О математиці як педагогічної завданню

О математиці як педагогічної задаче

Борейко Л. М., Савельєва Ф. М.

В ніж головним завданням навчання математиці? Навіщо вчити математику? Що таке математика в людини? Цими питаннями педагоги задавалися з прадавніх часів, і з середини ХХ століття, коли процес математизації знань став відбуватися особливо бурхливо, вони стали з особливою остротой.

В організації сучасного виробництва й торгівлі, в біології та медицині, в економіки та військовій справі стало вже неможливо залишатися на позиціях підлозі інтуїтивних уявлень, неповно певних понять і нечітко сформульованих питань. Якщо конструктор створює автомат керувати технологічним процесом, то тут для вирішення цього завдання недостатньо одних ідей уявлень. Фразу «заважати тісто до готовності» машина не розуміє. Потрібні визначені та цілком точні вказівки, коли зупинити той чи інший процесс.

На кожному кроці своєї діяльності людина наштовхується із необхідністю точних кількісних методів описи різноманітних процесів. Тому представляється вкрай важливим перших кроків оволодіння математичним знанням привчати учнів як пізнавати формальні математичні відомості, а й учитися вміло їх застосовувати до дослідження явищ природи й різних процесів, із якими людина наштовхується практично. Математика має стати в людини не просто системою знань, а повноцінним необхідним методом досліджень, пов’язані з завданнями щоденної практичної життя. Вона має стати потужними інструментами пізнання навколишнього світу. Многознание, як мету, розуму не навчає, вчити ж математику слід оскільки «вона розум до ладу наводить» (М. У. Ломоносов).

Таким чином, завдання навчання математиці не тільки у простій дії засвоєнні деякою суми математичних відомостей і їхнє репродуктивному відтворенні, але, значно значнішою ступеня в засвоєнні способів відкриття (придбання) цих знань. Ці дві проблеми розкриває у своїй книжці «Трилогія про математиці» (Вид. «Світ», М. 1980 р.) талановитий популяризатор науки, відомий угорський математик Альфред Реньи.

Яркое і «глибоко філософське твір збурює думку читача і може бути чудовим підмогою для педагога у створенні про сократовских розмов, у ході їх і учасники можуть відчинити та під керівництвом досвідченого наставника самостійно сформулювати ті чи інші поняття. Так добуте знання міцніше і трохи дорожчий набутого без творчої праці, вона стає власним надбанням в людини. Метод дає можливість краще засвоїти изучаемый матеріал і водночас виробити свій свій підхід. Пізнання стає активным.

Хочется проілюструвати сказане невеликими фрагментами з «Діалогів про математиці», що відкривають цієї книжки, безумовно гідну прочитання целиком.

Первый діалог розгортається між Сократом, неодмінним учасником всіх діалогів древніх філософів, і починаючим філософом Гіппократом. Гіппократ хоче поглибити знання, і Сократ поступово допомагає йому відкрити предмет математичних досліджень, шляху освіти математичних понять, витоки яких у безпосередньому сприйнятті навколишнього нас мира.

Сократ порушує питання, особливо актуальний нашого часу: «Не думаєш чи ти, що метод, застосовуваний математиками щодо чисел і геометричних постатей, придатний лише потреб математики? Чому тобі не спробувати переконати людей у цьому, що турботу про чим би вони міркували — про насущних чи проблемах повсякденної життю або про державному устрої, — методи мислення залишаються сутнісно так само, які застосовують у своїй сфері математики?».

И і як розгортається диалог.

«Сократ. Тоді скажи мені, люб’язний Гіппократ, чим займаються І що вивчають математики?

Гиппократ. Я запитував про це в Теэтета, і він мені, що математики вивчають числа і геометричні фигуры.

Сократ. Відповідь хороший, сам було б дати відповідь на твоє запитання краще. Але подумай: можна чи стверджувати, що числа і геометричні фігури существуют?

Гиппократ. Гадаю, які можна: якби вони існували, то ми мали змогу взагалі про неї говорить?

Сократ. Ти прав, але що мене бентежить. Чи можна стверджувати, що, наприклад, прості числа існують у тому значенні, що не існують небесні світила чи риби? Існували б прості числа, але було математиков?

