Построение економічної моделі з використанням симплекс-метода

Анотація 3.

Запровадження. 4.

1. ОСНОВЫ СИСТЕМНОЇ ПІДХОДУ 5.

1.1.Основные поняття й універсального визначення підходу 5.

1.1.1. Поняття системи та середовища 7.

1.1.2. Поняття проблемної ситуації 11.

1.1.3. Поняття мети системи 14.

1.1.4. Поняття функцій системи 16.

1.1.5. Структура системи 17.

1.1.6. Зовнішні умови системи 20.

1.1.7. Основні етапи системної діяльності 21.

1.2. Моделі систем 22.

1.2.1. Визначення й класифікація моделей систем 22.

1.2.2. Рівні моделей системи* 25.

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА 28.

Словесне опис 28.

Математичне опис. 29.

Обмеження 30.

Змінні 31.

Цільова функція 32.

Симплекс-метод. 33.

Уявлення простору рішень стандартної задачи.

лінійного програмування. 34.

Обчислювальні процедури симплекс-метода. 37.

Оптимальний рішення 42.

Статус ресурсів 43.

Цінність ресурсу 45.

Максимальне зміна запасу ресурсу 47.

Максимальне зміна коефіцієнтів удільної 50.

прибутку (вартості) 50.

Укладання 52.

Список літератури: 53.

Аннотация.

У цьому курсової роботі розглядаються основні засади побудови системи, і навіть практичне застосування отриманих знань з прикладу розподілу фінансів фирмы.

Сьогодні у нічого для будь-якого громадян України як відомо, що економіка країни практично перейшла на ринкові рейки і функціонує виключно за законами ринку. Кожне підприємство відпо-відає своєї роботи саме й саме приймає рішення про розвиток. Сучасні умови ринкового господарювання пред’являють до методів прогнозування дуже високі вимоги, через зростання важливості правильного прогнозу для долі підприємства, та й економіки нашої країни в целом.

Саме прогнозування функціонування економіки регіонів і навіть країни, мій погляд потрібно приділяти пильна увага нині, оскільки за пеленою сьогохвилинних власних проблем все чомусь забули у тому, що економіка країни також має управлятися, отже й прогнозування показників його розвитку має надійти на тверду наукову основу.

Метою згаданої курсової роботи стало вивчення практичний досвід використання економіко-статистичних методів прогнозирования.

Моделювання у наукових дослідженнях стало застосовуватися ще глибокої давнини та поступово захоплювало дедалі нові області наукових знань: технічне конструювання, будівництво і архітектуру, астрономію, фізику, хімію, біологію і, нарешті, громадські науки. Великих успіхів і визнання практично в усіх галузях сучасної науки приніс методу моделювання ХХ в. Проте методологія моделювання довгий час розвивалася незалежно окремими науками. Була відсутня єдина система понять, єдина термінологія. Лише поступово стала усвідомлюватись роль моделювання як універсального методу наукового пізнання.

Термін «модель «широко використовується у різноманітних галузях людської роботи і має безліч значеннєвих значень. Розглянемо лише «моделі «, що є інструментами отримання знань .

Модель — це таке матеріальний чи подумки представлений об'єкт, що у процесі дослідження заміщає объект-оригинал тож його безпосереднє вивчення дає нові знання про объекте-оригинале .

Під моделювання розуміється процес побудови, вивчення застосування моделей. Воно був із такими категоріями, як абстракція, аналогія, гіпотеза та інших. Процес моделювання обов’язково включає й побудова абстракцій, і умовиводи за аналогією, і конструювання наукових гипотез.

Головна особливість моделювання у цьому, що це метод опосередкованого пізнання з допомогою объектов-заместителей. Модель постає як своєрідний інструмент пізнання, який дослідник ставить між собою — і об'єктом і з допомогою вивчає цікавий для його об'єкт. Саме ця особливість методу моделювання визначає специфічні форми використання абстракцій, аналогій, гіпотез, інших категорій і методів пізнання .

Необхідність використання методу моделювання залежить від того, що багато об'єктів (чи проблеми, які стосуються цих об'єктів) безпосередньо досліджувати чи взагалі неможливо, чи це дослідження потребує багато часу і средств.

Моделювання — циклічний процес. Це означає, що з першим четырехэтапным циклом може відбутися другий, третій тощо. У цьому знання про досліджуваному об'єкті розширюються і точняются, а вихідна модель поступово вдосконалюється. Недоліки, виявлені після першого циклу моделювання, бусловленные малим знанням об'єкта і помилками у будівництві моделі, можна виправити у наступних циклах. У методології моделювання, в такий спосіб, закладено великі можливості саморозвитку .

1. ОСНОВЫ СИСТЕМНОЇ ПОДХОДА.

1.1.Основные поняття й універсального визначення системного подхода.

Оточуючі нас виробничі, соціальні, організаційні і природні об'єкти мають безліч різних властивостей: вони досить складні, розподілені у просторі, динамічні у часі, поведінка їх описується, як детермінованими, і стохастическими законів і т.д.

У управлінні такими системами задіяно дуже багато людей, величезні природні, матеріальні і енергетичні ресурси. У цьому підхід до об'єктів управління, як до найскладніших системам висловлює однією з головних особливостей сучасного етапу розвитку общества.

Уміння розпізнати систему, декомпозировать в елементарні складові, визначити закони управління кожної підсистемою і знову синтезувати систему вимагає розробки низки спеціальних формальних моделей, процедур алгоритмів. Ще філософ Стародавнього Риму Квиантилиан стверджував, що будь-яку як завгодно складну ситуацію можна повністю структурувати і описати, керуючись такими сім'ю питаннями [2] (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Основні чинники системы.

Наука, у межах якої отримали розвиток дослідження, створені задля рішення вищеозначених проблем, отримав назву «теорія систем «- «системний підхід «- «системний аналіз ». Ця теорія зародилася в 30-х роках ХІХ століття й у 50-ті роки сформувалася самостійна на-учное напрям. У її витоків стояли біологи Берталанфи, Р, Жерар, фахівець із математичним проблемам у сфері біології і психології - А. Рапопорт, економіст — До. Боулдинг [8].

Надалі ці дослідження продовжені у численних роботах зарубіжних і вітчизняних учених.: М. Месарочича, З. Оптнера, З. Янга, Я. Такахару, Р. Акоффа, А. А. Богданова, В. М. Садовського, А.І. Уемова, Ю. И. Черняка, А. А. Денисова та інших.

1.1.1. Поняття системи та среды.

Поняття системи уточнюється розвивається протягом розвитку самого системного аналізу. Так, основоположник теорії систем Людвіг фон Берталанфи визначив систему як комплекс взаємодіючих елементів, що у певних стосунках одне з одним і з средой.

Отже вихідним моментом у визначенні системи є його протиставлення середовищі, тобто. середовище — усе це те що входить до системи, а система — це кінцеве безліч об'єктів, якимось чином виділений з середовища. Між середовищем і банківською системою існує нескінченна безліч взаємних зв’язків, з допомогою яких реалізується процес взаимодей-ствия середовища проживання і системи. Виділення системи з середовища проживання і визначення кордонів їх взаємодії є одним із першочергові завдання системного аналізу. Від правильності визначення меж залежать як що їх функції, ефективність яких і якість системи, а й нерідко сама її життєдіяльність. З іншого із боку, діалектичній основою системних досліджень є принцип системності, суті якого зводиться до того що, що систему цілісно має властивостями, не властивими що становить її елементам. І тут щодо системи необхідно виходити із двох основних понятий:

•система як сукупність взаємодіючих елементів; •система як цілісна середовище, що має новими системообразую-щими властивостями.

З урахуванням вищевикладеного перелічимо такі чесноти системы:

•система є щось ціле;

•система є чимало елементів, властивостей і стосунків;

•система є організоване безліч элементов;

•система є динамічний безліч елементів.

Тоді визначення системи можна сконструювати так: система є кінцеве безліч функціональних елементів та відносин між ними, що виділяється з середовища відповідно до визначен-ний метою, у межах певного тимчасового інтервалу.

І тут під елементом прийнято розуміти найпростішу неподільну частина системи — підсистему. У цьому на запитання, що такий частиною може бути однозначним і від цілей розгляду об'єкта як системы.

Об'єктивно, з погляду довкілля, будь-яку систему існує як джерело задоволення її потреб. З цього випливає, що найпростіша модель взаємодії між системою та середовищем виглядає так (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Модель взаємодії системи та среды.

На вхід системи з середовища надходять:

•безліч цілей та — Z = {Zk} •безліч ресурсів — X = {Xj}.

Висновком із системи є безліч кінцевих продуктів, благ та надання послуг орієнтованих задоволення потреб довкілля — Y = {Yi} .

У цьому безліч кінцевих продуктів і мінеральних ресурсів можна класифікувати ми такі групи: матеріальні, інформаційні, фінансові, трудові, энергетические.

Нерідко в класифікаторі виходів системи крім корисних кінцевих продуктів необхідно виділяти відходи, тобто. кінцеві продукти, які надають негативний вплив на зовнішню середу.

На рис. 1.3 представлена узагальнена модель взаємодії підприємства «як системи «із елементами зовнішньою среды.

Рис. 1.3. Модель взаємодії підприємства із елементами зовнішньої среды.

Як приклад розглянемо фрагмент моделі взаємодії навчального закладу із елементами зовнішньої среды.

