Эволюция концепції докази

Эволюция концепції доказательства

Путник, поквапся: за поворотом дороги здійсняться все твої желания!

Плакат на шляху до замку людоеда.

Общеизвестное

Доказательство — міркування з метою обґрунтування істинності деякого затвердження. Доказ асоціюється з математикою, а школярі пов’язують його насамперед із геометрією.

Истинно чи доведене твердження? — Звісно, що з вопрос…

Арифметика без доказательств Счет і запис результатов Нам усе, що більше трьох, потрібно порахувати: предмети чи звуки. Безпосереднє, без тренування, просторове і тимчасове розпізнавання числа об'єктів простирається не далі 4 чи 5. Це природжена властивість: «нейронное «зображення чисел від 1 до 3 в «одиничної «системі числення (вертикальними чи горизонтальними рисками) збігається практично переважають у всіх культурах, розбіжності у зображенні чисел розпочинаються з числа 4.

Нейронного запасу людині виявилося замало, і він поповнив його. Спочатку з’явився рахунок із застосуванням стандартних рахункових предметів: пальців, камінчиків чи раковин. Потім почали вживати знаки: вузлики, рисочки, зарубки. Для вже звичних груп рахункових знаків виникли знаки мови — числівники. Зберігся рудимент цієї доби китайській мові у різноманітних рахункових слів, обов’язкових при рахунку об'єктів певної природи — круглих, пласких, воєн та революцій тощо.

Римляне наділи камінчики (calculus — звідси калькулятор) на стрижні - вийшли рахунки. Рахунки неявно запровадили позиційну систему числення. Нуль в в цій системі не вимагав зображення було його мати. Для записи результатів рахунки знадобилися кошти писемності - ієрогліфи та букви алфавіту. У древньому Єгипті ієрогліфами записували числа до десяти миллионов.

Греки використовували для записи результатів астрономічних обчислень змішану систему: для цілої частини — власну десяткову алфавітну непозиционную, для дробової частини — 60-ричную вавилонську позиційну. Письмові операції над такими числами були нелегким справою.

Десятичную систему з нулем винайшли таки в Індії (VI століття); її запозичували араби, а й у арабів — європейці, які доти користувалися римськими цифрами. Арабські цифри і десяткові дробу було відкрито європейцями вже по тому, як вони відкрили Америку. Операції над цифровими символами на папері стали простіше, а й досі важкі, і з появою калькуляторів стали лиш непопулярним інтелектуальним спортом.

Кто може сьогодні витягти квадратний корінь без калькулятора?

Откуда взялася 60-ричная система счисления?

Изображения чисел і кошти операцій над числами дають працюючу мовну модель — теорію. Зрозуміло, шість тисяч літ тому древні були «зайняті справою », а чи не «теоріями ». Проте він менш, створили арифметику — теорію, опинилася ефективнішим інструментом, ніж вроджена нейронна модель рахунки. Арифметика — квант надбиологической еволюції, елемент культуры.

Формула

Теория може працювати як прямо, вони можуть забезпечувати і «зворотний хід ». Наприклад, дослідження рівняння a + x = b. Різниця b — a стає рішенням рівняння.

Важнейшим внеском в математичну науку і практику стала формула — точне формальне розпорядження, що б перетворення одного мовного об'єкта на другий.

Формулу оголошували і часом пояснювали; про доказі бо й промови. Для геометричних формул наводили поясняющий креслення (ми інколи з написом «Дивися! »).

Формула то, можливо словесної, геометричній, знаковою. Типовий приклад — теж формула. Формула досі панує у школі та у житті й для багатьох є вершиною абстракции.

Переход до формулам — квант еволюції. Формули перетворили проблеми, у завдання, а завдання у вправи (для знають людей). Кількість розв’язуваних і вирішених арифметичних завдань — об'єктів попереднього рівня — стало стрімко зростати, а діяльність цьому рівні стала рутинної. Соціальний престиж решателей завдань знизився, зате їхній кількість зросла. Умільці, решавшие завдання «доформульными «засобами, швидко «вимирали ». Винахідники формул залишалися це меншість, але у виграші.

Таковы властивості будь-якого квантового перехода.

Формула, звісно, існує як така, а в деякому теоретичному і практичному контексті і далі до культурним контекстом. Не завжди нова формула, особливо яка спирається нові поняття, відразу й успішно витісняє старі підходи і навички та їхніх власників.

