п| | | | | | | |риятий| | | | | | |4 |Затрат|16,5−16,7 |16,7−16,9 |16,9−17,1 |17,1 і більше | | |и, | | | | | | |тис. | | | | | | |д.ед. | | | | | | |Коли-ч|3 |3 |4 |4 | | |ество | | | | | | |пред-п| | | | | | |риятий| | | | | |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 | |5 |Затрат|До 16,0 |16,0−16,5 |16,5−17,0 |17,-17,5 |17,5 і | | |и, | | | | |більш | | |тис. | | | | | | | |д.ед. | | | | | | | |Коли-ч|2 |2 |4 |3 |3 | | |ество | | | | | | | |пред-п| | | | | | | |риятий| | | | | | |6 |Затрат|17,5−17,7 |17,7−17,9 |17,9−18,1 |18,1−18,3 |18,3 і | | |и, | | | | |більш | | |тис. | | | | | | | |д.ед. | | | | | | | |Коли-ч|3 |3 |4 |2 |2 | | |ество | | | | | | | |пред-п| | | | | | | |риятий| | | | | | |7 |Затрат|До17,8 |17,8−18,0 |18,0−18,2 |18,2 і більше | | |и, | | | | | | |тис. | | | | | | |д.ед. | | | | | | |Коли-ч|3 |4 |4 |3 | | |ество | | | | | | |пред-п| | | | | | |риятий| | | | | |8 |Затрат|18,0−18,5 |18,5−19,0 |19,0−19,5 |19,5−20,0 |20,0 і | | |и, | | | | |більш | | |тис. | | | | | | | |д.ед. | | | | | | | |Коли-ч|3 |4 |3 |2 |2 | | |ество | | | | | | | |пред-п| | | | | | | |риятий| | | | | |.

———————————- [pic].

[pic].

[pic].