Як кінцевих продуктів навчального заклади рассмат-ривать такі множества:

Y1- інженерні кадры;

Y11- інженерні кадри, підготовлені по типовим программам;

Y12- інженерні кадри, підготовлені на замовлення органів влади й управління;

Y13- інженерні кадри, підготовлені на замовлення фінансових ин-ститутов;

Y14- інженерні кадри, підготовлені на замовлення конкретного підприємства міста і т.д.;

Y2- інформаційна продукція вуза;

Y21- навчально-методична литература;

Y22- науково-технічна литература;

Y23- звітна інформацію про діяльності вуза;

Y3- науково-технічні розробки вуза;

Y4- кадри вищої квалификации.

Як вхідних ресурсів навчального закладу выделим:

X1 — фінансові ресурси в організацію навчального процесса;

X11 — федеральний бюджет;

X12 — місцевий бюджет;

X13 — позабюджетні фонды;

X14 — благодійні фонды;

X15 — кредити банков;

X2 — фінансові ресурси в організацію науково-дослідної деятельности;

X3 — фінансові ресурси в організацію административно-хозяй-ственной деятельности;

X4 — абітурієнти, які у вуз;

X41 — з урахуванням держбюджетного финансирования;

X42 — на замовлення органів влади й управления;

X43 — на замовлення фінансових институтов;

X44 — на замовлення конкретних промислових предприятий.

Як безлічі цілей та, визначальних діяльність вузу, можна рассматривать:

•по навчальної діяльності ;

Z11 — вимоги ДЕРЖ підготовка фахівців із конкретної спе-циальности;

Z12 — вимоги органів влади й управління підготовка специа-листов;

Z13 — вимоги фінансових структур підготовка специалистов;

•по науково-дослідної діяльності ;

Z21 — вимоги федеральних органів до якості виконання госбюд-жетных тем;

Z22 — вимоги замовників до якості виконання госпдоговірних тем.

1.1.2. Поняття проблемної ситуации.

Як засвідчили у минулому розділі, взаємодія між системою та середовищем побудовано за такою схемою: середовище поставляє системі ресурси, встановлює мети, обмеження, а отримує із системи і споживає його конечні продукти. Характерно, що КП системи принципово неможливо знайти створені у середовищі (інакше не потрібно виділяти систему з среды).

Виникла або назріваюча ступінь невдоволення елементів довкілля кінцевими продуктами системи, або низька ефективність взаємодії елементів довкілля і системи породжують нове по-нятие підходу — «проблемна ситуація «- виникла або назріваюча ступінь невдоволення взаємозв'язку між системою та середовищем. І тут очевидно, що перелік проблемних ситуацій можна визначити з аналізу взаємозв'язку елементів множин:

Y={Yip}; X={Xjp}; Z={Zkp}.

Під час проведення цього етапу системних досліджень рекомендується передусім чітко сформулювати сутність проблеми освіти й описати ситуацію, де вона має місце [4]. У цьому зміст діяльності входять такі етапи:

•встановлення змісту проблеми, тобто. з’ясування, чи є дійсності проблема або вона є надуманою;

•визначення новизни проблемної ситуации;

•встановлення причин виникнення проблемної ситуации;

•визначення ступеня взаємозв'язку проблемних ситуаций;

•визначення повноти і достовірності інформації про проблемної ситуації; •можливості розв’язання проблеми.

Визначення існування проблеми передбачає перевірку істинності чи помилковості формулювання проблеми та її приналежності. Перевірка істинності існування проблеми має здійснюватися насамперед із наявності у системі сукупності економічних та соціальних втрат, та її значимість — критерієм економічного, або соціального ефекту, одержуваного у системі після ліквідації проблемної ситуації. Оцінка мірі проблемності повинна виготовляють зіставленні фактичних (в момент або у майбутньому) значень цілей зі своїми плановими або нормативними значеннями.

Визначення новизни проблемної ситуації необхідне виявлення і запровадження можливих прецедентів чи аналогій. Наявність минулого досвіду чи нормативних рекомендацій дозволяють істотно полегшити роботу експертів з вироблення і сприяють прийняттю рішень щодо ліквідації проблеми.

Встановлення причин (як у системі, і у зовнішній середовищі) виникнення проблеми дозволяє глибше зрозуміти закономірності функціонування об'єкта управління, розкрити найважливіші чинники, що призвели до проблемної ситуації.

При аналізі проблемної ситуації необхідно встановити можливі взаємозв'язку аналізованої проблеми коїться з іншими проблемами. У цьому необхідно провести класифікацію них на головні і другорядні, спільні смаки й приватні, термінові і несрочные. Аналіз взаємозв'язків проблем дозволить чітко й глибоко виявити причинно-наслідкові залежності і сприяти його виробленні комплексного рішення. Комплексність передбачає під час вироблення рішення видавати рекомендації зі зміни як досліджуваної системи, а й довкілля.

Важливе значення в аналізі має визначення ступеня повноти і достовірності інформації про проблемної ситуації. Що стосується повної інформації неважко сформулювати сутність існують, та комплекс характеризуючих її умов. Якщо має місце невизначеність інформації, необхідно розглянути дві альтернативи: провести роботу з отриманню якої бракує інформації; відмовитися від отримання дополнитель-ной інформації та приймати рішення, у умовах наявної невизначеності. Вибір тій чи іншій альтернативи у кожному даному випадку мають провадитися з схеми «витрати — ефект » .

Важливою складовою аналізу проблемної ситуації є оп-ределение ступеня разрешимости проблеми. У разі вже в попередньому етапі хоча б приблизно оцінити возмож-ность розв’язання проблеми, бо має сенсу займатися поис-ком рішень для нерозв’язних в момент часу проблем.

Складність і розмаїття систем і проблемних ситуацій вимагають розробки формальних процедур організації що така діяльності. У [3] пропонується наступний перелік методів, дозволяють систематизувати аналіз стану і оцінку проблемних ситуаций:

•анкетне обстеження;

•прогнозування з урахуванням тимчасових рядов;

•похідне прогнозування (використання вже отриманих прогнозів з метою оцінки будь-яких ситуацій, наприклад, компанія, яка виробляє запчастини до автомобілів може скористатися прогнозами обсяги про-даж автомобилей);

•моделювання з урахуванням факторного і регресійного аналізу (уста-новление причинно-наслідкових перетинів поміж деякими чинниками і перемінної величиною, яку треба определить);

•метод мозкового штурма;

•метод Дельфи;

•метод розробки сценаріїв.

Продовжуючи розглядати приклад аналізу взаємодії навчального закладу із елементами довкілля, виділимо наступний перелік проблемних ситуаций:

•на взаємозв'язку X14 — низьку якість з підготовки спеціалістів під вимоги сучасного виробництва;

•на взаємозв'язку X11 — низький рівень фінансування процесу із боку государства;

•на взаємозв'язку X13 — низькі об'єми та темпи залучення позабюджетних коштів з організацією цільової і комерційної підготовки студентів;

•на взаємозв'язку X41 — низький конкурс на час вступу до вузу за низкою спеціальностей тощо.

1.1.3. Поняття мети системы.

Поняття цілі й пов’язані із нею поняття цілеспрямованості, цілеспрямованості, доцільності важко сформулювати виду їх одно-значного тлумачення. Так було в Великої радянської енциклопедії мета окреслюється «заздалегідь мислимий результат діяльності людини ». З іншого боку, у літературі є і інших альтернативних варіантів визначення мети системы:

• «бажане стан виходів системи » ;

• «певне ззовні чи встановлений самої системою стан її виходів »; • «ідеальний образ того, чого людина або група людей хоче мати »; • «передбачення у свідомості результату, для досягнення якого спрямовані дії «;

• «необхідні довкіллям результати діяльності системи, за-данные на безлічі вихідних кінцевих продуктів » .

У разі щодо поняття мети будемо свідомі наступних передумов. Оскільки проблемна ситуація ідентифікується з аналізом взаємовідносин системи із елементами довкілля, то мети системи повинні виражатися через ідеальний інформаційний образ цих взаємовідносин. Отже, головна труднощі формування цілей пов’язана з тим, що мета є хіба що антиподом проблем. Форму-лируя проблеми, говоримо вочевидь, що мені не подобається. Кажучи про цілі, ми намагаємося сформулювати, що хочемо. При формулюванні мети годі було підміняти її засобами. Припустимо ви мені хочете «поліпшити інформаційне обслуговування своєї фірми «- придбання необхідної кількості ПЕОМ є лише одне із можливих дій у тому на-правлении.

Подальший виклад матеріалу проводитимемо з наступній класифікації цілей (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Класифікації целей.

Кінцеві мети характеризують цілком певний результат, кото-рый можна отримати в заданому часу й просторі. Нескінченні мети визначають, зазвичай, загальне напрям діяльності. Вибір тієї чи іншої класу цілей залежить від характеру розв’язуваної проблеми. Вочевидь, що з визначенні цілей необхідно виходити із громадських интере-сов системи. У цьому формулювання цілей може виражатися як і качест-венной, і у кількісної формі, бути чіткої й компактній, носити наказовий характер.

Стосовно стану цілей система може у двох режимах: функціонування та розвитку. У першому випадку вважається, що систему повністю задовольняє потреби зовнішнього середовища й процес переходу її та її окремих елементів зі стану до стану відбувається за сталості заданих цілей. У другий випадок вважається, що систему в певний час перестає задовольняти потребам довкілля, і потрібно коригування колишніх цільових установок.