Бухгалтерский облік з його концепціями дебету кредиту, з проводками і з подвійним записом — живучий плід винахідливості тих, хто і не зміг освоїти поняття негативного числа (червоне сальдо).

Доказательство

Греки перенесли способи переконання з полисной, громадянської практики до науки. Доказ на міської площі захопив греків реальністю життя, однією з звичних і найефективніших застосувань интеллекта.

Фалес Мілетський (611−549) продемонстрував нове застосування інтелекту: доказ теорем. Фалес довів, що діаметр ділить коло на дві однакові частини; що протилежні кути після перетину двох прямих рівні; що кути при підставі рівнобедреного трикутника рівні; довів ознака рівності трикутників по стороні й прилежащим до неї кутках. Він також побудував окружність навколо прямокутного трикутника, зазначив спосіб визначення висоти споруд для його тіні й боротися спосіб визначення відстані до недоступного предмета (корабля у морі).

Зачем Фалес серед інших доводив очевидні затвердження? — Не у тому, аби переконати когось у їх справедливості, а здобуття права розробити зважену та продемонструвати нову технологію мышления.

Изобретение докази — квант еволюції. Фалес відкрив новий обрій, золоту жилу. Доказ — це спосіб виробництва формул. Кількість формул — об'єктів попереднього рівня — стало швидко зростати, а витрати на народження формули зменшилися. Як завжди, разом із новим полем діяльності виникла нова каста — каста людей, вміють формулювати й доводити теореми.

В доказах геометричних теорем з’явилися аксіоми. Аксіоми геометрії спираються на фундаментальні поняття порядку, руху, тотожності, безперервності. Застосування аксіом припускає використання процедур логічного висновку. Логічний висновок є послідовність тверджень, які виведено з аксіом і/або раніше виведених тверджень. Аксіоми і лише їх беруть без виведення, тобто. без докази.

Малограмотная формулювання: «Аксіома не вимагає докази » .

Логический висновок доставив можливість отримання із достовірних знань нових достовірних знань.

Аксиомы (спочатку) — це моделі, інваріантні щодо асоціацій (уяви); конструкції, мають опору в нейронних поняттях нижчий горизонту, який піддається роботі уяви з доступними йому конструктивами. Аксіома — не результат, а форма пізнання дійсності, — модель, вироблена у процесі еволюції.

Возникновение концепції докази змінив все життя західного людства, давши його мислячої частини інструмент захисту від апеляції до очевидності. Концепція докази була й залишатиметься бар'єром, який відокремлює Homo profanus від Homo argumentorum. Цей бар'єр що неспроможні подолати обидві сторони. І це добре, іноді для обох сторон.

Доказательство посіло перше місце формули на вершині еволюційного дерева мисленнєвої діяльності. Дедуктивний метод став докором і мрією для гуманітаріїв, недарма Спіноза побудував свою «Етику «на зразок «Почав «Евкліда. Дух Евкліда — це дух школи Платона, його теорії идей.

Греческая математика

Греки діяли у жорстких ідеологічних рамках: вони шукали в світі втілення скоєних ідей, будували світ із правильних многоугольников і багатогранників, правильних відносин музичної гами, закономірностей чисел. Пифагорейская містика скоєних чисел і постатей справила і неабияк впливає потужне впливом геть науку. Пифагореизм настільки пронизує нашу (західну) культуру загалом, що ми їх помічаємо не знаємо, що «говоримо прозою «по Пифагору.

Греки вважали, що твердження математики абсолютно точні і достовірні, тоді як дані досвідченого знання приблизні, оманливі і недостовірні: навіть рівність двох відрізків то, можливо доведено не виміром, а міркуванням. «Наближеними обчисленнями соромно займатися вільному людині, вони — доля раба » .

" При допомоги математики очищається і він здобуває нову життєву силу орган душі, у те час як інші заняття знищують його й позбавляють здібності бачити, тоді як вона значно більш цінний, ніж тисяча очей, бо лише їм то, можливо виявлено істина ". Платон Греки використовували у доказах лише геометрично наочні кошти, а чи не літерні символи. Разюче, у межах настільки важкою геометричній алгебри їм вдалося отримати дуже багато результатів. У в Новий час Ньютон дотримувався грецької традиції, а Ляйбніц — нет.