Гиппократ. Я починаю усвідомлювати, чого ти хилиш. Річ справді виглядає негаразд просто, що мені здавалося, і має зізнатися, як той питання ставить моїй тупик.

Сократ. Тоді я б поставлю питання інакше. Як, на думку, чи буде світила сяяти в небесах, якщо немає кому спостерігатиме їх, а риби плавати у морі, якщо не стане ловити їх у тому, щоб вжити для харчування, ні на здобуття права досліджувати їх строение?

Гиппократ. Будуть, конечно.

Сократ. Де було б прості числа, якби математики роздумали їх изучать?

Гиппократ. Простих чисел було б ніде, оскільки, коли математик розмірковує про простих числах, існують в нього у голові. Отже, якщо стане думати скоріш про простих числах, їх ніде і будет.

Сократ. Так чи правильно судять про математиці ті, хто стверджує, ніби математика займається вивченням чогось такого, що немає вне?

Гиппократ. Гадаю, що де вони ошибаются.

Сократ. А буду я прав, якщо стверджуватиму, ніби математика займається вивченням чогось такого, що немає чи, по крайнього заходу, існує у тому сенсі, що не існують небесні світила чи рыбы?

Гиппократ. Несомненно!

Сократ. Не квапся і давай опрометчивых відповідей. Чи немає в тебе з собою восковій дощечки?

Гиппократ. Як немає бути! Ось она.

Сократ. Стеж уважно: на дощечці я напишу якесь число, наприклад число 29. Як, на думку: воно существует?

Гиппократ. Звісно, адже ми бачимо і навіть можемо торкнутися нього рукой.

Сократ. Отже, числа все-таки щось существующее?

Гиппократ. Не хочеш чи ти посміятися з мене, поважний Сократ? Дивися: я намалював на восковій табличці лева й дракона з сімома головами. Іще, чи іншого ти бачиш на власні очі. Але леви і справді є, а драконів млостей й у спомині. По крайнього заходу, мені будь-коли довелося бачити дракона, і мені зустрічався ніхто, навіть серед найстаріших громадян, кому упродовж свого віку доводилося дракона. Якщо ж помиляюся, і де-небудь за Геркулесовыми стовпами все-таки водяться дракони, і тоді існують зовсім на адже цієї восковій табличці я зобразив якийсь плід мого уяви. Якщо дракони взагалі існують, всі вони існують, навіть якби не намалював жодного з них.

Сократ. Ти має рацію, дорогий Гіппократ. Здається мені, що схопив істину за воріт. Отже, хоча ми бачимо тлумачимо про числах чи можемо написати їх, це ще означає, що числа реально существуют?

Гиппократ. Так, по крайнього заходу, не існують у тому сенсі, що не існують леви чи небесні тела.

Сократ. З цього було б ще помізкувати. Щось бентежить мене як і. Скажи, чи можна порахувати овець на луці чи кораблі в гавані Пирея?

Гиппократ. Немає нічого проще!

Сократ. А чи існують вівці і корабли?

Гиппократ. Зрозуміло, существуют!

Сократ. Але якщо є вівці, то хіба існують числа, дозволяють нам перераховувати овець? Здається мені, що математики все-таки займаються вивченням чогось существующего.

Гиппократ. Ти знов жартуєш Сократ, але не потерплю глузувань! Математики, буде тобі відомо, не ведуть рахунок вівцям. Це — заняття вівчарів, при цьому не яка потребує особливої учености.

Сократ. Чи має я розуміти тебе отже математики займаються не рахунком вівці або кораблів, а вивченням самих чисел? тобто їх цікавить щось, існуюче не насправді, а лише їх сознании?

Гиппократ. Саме такими що й думаю.

Сократ. Якщо мені пам’ять не змінює, ти стверджував, посилаючись на можливість Теэтета, що математики займаються вивченням чисел і геометричних форм. Щоб уникнути поспішних висновків, спробуємо з’ясувати, не виглядає річ з геометричними постатями так ж, і з числами? Що б ти відказав, якби запитав, чи існують геометричні фигуры?