З огляду на, що всі системи ставляться до класу многопродуктовых (багатоцільових) систем, слід розглядати прості (приватні) мети системи та складні (комплексні) мети. Приміром, для достиже-ния на успіх бізнесі можна обмежитися завданням цілей у наступних областях діяльності [2]:

•ефективність;

•продуктивність;

•організація функционирования;

•инновации;

•матеріальні ресурси;

•фінансові ресурсы;

•соціальна відповідальність виникає.

Цей приклад показує, що ви з організацією бізнесу задаетесь лише єдиною метою, наприклад, у сфері ефективності - «максимальне отримання прибутку », ваша діяльність є паразитуючої. У кінцевому підсумку, будь-який бізнес має мати певне громадське призначення, допомагати суспільству з погляду виробництва будь-яких кінцевих продуктів і услуг.

1.1.4. Поняття функцій системы.

Наявність проблемної ситуації та об'єктивної мети системи, як прообразу її майбутнього стану, вимагає реалізації певних дій зі досягненню заданих цільових результатів.

І тут, визначимо функцію системи як засіб (сукупність дій) досягнення системою поставленої мети.

Для визначення безлічі функції успішно можна використовувати вже упоминавшиеся:

•метод мозкового штурму;

•метод Дельфи;

•метод розробки сценаріїв.

Нерідко для генерації безлічі функцій рекомендується залучати зовнішніх експертів, фахівців, необтяжених минулим системи, хто знає її внутрішніх обмежень і противоречий.

Наприклад, при реалізації мети «Забезпечити якість з підготовки спеціалістів під вимоги конкретного підприємства «можна сформулювати такі функції (види діяльності):

1.

заключение

договорів із цільової підготовки фахівців;

2.перевод студентів на індивідуальне обучение;

3.подготовка циклу спеціалізованих занять під вимоги підприємства; 4. развитие матеріальної бази процесу тощо.

1.1.5. Структура системы.

Розглянуті вище етапи створення під проблемну ситуацію (формування цілей та їх досягнення, тобто. функцій) об'єктивно вимагають наступного логічного кроку — виявлення таких елементів та відносин між ними (внутрішнього устрою системи), які реалізують цілеспрямоване функціонування системи. Елементи будь-якого змісту, необхідних реалізації функції, назвемо частинами чи ком-понентами системи. Сукупність частин (компонентів) системи утворює її елементний (компонентний) склад. У цьому ті елементи системи, що розглядаються як неподільні, називатимуться елементарними. Частина системи, що перебуває більш ніж із одного елемента утворює підсистему. Разом про те кожну з підсистем, що реалізують конкретну функцію, можна, своєю чергою, розглядати, як нової судової системи тощо. Упорядковане безліч відносин між частинами, істотне стосовно мети, необхідне реалізації функції, утворює структуру системи.

Поняття структури походить від латинського слова structure, що означає будова, розташування, порядок, а найточніше визначення структури виглядає так: «Під структурою розуміється сукупність елементів системи та взаємозв'язків з-поміж них ». У цьому поняття «зв'язку «може характеризувати це й будова (статику), і функціонування (динаміку) системи. З іншого боку, під час проведення аналізу використовуються два визначальних поняття структури: матеріальна структура і формальна структура.

У випадку під формальної структурою розуміється совокуп-ность функціональних елементів та їхніх взаємин, необхідних і достатніх задля досягнення системою поставленої мети. З визначення слід, що формальна структура описує щось спільне, властиве системам одного типу.

Натомість матеріальна структура є носієм конкретних типів і параметрів елементів системи та їх взаимосвязей.

Наведені міркування дозволяють зробити два виведення щодо сутності формальних структур: фіксованою мети відповідає зазвичай сама й лише одне формальна структура; однієї формальної структурі може відповідати безліч матеріальних структур.

Під час проведення системного аналізу етапі вивчення формальних і матеріальних структур системи аналітики вирішують зазвичай такі задачи:

•чи існуюча структура новим цілям і функцій системи; •потрібно чи реорганізація існуючої структури або необхідно спроектувати принципово нове утворення;

•як розподілити (перерозподілити) нові, і старі функції системи з елементам структури.

Всі ці завдання під що свідчить залежить від типів які у системі структур. У цьому коротко розглянемо ряд типових структур систем, використовуються в описах організаційно-економічних, производст-венных і технічних об'єктів (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Типи (види) структур

Лінійна структура (рис. 1.5,а) характеризується тим, кожна вершина пов’язані з двома сусідніми. При виході з експлуатації хоча самого елемента (зв'язку) структура руйнується.

Кільцева структура (рис. 1.5,б) відрізняється замкнутістю, будь-які два елемента мають двома напрямами зв’язку. Це підвищує швидкість спілкування, робить структуру більш живучою.

Стільникова структура (рис. 1.5,в) характеризується наявністю резервних зв’язків, що підвищує надійність (живучість) функціонування структури, але приводить до підвищення її вартості.

Многосвязная структура (рис. 1.5,г) має структуру повного графа. Надійність функціонування максимальна, ефективність функциони-рования висока, завдяки наявності найкоротших шляхів, вартість — максимальна. Приватним випадком многосвязной структури є «колесо «- (рис. 1.5,д).

Ієрархічна структура (рис. 1.5,е) отримала найбільш стала вельми поширеною під час проектування системам управління, що стоїть рівень ієрархії тим меншою кількістю зв’язків мають його елементи. Усі елементи крім верхнього й нижнього рівнів мають як командними, і підлеглими функціями управління. Кожен на рівень такої системи характе-ризуется рівнем ієрархії, що визначається як ставлення числа вихідних зв’язків до вхідних.

Зоряна структура (рис. 1.5,ж) має центральний вузол, який виконує роль центру, й інші елементи системи є підлеглими.

Графовая структура (рис. 1.5,з) є інваріантної стосовно ієрархічної і використовується зазвичай в описах виробничо-технологічних систем.

У цілому нині структура є матеріальним носієм цільової діяльності з ліквідації проблемної ситуації та від неї ефективності великою мірою залежить кінцевий результат цієї бурхливої діяльності. І тут під час виборів того чи іншого варіанта структур, доцільно використовувати не-которые показники ефективності, наприклад: оперативність, централізація, периферийность, живучість, обсяг.

Оперативність оцінюється часом реакції системи на вплив зовнішнього середовища або швидкістю його зміни і переважно загальної схеми сполуки елементів та його розташування.

Централізація визначає можливості виконання однієї з елементів системи керівних функцій. Чисельно централізація визначається середнім числом зв’язків центрального (керівного) елемента із іншими.

Периферийность характеризує просторові властивості структур. Чисельно периферийность характеризується показником центру ваги структури, причому у ролі одиничної оцінки заходи связности виступає «відносний вагу «елемента структури.

Живучість системи визначає здатність зберігати значення показників при ушкодженні частини системи. Це може характеризуватися відносним числом елементів (чи зв’язків), при знищенні яких інші показники не за припустимі межі.

Обсяг є кількісної характеристикою структури та визначається зазвичай чисельністю елементів або середньої щільністю.

Завдання оптимізації структури для одержання найбільшої ефективності системи є актуальною й потребує певного математичного апарату для свого рішення. Як такого апарату зазвичай використовується теорія графів і целочисленное програмування.

1.1.6. Зовнішні умови системы.

Застосування зазначених вище етапів формування системи під проблемну ситуацію (визначення цілей, функцій і структури системи) дозволяють створити идеально-нормативную систему, яка може бути еталоном реальних систем, які у умовах обмежень, накладених довкіллям. При невідповідність існуючої структури системи нормативному набору функцій, приводящему до досягнення цілей і неможливість її реорганізації з допомогою внутрішніх ресурсів системи, розглядати варіанти залучення до систему елементів довкілля. Найчастіше як елементи довкілля, активно які впливають на систему, розглядаються:

•зовнішні ресурси: фінансові, матеріальні, трудовые;

•обмеження: законодавчі акти, нормативно-правові документи тощо.

Очевидним є й й інші впливу можуть впливати як у структуру, і на функції системи.

Іноді, після визначення безлічі необхідних ресурсів стає зрозуміло нереальність заданих цільових результатів і потрібно коригування вихідних мети або безлічі функцій з їхньої реализации.

Проте етап постановки «оптимальних цілей «перестав бути втратою, оскільки стратегія «воно, можна зробити «то, можливо підмінена стратегією «воно, може бути зроблено » .Що стосується, якщо зовнішніх ресурсів досить, можна ліквідація аналізованої проблемної ситуації. Інакше мова має піти про переосмислення проблеми освіти й формулюванні нової виборчої системи цілей.

Приклад. Як ресурсів довкілля при реалізації функції «підготовка фахівців під вимоги конкретного підприємства «так можна трактувати:

•фінансові ресурси, які від підприємства у вигляді грошову компенсацію додаткову підготовку;

•матеріальні ресурси, представлені у вигляді оригінального обо-рудования, приладів та пристроїв, які студент повинен вивчити й уміти користуватися; •постанови міністерства спільного освітнього і професійної освіти Російської Федерації, які регламентують правничий та обов’язки вузу, підприємства міста і студента.

1.1.7. Основні етапи системної деятельности.

Використання наведених понять і визначень в системної діяльності дозволяє вирішити сукупність взаємозалежних питань: «що? », «як? », «хто? «і «ніж? ». Інакше кажучи слід запитання: наявність або відсутність проблемної ситуації та визначити основних напрямів (мети) її ліквідації; які функції системи у своїй треба реалізувати й який структурою; і, нарешті, чи є з цією реалізації відповідні ресурси.

Легко помітити, що ланцюжок «проблемна ситуація, мети, функція, структура, зовнішні ресурси «утворює логічно обгрунтовану (на змістовному рівні) послідовність системної діяльності (рис. 1.6), і придатна як на етапах аналізу (дослідження), і синтезу (проектування) систем.