Математический язык

Величины в геометрії вирізняли від чисел в арифметиці: величини іменували довжинами, квадратами і кубами й використали як іменовані. Алгебраїчна літерна символіка виникла арифметичній алгебрі з стандартних (і скорочених) словесних позначень. Мови геометрії і арифметичній алгебри існували параллельно.

Декарт (1596 — 1650) побудував над мовами геометричній і арифметичній алгебри новий мову — алгебраїчний. Синтаксис нової мови нагадує синтаксис мови арифметичній алгебри, семантика — на семантику мови геометричній алгебри.

Декарт перетворив процес у об'єкт: ставлення величин (процес) стало раціональним чи ірраціональним числом (об'єктом). Тим самим було Декарт зробив квантовий еволюційний перехід до абстрактному поняттю числа, перехід, виявився несила грекам. Запроваджене Декартом поняття числа було мовним конструктом, а чи не просторовим чином. Декарт принципово змінив зміст докази: відтепер геометричних образам залишилася роль ілюстрацій, вони перестала бути засобами докази.

Буквенная символіка відкрила вхід в математику поверх бар'єрів геометричній алгебри і словесних позначень. Книгодрукування остаточно зробило математику доступною всієї масі освічених людей. Стали звичайною справою публічні змагання на доказательствах.

Через півстоліття завдяки Декарту Ляйбніц і Ньютон зробили наступний квантовий перехід.

Математическое доказ в Нове время

Ньютон вивів закони Кеплера на закон всесвітнього тяжіння й трьох законів руху. Математичне доказ призвело до відкриттю закону природи. Ньютон користувався геометричних мовою, і позначення його «Почав «не вплинули на математичну технологію. Запропоновані Лейбніцем ефективні позначення відкрили полі діяльності, у якому за років було доведено неймовірну кількість теорем в створених з урахуванням новопонять похідною і інтеграла численних нових галузях математики.

Ни батьки-засновники, ні до їх послідовники було неможливо обгрунтувати свої результати, виправдовували їхньому народові тільки принесеної ними удачею. Вакханалія використання нечітких понять і методів сприяла неправильним результатам, суперечок і сумнівам. Визначним джерелом неприємностей була теорія меж з її вільним поводженням із нескінченністю. Блискуче висловився про нове математиці Вольтер: «Мистецтво вважати й точно вимірювати то, існування чого незбагненно для розуму ». Усі спроби вийти з положення, навіть що їх Эйлером і Лагранжем, зазнали повну невдачу. Внутрішня дисципліна в математиці до середини ХІХ століття впала настільки, що Кэли, привівши формулювання теореми для квадратних матриць і перевіривши її для матриць 2×2, не вважав «необхідним обтяжувати себе формальним доказом теореми загалом разі матриці будь-якого порядку «і закликав просто повірити йому.

Трудности корінилися у цьому, нові поняття перебували більш рівні абстракції. Грекам було легше, їх поняття були ближчі один до (зневажуваному!) досвіду, інші ж поняття, які доставили стільки заворушень Нове час, хитромудрі греки обходили. Нові поняття були не узагальненням досвіду, а створенням розуму, позбавленим звичної опори в наочності. Мова формул мав як притягальної, а й продуктивної силою.

Героическая епоха! Не до суворості, коли друзі і недруги рвуться вперед.

Только до кінця ХІХ століття в математичному аналізі та в алгебрі був наведено формальний логічний порядок, інакше кажучи, стан був виправлено настільки, що стало можливим подальша критика.

Аксиоматический метод

Формализация математики призвела до уточненню визначень і аксіом, до логічного інвентаризації знарядь математичного майстерності. Однією із завдань в наведення порядку була завдання мінімізації списку аксіом, винятки з ті тверджень, які можуть бути виведено з інших як теореми.

Попытка цим шляхом вилучити з аксіом геометрії Евкліда аксіому про паралельних виявилася цілком невдалою. Тоді спробували довести, що заміна цієї аксіоми її запереченням призведе до з того що у такому «неевклідової «геометрії отримають протиріччя, як і «доведе «аксіому Евкліда. Суперечності отримати зірвалася, більше, сімейство неевклидовых геометрий стало поповнюватися. Неевклидовы геометрії суперечили лише повсякденною інтуїції і надзвичайно звичним наочним уявленням, але логічно бездоганні. Заодно з’ясувалося, нарешті, що аксіома про паралельних залежить від інших аксіом Евклида.