Гиппократ. Відповів б, що є. Адже якщо гончарю вдасться ваза, то всякий скаже, що вона гарна на цей вид і має витончену форму. Геометричні постаті ми можемо бачити на власні очі, торкатися ним руками. Мені здається тому, що маємо є підстави вважати геометричні фігури существующими.

Сократ. Мій дорогий Гіппократ, ти так чудово висловив думку, тобто майже переконав мене? Але дозволь мені ж таки зазначити одне місце у твоїх міркуваннях, яке мені цілком ясно.

Гиппократ. Яке, дорогий Сократ? Невже цього разу я впав у ошибку?

Сократ. Сам поміркуй: що бачиш, коли споглядаєш вазу? Саму вазу чи його форму?

Гиппократ. І те, і другое.

Сократ. Мабуть, з вазою все як і, і з вівцею: коли ти бачиш вівцю, то бачиш і овечу шерсть.

Гиппократ. Твоє порівняння як на мене дуже удачным.

Сократ. а тут здається, що моя порівняння кульгає, як Гефест. Адже вівцю можна й обстригти, і тоді ти зможеш милуватися вівцею без вовни і овечої вовною без вівці. А чи можна вазу відокремити від неї формы?

Гиппократ. Ні, цього може зробити жодного я, ні хтось другой.

Сократ. І все-таки ти стверджуєш, що геометричні фігури можна видеть?

Гиппократ. Я засумнівався в этом.

Сократ. а тут тепер здається, що форму для вази неспроможна існувати окремо від вази. Але скажи, якби математики справді займалися формою ваз чи горщиків, то не краще було б їм називатися гончарами?

Гиппократ. Резонно!

Сократ. Але якби математики займалися формою ваз і горщиків, то Теодор було б искуснейшим гончар, бо хто більше її знається на геометричних тілах і постатях? І все-таки, здається мені, Теодор зможе виліпити з глини навіть найпростіший сосуд.

Гиппократ. Багато хвалили мені Теодора. Саме тому замахнувся піти у його учні. Але від когось мені доводилося чути, що Теодор знає на гончарному искусстве.

Сократ. Можливо, математики займаються вивченням форм будинків, колон чи статуй? Але тоді їх було б називати архітекторами чи скульпторами.

Гиппократ. Ти прав.

Сократ. Здається мені, дорогий Гіппократ, що математики все-таки займаються вивченням не форм існуючих предметів, а самих форм в чистому вигляді, анітрохи не переймаючись тому, які носії цих форм. Понад те, математиків цікавлять навіть зримі і відчутні форми і фігури, що у звичному значенні слова, а форми, існуючі лише їх уяві. Ти теж так считаешь?

Гиппократ. Не стану спорить.

Сократ. Наведених тобою прикладів цілком досить. Спробуємо тепер підсумувати все, чого домовилися. Отже, наскільки можна судити, математика займається вивченням речей, не що у природі, і дає змогу стверджувати про ці речі незаперечні істини. Чи можна сказане мною вважати результатом всіх наших попередніх міркувань або ж я кілька спотворив їх сущность?

Гиппократ. Присягаюся Зевсом, ти точно висловив саму суть нашої беседы.

Сократ. Тоді скажи мені, дорогий Гіппократ, не здається тобі дивним, що, якщо вірити сказаного мною, про неіснуючих речах знаємо більше й знання наші більш визначені, ніж про речі существующих?

Гиппократ. Це дивно, хоча зрозуміти, як таке може бути, вище моїх сил. Я і знаходжу помилок в міркуваннях, але мене важко позбутися відчуття, що разів у них все-таки вкралася помилка, лише я — не знаю, де именно.

Сократ. Але ж кожен крок у наших міркуваннях ми перевіряли дуже ретельно і розглядали зусебіч. Помилки тут неспроможна. Втім, почекай! Мені зараз спала на думку одна думку, яка допоможе нам пояснити цю загадку.

Гиппократ. Кажи, не гайся! Невизначеність мені тягостна.

Сократ. Саме цього тижня як нині вранці був в другого архонта *, де розбиралося справа дружини теслі із села Питтос. Вона обвинувачували у тому, що порушила подружню вірність і з допомогою коханця вбила чоловіка. Жінка завзято брехала і клялася Артемідою і Афродітою, що не любила оскільки свого чоловіка, і стверджувала, ніби чоловіка убив грабіжник. Були допитано багато свідків. Одні стверджували, що жінка винна, інші клятвено запевняли архонта у її невинності. Встановити істину не удалось.