Рис. 1.6. Модель етапів системної деятельности.

У разі суцільний лінією показані етапи синтезу, а пунктирною — аналізу.

1.2. Моделі систем.

1.2.1. Визначення й класифікація моделей систем.

Безліч навколишніх предметів і явищ мають наявністю вхідних властивостей. Процес пізнання цих властивостей у тому, що ми цілком убезпечуємо себе певне уявлення про досліджуваному об'єкті, допомагає краще зрозуміти його внутрішній стан, закони функціонування, основні характеристики. Це уявлення, виражене у тому або іншій формі називається моделлю. Як у [1], під моделлю слід розуміти будь-яку іншу систему, що має тієї ж формальної структурою за умови, якщо:

•між системними характеристиками моделі і оригіналом існує відповідність; •модель простіша і проста до вивчення і дослідження основних властивостей объекта-оригинала.

Будь-яка модель є объект-заменитель объекта-оригинала, який би вивчення деяких властивостей оригіналу.

Заміна одного об'єкта іншим для одержання інформації про найважливіших властивості объекта-оригинала з допомогою объекта-модели може бути моделюванням, тобто. моделювання — цей спектакль об'єкта моделлю щоб одержати інформацію про об'єкті шляхом експерименту з його моделлю.

З погляду філософії моделювання слід розглядати, як ефективний засіб пізнання природи. У цьому процес моделювання припускає наявність: об'єкта дослідження, дослідника-експериментатора, моделі.

У автоматизованих системах обробки інформації і управління як об'єкт моделювання можуть виступати:

•виробничі процеси; процеси адміністративного управління; процеси функціонування комплексу технічних засобів; процеси організації та функціонування информационного.

•забезпечення АСУ; процеси функціонування програмного забезпечення АСУ. Переваги моделювання у тому, що виникає.

•можливість порівняно простими засобами вивчати властивості системи, змінювати її параметри, вводити цільові і ресурсні характеристики довкілля.

Зазвичай, моделювання використовується:

1.для дослідження системи доти, як спроектована з метою визначення її основних характеристик і керував взаємодії елементів між собою й довкіллям;

2.на етапі проектування для аналізу та синтезу різних видів структур і вибору найкращого варіанта реалізації з урахуванням сформульованих критеріїв оптимальності та;

3.на етапі експлуатації системи щоб одержати оптимальних режимів функціонування та прогнозних оцінок його розвитку.

У цьому те ж систему можна описати різними типами моделей. Наприклад, транспортну мережу деякого району можна промоделировать електричної схемою, гідравлічної системою, математичної моделлю з допомогою апарату теорії графов.

Коротко зупинимося на класифікації використовуваних практично моделей:

•за способом описи моделі поділяються на описові (не-формализованные) і формалізовані;

•за своєю природою виникнення цілей системи моделі поділяються на пізнавальні (теоретичні мети) і прагматичні (практичну мету). У цьому пізнавальні мети є формою організації та пред-ставления знань, засобом сполуки нових знань зі своїми. Прагматичні моделі, зазвичай, засобом управління, засобом організації практичних дій, способом уявлення зразково правильних дій. Слід зазначити, що з виникненні різниці між моделлю та реальною дійсністю, у разі йдеться про коригуванні моделі, тоді як у другий випадок — зміну реальності, тобто. відповідно до отриманим на моделі рішенням змінити властивості і структурі системи;

•за своєю природою використовуваних елементів моделі поділяються на фізичні (аналогові, електричні, графічні, креслення, фотографії) і математичні.

Надалі будемо вивчати лише клас математичних моделей, під якими розуміють сукупність математичних висловів, що описують поведінка (структуру) системи та ті умови (обурення, обмеження), у яких вона. У совою чергу, математичні моделі у залежність від використовуваного математичного апарату поділяються на:

•статистичні і динамічні;

•детермінований і імовірнісні;

•дискретні і безперервні;

•аналітичні і чисельні.

Статистичні моделі описують поведінка об'єкта у будь-якій час, а динамічні відбивають поведінка об'єкта у часі. Детермінований моделі описують процеси, у яких відсутні (не враховуються) випадкові чинники, своєю чергою, імовірнісні моделі відбивають випадкові процеси — події. Дискретні моделі описують процеси, описувані дискретними перемінними, своєю чергою, безперервні - безперервними. Аналітичні моделі описують процес у вигляді деяких функціональних взаємин чи (і) логічних умов. Чисельні моделі відбивають елементарні явища зі збереженням їх логічного структури та послідовності перебігу у времени.

1.2.2. Рівні моделей системы*.

Першим найпростішим і абстрактним рівнем описи системи є модель, з так званого «чорної скриньки ». І тут передбачається, що виділена система пов’язана з середовищем через сукупність входів і виходів. Виходи моделі відповідають поняттям цілей системи, а входи — відповідно поняттям ресурсів немає і обмежень (рис. 1.7). Передбачається, що ми не знаємо і хочемо знати про внутрішній змісті системи. Модель у разі відбиває дві важливі істотних її властивості: цілісність і відокремленість від среды.

У такій моделі, попри її зовнішню простоту і відсутність даних про внутрішньої структурі, виявляється часто корисною першому етапі системного анализа.

Наприклад, для аналізу працездатності побутового телевізора необхідно перевірити входи (шнур електроживлення, антену, ручки управління і настрою) і виходи (екран кінескопа і вихідні динаміки); системне опис будь-якого виробничого процесу слід з аналізу його інформаційного і матеріального входів і виходів — планованих і результирующих показників діяльності, якість вхідних ресурсів немає і кінцевих продуктів і т.д.

Рис. 1.7.

Слід зазначити, що є безліч систем, внутрішня побудова яких не можна або недоцільно описувати, й у разі модель «чорної скриньки «єдиний варіантом дослідження. Наприклад, ми знаємо, як влаштований організм людини; до того ж час необхідно вивчати вплив та поведінковий аспект засобів, впливом геть живий організм лікарським препаратів тощо. Формалізація моделі «чорної скриньки «полягає в завданні двох множин вхідних і вихідних змінних, і жодних інших відносин між множинами не фиксируется.

Разом про те треба сказати, що побудова моделі «чорної скриньки «перестав бути тривіальної завданням, оскільки на запитання над реальним змістом множин який завжди однозначен.

Побудова моделі полягає в виборі з нескінченного безлічі зв’язків системи з середовищем кінцевого безлічі, адекватно відбиває мети дослідження. Вочевидь. Що такі зайве звести до моносистеме (тобто. системі з однією входом і виходом), а обгрунтування необхідного і достатньої кількості параметрів множин X і Y широко використовувати методи математичної статистики, залучати досвідчених экспертов.

Наступним рівнем моделювання складних систем є моделі складу систем. Зблизька будь-який системи передусім можна знайти, що її цілісність і відокремленість виступають як зовнішнє властивість. Разом про те внутрішню структуру системи є також різній, неоднорідною і складається з безлічі неподільних функціональних елементів. Декомпозиція внутрішньої структури «чорної скриньки «більш дрібні складові (підсистеми, окремі елементи) дозволяють будувати моделі складу систем (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Модель складу системы.

Наприклад, якщо для системи розглядати виробниче підрозділ, то ролі підсистеми виступають виробничі ділянки, а ролі окремих елементів — устаткування, сировину, робочі; сис-тема телебачення складається з апаратури передачі, каналів зв’язку, апаратури приема.

Побудова моделі складу з різноманіття природи й форм елементів також є простою справою. Це можна пояснити трьома факторами:

1.неоднозначностью поняття «елементарного елемента » ;

2.многоцелевым характером об'єкта, об'єктивно які вимагають виділити під кожну мета відповідний їй склад;

3.условностью (суб'єктивністю) процедури розподілу цілого на частини (системи на підсистеми, елементи).

Простота і доступність моделей «чорної скриньки «і складу дозволяє вирішувати безпосередньо з використанням безліч практичних завдань. Разом про те ще детального (глибокого) вивчення систем необхідно встановлювати в моделі склад відносини (зв'язку) між елементами. Опис системи через сукупність необхідних і достатніх задля досягнення цілей відносин між елементами назвемо моделлю структури системы.

Перелік перетинів поміж елементами, здавалося б, є скільки відверненої, абстрактної моделлю. Насправді як розглядати зв’язку, а то й розглянуті самі элементы.

ПРАКТИЧНА ЧАСТЬ.

Словесне описание.

Фірма, яка виробляє деяку продукцію здійснює її рекламу двома шляхами через радіомережа і крізь телебачення. Вартість реклами на радіо обходиться фірмі в розмірі 5 $, а вартість телереклами — в 100 $ за хвилину .

Фірма готова витрачати реклами по 1000 $ на місяць. Також відомо, що фірму готова рекламувати своєї продукції на радіо по крайнього заходу вдвічі частіше, ніж у телебаченню .

Досвід попередніх років показав, що телереклама приносить в 25 разів більше збут продукції ніж радиореклама .

Завдання залежить від правильному розподілі фінансових коштів фірми .

Математичне опис .

X1 — час витрачений на радиорекламу .

X2 — час витрачений на телерекламу .

Z — бажана цільова функція, оражающая максимальний збут від 2-ух видів реклами .

X1=>0, X2=>0, Z=>0 ;

Max Z = X1 + 25X2 ;

5X1 + 100X2.

X1 -2X2 => 0.