Гильберт запропонував став загальноприйнятим варіант аксіоматичного побудови евклідовій, і водночас решти геометрий. Цей успіх вкотре нагадав проблему істинності теорії загалом: якщо є різні геометрії і вони несуперечливі, то яка ж із них «істинною є «? Яка їх має місце у реальної буденної дійсності і як довести? І що таке «справжня геометрія »? «Що таке істина? «.

Уверенность у цьому, що математика містить лише абсолютні істини, абсолютно доведені з урахуванням абсолютних аксіом, була підірвана назавжди. У обстановці замішання, викликаного появою неевклидовых геометрий, концепції докази вдалося залишитися поза подозрений.

Новые проблемы

Теория нескінченних множин до початку сучасності стала джерелом занепокоєння: у ній виявилися труднощі й протиріччя. Цього разу під ударом виявилися не вади в визначеннях і доказах, а логіка доказів. Як випливає розуміти твердження про існування будь-якого математичного об'єкта? У конструктивних доказах існування наводиться процес побудови об'єкта, але є затвердження «має існувати », «брехливо, що немає «, — як ви їх быть?

Можно чи застосовувати логіку доказів, вироблену на кінцевих об'єктах, до нескінченним?

Относительно аксіоматичній теорії залишилися невирішеними вопросы:

можно чи довести деяке твердження Проте й довести його заперечення?

и як, що цього станеться, тобто як, що теорія несуперечлива?

всякое чи справжнє твердження можна вивести ринок із аксіом?

и як, що це можливо, тобто що теорія полна?

можно у рамках аксіоматичній теорії вважати доведене истинным?

В ході досліджень підстав математики рамках математичної логіки виник розділ, вивчав формалізовані математичні теорії. Стався іще одна квантовий перехід: з’явилася метаматематика. Цей термін синонимичен терміну «теорія доказів ». Логіка й математика стали предметом вивчення метаматематики.

Линия Евклид — Ляйбніц — Гільберт — Гедель

Современный формалізований (мета)математический мову оформлено у «Principia Mathematica «Расселом і Уайтхедом вже на початку ХХ століття. Вони уточнили поняття докази як виведення у певній обчисленні, проте запропонований підхід до проблеми несуперечливості не задовольнив навіть авторів.

Гильберт (1862−1943) висунув грандіозну програму аксиоматизации математики фізики та розпочав його реалізації. Гільберт думав, що будь-який точно сформульоване твердження можна довести чи спростувати засобами аксіоматичній теорії за умови, що теорія несуперечлива. Інакше кажучи, Гільберт сформулював теза повноти аксіоматичній теорії. Що ж до несуперечливості, то цієї проблеми теж, здавалося, можна вирішити. Лінія Евклид — Ляйбніц — Гільберт обіцяла тріумфальний успех:

аксиомы дадуть колективне визначення уживаним у тому формулюваннях неопределяемым понятиям;

системы об'єктів, задовольняють одному й тому системи аксіом (інтерпретації), ізоморфні, отже теорема, доведена лише у інтерпретації, буде автоматично справедлива іншої.

" З допомогою цієї нової обгрунтування математики, яке справедливо можна називати теорією докази, я переслідую важливу мета: саме, хотів би остаточно розправитися питанням обгрунтування математики як такими, перетворивши кожне математичне висловлювання на піддається конкретному показу і суворо виведену формулу і тим самим привівши освіту понять й оприлюднять висновки, якими користується математика, до такого викладу, у якому вони було б незаперечні але що давали б картину всієї науки " .

Давид Гільберт

Гильберт довів, що евклидова геометрія несуперечлива, якщо несуперечлива система речовинних чисел. Залишилося зовсім небагато: довести несуперечність арифметики.

Теорема Геделя

Курт Гедель (1906 — 1978) в 1931 року у роботі «Про формально нерозв’язних проблемах «Principia Mathematica «і родинних систем «довів теорему у тому, будь-яка несуперечлива аксиоматическая система, куди входять аксіоми арифметики натуральних чисел, має здатність неповноти: нею можна вказати конкретне твердження Щодо що його цієї системі не можна довести ні А, і його заперечення. Це твердження перебуває поза межами системи! І на неповноти будь-який математичної теорії досить включення до неї найпростішого об'єкта математики — натурального числа.

Гедель довів повноту обчислення предикатів першої ступени.