Гиппократ. Ти лягаєш зі мною була дуже красиво, Сократ. Замість допомогти мені знайти істину, збиваєш і розповідаєш якісь дивні історії. Може бути, ти знову надумав знову посміятися треба мной?

Сократ. Ти несправедливий, дорогий Гіппократ. Не без наміру заговорив про жінку, винність яких неможливий ні довести, ані заперечити. Одне лише стверджувати про цю жінку відповідально: вони існують. Я бачив її на власні очі, та й лише я один, проте, хто зібрався у залі суду в другого архонта. Можу назвати кілька поважних людей, заслуговують довіри, не солгавших ніколи у житті навіть у помыслах.

Гиппократ. У цьому жодних необхідності, дорогий Сократ. Твого свідоцтва для мене предосить, але, благаю тебе, скажи, як стосується ця нещаслива жінка до математике?

Сократ. Набагато більше, ніж ти думаєш. Але скажи колись, чи ти переказ про Агамемноне і Клитемнестре?

Гиппократ. Хто ж його не знає. У торік мені довелося бачити трилогію Есхіла в театре.

Сократ. Нагадай коротко її сюжет.

Гиппократ. Поки Агамемнон, цар Аргоса, вів десятирічну облогу Трої, його Клитемнестра, порушивши святість за шлюбні узи, вступив у злочинну зв’язку з двоюрідним братом чоловіка Эгистом. Коли після падіння Трої Агамемнон повернувся додому, Клітемнестра разом із коханцем вбила мужа.

Сократ. Скажи, Гіппократ, звідки Эсхилу став відомий, що Клітемнестра зрадила чоловіка і вбила его?

Гиппократ. Знаю, чому тобі спало на думку розпитувати мене у тому, що ж добре відомо кожному елліну. Цю історію можна знайти й у Гомера: коли Одіссей був у пекла, то зустрів там тінь Агамемнона, що й повідала йому про своє сумної судьбе.

Сократ. Скажи мені, дорогий Гіппократ, а ти впевнений, що Агамемнон і Клітемнестра справді жили колись у світі і Гомер, розповідаючи про неї, не ухилився від истины?

Гиппократ. Можливо, я заслуговую, щоб після мене побили каменями, але дозволь мені сказати зі всієї прямотою: переконаний, мине стількох століть неможливо з упевненістю сказати, жили такі люди, і якщо жили, те, як склалася їх доля. Втім, це немає нічого спільного до діла: адже, кажучи про Агамемноні і Клитемнестре, маємо у вигляді не реальних людей з плоті і крові, про які, навіть якщо вони колись й жило, ми знаємо обмаль, а дійових осіб трагедії Есхіла, що їх зображує на кшталт гомерівської традиции.

Сократ. Чи правильно тебе зрозумів, дорогий Гіппократ? На думку, ми можемо стверджувати лише, що угода про реальної Клитемнестре і реальному Агамемноні, якщо колись жили у світі, нам майже невідомо. Про Клитемнестре і Агамемноні, персонажах трагедії Есхіла, ми маємо право упевнено стверджувати все, що мені відомо про неї за словами Есхіла. Зокрема, ми, без вагань, можемо заявити, що Клітемнестра, яку розповідає Есхіл, змінила Агамемнону, який згадується у трагедії, і вбила его.

Гиппократ. Ти правильно схопив суть моїх слів, але як і не розумію, куди ти клонишь.

Сократ. Зараз зрозумієш. Подумай сам, хіба герої трагедії Есхіла — реально існуючі люди?

Гиппократ. Нет.

Сократ. Дивися, що. Ми можемо незаперечно встановити, що Клітемнестра з трагедії, породжена поетичним уявою і по видимості, будь-коли існувала насправді, змінила іншому вигаданому персонажеві трагедії, Агамемнону, і вбила його, хоча можемо з’ясувати, змінила чи жива жінка з плоті і крові, представшая перед судом, свого чоловіка і вбила чи вона.

Гиппократ. Здається, я починаю здогадуватися, куди ти хилиш, проте волів би, щоб ти сам зробив вывод.