Використання графічного способу зручно лише за рішенні завдань ЛЗ з цими двома перемінними. При більшій кількості змінних необхідно застосування алгебраического апарату. У цьому главі розглядається загальний метод вирішення завдань ЛЗ, званий симплекс-методом .

Інформація, яку можна отримати з допомогою симплекс-метода, не лише оптимальними значеннями змінних. Симплекс-метод фактично дозволяє дати економічну интерепритацию отриманого рішення і започаткувати аналіз моделі на чутливість .

Процес виконання завдання лінійного програмування носить итерационный характер: однотипні обчислювальні процедури у певному послідовності повторюються до того часу, поки що не отримано оптимальне рішення. Процедури, реалізовані у межах симплекс-метода, вимагають застосування обчислювальних машин — могутнього засобу вирішення завдань лінійного програмування .

Симлекс-метод — це характерний приклад итерационных обчислень, використовуваних під час вирішення більшості оптимізаційних завдань. У цьому главі розглядаються итерационные процедури що така, щоб забезпечити вирішення завдань з допомогою моделей дослідження операцій .

У гол 2 засвідчили, що права і ліва частини обмежень лінійної моделі може бути пов’язані знаками. З іншого боку, перемінні, які фігурують у завданнях ЛЗ, може бути неотрицательными або обмеження в знаку. Для побудови спільного методу вирішення завдань ЛЗ відповідні моделі мають бути представлені у певній формі, яку назвемо стандатрной формою лінійних оптимізаційних моделей. При стандартної формі лінійної моделі.

1. Усі обмеження записуються як рівностей з неотрицательной правої частиною ;

2. Значення всіх змінних моделі неотрицательны ;

3. Цільова функція підлягає максимізації чи мінімізації .

Покажемо, як будь-яку лінійну модель можна навести до стандартної .

Ограничения.

1. Вихідний обмеження, записаний у вигляді нерівності типу) ,.

можна як рівності, додаючи залишкову зміну до лівої частини обмеження (віднімаючи надлишкову зміну з лівої частини) .

Наприклад, у ліві частина вихідного обмеження.

5X1 + 100X2.

вводистя залишкова змінна S1 > 0, у результаті вихідне нерівність звертається до рівність.

5X1 + 100X2 + S1 = 1000, S1 => 0.

Якщо вихідне обмеження визначає витрата деякого ресурсу, зміну S1 слід інтерпретувати як залишок, чи невикористану частина, даного ресурсу .

Розглянемо вихідне обмеження іншого типу :

X1 — 2X2 => 0.

Оскільки ліва частину акцій цього обмеження може бути менше правої, для звернення вихідного нерівності в рівність віднімемо з його лівої частини надлишкову зміну S2 > 0. Через війну одержимо.

X1 — 2X2 — S2 = 0, S2 => 0.

2. Праву частина рівності то можна зробити неотрицательной, примножуючи обі частини на -1 .

Наприклад рівність X1 — 2X2 — S2 = 0 еквівалентно рівності - X1 + 2X2 + S2 = 0.

3. Знак нерівності змінюється на протилежний при множенні обох частин на -1 .

Наприклад можна замість 2 < 4 записати — 2 > - 4, нерівність X1 — 2X2 0.

Переменные.

Будь-яку зміну Yi, яка має обмеження в знаку, можна подати як різницю двох неотрицательных змінних :

Yi=Yi'-Yi'', де Yi', Yi''=>0.

Таку підстановку варто використовувати переважають у всіх обмеженнях, які містять вихідну зміну Yi, соціальній та вираженні для цільової функції .

Зазвичай знаходять вирішення завдання ЛЗ, у якому фігурують перемінні Yi' і Yi'', та був з допомогою зворотної підстановки визначають величину Yi. Важлива особливість змінних Yi' і Yi'' у тому, що за будь-якого допустимому ухвалі тільки одне з цих змінних може приймати позитивне значення, тобто. якщо Yi'>0, то Yi''=0, і навпаки. Це дозволяє розглядати Yi' як залишкову зміну, а Yi'' - як надлишкову зміну, при цьому одне з цих змінних може приймати позитивне значення. Зазначена закономірність широко використовують у цільовому програмуванні і є передумовою від використання соответсвующих змін у завданню 2.30.

Цільова функция.

Цільова функція лінійної оптимизационной моделі, представленій у стандартної формі, може підлягати як максимізації, і мінімізації. У окремих випадках виявляється корисним змінити вихідну цільову функцію .

Максимізація деякою функції еквівалентна мінімізації тієї ж функції, взятої з протилежним знаком, і навпаки. Наприклад максимізація функції.

Z = X1 + 25X2.

еквівалентна мінімізації функції.

(-Z) = -X1 — 25X2.

Еквівалентність означає, що з одному й тому ж сукупності обмежень оптимальні значення X1, X2, в обох випадках будуть однакові. Відмінність лише у цьому, що з однакових числових значеннях цільових функцій їх знаки будуть протилежні .

Симплекс-метод .

У обчислювальної схемою симплекс-метода реалізується упорядкований процес, у якому, починаючи із певною вихідної припустимою кутовий точки (зазвичай початок координат), здійснюються послідовні переходи від однієї припустимою екстремальній точки в іншу до того часу, поки що не знайдено точка, відповідна оптимального рішення .

Загальну ідею симплекс-метода можна проілюструвати з прикладу моделі, посроенной нашій завдання. Простір рішень це завдання уявімо на рис. 1. Вихідною точкою алгоритму є початок координат (точка На рис. 1). Рішення, відповідне цієї точці, зазвичай називають початковим рішенням. Від вихідної точки здійснюється перехід до деякою суміжною кутовий точці .

Вибір кожної наступної екстремальній точки під час використання симплекс-метода такими двома правилами .

1. Кожна наступна кутова точка мусить бути суміжною з попереднім. Цей перехід здійснюється за кордонів (ребрах) простору рішень .

2. Зворотний перехід до попередньої екстремальній точці неспроможна здійснюватися .

Отже, пошук оптимального рішення починається із певною припустимою кутовий точки, і всі переходи здійснюються лише у суміжним точкам, причому перед новим переходом кожна гілка отриманих точок перевіряється на оптимальність .

Визначимо простір прийняття рішень та кутові точки агебраически. Необхідні соотнощшения встановлюються із зазначеного в таблиці відповідності геометричних і алгебраїчних визначень.

Геометричне визначення.

Алгебраїчне визначення (симплекс метод).

Простір рішень.

Обмеження моделі стандартної формы.

Кутові точки.

Базисне вирішення завдання у кімнаті стандартного формі.

Уявлення простору рішень стандартної завдання лінійного програмування .

Лінійна модель, побудована нашій завдання й наведена до стандартної формі, має такий вигляд :

Максимизировать.

Z = X1 + 25X2 + 0S1 + 0S2.

При обмеженнях.

5X1 + 100X2 + S1= 1000.

— X1 +2X2+ S2 = 0.

X1=>0, X2=>0, S1=>0, S2=>0.

Кожну точку простору варіантів розв’язання завдання, подану на мал.1, можна визначити з допомогою змінних X1, X2, S1 і S2, що фігурують у моделі стандартної форми. При S1 = 0 і S2 = 0 обмеження моделі еквівалентні равенствам, які надаються відповідними ребрами простору рішень. Збільшення змінних S1 і S2 відповідатиме зміщення допустимих точок з кордонів простору рішень на його внутрішню область. Змінні X1, X2, S1 і S2, асоційовані з екстремальними точками, А, У, і З можна впорядкувати, з того, яке (нульовий чи ненульове) має дана змінна в екстремальній точці .

Екстремальна точка.

Нульові переменные.

Ненульові переменные.

А.

S2, X2.

S1, X1.

В.

S1, X2.

S2, X1.

С.

S1, S2.

X1, X2.

Аналізуючи таблицю, легко помітити дві закономерности:

1. Стандартна модель містить два рівняння і четыре.

невідомих, у кожної з екстремальних точок дві (= 4 — 2) перемінні повинен мати нульові значення .

2. Суміжні екстремальні точки відрізняються лише однієї пе;

ремінної у всіх групах (нульових і ненульових змінних) ,.

Перша закономірність свідчить про можливість опре;

розподілу екстремальних точок алгебраїчним способом шляхом при;

равнивания нулю такої кількості змінних, яке равно.

різниці між кількістю невідомих і кількістю рівнянь .

У цьому полягає сутність властивості однозначності экстремальных.

точе на рис. 1 кожної неэкстремальной точці соответствует.

трохи більше однієї нульової перемінної. Так, будь-яка точка внутренней.

області простору рішень загалом немає жодної нулевой.

перемінної, а будь-яка неэкстремальная точка, що за українсько-словацьким кордоном ,.

має лише один нульову зміну .

Властивість однозначності екстремальних точок дозволяє опре;

ділити їх алгебраїчним методом. Вважатимемо, що линейная.

модель стандартної форми містить т рівнянь і п (т.

відомих (праві частини обмежень — неотрицательные). Тогда.

всі припустимі екстремальні точки визначаються й усе одно;

значные неотрицательные рішення системи m рівнянь, в ко;

торых п — m змінних рівні нулю.

Однозначні розв’язання цієї системи рівнянь, получаемые.

шляхом прирівнювання нанівець (п — т) змінних, называются.

засадничими рішеннями. Якщо базисне рішення удовлетворяет.

вимозі неотрицательности правих частин, воно называется.

допустимим базисним рішенням. Змінні, мають нулевое.

значення, називаються небазисными перемінними, інші —.

засадничими переменными.