В інший теоремі Гедель доводить, що на посаді А можна взяти твердження про несуперечливості арифметики. Несуперечність теорії неспроможна бути доведено засобами самої теории.

Теоремы інженера Геделя розвіяли мрії математика Гильберта.

" Роль горезвісних «підстав «порівняти з тієї функцією, що у фізичних теоріях виконують поясняющие щось гіпотези… Так звані логічні чи теоретико-множинні підстави теорії чисел будь-якої іншої цілком яка склалася математичної теорії сутнісно пояснюють, а чи не обгрунтовують їх, як і, як і фізиці, де справжнє призначення аксіом полягає у поясненні явищ, описуваних фізичними теоремами, а чи не в обгрунтуванні цих теорем. «.

Эпистемологические следствия

Одна несуперечлива теорія неспроможна повністю описати реальність; завжди залишаються факти чи аспекти, які прагнуть звернення в іншу теорії, можливо, несумісну з першої. Концепція «істинність збігаються з доказовістю «зазнала крах.

" Автоматизація «знання неможлива. Не можна уникнути людського розуму і інтуїції, приречена невдачу. Логіка невіддільні від человека.

Непротиворечивость математики може бути доведено.

Математика стала експериментальної наукой.

Конструктивизм

Пауки, жили в замку, затягли підвал павутинням. Коли якось вітер

сорвал її, вони кинулися її відновлювати: адже замок тримається на паутине!

В рамках метаматематики існують різні течії. Однією з них є конструктивна математика, що з конструктивними об'єктами і конструктивними процесами і отвергающая у тих побудовах закон виключеного третього за його неконструктивности.

Конструктивный аналіз істотно відрізняється від класичного аналізу, що становить зміст курсу вищої математики. Багато теореми класичного аналізу не входить у конструктивний аналіз. Особливу увагу конструктивізм приділяє вивченню алгоритмічно нерозв’язних проблем.

Нашествие теорий

Теорема Геделя надала можливість побудови нескінченного дерева теорій з допомогою поповнення списків аксіом невыводимыми істинними твердженнями.

Теорема Левенгейма — Сколема виявила, що з породження нееквівалентних теорій непотрібен розширення списку аксіом: існують неизоморфные інтерпретації одному й тому ж системи аксіом, зокрема аксіом арифметики.

Если XIX століття ми зіштовхнулися з кількома геометриями, то ХХ столітті ми опинилися вже перед кількома математиками.

Доказательство сегодня

Теорема про можливість забарвлення вершин плоского графа чотирма фарбами доведено в 1977 року програмою, исчислявшей доказ протягом багатьох сотень годин. Пізніші програми на новітніх комп’ютерах «доводять «быстрее.

Проблема понимания

Формализованный язик у на відміну від повсякденного мови виконує не комунікативну, а модельну функцію. Саме тому приречені на неуспіх будь-які спроби «зрозуміти «текст на формалізованому науковому мові шляхом «перекладу «на повсякденний — конкретний — мову. Джерелом таких невдач не «замінюваний «текст, а невігластво «перекладача » .

Языковая модель стає частиною світу чоловіки й цим — об'єктом вивчення, вивчення з допомогою нової мови, виступає стосовно досліджуваному мови як метамова. Так виникає драбина мов, ієрархічна система формалізованих мов.

Лейбниц все життя розробляв універсальну характеристику — літочислення, що б точно висловити будь-яку ясну думку й замінити суперечка про істинності затвердження обчисленням функції істинності, звести логіку до вычислению.

Резюме

В атмосфері культу сили та насильства древні греки винайшли Олімпійські гри, логіку, риторику, філософію. Греки залишили нам:

самую лицемірну форму політичного насильства — демократию, самые вишуканих форм емоційного насильства — поезію, музику і на театр, высшую форму інтелектуального насильства — математику.

Современное освіту — при владі аксіоматичній диктатури Евкліда і комп’ютерного шаманізму. Математика — найефективніша зброя масового знищення інтелекту і дедуктивного терору. За іронією долі на дереві пізнання саме у математичної галузі дозріло отруйне геделево яблуко неповноти. Греки зробили свою справу, чому ми поспіль не можемо уйти.

Крушение людського прагнення досягти всеосяжного досконалості в доказі - одне з багатьох катастроф людських надій. Досить згадати про надії на справедливість, рівноправність, на гармонію особи й суспільства, чоловіки й природи.

Список литературы

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.