Сократ. Постарайся. Здається мені, дорогий Гіппократ, йдеться про те саме, чого ми прийшли, розмірковуючи про математиці. Про неіснуючих, вигаданих людях, персонажах трагедії, знаємо незрівнянно більшими (і наші мають більш певний характер), ніж людей реальних, які живуть землі. Що, власне, означає наше твердження щодо винності Клитемнестры? Тільки та, що винна Клітемнестра, вигадана і описана Эсхилом, бо її винність з усією очевидністю випливає з трагедії. Це дуже нагадує приклад із прямокутником, який ти навів за словами Теэтета, ми наголошували на математиці. Можна з упевненістю стверджувати, що діагоналі прямокутника рівні, оскільки це з абсолютної ясністю випливає з властивостей прямокутника, як його визначають математики.

Гиппократ. Отже, наскільки можу зрозуміти, ти, Сократ, стверджуєш, що математики займаються вивченням чогось, існуючого над дійсності, а лише їх уяві, і мають про своє «вигадках» значно більше достовірними знаннями, ніж натуралісти у тому, що є насправді. Хоч би скільки парадоксальним здається спочатку твоє твердження, воно, тим щонайменше, вірно. Понад те, якщо вдуматися з нього, воно перестає здаватися дивовижним і мені стає цілком природним. Математика, що займається вивченням уявних, не що у природі об'єктів, саме тому й може встановлювати про неї істину, що це об'єкти такі, як їх створили. Реально існуючі об'єкти поводяться інакше. Вони можуть бути різні від загального ставлення до них, сформованого у человека.

Сократ. Ось бачиш, дорогий Гіппократ, ти докопався до істини і публічно висловив її краще, ніж зміг я сам.".

Третий діалог завершує попередні. У ньому Альфред Реньи мовою Галілея говорить про неможливості дослідження законів природи окремо від предмета математики її мови. Думка Галілея у тому, що велика книжка природи написана на математичному мові, і тому прочитати його лише той, хто знайомий із ним, упродовж століть, минулі після Відродження, багаторазово підтверджувалася. Майже всі технічні розробки, великі та малі, описуються мовою математичних формул, графіків, схем. Сам математичний мову не залишається незмінною. Принаймні виникнення нових завдань пізнання природи на математичному дереві з’являються нові галузі, виростають нові коріння. Математична символіка стала мовою стенографічної записи абстрактної думки. Вона робить наукове виклад коротким й певним, дозволяє без додаткових труднощів сприймати сообщаемую інформації і немає місця для неточності висловів і розпливчастих тлумачень. Її дає необмежені змогу спілкування з автоматом. Саме математиці, як мови науки, присвячений заключний діалог «Розмова про мові книжки природы».

" Галілей. Свою думку я висловлю інакше: читати велику Книгу Природи може лише те, хто знає мову, у якому написана ця Книжка, і естонську мови цей — математика. Ті, хто лише базікає про природу, замість спостерігати її й з допомогою експериментів змушувати розповідати себе, будь-коли зможуть по-справжньому збагнути природу. Але якщо вдасться змусити природу заговорити, вона заговорить мовою математики, і коли ми думати знати цієї мови, то даремними опиняться всі наші старання: зрозуміти, про що свідчить на нас природа, неможливо. Помиляється той, хто вважає (яких, на жаль, чимало), що мова цей досить вивчити лише поверхово, легко може статися, що вона зрозуміє те, що каже природа, і якщо сам спробує щось сказати мовою математики, то пролунає лише жалюгідний лепет. Серед натуралістів знайдеться чимало філософів, які дотримуються вельми дивні (сказав би, навіть варварських) поглядів на математику. Нині вони не можуть заперечувати, що математика необхідна, але вважають, ніби кожному, хто застосовує математику для вивчення природи, немає потреби знати їх у досконало. Ці недалекоглядні люди стверджують, що цікавлять лише кінцеві результати, і немає часу, ні бажання говорити про деталі доказів або вникати в точні формулювання теорем. Це так само нечувана дурість, коли б комусь спало на думку заявити: «Обрізаємо корені і листя дерева, оскільки нам потрібні лише його плоди». Математика — єдине ціле, і той, хто не хоче смакувати від неї плодів, повинен, хоче те чи ні, не забувати про этом.