З вищевикладеного слід, що з реалізації симплекс;

методу алгебраїчне визначення базисних рішень соответст;

вует ідентифікації екстремальних точок, здійснюваної при.

геометричному поданні простору рішень. Таким об;

разом, максимальну кількість ітерацій під час використання симплекс;

методу одно максимальної кількості базисних рішень завдання ЛЗ ,.

представленої у стандартної формі. Це означає, що количество.

итерационных процедур симплекс-метода не превышает.

Cпт= n! / [ (n — m)!m! ].

Друга раніше відзначених закономірностей оказывается.

досить корисна для побудови обчислювальних процедур симп;

лекс-метода, при реалізації якого здійснюється последова;

тельный перехід від однієї екстремальній точки в іншу, суміжною із нею. Оскільки суміжні екстремальні точки відрізняються только.

однієї перемінної, можна визначити кожну наступну (смеж;

ную) екстремальну точку шляхом заміни одній з поточних не;

базисних (нульових) змінних поточної базисної переменной.

У нашому випадку отримано рішення, відповідне точці А, звідки слід перейти в точку У. Треба лише збільшувати небазисную зміну X2 від вихідного нульового значення до значе;

ния, відповідного точці У (див. рис. 1). У точці B переменная.

S1 (що у точці А була базисної) автоматично звертається в.

нуль і, отже, стає небазисной перемінної. Таким.

чином, між безліччю небазисных і безліччю базисных.

змінних відбувається взаємообмін перемінними X2 і S1. Этот.

процес можна наочно у вигляді наступній таблицы.

Екстремальна точка.

Нульові переменные.

Ненульові переменные.

А.

S2, X2.

S1, X1.

В.

S1, X2.

S2, X1.

Застосовуючи аналогічну процедуру всім екстремальним точкам.

рис. 1, можна переконатися, що будь-яку наступну экстре;

мальную точку можна визначити шляхом взаємної замены.

за однією перемінної у складі базисних і небазисных переменных.

(попередньої суміжною точки). Цей чинник істотно упрощает.

реалізацію обчислювальних процедур симплекс-метода.

Розглянутий процес взаємної заміни змінних приводит.

до потреби запровадження двох нових термінів. Включаемой пе;

ремінної називається небазисная в момент змінна ,.

яка включено до безліч базисних змінних на сле;

дующей ітерації (за переходу до суміжною екстремальній точці) .

Исключаемая змінна — це те базисна змінна, которая.

ось на наступній ітерації підлягає виключення з безлічі ба;

зисных змінних .

Обчислювальні процедури симплекс-метода .

Симплекс-алгоритм складається з таких шагов.

Крок 0. Використовуючи лінійну модель стандартної форми, опреде;

ляют початкова дозволене базисне рішення шляхом приравнива;

ния нанівець п — т (небазисных) переменных.

Крок 1. З-поміж поточних небазисных (рівних нулю) перемен;

ных вибирається включаемая у новий базис змінна, увеличение.

якої забезпечує поліпшення значення цільової функції. Если.

такий перемінної немає, обчислення припиняються, оскільки текущее.

базисне рішення оптимально. Інакше осуществляется.

перехід до кроку 2.

Крок 2. З-поміж змінних поточного базису вибирається исклю;

чаемая змінна, яка повинна ухвалити нульовий значення (стать.

небазисной) під час введення у складі базисних нової перемінної .

Крок 3. Перебуває нове базисне рішення, соответствующее.

нових складів небазисных і базисних змінних. Здійснюється перехід до кроку 1.

Пояснимо процедури симплекс-метода з прикладу рішення нашої зада;

чи. Спочатку уявити цільову функцію та обмеження моделі у стандартної форме:

Z — X1 — 25X2 +0S1 -0S2 = 0 (Цільова функція).

5X1 + 100X2 + S1 = 1000 (Обмеження).

— X1 +2X2 + S2 = 0 (Обмеження).

Як зазначалося раніше, як початкового пробного решения.

використовується рішення системи рівнянь, у якій дві перемінні приймаються рівними нулю. Це забезпечує единст;

венность і допустимість одержуваного рішення. У рассматриваемом.

разі очевидно, що підстановка X1 = X2 = 0 відразу ж потрапити призводить до наступному результату: S1 = 1000, S2 = 0 (т. е. рішенню, відповідному точці На рис. 1). Тому точку, А можна використовувати як початкова дозволене рішення. Розмір Z у цій точці дорівнює нулю, адже й X1 і X2 мають нульовий значення. Тому, перетворивши рівняння цільової функції так, що його права частина стала рівної нулю, можна переконатися, що праві частини рівнянь цільової функції та повністю характеризують початкова рішення. Це має місце завжди, коли початковий базис складається з залишкових змінних.

Отримані результати зручно у вигляді таблиці :

Базисні переменные.

Z.

X1.

X2.

S1.

S2.

Решение.

Z.

— 1.

— 25.

Z — уравнение.

S1.

S1 -уравнение.

S2.

— 1.

S2 — уравнение.

Ця таблиця інтерпретується так. Столбец.

" Базисні перемінні «містить перемінні пробного базису S1 ,.

S2, значення яких наведені у стовпці «Рішення ». При.

цьому наголошується, що небазисные перемінні X1 і X2 (не пред;

ставленные у першому стовпці) рівні нулю. Значення цільової функ;

ции Z = 1*0 + 25*0 + 0*1000 + 0*1 одно нулю, як і показано у тому стовпці таблиці .

Визначимо, чи є отримане пробне рішення наи;

найкращим (оптимальним). Аналізуючи Z — рівняння, неважко заме;

тить, що обидві небазисные перемінні X1 і X2, рівні нулю, имеют.

негативні коефіцієнти. Завжди вибирається змінна з великим абсолютним значенням негативного коефіцієнта (в Z — рівнянні), оскільки практичного досвіду обчислень показує, у цьому разі оптимум досягається швидше .

Це лежить в основі що у вычислительной.

схемою симплекс-метода умови оптимальності, яке в.

тому, що, тоді як завданню максимізації все небазисные перемінні в.

Z — Рівняння мають неотрицательные коефіцієнти, отримане пробне рішення є оптимальним. Інакше в ка;

честве нової базисної перемінної слід вибрати ту, яка имеет.

найбільший по абсолютну величину негативний коефіцієнт .

Застосовуючи умова оптимальності до початкової таблиці, выберем.

як перемінної, включаемой в базис, зміну Х2. Исклю;

чаемая змінна мусить бути обрано з сукупності базисных.

змінних S1, S2. Процедура вибору исключаемой перемінної передбачає перевірку умови допустимості, що вимагає, щоб у ролі исключаемой перемінної вибиралась та з пере;

менных поточного базису, яка першою звертається до нуль при уве;

личении включаемой перемінної X2 до значення, відповідного суміжною екстремальній точці .

Цікавить нас ставлення (фіксуюче потрібну точку пе-ресечения і идентифицирующее исключаемую зміну) можно.

висунути зі симплекс-таблицы. І тому в стовпці, відповідному введеної перемінної X2, викреслюються негативні і нульові елементи обмежень. Потім обчислюються відносини постійних, фігуруючих у правих частинах цих обмежень, до інших елементам шпальти, відповідного введеної перемінної X2. Исключаемой перемінної буде та змінна поточного базису, на яку зазначена вище ставлення минимально.

Початкова симплекс-таблица нашій завдання, отримувана після перевірки умови допустимості (т. е. після обчислення відповідних відносин також визначення исключаемой перемінної), відтворено нижче. Для зручності описи обчислювальних процедур, здійснюваних наступного ітерації, введемо ряд необхідних визначень. Стовпець симплекс-таблицы, асоційований з введеної перемінної, будемо називати провідним стовпцем. Строку, відповідну исключаемой перемінної, назвемо провідною рядком (рівнянням), а елемент таблиці, які перебувають на перетині ведучого шпальти і головною рядки, називатимемо провідним елементом .

Коли визначено включаемая і исключаемая пере;

менные (з допомогою умов оптимальності і допустимості) ,.

наступна ітерація (пошук нового базисного рішення) осуществля;

ется методом винятку змінних, чи методом Гаусса — Жордана. Цей процес відбувається зміни базису включає обчислювальні процедури двох типів .

Тип 1 (формування ведучого рівняння) .

Нова провідна рядок = Попередня провідна рядок / Ведучий элемент.

Тип 2 (формування решти рівнянь, включаючи Z — yравнение) .

Нове рівняння = Попереднє рівняння —.

? Коэффициент?

? ведучого шпальти??? Нова провідна рядок) ???

??попереднього ?

??уравнения?

Виконання процедури типу 1 призводить до того, що у новом.

провідному рівнянні провідний елемент стає рівним одиниці .

Через війну здійснення процедури типу 2 й інші коэф;

фициенты, які фігурують у провідному стовпці, стають равными.

нулю. Це еквівалентно отриманню базисного рішення шляхом ис;

ключения введеної перемінної із усіх рівнянь, крім ведучого .

Застосовуючи до початкової таблиці процедуру 1, ми ділимо S2 — рівняння на провідний елемент, рівний 1 .

Базисні перемінні Z X1 X2 S1 S2 Решение.

Z.

S1.

S2 0 -½ 1 0 ½ 0.

Щоб скласти нову симплекс-таблицу, виконаємо необхідні обчислювальні процедури типу 2 .

1. Нове Z — рівняння .

старе Z — рівняння: (1 -1 -25 0 00).

(- (-25) * (0 -1/210 ½ 0).

(1 -131/2 00 121/2 0).

2. Нове S1 — уравнение.

старе S1 — рівняння: (0 5 100 10 1000).

(- 100) * (0 -½ 1 0 1/20).

(0 55 01 -50 1000).

Нова симплекс-таблица матиме вид :

Базисні перемінні Z X1 X2 S1 S2 Рішення.

Z 1 -131/2 0 0 121/2 0 Z — уравнение.

S1 0 55 0 1 -50 1000 S1 -уравнение.

X2 0 -½ 1 0 ½ 0 X2 — уравнение.

У кодексі рішенні X1 = 0 і S2 = 0. Значення Z не змінюється .

Зауважимо, нова симплекс-таблица має так само ха;

рактеристиками, як і попередня: лише небазисные переменные.

X1 і S2 рівні нулю, а значення базисних змінних, як і зараз ,.

представлені у стовпці «Рішення ». Це точності соответствует.

результатам, одержуваним під час використання методу Гаусса—Жор;

дана .

З Росії таблиці слід, що у черговий ітерації в со;

ответствии з вимогою оптимальності як введеної перемен;

іншої слід вибрати X1, оскільки коефіцієнт нині перемінної в.

Z-ypaвнении дорівнює -131/2. З умови допустимості, визначаємо, що исключаемой перемінної буде S1. Відносини, які фігурують у правій частині таблиці, показують, що у новому базисному рішенні значення включаемой перемінної X1 дорівнюватиме 1000/55 (= мінімального відношенню). Це спричиняє збільшення цільової функції на (1000/55) * (-131/2) = (2455/11) .

До отриманню симплекс-таблицы, відповідної нової ітерації, наводять такі обчислювальні операції методу Гаусса—Жордана.

1) Нове провідне S1 — рівняння = Попереднє S1 — рівняння / (55) .

Базисні перемінні Z X1 X2 S1 S2 Решение.

Z.

S1 0 1 0 1/55 — 50/55 1000/55.

X2.

2) Нове Z — рівняння = Попереднє Z — рівняння — (-131/2) * Нове /провідне рівняння :

(1 -131/2 121/20).

— (-131/2) * (0 10 1/55 -50/55 1000/55).

(1 00 27/110 5/22 2455/11).

3) Нове X2 — рівняння = Попереднє X2 — рівняння — (-½) * Нове провідне рівняння :

(0 -½ 101/2 0).

— (- ½) *(0 10 1/55 -50/55 1000/55).

(0 01 1/110 1/2291/11).

Через війну зазначених перетворень одержимо таку симп;

лекс-таблицу .

Базисні перемінні Z X1 X2 S1 S2 Решение.

Z 1 0 0 27/110 5/22 2455/11.

X1 0 1 0 1/55 -50/55 1000/55.

X2 0 0 1 1/110 1/22 91/11.

У кодексі базисному рішенні X1=1000/55 і X2=91/11. Значення Z зросла з 0 (попередня симплекс-таблица) до 2455/11 (остання симплекс-таблица). Цей результуючий приріст цільової функції обумовлений збільшенням X1 від Про до 1000/55, оскільки з Z — рядки попередньої симплекс-таблицы слід, що зростанню даної перемінної на одиницю відповідає збільшення цільової функції на (-131/2) .

Остання симплекс-таблица відповідає оптимальному реше;

нию завдання, позаяк у Z — рівнянні жодна з небазисных змінних не фігурує з негативним коефіцієнтом. Отриманням цієї pезультирующей таблиці і завершуються обчислювальні процедури симплекс-метода .

У розглянутий вище прикладі алгоритм симплекс-метода ис;

пользован під час вирішення завдання, у якій цільова функція підлягала максимізації. Що стосується мінімізації цільової функції в этом.

алгоритмі необхідно змінити лише умова оптимальності :

як нової базисної переменнойследует вибирати ту зміну, що у Z — рівнянні має найбільший позитивний коефіцієнт. Умови припустимості обох випадках (максимізації і мінімізації) однакові. Звісно ж доцільним дати тепер остаточні формулювання обом умовам, які у симплекс-методе .

Умова оптимальності. Введеної перемінної в завданню максимізації (мінімізації) є небазисная змінна, має в Zрівнянні найбільший негативний (позитивний) коефіцієнт, Що стосується рівності таких коефіцієнтів для кількох небазисных змінних вибір робиться довільно, коли всі коефіцієнти при небазисных змінних в Z — рівнянні неотрицательны (неположительны), отримане рішення є оптимальним .

Умова допустимості, в завданнях максимізації і мінімізації як исключаемой перемінної вибирається та базисна змінна, на яку ставлення постійної у правій частині відповідного обмеження до (позитивному) коефіцієнта ведучого шпальти мінімально. Що стосується рівності цього стосунки для кількох базисних змінних вибір робиться довільно .

Оптимальний решение.

З погляду практичного використання результатів ре;

шения завдань ЛЗ класифікація змінних, предусматривающая.

їх поділ на базисні і небазнсные, має значення і при.

аналізі даних, характеризуючих оптимальне рішення, может.

не враховуватися. Змінні, відсутні в стовпці «Базисные.

перемінні «, обов’язково мають нульовий значення. Значення ос;

тальных змінних наводяться в стовпці «Рішення ». При интер;

претации результатів оптимізації з нашого завданню нас передусім цікавить кількість часу, яке замовить наша фірма на радіо і телебачення, т. е. значення керованих змінних X1 і X2. Використовуючи дані, які у симплекс-таблице для оптимального рішення, основні результати можна наступного вигляді :

Керовані перемінні Оптимальні значення Решение.

X1 1000/55 Час що виділяється фірмою на телерекламу.

X2 91/11 Час що виділяється фірмою на радиорекламу.

Z 2455/11 Прибуток отримувана від реклами .

Зауважимо, що Z = X1 + 25X2 = 1000/55 + 25 * 91/11 = 2455/11. Таке рішення відповідає даним заключній симплекс-таблицы .

Статус ресурсов.

Будемо відносити ресурси до дефіцитним чи недифицитным залежно від цього, повне чи часткове їх использо;

вание передбачає оптимальне вирішення завдання. Зараз цель.

у тому, щоб отримати відповідну інформацію непос;

редственно з симплекс-таблицы для оптимального рішення. Од;

нако спочатку слід чітко усвідомити таке. Ведучи мову про ресурсах ,.

фігуруючих у завданню ЛЗ, ми розуміємо, що установлены.

деякі максимальні межі чиновного запасів, у соответст;

вующих вихідних обмеженнях повинен використовуватися знак.

Отже, обмеження з знаком => що неспроможні рассматриваться.

як обмеження на ресурси. Швидше, обмеження подібного типу отра;

жают та обставина, що розв’язання цієї має задовольняти опре;

діленим вимогам, наприклад забезпечення мінімального спро;

са чи мінімальних відхилень від встановлених структурных.

характеристик виробництва (збуту) .

У моделі, побудованої нашій завдання, фігурує обмеження зі знаком.

З вищевикладеного слід, що статус ресурсів (дефицитный.

чи недефицитный) для будь-який моделі ЛЗ можна встановити не;

посередньо з результуючої симплекс-таблицы, звертаючи вни;

мание на значення залишкових змінних. Що стосується нашої завданню можна навести таку зведення результатів.

Ресурси Залишкова змінна Статус ресурса.

Обмеження про бюджет S1 Дефицитный.

Перевищення часу реклами радіо над тілі.

S2 Дефицитный.

Позитивне значення залишкової перемінної вказує на.

неповне використання відповідного ресурсу, т. е. данный.

ресурс є недефицятным. Якщо ж залишкова змінна рав;

на нулю, це засвідчує лише повному споживанні соответствующе;

го ресурсу. З таблиці видно, що діти наші ресурси є дефіцитними. Що стосується недефицитности будь-яке увиличение ресурсів понад встановленого максимального значення привела би до лише до того, що вони почали б ще більше недефнинтными. Оптимальний вирішення завдання у своїй залишилося б неизменным.

Ресурси, збільшення запасів яких дозволяє поліпшити ре;

шение (збільшити прибуток) , — це залишкові перемінні S1 і S2, по;

скільки з симплекс-таблицы для оптимального рішення видно ,.

що вони дефіцитні. У зв’язку з цим логічно поставити следующий.

питання: якого з дефіцитних ресурсів слід віддати предпочте;

ние при вкладанні додаткові засоби збільшення їх запа;

сов, аби них максимальну віддачу? Відповідь на.

це буде дано наступного підрозділі цієї глави, де рас;

сматривается цінність різних ресурсів .

Цінність ресурса.

Цінність ресурсу характеризується величиною поліпшення опти;

мального значення Z, що припадає на одиницю приросту объема.

даного ресурсу .

Інформація для оптимального виконання завдання представленій у симплекс-таблице. Зазначимо на значення коефіцієнтів Z — рівняння, що стоять при змінних початкового базису S1 і S2. Виділимо для зручності соответстзующую частина симплекс-таблицы :

Базисні переменные.

Z.

X1.

X2.

S1.

S2.

Решение.

Z.

27/110.

5/22.

2455/11.

Відповідно до теорії вирішення завдань ЛЗ, цінність ресурсів можна визначити по значенням коефіцієнтів при змінних початкового базису, фігуруючих у Z — рівнянні оптимальної симплекс-таблицы, в такий спосіб Y1 = 27/110, а Y2 = 5/22 .

Покажемо, як аналогічний результат можна отримати з симплекс-таблицы для оптимального рішення. Розглянемо Z — рівняння симплекс-таблицы для оптимального рішення нашої завдання.