Синьора Никколини: Не розумію, як і застосовувати математику й те водночас настільки безрозсудно і злонамеренно йти наперекір її духу. Я роблю у математиці лише перші кроки і знаю лише те, що встигла перейняти в вас, синьйор Галілей, у час наших розмов, тому із мого боку було непростимою зухвалістю, якби надумала висловити свою думку з такого серйозного питання. Але мені вдалося щось зрозуміти. Втім, не стану вас втомлювати: усе ж, що жодного захотіла сказати вам, синьйор Галілей: давно известно.

Галилей. Не бійтеся, кажете сміливіше. Мені дуже цікаво дізнатися, що ви витягли для себе з розмов. Ваш щойно погляд нерідко дозволяє вам помічати те, що йде від багатьох із моїх учених коллег.

Синьора Никколини. По-моєму, не вважається, що зрозуміла про математичну теорему, до того часу, поки остаточно не розібрався у її доказі. Іноді весь сенс теореми сягав мене лише по тому, як ви вже, синьйор Галілей, наводили друге доказ її, повністю не на першого. Повинна зізнатися, що, коли в вперше привели кілька доказів однієї теореми, мені було ясно, чого така кількість доказів. «Хіба досить одного?» — подумалося тоді. А потім зрозуміла, що знати кілька доказів справді корисно. Скульптуру недостатньо бачити поряд з однієї погляду. Її треба обійти зусебіч. Розумію, що «важкі докази відлякують багатьох. І сама неодноразово лякалася довгому і заплутаною ланцюжка міркувань, який мені потрібно було простежити крок по кроку. Я почувалася, як скелелаз, з ризиком не для життя взбирающийся по крутого схилу на вершину: варто раз оступитися, і впадеш до прірви. Але коли його вдалося підняти на її вершину і для тобою відкривається як пройдений шлях, а й безмежна широчінь, то почуваєшся з лишком вознагражденным на труднощі. Спочатку лише очікування того солодкого моменту, коли зміст теореми розкривається в усій своїй повноті, давало мені сили ознайомитися з ходом важкого докази, але з часом стала помічати, що несподіваний поворот в міркуваннях чи використання якогось тонкого міркування доставляє мені менше насолоду, ніж музика. Гадаю, як і скалолазам знайоме це почуття: спочатку вони піддають себе важким випробувань очікуванням чудесного виду, який відкривається нею з вершини гори, але вони наберуться досвіду, те й сам підйом на кручі, подолання перешкод, пошук нових прийомів скелелазіння починає доставляти не менше удовольствие.

Галилей. Ви навіть знаєте, як вдало ваше зауваження. За все моє довге життя мені пощастило зустріти тільки дуже небагатьох учнів, які настільки глибоко розуміли й мене самого, і дух математики. Відтак, наші розмови доставляють мені живейшую радість. Розповідаючи вам щось нове, щоразу стежу за вираженням ваших очей. Варто їм спалахнути, наскільки відомо, що ви вхопили саму суть. Протягом усієї моєму житті вогонь у власних очах учнів завжди приносив мені щонайглибше задоволення. Я дозволю собі порівняти цей вогонь з полум’ям в печі: спочатку ми висікаємо іскру, потім надуваємо її й лише потім спалахує яскраве полум’я. Інші вчителя намагаються викладати математику, примушуючи своїх учнів вивчати напам’ять правил і набивати руку нескінченними вправами. Основне значення вони надають формулювання суто механічних навичок. Таких вчителів вважаю круглими неуками, їх уроки зовсім небагато стоять. Істинний вчитель прагне, що його учні докопувалися до першопричин, опанували глибинну сутність, і всіляко заохочує самостійність мислення. Той, хто, не розуміючи, у яких справи, вивчає лише рецепт, зможе навіть правильно нею скористатися, бо добре вважати може той, хто добре мислить. Хто тільки вважає, замість мислити, найчастіше вважає занадто складним способом і часто чи, що потрібно. Отриманий їм результат досягнуто не стоїть виїденого яйця, навіть коли всі полічено вірно. До сказаного вами хотів би додати лише дві міркування. Математика корисна і необхідна, якщо ми хочемо пізнати природу і привернути до себе службу її сили (наприклад, будувати різні машини). Але тому математика цікава й прекрасна, це — хвилюючий і захоплююче пригода людського розуму. Я переконаний, що краса є математики виник не випадково, вона закладено спочатку у самій природі математики. Справжня істина завжди прекрасна, а справжня краса завжди істинною є. Давні греки відмінно це знали. Ті ж філософи, про які я сказав, що вони варварських поглядів на математику, цього розуміють. Не сприймають красу математики, не наближаються до математики настільки, щоб було виразно відчути її красу. Якщо комусь із них все-таки станеться помітити, яка чудова математика, чи до своєму спостереженню він ставиться до з підозрою до. Красу ці сліпці вважають зайвої розкішшю вважають, що, не зважаючи на прекрасного, вони стають ближчі один до дійсності. Вони отримують насолоду іменувати себе практиками. А до тих, хто перейнявся істинним духом математики, це стосується з презирством і називають їх фантастами, витающими в хмарах. Немає нічого більш беспочвенного, ніж зарозумілість, яким цих людей намагаються приховати свою обмеженість. Спонукуваний тим самим цією набундюченістю, Олександра Великого розрубав мечем гордіїв вузол, коли зрозумів, що не силах розв’язати його. При дворах східних тиранів мистецтво наука й справді були розкішшю. Але вже в античних греків мистецтво наука стали невіддільною частиною життя. Діючи різними засобами, вони служили єдиної мети: пізнання людиною себе і навколишнього світу. Тепер, дві тисячі років, ми, нарешті, можемо продовжити те, що почали древні греки. І розпочати нам варто з того ніж зупинився Архимед.

Синьора Никколини. Ви цілком праві, і наші художники також вважає себе наступниками античного мистецтва. Але, синьйор Галілей, ви згадали про перші два зауваженнях, а зробили лише одна. Коли ж второе?

Галилей. Моє друге зауваження був із першим. До цього часу повідомляв про красу математики, про радості, яку доставляє розуміння математичних істин, що змушує очі сяяти в захваті. У цьому плані математика дуже близька мистецтва, хвилюючому і трогающему нас зустріччю з чудовим. Однак це радість дається недаремно, щоб відчути її, необхідно завзято працювати. Ваша порівняння з скалолазами дуже вдало, оскільки зачіпає і цей бік справи. Будь-яке скільки-небудь помітний просування у математиці вимагає напруженої багатоденної роботи розуму. Але той, хто пережив радість пізнання, збагнув красу математики, не визнає надмірної платою будь-яке напруга сил. На одній із головних цілей навчання математиці Я бачу у цьому, щоб прилучати початківців до краси математики, спираючись її у, виробляти дисципліноване логічне мислення та вміння зосереджувати усієї сили розуму на розв’язуваної завданню. Без цих якостей у математиці неможливо досягти успіху. І останнє: той, хто, займаючись математикою, прилучиться мистецтва логічного мислення, зможе користуватися ним у всіх галузях жизни.".

После виходу друком російською цю роботу гідно оцінили вітчизняні математики. Академік. Б. У. Гнєденко у своїй передмові до книжки пише: «Часто трапляється, що під час занять учні щото перепитують й у у відповідь своє особисте питання чують самі слова, як раніше. Зазвичай, це відбувається від того, що і їх не розчули спочатку, а й просто по якийто причини сказане не сягнуло свідомості. Що може додати повторення те, що не зрозуміли? Саме тому при повторному поясненні неодмінно треба знайти нові слова, новий аспект подачі, який би пробив шлях свідомості учня. Наш студент написав з цього приводу: „Цей метод має незаперечними перевагами, головний із яких у тому, що він привчає аудиторію мислити самостійно, критично“. Показати математику в дії елемент пізнання процесів природи, економіки та техніки — ось один з обов’язкових елементів навчання математики».

В укладанні хочеться приєднатися саме до такого розуміння педагогічного значення математики.

* Другий архонт, базилевс (грецьк.), — одне із дев’яти вищих сановників в Афінах, відав культом і розбором справ, пов’язаних з образою релігії, і убивствами.

Список литературы

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.