Z = 2455/11 — (27/110S1 + 5/22S2) .

Позитивне прирощення перемінної S1 щодо неї текущего.

нульового значення призводить до пропорційному зменшенню Z ,.

причому коефіцієнт пропорційності дорівнює 27/110. Але, як випливає з першого обмеження моделі :

5X1 + 100X2 + S1 = 1000.

збільшення S1 еквівалентно зниження грошей выделеных реклами (далі ми будемо використовувати з тексту, як ресурс) .

Звідси випливає, що кількості грошей выделеных реклами викликає пропорційне зменшення цільової функції з тим самим коефіцієнтом пропорциональности, равным27/110.Так как.

ми оперуємо з лінійними функціями, отриманий висновок можно.

узагальнити, вважаючи, як і збільшення грошей выделеных реклами (еквівалентну запровадження надлишкової перемінної S1 < 0) призводить до пропорційного збільшення Z з тим самим коефіцієнтом пропорційності, рівним 27/110. Аналогічні міркування справед->

ліви обмеження 2 .

Попри те що що цінність різних ресурсів, определяемая.

значеннями змінних Yi, було представлено в вартісному вираженні, його не можна ототожнювати зі справжніми це;

нами, якими можлива закупівля відповідних ресурсів .

Насправді йдеться про певну мері, має экономическую.

природу зв кількісно що характеризує цінність ресурсу лише стосовно отриманого оптимального значення цільової функції .

При зміні обмеження моделі відповідні экономические.

оцінки змінюватимуться навіть, коли оптимизируемый процесс.

передбачає застосування тієї ж ресурсів. Тому, за характерис;

тику цінності ресурсів економісти воліють использовать.

такі терминыт, як тіньова ціна, прихована ціна, чи більше специ;

фичный термін — двоїста оцінка .

Зауважимо, що тіньова ціна (цінність ресурсу) характеризує ин;

тенсивность поліпшення оптимального значення Z. Проте за этом.

не фіксується інтервал значень збільшення запасів ресурсу ,.

у яких інтенсивність поліпшення цільової функції остается.

постійної. Більшість практичних ситуацій логічно пред;

покласти наявність верхньої межі збільшення запасів, при пре;

вышении якого відповідне обмеження стає избы;

точним, що у своє чергу призводить до новому базисному решению.

і відповідатиме йому новим тіньовим цінами. Нижче определяется.

нитервал значень запасів ресурсу, у яких соответствую;

щее обмеження не стає надлишковим .

Максимальне зміна запасу ресурса.

Вирішуючи питання у тому, запас якого із ресурсів следует.

збільшувати насамперед, зазвичай використовуються тіньові цены.

Щоб співаку визначити інтервал значень зміни запасу ресурсу ,.

у яких тіньова ціна даного ресурсу, (фігуруюча в заклю;

чительной симплекс-таблице, залишається незмінною, необхідні ряд додаткових обчислень. Розглянемо сначала.

відповідні обчислювальні процедури, та був покажемо, как.

необхідна інформація може бути отримана з симплекс-таблицы.

для оптимального рішення .

У нашій завданню запас першого ресурсу змінився на ?? т. е. запас бюджету становитиме 1000 + ??. При позитивної величині ?? запас даного ресурсу збільшується, при негативною — зменшується. Зазвичай, досліджується ситуація, коли обсяг ресурсу збільшується (???> 0), проте, щоб досягти результату загалом, розглянемо обидва випадку .

Як зміниться симплекс-таблица за зміни величини за;

паса ресурсу на??? Найпростіше одержати відповідь це питання .

якщо запровадити??? в праву частина першого обмеження початковій сим;

плекс-таблицы і далі виконати все алгебраїчні преобразова;

ния, відповідні послідовності ітерацій. Поскольку.

праві частини обмежень будь-коли використовують у качестве.

провідних елементів, то, очевидно, що у кожної ітерації ???будет.

впливати лише з праві частини обмежень .

Уравнение.

Значення елементів правій частині на відповідних итерациях.

(початок обчислень).

2 (оптимум).

Z.

2455/11.

1000 + ??

1000/55 + ??

91/11.

Фактично вce зміни правих частин обмежень, обуслов;

ленні запровадженням ???, можна визначити безпосередньо за даними ,.

які мають симплекс-таблицах. Передусім зазначимо, что.

з кожної ітерації нова права частина кожного обмеження пред;

ставляет собою суму двох величин: 1) постійної і 2) члена, ли;

нейно залежить від … Постійні відповідають числам, которые.

фігурують на відповідних ітераціях в правих частинах обмежень симплекс-таблиц до запровадження … Коефіцієнти при??? по-друге доданків рівні коефіцієнтам при S1 тій самій ітерації. Так, наприклад, на последнеи ітерації (оптимальне рішення) постійні(2455/11; 1000/55; 91/11) представляють собои числа, які фігурують у правих частинах обмеження оптимальної симплекс-таблицы до введения??? Коэффициенты (27/110; 1/55; 1/110) рівні коефіцієнтам при S1 у тій симплекс-таблице тому, що ця змінна пов’язана лише з цим обмеженням. Інакше кажучи, під час аналізу впливу змін — у правій частині другого обмеження потрібно користуватися коефіцієнтами при перемінної S2 .

Які висновки можна зробити висновки з отриманих результатов?

Оскільки запровадження ?? позначається тільки правій частині симплекс;

таблиці, зміна запасу ресурсу може вплинути лише на.

допустимість рішення. Тому ?? неспроможна приймати значень ,.

у яких котрась із (базисних) змінних стає отри;

цательной. З цього випливає, що обсяг ?? мусить бути огра;

ничена таким інтервалом значень, у яких виконується ус;

ловие неотрицательности правих частин обмежень у результи;

рующей симплекс-таблице, т. е .

X1 = 1000/55 + (1/55)???> 0 (1).

X2 = 91/11 + (1/110)???=> 0 (2).

Для визначення припустимого інтервалу зміни ???рассмо;

трим два випадку .

Випадок 1: ???> 0 Вочевидь, що обидві неравнества у своїй умови завжди будуть неотрицательными .

Випадок 2: ???< 0. >

(1/55)???=> - 1000/55. З цього випливає, що ???=> - 1000.

(2).

(1/110)???=> - 91/11. З цього випливає, що ???=> - 1000.

Об'єднуючи результати, отримані обох випадків, можно.

дійти невтішного висновку, що з — 1000 0: (1).

(50/55)???1000/55 від цього нерівності слід, що ???

???

Вочевидь, що 2-ое рівняння неотрицательно цьому ділянці .

Об'єднуючи 2 рівняння для Випадку 1 ми матимемо інтервал для ???

???[ 0; 20 ].

Випадок 2: ???< 0.: (1)>

(50/55)???1000/55. З цього випливає, що ??? 20.

(2).

(1/22)???91/11. З цього випливає, що ???

Об'єднуючи 2 рівняння для Випадку 2 ми матимемо інтервал для ???

???[ - 200; 0 ].

Об'єднуючи 2 випадку ми матимемо інтервал [ - 200; 20 ].

Максимальне зміна коефіцієнтів удельной.

прибутку (вартості).

Поруч із визначенням допустимих змін запасів ресур;

сов становить інтерес і встановлення інтервалу допустимых.

змін коефіцієнтів удільної прибутку (чи вартості) .

Слід зазначити, що рівняння цільової функції будь-коли використовують у ролі ведучого рівняння. Тому лю;

бые зміни коефіцієнтів цільової функції нададуть влияние.

лише з Z-уравнение результуючої симплекс-таблицы. Это.

означає, що зміни може зробити отримане решение.

неоптимальним. Наша мета у тому, щоб знайти интер;

вали значень змін коефіцієнтів цільової функції (рас;

сматривая кожен із коефіцієнтів окремо), у яких оп;

тимальные значення змінних залишаються незмінними .

Щоб показати, як виконуються відповідні вычисле;

ния, між іншим, що питома обсяг збуту, асоційованої з перемінної.

X1 змінюється від 1 до 1 + ???де ?? може бути як позитивним, і негативним числом. Цільова функція у разі приймає наступний вид:

Z = (1 + ???X1 + 25X2.

Якщо скористатися даними початковій симплекс-таблицы и.

виконати все обчислення, необхідних (отримання заключн;

тельной симплекс-таблицы, то останнє Z-уравнение буде выгля;

подіти наступним образом:

Базисні перемінні X1 X2 S1 S2 Решение.

Z 0 0 27/110+1/55? 5/22−50/55? 2455/11+1000/55?

Коефіцієнти при базисних змінних X1, X2 і залишкових я рівними нулю. Це рівняння відрізняється від Z-уравнения до запровадження???, лише наявністю членів, містять … Коефіцієнти при ?? рівні Коефіцієнтам при відповідних змінних в Z-уравнении симплекс-таблицы для отриманого раніше оптимального решения.

Базисні перемінні X1 X2 S1 S2 Решение.

X1 1 0 1/55 -50/55 1000/55.

Ми розглядаємо X1 — рівняння, оскільки коефіцієнт саме при.

этон перемінної у натуральному вираженні для целевои функції изменился.

на??? .

Оптимальні значення змінних залишатимуться неизмен;

ными при значеннях ???, які відповідають умові неотрицатель;

ности (завдання на пошук максимуму) всіх коефіцієнтів при не;

базисних змінних в Z-уравнении. Отже, їх необхідно виконувати такі нерівності :

27/110 + 1/55???

5/22 — 50/55???

З першого нерівності отримуємо, що ?? => - 13,5, та якщо з другого слід що ??